Slide - Resistência Ohm Potência - Física 2 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Cálculo da Resistência a Partir da Resistividade • Lei de Ohm • Potência Resumo do que foi estudado na aula passada... Corrente. A corrente elétrica 𝑖 em um condutor é definida através da seguinte equação 𝑖 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 , (26-1) em que 𝑑𝑞 é a carga (positiva) que passa durante um intervalo de tempo 𝑑𝑡 por um plano hipotético que corta o condutor. Por convenção, o sentido da corrente elétrica é tomado como o sentido no qual cargas positivas se moveriam. A unidade de corrente no SI é o ampère (𝐴): 1 𝐴 = 1 𝐶/𝑠. Densidade de Corrente. A corrente elétrica 𝑖 (uma grandeza escalar) está relacionada à densidade de corrente Ԧ𝐽 (uma grandeza vetorial) pela equação 𝑖 = න 𝐴 Ԧ𝐽 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 , (26-4) em que 𝑑 Ԧ𝐴 é um vetor perpendicular a um elemento de superfície de área 𝑑𝐴 e a integral é calculada ao longo de uma superfície 𝐴 que intercepta o condutor. A densidade de corrente Ԧ𝐽 tem o mesmo sentido que a velocidade de deriva dos portadores de carga, se estes são positivos, e o sentido oposto, se são negativos. 2 Fig. 26-2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎′ 𝑏′ 𝑐′ 𝑖 𝑖 𝑖 Ԧ𝑗 𝐴 𝑑 Ԧ𝐴 (26-7) Ԧ𝐽 = 𝑛𝑒 Ԧ𝑣𝑑. Velocidade de Deriva dos Portadores de Carga. Quando um campo elétrico 𝐸 é estabelecido em um condutor, os portadores de carga (considerados positivos) adquirem uma velocidade de deriva Ԧ𝑣𝑑 na direção de 𝐸; a velocidade Ԧ𝑣𝑑 está relacionada à densidade de corrente Ԧ𝐽 pela equação em que 𝑛𝑒 é a densidade de carga dos portadores. 3 Resumo do que foi estudado na aula passada... 𝑖 Ԧ𝑣𝑑 𝐸 Ԧ𝐽 𝐿 𝐴 𝑒 Resistência de um Condutor. A resistência elétrica 𝑅 de um condutor é definida pela equação (26-8) 𝑅 = 𝑉 𝑖 , em que 𝑉 é a diferença de potencial entre as extremidades do condutor e 𝑖 é a corrente elétrica . A unidade de resistência do SI é o ohm (Ω): 1 Ω = 1 V/A. 4 𝐸 𝐽 = 𝜌 = 1 𝜎 , (26-10) e (26-12) em que 𝐸 é o módulo do campo elétrico aplicado. A unidade de resistividade do SI é o ohm-metro (Ω. 𝑚). A Eq. (26-10) corresponde à equação vetorial 𝐸 = 𝜌Ԧ𝐽. (26-11) Resumo do que foi estudado na aula passada... Equações semelhantes definem a resistividade 𝜌 e a condutividade 𝜎 de um material: 𝜌, 𝜎 𝐸 Ԧ𝑗 𝑉+ 𝑉− Cálculo da Resistência a Partir da Resistividade A resistência elétrica 𝑅 é uma propriedade de um dispositivo; a resistividade 𝜌 é uma propriedade de um material. Quando conhecemos a resistividade 𝜌 de um material, como o cobre, por exemplo, não é difícil calcular a resistência de um fio feito desse material. Sejam 𝐴 a área da seção reta, 𝐿 o comprimento e 𝑉(= 𝑉+ − 𝑉−) a diferença de potencial entre as extremidades do fio (Fig. 26-9). Se as linhas de corrente que representam a densidade de corrente são uniformes ao longo de toda a seção reta (Fig. 26-8b), o campo elétrico e a densidade de corrente são uniformes em todos os pontos do fio e, de acordo com as Eqs. (24-42) e (26-5), têm os valores (26-14) 𝐸 = 𝑉/𝐿 e 𝐽 = 𝑖/𝐴. Nesse caso, podemos combinar as Eqs. (26-10) 𝜌 = 𝐸/𝐽 e (26-14) para obter (26-15) 𝜌 = 𝐸 𝐽 = 𝑉/𝐿 𝑖/𝐴 = 𝑉 𝑖 𝐴 𝐿 = 𝑅 𝐴 𝐿 , pois 𝑅 = 𝑉/𝑖. Assim sendo, a Eq. (26-15) pode ser escrita na forma 𝑅 = 𝜌 𝐿 𝐴 . (26-16) A Eq. (26-16) se aplica apenas a condutores isotrópicos homogêneos de seção reta 𝐴 uniforme, com a diferença de potencial 𝑉aplicada como na Fig. 26-8b. 5 Fig. 26-9 𝑖 Ԧ𝑗 𝐴 𝐸 𝐿 𝑉+ 𝑉− 𝜌 Fig. 26-8a Fig. 26-8b linhas de corrente linhas de corrente 𝑉+ 𝑉+ 𝑉− 𝑉− Variação da Resistividade com a Temperatura Os valores da maioria das grandezas físicas variam com a temperatura; a resistividade 𝜌 não é exceção. A Fig. 26-10, por exemplo, mostra a variação da resistividade do cobre com a temperatura. A relação entre temperatura e resistividade para o cobre (e para os metais em geral) é quase linear em uma larga faixa de temperaturas. Isso nos possibilita escrever uma fórmula empírica que é adequada para a maioria das aplicações práticas: 𝜌(𝑇) = 𝜌0 + 𝜌0𝛼 𝑇 − 𝑇0 . (26-17) Aqui, 𝑇0 é uma temperatura de referência e 𝜌0 é a resistividade a essa temperatura, isto é, 𝜌0 = 𝜌0 𝑇0 . Costuma-se escolher como referência 𝑇0 = 293 𝐾 (temperatura ambiente, 20 °𝐶), caso em que 𝜌0 𝑇0 = 1,69 × 10−8 Ω. 𝑚 para o cobre. Como a temperatura entra na Eq. (26-17) apenas como uma diferença, tanto faz usar a escala Celsius ou a escala Kelvin, já que o valor de um grau nas duas escalas é o mesmo. A constante 𝛼 que aparece na Eq. (26-17), conhecida como coeficiente de temperatura da resistividade, é escolhida para que a concordância da resistividade calculada com a resistividade medida experimentalmente seja a melhor possível na faixa de temperaturas considerada. A Tabela 26-1 mostra os valores de 𝛼 para alguns metais. 6 Fig. 26-10 A Tabela 26-1 mostra a resistividade 𝜌0 e o coeficiente de temperatura da resistividade 𝛼 de alguns materiais. 7 0 26-4 A LEI DE OHM A Fig. 26-11a mostra como as propriedades elétricas dos dispositivos podem ser investigadas. Uma diferença de potencial 𝑉 é aplicada aos terminais do dispositivo que está sendo testado, e a corrente elétrica 𝑖 é medida em função de 𝑉. A polaridade de 𝑉 é tomada arbitrariamente como positiva quando o terminal da esquerda do dispositivo está a um potencial maior 𝑉+ que o terminal da direita 𝑉− . O sentido da corrente (da esquerda para a direita) é tomado arbitrariamente como positivo. A polaridade oposta de 𝑉 (com o terminal da direita com um potencial maior) e a corrente são tomadas como negativas. A Fig. 26-11c mostra o gráfico de 𝑖 em função de 𝑉 para outro dispositivo. Nesse caso, só existe corrente quando a polaridade de 𝑉 é positiva e a diferença de potencial aplicada é maior que 1,5 𝑉. Além disso, no trecho do gráfico em que existe corrente, a razão entre 𝑖 e 𝑉 não é constante, mas depende do valor da diferença de potencial aplicada 𝑉. A Fig. 26-11b mostra o gráfico de 𝑖 em função de 𝑉 para um dispositivo. Como o gráfico é uma linha reta que passa pela origem, a razão 𝑖/𝑉 (que corresponde à inclinação da reta) é a mesma para qualquer valor de 𝑉. Isso significa que a resistência 𝑅 do dispositivo não depende do valor absoluto e da polaridade da diferença de potencial aplicada 𝑉. Fig. 26-11a Fig. 26-11b Fig. 26-11c 8 𝑖 𝑉 𝑖 𝑉+ 𝑉− 𝑖 = 𝑉 𝑅 Reta Curva 𝑖 = 𝑉 𝑅 Fig. 26-11a Fig. 26-11b Fig. 26-11c 𝑖 𝑉 𝑖 𝑉+ 𝑉− 𝑖 = 𝑉 𝑅 Reta Curva 𝑖 = 𝑉 𝑅 Em casos como esses, fazemos uma distinção entre os dispositivos que obedecem à lei de Ohm e os dispositivos que não obedecem à lei de Ohm. A definição original da lei de Ohm é a seguinte: Um dispositivo obedece à lei de Ohm se a corrente que o atravessa varia linearmente com a diferença de potencial aplicada ao dispositivo para qualquer valor da diferença de potencial. Hoje sabemos que essa afirmação é correta apenas em certas situações; entretanto, por questões históricas, continua a ser chamada de “lei”. O dispositivo da Fig. 26-11b, que é um resistor de 1000 Ω, obedece à lei de Ohm. O dispositivo da Fig. 26-11c, que é um diodo semicondutor, não obedece à lei de Ohm. Uma definição mais realista da lei de Ohm é a seguinte: 9 Um dispositivo obedece à lei de Ohm se, dentro de certos limites, a resistência do dispositivo não depende do valor absoluto nem da polaridade da diferença de potencial aplicada. Fig. 26-11a Fig. 26-11b Fig. 26-11c 𝑖 𝑉 𝑖 𝑉+ 𝑉− 𝑖 = 𝑉 𝑅 Reta Curva 𝑖 = 𝑉 𝑅 10 É frequente ouvirmos a afirmação de que 𝑉 = 𝑅𝑖 é uma expressão matemática da lei de Ohm. Isso não é verdade! A equação é usada para definir o conceito de resistência e se aplica a todos os dispositivos que conduzem corrente elétrica, mesmo que não obedeçam à lei de Ohm. Se medirmos a diferença de potencial (ddp) 𝑉 entre os terminais de qualquer dispositivo e a corrente 𝑖 que atravessa o dispositivo ao ser submetido a essa ddp, podemos calcular a resistência do dispositivo para esse valor de 𝑉 como 𝑅 = 𝑉/𝑖, mesmo que se trate de um dispositivo, como um diodo semicondutor, que não obedece à lei de Ohm. Para que um dispositivo obedeça à lei de Ohm, é preciso que, dentro de certos limites, o gráfico de 𝑖 em função de 𝑉 seja linear, ou seja, que 𝑅 não varie com 𝑉. Podemos expressar a lei de Ohm de modo mais geral se nos concentrarmos nos materiais e não nos dispositivos. Nesse caso, a relação relevante passa a ser a Eq. (26-11) 𝐸 = 𝜌Ԧ𝐽 em vez de 𝑉 = 𝑅𝑖, e a lei de Ohm passa a ser definida da seguinte forma: Um material obedece à lei de Ohm se a resistividade 𝜌 do material, dentro de certos limites, não depende do módulo nem do sentido do campo elétrico 𝐸 aplicado. Todos os materiais homogêneos, sejam eles condutores, como o cobre, ou semicondutores, como o silício puro ou dopado com impurezas, obedecem à lei de Ohm dentro de uma faixa de valores do campo elétrico aplicado. Para valores elevados do campo elétrico, sempre são observados desvios em relação à lei de Ohm. 26-5 POTÊNCIA A Fig. 26-13 mostra um circuito formado por uma bateria 𝐵 ligada por fios, de resistência desprezível, a um dispositivo não especificado, que pode ser um resistor, uma bateria recarregável, um motor, ou qualquer outro dispositivo elétrico. A bateria mantém uma diferença de potencial de valor absoluto 𝑉 entre os seus terminais e, portanto (graças aos fios de ligação), entre os terminais do dispositivo, com um potencial mais elevado 𝑉+ no terminal 𝑎 do dispositivo que no terminal 𝑏. 11 Como existe um circuito fechado ligando os terminais da bateria e a diferença de potencial elétrico 𝑉 produzida pela bateria é constante, uma corrente constante 𝑖 atravessa o circuito, no sentido do terminal 𝑎 para o terminal 𝑏. A quantidade de carga 𝑑𝑞 que atravessa o circuito em um intervalo de tempo 𝑑𝑡 é igual a 𝑖𝑑𝑡. Ao completar o circuito, a carga 𝑑𝑞 tem seu potencial elétrico reduzido de 𝑉 e, portanto, sua energia potencial é reduzida de um valor dado por (26-25) 𝑑𝑈 = 𝑉𝑑𝑞 = 𝑉𝑖𝑑𝑡. Fig. 26-13 𝑉+ 𝑉− De acordo com a lei de conservação da energia, a redução da energia potencial elétrica no percurso de 𝑎 a 𝑏 deve ser acompanhada por uma conversão da energia para outra forma qualquer. A potência 𝑃 associada a essa conversão é a taxa de transferência de energia 𝑑𝑈/𝑑𝑡, que, de acordo com a Eq. (26-25) 𝑑𝑈 = 𝑉𝑖𝑑𝑡 , pode ser expressa na forma (26-26) 𝑃 = 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = 𝑉𝑖 (taxa de transferência de energia elétrica). Além disso, 𝑃 é a taxa com a qual a energia é transferida da bateria para o dispositivo. Se o dispositivo é um motor acoplado a uma carga mecânica, a energia se transforma no trabalho realizado pelo motor sobre a carga. Se o dispositivo é uma bateria recarregável, a energia se transforma na energia química armazenada na bateria. Se o dispositivo é um resistor, a energia se transforma em energia térmica e tende a provocar um aquecimento do resistor. 12 De acordo com a Eq. (26-26) 𝑃 = 𝑉𝑖 , a unidade de potência elétrica é o volt- ampère (𝑉. 𝐴), mas a unidade de potência elétrica também pode ser escrita na forma 1 𝑉. 𝐴 = 1 𝐽 𝐶 1 𝐶 𝑠 = 1 𝐽 𝑠 = 1 𝑊. Fig. 26-13 𝑉+ 𝑉− Quando um elétron atravessa um resistor com velocidade de deriva constante, sua energia cinética média permanece constante e a energia potencial elétrica perdida é convertida em energia térmica do resistor. Em escala microscópica, essa conversão de energia ocorre por meio de colisões entre os elétrons e as moléculas do resistor, o que leva a um aquecimento do resistor. A energia mecânica convertida em energia térmica é dissipada (perdida), já que o processo não pode ser revertido. No caso de um resistor ou outro dispositivo resistivo, podemos combinar a equação (26-8) [𝑅 = 𝑉/𝑖] com a equação (26-26) [𝑃 = 𝑉𝑖] para obter, para a taxa de dissipação de energia elétrica devido à resistência, as seguintes expressões: (26-27) e (26-28) Atenção! É preciso ter em mente que as Eqs. (26-27) e (26-28) são menos gerais que a Eq. (26-26). A relação 𝑃 = 𝑉𝑖 se aplica a qualquer tipo de transferência de energia elétrica; as relações 𝑃 = 𝑅𝑖2 e 𝑃 = 𝑉2/𝑅 se aplicam apenas à conversão de energia elétrica em energia térmica em um componente resistivo. 13 𝑃 = 𝑅𝑖2 = 𝑉2 𝑅 . (dissipação resistiva) 𝑎 𝑏 𝑉+ 𝑉− 𝑅 Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 18 e 45. Exercícios Complementares: 15, 17, 21, 22, 23, 27, 29, 31, 33, 39, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 51 e 53. 14 ·18 Um fio com 4,00 𝑚 de comprimento e 6,00 𝑚𝑚 de diâmetro tem uma resistência de 15,0 𝑚Ω. Uma diferença de potencial de 23,0 𝑉 é aplicada às extremidades do fio. (a) Qual é a corrente no fio? (b) Qual é o módulo da densidade de corrente? (c) Calcule a resistividade do material do fio. (d) Identifique o material com o auxílio da Tabela 26-1. Dicas: em (a) use 𝑖 = 𝑉/𝑅. Em (b) use 𝐽 = 𝑖/𝐴, onde 𝐴 = 𝜋𝑟2. Em (c) use 𝑅 = 𝜌𝐿/𝐴. Em (d) compare o resultado obtido em (c) com os valores das resistividades dos materiais da Tabela 26-1. Respostas: (a) 𝑖 = 1,53 × 103 𝐴. (b) 𝐽 = 5,41 × 107 𝐴/𝑚2. (c) 𝜌 = 1,06 × 10−7 Ω. 𝑚. (d) Platina. 𝑑 𝑖 𝐿 15 ·45 Um aquecedor de ambiente de 1250 𝑊 foi projetado para funcionar com 115 𝑉. (a) Qual é a corrente consumida pelo aparelho? (b) Qual é a resistência do elemento de aquecimento? (c) Qual é a energia térmica produzida pelo aparelho em 1,0 ℎ? Dicas: faça um desenho para representar a situação física descrita no enunciado do problema. Em (a) use 𝑃 = 𝑖 𝑉. Em (b) use 𝑃 = 𝑉2/𝑅. Em (c) use 𝑃 = 𝑑𝑈/𝑑𝑡. Respostas: (a) 𝑖 = 10,9 𝐴. (b) 𝑅 = 10,6 Ω. (c) 𝑈 = 4,5 × 106 𝐽. Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://www.embarcados.com.br/lei-de-ohm/ • https://www.myprotectionguide.com/about-substations.html 16