Slide - Circuitos de Uma Malha - Física 2 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Circuitos de Uma Malha Resumo do que foi estudado na aula passada... Variação da Resistividade com a Temperatura. A resistividade 𝜌 da maioria dos materiais varia com a temperatura. Em muitos metais, a relação entre 𝜌 e a temperatura 𝑇 é dada aproximadamente pela equação 𝜌(𝑇) = 𝜌0 + 𝜌0𝛼 𝑇 − 𝑇0 . (26-17) A resistência 𝑅 de um fio condutor de comprimento 𝐿 e seção reta uniforme 𝐴 é dada por 𝑅 = 𝜌 𝐿 𝐴 . (26-16) 2 A constante 𝛼 que aparece na Eq. (26-17), conhecida como coeficiente de temperatura da resistividade, é escolhida para que a concordância da resistividade calculada com a resistividade medida experimentalmente seja a melhor possível na faixa de temperaturas considerada. 𝑖 Ԧ𝑗 𝐴 𝐸 𝐿 𝑉+ 𝑉− 𝜌 3 Lei de Ohm. Dizemos que um dispositivo (condutor, resistor ou qualquer outro dispositivo de um circuito) obedece à lei de Ohm se a resistência elétrica 𝑅 do dispositivo, definida pela Eq. (26-8) como 𝑉/𝑖, não depende da diferença de potencial aplicada 𝑉. Um material obedece à lei de Ohm se a resistividade 𝜌, definida pela Eq. (26-10) 𝐸 = 𝜌Ԧ𝐽 , não depende do módulo e do sentido do campo elétrico aplicado 𝐸. Potência. A potência 𝑃, ou taxa de transferência de energia, em um dispositivo que transporta uma corrente constante 𝑖 e está submetido a uma diferença de potencial 𝑉, é dada por (26-26) 𝑃 = 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = 𝑉𝑖. Resumo do que foi estudado na aula passada... 𝑖 𝑉 𝑖 𝑉+ 𝑉− 𝑉+ 𝑉− 4 Dissipação Resistiva. No caso de um resistor, a Eq. (26-26) 𝑃 = 𝑉𝑖 pode ser escrita na forma (26-27) e (26-28) Resumo do que foi estudado na aula passada... 𝑃 = 𝑅𝑖2 = 𝑉2 𝑅 . 𝑎 𝑏 𝑉+ 𝑉− 𝑅 27-1 CIRCUITOS DE UMA MALHA A ciência básica da engenharia elétrica é a física. Neste capítulo, estudamos a física de circuitos elétricos que contêm apenas resistores e fontes (e, na Seção 27-4, capacitores). Vamos limitar nossa discussão a circuitos nos quais as cargas se movem sempre no mesmo sentido, conhecidos como circuitos de corrente contínua ou circuitos de CC. Começamos com a seguinte pergunta: como é possível colocar cargas elétricas em movimento? “Bombeamento” de Cargas Para produzir uma corrente constante, precisamos de uma “bomba” de cargas, um dispositivo que, realizando trabalho sobre os portadores de carga, mantenha uma diferença de potencial entre dois terminais. Um dispositivo desse tipo é chamado de fonte de tensão ou, simplesmente, fonte. Dizemos que uma fonte de tensão produz uma força eletromotriz 𝜖, o que significa que submete os portadores de carga a uma diferença de potencial 𝜖. O termo força eletromotriz, às vezes abreviado para fem, é usado, por questões históricas, para designar a diferença de potencial produzida por uma fonte de tensão, embora, na verdade, não se trate de uma força. Capítulo 27 – Circuitos 5 Fonte Resistor 𝑖 𝑖 6 No Capítulo 26, discutimos o movimento de portadores de carga em um circuito em termos do campo elétrico existente no circuito; o campo produz forças Ԧ𝐹 = 𝑞𝐸 que colocam os portadores de carga em movimento. Neste capítulo, vamos usar uma abordagem diferente, discutindo o movimento dos portadores de carga em termos de energia — uma fonte de tensão fornece a energia necessária para o movimento por meio do trabalho que realiza sobre os portadores. Fonte Resistor 𝑖 𝑖 𝑖 𝑅 𝜖 𝑖 Diagrama esquemático. Movimento dos portadores de carga (positivos) no interior do fio de ligação. + − Trabalho, Energia e Força Eletromotriz A Fig. 27-1 mostra um circuito formado por uma fonte (uma bateria, por exemplo) e uma única resistência 𝑅. A fonte mantém um dos terminais (o terminal positivo ou terminal +) a um potencial elétrico maior 𝑉+ que o outro 𝑉− (o terminal negativo ou terminal −). Podemos representar a força eletromotriz (fem) da fonte por meio de uma seta apontando do terminal negativo para o terminal positivo, como na Fig. 27-1. Um pequeno círculo na origem da seta que representa a fem serve para distingui-la das setas que indicam a direção da corrente. Quando uma fonte não está ligada a um circuito, a energia que existe no interior da fonte não provoca nenhum movimento dos portadores de carga. Quando, porém, a fonte é ligada a um circuito, como na Fig. 27-1, essa energia faz com que portadores de carga (positivos, por convenção) sejam transferidos do terminal negativo para o terminal positivo da fonte, ou seja, no sentido da seta que representa a força eletromotriz. Esse movimento é parte da corrente que se estabelece no mesmo sentido em todo o circuito (no caso da Fig. 27-1, o sentido horário). No interior da fonte, os portadores de carga positivos se movem de uma região de baixo potencial elétrico 𝑉− e, portanto, de baixa energia potencial elétrica (o terminal negativo) para uma região de alto potencial elétrico 𝑉+ e alta energia potencial elétrica (o terminal positivo). Esse movimento tem o sentido contrário ao sentido no qual os portadores positivos se moveriam sob a ação do campo elétrico que existe entre os dois terminais (que aponta do terminal positivo para o terminal negativo). Isso significa que deve haver uma energia no interior da fonte realizando um trabalho sobre as cargas e forçando as cargas a se moverem dessa forma. A energia pode ser química, como nas baterias e nas células de combustível, ou mecânica, como nos geradores. 7 𝜖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑎 𝑎′ 𝑅 Fig. 27-1 𝐸 Vamos agora analisar o circuito da Fig. 27-1 do ponto de vista do trabalho e da energia. Em um intervalo de tempo infinitesimal 𝑑𝑡, uma carga infinitesimal 𝑑𝑞 passa por todas as seções retas do circuito, como a seção 𝑎𝑎′. A mesma carga entra no terminal de baixo potencial da fonte de tensão e sai do terminal de alto potencial. Para que a carga 𝑑𝑞 se mova dessa forma, a fonte deve realizar sobre a carga um trabalho 𝑑𝑊. Definimos a força eletromotriz da fonte por meio desse trabalho: 𝜖 ≡ 𝑑𝑊 𝑑𝑞 definição de 𝜖 . (27-1) Uma fonte de tensão ideal é uma fonte na qual os portadores de carga não encontram resistência ao se deslocarem do terminal negativo para o terminal positivo. A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à força eletromotriz da fonte. Assim, por exemplo, uma bateria ideal com uma força eletromotriz de 12,0 𝑉 mantém uma diferença de potencial de 12,0 𝑉 entre os terminais, esteja ou não a fonte ligada a um circuito, e sejam quais forem as características do circuito. Uma fonte de tensão real possui uma resistência interna diferente de zero. Quando uma fonte real não está ligada a um circuito e, portanto, não conduz uma corrente elétrica, a diferença de potencial entre os terminais é igual à força eletromotriz. Quando a fonte conduz uma corrente, a diferença de potencial é menor que a força eletromotriz. As fontes reais serão discutidas no final desta seção. 8 𝑑𝑞 𝜖 𝑑𝑊 𝜖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑎 𝑎′ 𝑅 Fig. 27-1 𝐸 Fig. 27-2a Fig. 27-2b 𝑚 Quando uma fonte é ligada a um circuito, a fonte transfere energia para os portadores de carga que passam por ela. Essa energia pode ser transferida dos portadores de carga para outros dispositivos do circuito, e usada, por exemplo, para acender uma lâmpada. A Fig. 27-2a mostra um circuito formado por duas baterias ideais recarregáveis 𝐴 e 𝐵, uma resistência 𝑅 e um motor elétrico 𝑀 que é capaz de levantar um objeto usando a energia que recebe dos portadores de carga do circuito. Observe que as baterias estão ligadas de tal forma que tendem a fazer as cargas circularem em sentidos opostos. O sentido da corrente é determinado pela bateria que possui a maior força eletromotriz, que, no caso, estamos supondo que seja a bateria 𝐵 (ou seja, 𝜖𝐵 > 𝜖𝐴), de modo que a energia química da bateria 𝐵 diminui com a transferência de parte da energia para os portadores de carga. Por outro lado, a energia química da bateria 𝐴 aumenta, pois o sentido da corrente no interior da bateria 𝐴 é do terminal positivo para o terminal negativo. Assim, a bateria 𝐵, além de fornecer energia para acionar o motor 𝑀 e vencer a resistência 𝑅, também carrega a bateria 𝐴. A Fig. 27-2b mostra as três transferências de energia; todas diminuem a energia química da bateria 𝐵. 𝜖𝐴 𝜖𝐵 9 Cálculo da Corrente em um Circuito de uma Malha Vamos discutir agora dois métodos diferentes para calcular a corrente no circuito de uma malha da Fig. 27-3; um dos métodos se baseia na lei de conservação da energia e o outro no conceito de potencial. O circuito que vamos analisar é formado por uma fonte ideal 𝐵 cuja força eletromotriz é 𝜖, um resistor de resistência 𝑅 e dois fios de ligação. (A menos que seja afirmado o contrário, vamos supor que os fios dos circuitos possuem resistência desprezível. Na maioria dos casos, os fios servirão apenas para transferir os portadores de carga de um dispositivo para outro.) Método da Energia De acordo com a Eq. (26-27) 𝑃 = 𝑅𝑖2 , em um intervalo de tempo 𝑑𝑡, uma energia dada por 𝑑𝑈 = 𝑃𝑑𝑡 = 𝑅𝑖2𝑑𝑡 é transformada em energia térmica no resistor da Fig. 27-3. Como foi observado na Seção 26-5, podemos dizer que essa energia é dissipada no resistor. (Como estamos supondo que a resistência dos fios é desprezível, os fios não dissipam energia.) Durante o mesmo intervalo, uma carga 𝑑𝑞 = 𝑖𝑑𝑡 atravessa a fonte 𝐵, e o trabalho 𝑑𝑊 realizado pela fonte sobre essa carga, de acordo com a Eq. (27-1), é dado por 𝑑𝑊 = 𝜖𝑑𝑞 = 𝜖𝑖𝑑𝑡. De acordo com a lei de conservação da energia, o trabalho realizado pela fonte (ideal) é igual à energia térmica que aparece no resistor: (27-2) 10 𝜖𝑖𝑑𝑡 = 𝑅𝑖2𝑑𝑡 𝜖 = 𝑅𝑖 𝑖 = 𝜖 𝑅 . 𝑑𝑊 = 𝑑𝑈 𝜖 Fig. 27-3 𝑎 𝑅 Método do Potencial Suponha que começamos em um ponto qualquer do circuito da Fig. 27-3 e nos deslocamos mentalmente ao longo do circuito em um sentido arbitrário, somando algebricamente as diferenças de potencial que encontramos no caminho. Ao voltar ao ponto de partida, teremos voltado também ao potencial inicial. Antes de prosseguir, queremos chamar a atenção para o fato de que esse raciocínio vale não só para circuitos com uma malha, como o da Fig. 27-3, mas também para uma malha fechada de um circuito com várias malhas, como os que serão discutidos na Seção 27-2. REGRA DAS MALHAS: A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha completa de um circuito é zero. Essa regra, também conhecida como lei das malhas de Kirchhoff (ou lei das tensões de Kirchhoff), em homenagem ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff, equivale a dizer que cada ponto de uma montanha possui apenas uma altitude em relação ao nível do mar. Se partimos de um ponto qualquer e voltamos ao mesmo ponto depois de passear pela montanha, a soma algébrica das mudanças de altitude durante a caminhada é necessariamente zero. Na Fig. 27-3, vamos começar no ponto 𝑎, cujo potencial é 𝑉𝑎, e nos deslocar mentalmente no sentido horário até estarmos de volta ao ponto 𝑎, anotando as mudanças de potencial que ocorrem no percurso. Nosso ponto de partida será o terminal negativo da fonte. Como a fonte é ideal, a diferença de potencial entre os terminais da fonte é 𝜖. Assim, quando atravessamos a fonte, passando do terminal negativo para o terminal positivo, a variação de potencial é +𝜖. 11 𝜖 Fig. 27-3 𝑎 𝑅 REGRA DAS RESISTÊNCIAS: quando atravessamos uma resistência no mesmo sentido da corrente convencional, a variação do potencial é −𝑅𝑖; quando atravessamos uma resistência no sentido oposto ao da corrente convencional, a variação do potencial é +𝑅𝑖. Quando passamos do terminal positivo da fonte para o terminal superior do resistor, não há variação de potencial, já que a resistência do fio é desprezível. Quando atravessamos o resistor, o potencial varia de acordo com a Eq. (26-8) 𝑉 = 𝑅𝑖 . O potencial deve diminuir, pois estamos passando do lado de potencial mais alto do resistor para o lado de potencial mais baixo. Assim, a variação de potencial é −𝑅𝑖. Voltamos ao ponto 𝑎 pelo fio que liga o terminal inferior do resistor ao terminal negativo da fonte. Uma vez que a resistência do fio é desprezível, não há variação de potencial nesse trecho do circuito. No ponto 𝑎, o potencial é novamente 𝑉𝑎. Como percorremos todo o circuito, o potencial inicial, depois de modificado pelas variações de potencial ocorridas ao longo do caminho, deve ser igual ao potencial final, ou seja, 𝑉𝑎 + 𝜖 − 𝑅𝑖 = 𝑉𝑎 𝜖 − 𝑅𝑖 = 0 𝑖 = 𝜖 𝑅 . REGRA DAS FONTES: quando atravessamos uma fonte ideal no sentido do terminal negativo para o terminal positivo, a variação do potencial é +𝜖; quando atravessamos uma fonte ideal no sentido oposto, a variação do potencial é −𝜖. 12 𝜖 Fig. 27-3 𝑎 𝑅 Outros Circuitos de uma Malha Resistência Interna A Fig. 27-4a mostra uma fonte real, de resistência interna 𝑟, ligada a um resistor externo de resistência 𝑅. A resistência interna 𝑟 da fonte é a resistência elétrica dos materiais condutores que existem no interior da fonte e, portanto, é parte integrante da fonte. Na Fig. 27-4a, porém, a fonte real foi desenhada como se pudesse ser decomposta em uma fonte ideal de força eletromotriz 𝜖 em série com um resistor de resistência 𝑟. A ordem em que os símbolos dos dois dispositivos são desenhados é irrelevante. Aplicando a regra das malhas no sentido horário, a partir do ponto 𝑎, as variações do potencial nos dão 𝑉𝑎 + 𝜖 − 𝑟𝑖 − 𝑅𝑖 = 𝑉𝑎 𝜖 − 𝑟𝑖 − 𝑅𝑖 = 0 𝑖 = 𝜖 𝑟 + 𝑅 . (27-4) Fig. 27-4a Fig. 27-4b 𝜖 𝜖 𝜖 13 Fonte real 𝑉𝑎 𝑉𝑎 𝑅 𝑅 𝑎 𝑎 𝑏 𝑉𝑏 Resistências em Série A Fig. 27-5a mostra três resistências ligadas em série a uma fonte ideal de força eletromotriz 𝜖. A expressão “em série” significa apenas que as resistências são ligadas uma após a outra e que uma diferença de potencial 𝑉 é aplicada às extremidades da ligação. Na Fig. 27-5a, as resistências estão ligadas uma após a outra entre os pontos 𝑎 e 𝑏, e uma diferença de potencial entre os pontos 𝑎 e 𝑏 é mantida por uma fonte. As diferenças de potencial entre os terminais de cada resistência produzem a mesma corrente 𝑖 em todas as resistências. De modo geral, Fig. 27-5a Fig. 27-5b 𝜖 𝜖 quando uma diferença de potencial 𝑉 é aplicada a resistências ligadas em série, a corrente 𝑖 é a mesma em todas as resistências, e a soma das diferenças de potencial das resistências é igual à diferença de potencial aplicada 𝑉. A Fig. 27-5b mostra a resistência equivalente 𝑅𝑒𝑞 das três resistências da Fig. 27-5a. Para determinar o valor da resistência 𝑅𝑒𝑞 da Fig. 27-5b, aplicamos a regra das malhas aos dois circuitos. Na Fig. 27-5a, começando no ponto 𝑎 e percorrendo o circuito no sentido horário, temos 𝑉𝑎 + 𝜖 − 𝑅1𝑖 − 𝑅2𝑖 − 𝑅3𝑖 = 𝑉𝑎 (27-5) 𝑖 = 𝜖 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 . 14 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑒𝑞 𝑎 𝑏 𝑏 Resistências ligadas em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente 𝑅𝑒𝑞 percorrida pela mesma corrente 𝑖 e com a mesma diferença de potencial total 𝑉 que as resistências originais. 𝑎 Na Fig. 27-5b, com as três resistências substituídas por uma resistência equivalente 𝑅𝑒𝑞, obtemos 𝑉𝑎 + 𝜖 − 𝑅𝑒𝑞𝑖 = 𝑉𝑎 (27-6) 𝑖 = 𝜖 𝑅𝑒𝑞 . Igualando as Eqs. (27-5) 𝑖 = 𝜖 𝑅1+𝑅2+𝑅3 e (27-6), obtemos 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3. (27-7) A extensão para 𝑛 resistores ligados em série é imediata e nos dá 𝑅𝑒𝑞 = ෍ 𝑗=1 𝑛 𝑅𝑗 (𝑛 resistências em série). 15 Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 1 e 15. Exercícios Complementares: 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11 e 12. Fig. 27-5b 𝜖 𝑅𝑒𝑞 𝑏 𝑎 ·1 Na Fig. 27-25, as fontes ideais têm forças eletromotrizes 𝜖1 = 12 𝑉 e 𝜖2 = 6,0 𝑉 e os resistores têm resistências 𝑅1 = 4,0 Ω e 𝑅2 = 8,0 Ω. Determine (a) a corrente no circuito, (b) a potência dissipada no resistor 1, (c) a potência dissipada no resistor 2, (d) a potência fornecida pela fonte 1 e (e) a potência fornecida pela fonte 2. (f) A fonte 1 está fornecendo ou recebendo energia? (g) A fonte 2 está fornecendo ou recebendo energia? Dicas: em (a) use 𝑉𝑎 + 𝜖1 − 𝑅2𝑖 − 𝑅1𝑖 − 𝜖2 = 𝑉𝑎 . Em (b) use 𝑃 = 𝑅1𝑖2. Em (c) use 𝑃 = 𝑅2𝑖2. Em (d) use 𝑃 = 𝜖1𝑖. Em (e) use 𝑃 = 𝜖2𝑖. Em (f) observe qual é o sentido da corrente. Em (g) observe qual é o sentido da corrente. Respostas: (a) 𝑖 = 0,5 𝐴. (b) 𝑃𝑅1 = 1,0 𝑊. (c) 𝑃𝑅2 = 2,0 𝑊. (d) 𝑃𝜖1 = 6,0 𝑊. (e) 𝑃𝜖2 = 3,0 𝑊. (f) Fornecendo energia. (g) Recebendo energia. Fig. 27-25 𝜖1 𝜖2 + + − − 𝑎 𝑅2 𝑅1 16 ··15 A corrente em um circuito com uma única malha e uma resistência 𝑅 é 5,0 A. Quando uma resistência de 2,0 Ω é ligada em série com 𝑅, a corrente diminui para 4,0 A. Qual é o valor de 𝑅. Dica: faça um desenho para representar a situação física descrita no enunciado o problema. Use a regra das malhas nos dois circuitos e o fato de que 𝑅𝑒𝑞 = σ𝑗=1 2 𝑅𝑗 . Resposta: 𝑅 = 8,0 Ω. Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://www.allaboutcircuits.com/textbook/direct-current/chpt-5/building-simple-resistor-circuits/ • https://produza.ind.br/tecnologia/como-criar-um-circuito-eletrico-simples/ 17