Slide - Capacitores em Paralelo e em Série Capacitor Com um Dielétrico - Física 2 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Capacitores em paralelo e em série • Capacitor com um dielétrico Resumo do que foi estudado na aula passada... Capacitor e Capacitância. Um capacitor é formado por dois condutores isolados (as placas) com cargas +𝑞 e −𝑞. A capacitância 𝐶 de um capacitor é definida pela equação 𝑞 = 𝐶𝑉 = 𝐶(𝑉+ − 𝑉−). (25-1) A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área 𝐴 separadas por uma distância 𝑑 é dada por (25-9) 𝐶 = 𝜖0𝐴 𝑑 (capacitor de placas paralelas). 𝐸 A face inferior da placa de cima tem carga +𝑞 A face superior da placa de baixo tem carga −𝑞 𝑑 𝑉 𝐴 +𝑞 −𝑞 Linhas de campo elétrico 𝐸 𝑉+ 𝑉− 2 𝐶 = 2𝜋𝜖0 𝐿 ln 𝑏 𝑎 (capacitor cilíndrico). (25-14) A capacitância de um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros longos coaxiais de comprimento 𝐿 e raios 𝑎 e 𝑏 é dada por 𝐶 = 4𝜋𝜖0 𝑎𝑏 𝑏 − 𝑎 (capacitor esférico). (25-17) A capacitância de um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios 𝑎 e 𝑏 é dada por A capacitância de uma esfera isolada de raio 𝑅 é dada por 𝐶 = 4𝜋𝜖0𝑅 esfera isolada . (25-18) 3 𝐸 25-3 CAPACITORES EM PARALELO E EM SÉRIE Os capacitores de um circuito ou de parte de um circuito às vezes podem ser substituídos por um capacitor equivalente, ou seja, um único capacitor com a mesma capacitância que o conjunto de capacitores. Usando essas substituições, podemos simplificar os circuitos e calcular com mais facilidade seus parâmetros. Vamos agora discutir as duas combinações básicas de capacitores que permitem fazer esse tipo de substituição. Capacitores em Paralelo A Fig. 25-8a mostra um circuito elétrico com 3 capacitores ligados em paralelo à bateria 𝐵. A expressão “em paralelo” significa que uma das placas de um dos capacitores está ligada diretamente a uma das placas dos outros capacitores, e a outra placa está ligada diretamente à outra placa dos outros capacitores, de modo que existe a mesma diferença de potencial 𝑉 entre as placas dos três capacitores. (Na Fig. 25-8a, essa diferença de potencial é estabelecida pela bateria 𝐵.) Em geral, Fig. 25-8a Fig. 25-8b quando uma diferença de potencial 𝑉 é aplicada a vários capacitores ligados em paralelo, a diferença de potencial 𝑉 é a mesma entre as placas de todos os capacitores e a carga total 𝑞 armazenada nos capacitores é a soma das cargas armazenadas individualmente nos capacitores. A Fig. 25-8b mostra o capacitor equivalente (com capacitância equivalente 𝐶𝑒𝑞) usado para substituir os 3 capacitores (de capacitâncias 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3) da Fig. 25-8a. 4 Capacitor equivalente Quando analisamos um circuito que contém capacitores em paralelo, podemos simplificá-lo usando a seguinte regra: Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total 𝑞 e a mesma diferença de potencial 𝑉 que os capacitores originais. Para obter o valor de 𝐶𝑒𝑞 na Fig. 25-8b, usamos a Eq. (25-1) [𝑞 = 𝐶𝑉] para determinar a carga dos capacitores: 𝑞1 = 𝐶1𝑉, 𝑞2 = 𝐶2𝑉 e 𝑞3 = 𝐶3𝑉. A carga total dos capacitores da Fig. 25-8a é, portanto, 𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑉. 5 Fig. 25-8a Fig. 25-8b Capacitor equivalente A capacitância equivalente 𝐶𝑒𝑞, com a mesma carga total 𝑞 e a mesma diferença de potencial 𝑉 que os capacitores originais, pode ser obtida a partir da seguinte equação: 𝐶𝑒𝑞 = 𝑞 𝑉 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑞 = 𝐶𝑒𝑞𝑉 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3. Esse resultado pode ser facilmente generalizado para 𝑛 de capacitores ligados em paralelo: (25-19) 𝐶𝑒𝑞 = ෍ 𝑗=1 𝑛 𝐶𝑗 𝑛 capacitores em paralelo . Capacitores em Série A Fig. 25-9a mostra 3 capacitores ligados em série à bateria 𝐵. A expressão “em série” significa que os capacitores são ligados em sequência, um após outro, e uma diferença de potencial 𝑉 é aplicada às extremidades do conjunto. (Na Fig. 25-9a, a diferença de potencial 𝑉 é estabelecida pela bateria 𝐵.) As diferenças de potencial entre as placas dos capacitores fazem com que todos armazenem a mesma carga 𝑞. Quando uma diferença de potencial 𝑉 é aplicada a vários capacitores ligados em série, a carga 𝑞 armazenada é a mesma em todos os capacitores e a soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual à diferença de potencial aplicada 𝑉. A Fig. 25-9b mostra o capacitor equivalente (com capacitância equivalente 𝐶𝑒𝑞) usado para substituir os 3 capacitores (de capacitâncias 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3) da Fig. 25-9a. 6 Fig. 25-9a Fig. 25-9b Capacitor equivalente Quando analisamos um circuito que contém capacitores em série, podemos simplificá-lo usando a seguinte regra: Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga 𝑞 e a mesma diferença de potencial total 𝑉 que os capacitores originais. 7 Dois fatos importantes a respeito dos capacitores em série são os seguintes: 1) Quando a carga é transferida de um capacitor para outro em um conjunto de capacitores em série, deve haver apenas um percurso para a carga, como o percurso da placa superior do capacitor 3 para a placa inferior do capacitor 2 na Fig. 25-9a. Quando houver mais de um percurso, isso significa que os capacitores não estão em série. 2) A bateria produz cargas apenas nas duas placas às quais está ligada diretamente (no caso da Fig. 25-9a, a placa inferior do capacitor 3 e a placa superior do capacitor 1). As cargas produzidas nas outras placas se devem ao deslocamento de cargas já existentes nessas placas. Assim, por exemplo, na Fig. 25-9a, a parte do circuito envolvida por linhas tracejadas está isolada eletricamente do resto do circuito e, portanto, a carga total 𝑞 dessa parte do circuito não pode ser modificada pela bateria, embora possa ser redistribuída. Fig. 25-9a Fig. 25-9b Capacitor equivalente 8 Para obter o valor de 𝐶𝑒𝑞 na Fig. 25-9b, usamos a Eq. (25-1) [𝑞 = 𝐶𝑉] para determinar as diferenças de potencial entre as placas dos capacitores: 𝑉1 = 𝑞 𝐶1 , 𝑉2= 𝑞 𝐶2 e 𝑉3 = 𝑞 𝐶3 . A diferença de potencial total 𝑉 produzida pela bateria é a soma das três diferenças de potencial. Assim, 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑞 1 𝐶1 + 1 𝐶2 + 1 𝐶3 . A capacitância equivalente 𝐶𝑒𝑞 é, portanto, 𝐶𝑒𝑞 = 𝑞 𝑉 = 1 1 𝐶1 + 1 𝐶2 + 1 𝐶3 1 𝐶𝑒𝑞 = 1 𝐶1 + 1 𝐶2 + 1 𝐶3 . Fig. 25-9a Fig. 25-9b Capacitor equivalente Este resultado pode ser facilmente generalizado para 𝑛 de capacitores ligados em série: (25-20) 1 𝐶𝑒𝑞 = ෍ 𝑗=1 𝑛 1 𝐶𝑗 𝑛 capacitores em série . 25-5 CAPACITOR COM UM DIELÉTRICO Quando preenchemos o espaço entre as placas de um capacitor com um dielétrico, que é um material isolante como plástico ou óleo mineral, o que acontece com a capacitância? O cientista inglês Michael Faraday foi o primeiro a investigar o assunto, em 1837. Usando um equipamento simples como o que aparece na Fig. 25-12, Faraday constatou que a capacitância era multiplicada por um fator numérico 𝜅, que chamou de constante dielétrica do material isolante. Na Fig. 25-12, o dispositivo completo (o segundo da esquerda para a direita) é um capacitor esférico formado por uma esfera central de bronze e uma casca esférica concêntrica feita do mesmo material. Faraday colocou vários dielétricos diferentes no espaço entre a esfera central e a casca esférica. 9 Fig. 25-12 Material Constante Dielétrica, 𝜅 Rigidez Dielétrica, 𝐸𝑚á𝑥 (𝑘𝑉/𝑚𝑚) Ar (1 atm) 1,00054 3 Poliestireno 2,6 24 Papel 3,5 16 Porcelana 6,5 5,7 Silício 12 - Etanol 25 - Titanato de estrôncio 310 8 A tabela abaixo mostra alguns materiais dielétricos e as respectivas constantes dielétricas. Por definição, a constante dielétrica do vácuo é igual à unidade. Como o ar é constituído principalmente de espaço vazio, sua constante dielétrica é apenas ligeiramente maior que a do vácuo. Até mesmo o papel comum pode aumentar significativamente a capacitância de um capacitor, e algumas substâncias, como o titanato de estrôncio, podem fazer a capacitância aumentar mais de duas ordens de grandeza. Outro efeito da introdução de um dielétrico é limitar a diferença de potencial que pode ser aplicada entre as placas a um valor 𝑉𝑚á𝑥, chamado potencial de ruptura. Quando esse valor é excedido, o material dielétrico sofre um processo conhecido como ruptura e passa a permitir a passagem de cargas de uma placa para a outra. A todo material dielétrico pode ser atribuída uma rigidez dielétrica (𝐸𝑚á𝑥), que corresponde ao máximo valor do campo elétrico que o material pode tolerar sem que ocorra o processo de ruptura. 10 Faraday descobriu que, se um dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas, a capacitância do capacitor é (25-27) 𝐶 = 𝜅𝐶ar, em que 𝐶ar é o valor da capacitância com apenas ar entre as placas. Quando o material é titanato de estrôncio, por exemplo, que possui uma constante dielétrica 𝜅 de 310, a capacitância é multiplicada por 310. 11 𝜅2 = 3,5 Capacitância de um capacitor com ar entre as placas: 𝐶 = 1,0𝐶ar. Capacitância de um capacitor com papel entre as placas: 𝐶 = 3,5𝐶ar. 𝜅1 = 1,0 𝜅3 = 12 Capacitância de um capacitor com silício entre as placas: 𝐶 = 12𝐶ar. 𝜅2 𝜅3 𝜅1 12 A Fig. 25-13 mostra, de forma esquemática, os resultados dos experimentos de Faraday. Na Fig. 25-13a, a bateria mantém uma diferença de potencial 𝑉 entre as placas. Quando uma placa de dielétrico é introduzida entre as placas, a carga 𝑞 das placas é multiplicada por 𝜅; a carga adicional é fornecida pela bateria. Na Fig. 25-13b, não há nenhuma bateria e, portanto, a carga 𝑞 não muda quando a placa de dielétrico é introduzida; nesse caso, a diferença de potencial 𝑉 entre as placas é dividida por 𝜅. As duas observações são compatíveis (por meio da relação 𝑞 = 𝐶𝑉) com um aumento da capacitância causado pela presença do dielétrico. Fig. 25-13a Fig. 25-13b 𝑉 = constante 𝑞 = constante 𝑞 = 𝐶ar𝑉 𝑉 = 𝑞 𝐶ar 𝑞′ = 𝜅𝐶ar𝑉 𝑉′ = 1 𝜅 𝑞 𝐶ar = 𝑞 = 𝑉 𝐶ar 𝐶 𝐶ar 𝐶 LEMBRETE: 𝑞 = 𝐶𝑉 Assim, o módulo do campo elétrico 𝐸 produzido por uma carga puntual 𝑞 no interior de um dielétrico com constante dielétrica 𝜅 é dado pela seguinte forma modificada da Eq. (23-15): 𝜅 𝑟 𝑞 Dielétrico (madeira, vidro, borracha, ...) (25-28) 𝐸 = 1 4𝜋𝜅𝜖0 𝑞 𝑟2 . Do mesmo modo, a expressão do campo elétrico 𝐸 nas proximidades da superfície de um condutor imerso em um dielétrico (veja a Eq. (23- 11)) é a seguinte: (25-29) 𝐸 = 𝜎 𝜅𝜖0 . 𝜅 Condutor (cobre, alumínio, ...) Como 𝜅 é sempre maior que a unidade, as Eqs. (25-28) e (25-29) mostram que, para uma dada distribuição de carga, o efeito de um dielétrico é diminuir o valor do campo elétrico que existe no espaço entre as cargas. 𝜎 𝐸 = 𝜎 𝜅𝜖0 13 Dielétrico (madeira, vidro, borracha, ...) 𝐸 = 0 𝐸 = 1 4𝜋𝜅𝜖0 𝑞 𝑟2 A Eq. (25-27) 𝐶 = 𝜅𝐶ar sugere que o efeito de um dielétrico pode ser descrito da seguinte forma: Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica 𝜅, a permissividade elétrica do vácuo 𝜖0 deve ser substituída por 𝜅𝜖0 em todas as equações. Dielétricos: Uma Visão Atômica O que acontece, em termos atômicos e moleculares, quando submetemos um dielétrico a um campo elétrico externo? Existem duas possibilidades, dependendo do tipo de molécula. 1. Dielétricos polares. As moléculas de alguns dielétricos, como a água, por exemplo, possuem um momento dipolar elétrico Ԧ𝑝 permanente. Nesses materiais (conhecidos como dielétricos polares), os dipolos elétricos tendem a se alinhar com um campo elétrico aplicado 𝐸0, como mostra a Fig. 25-14b. Como as moléculas estão constantemente se chocando umas com as outras devido à agitação térmica, o alinhamento não é perfeito, mas tende a aumentar quando o campo elétrico 𝐸0 aumenta (ou quando a temperatura diminui, já que, nesse caso, a agitação térmica é menor). O alinhamento dos dipolos elétricos produz um campo elétrico 𝐸′ no sentido oposto ao do campo elétrico aplicado 𝐸0 e com um módulo, em geral, bem menor que o do campo aplicado. Fig. 25-14a Fig. 25-14b 2. Dielétricos apolares. Mesmo que não possuam um momento dipolar elétrico Ԧ𝑝 permanente, as moléculas adquirem um momento dipolar por indução quando são submetidas a um campo elétrico aplicado 𝐸0. Como foi discutido na Seção 24-4 (veja a Fig. 24-14), isso acontece porque o campo aplicado tende a “alongar” as moléculas, deslocando ligeiramente o centro das cargas negativas em relação ao centro das cargas positivas. 14 𝐸0 = 0 𝐸0 ≠ 0 A Fig. 25-15a mostra uma barra feita de um dielétrico apolar na ausência de um campo elétrico aplicado 𝐸0. Na Fig. 25-15b, um campo elétrico 𝐸0 é aplicado por meio de um capacitor, cujas placas estão carregadas da forma mostrada na figura. O resultado é uma ligeira separação dos centros das cargas positivas e negativas no interior da barra de dielétrico, que faz com que uma das superfícies da barra fique positiva (por causa das extremidades positivas dos dipolos nessa parte da barra) e a superfície oposta fique negativa (por causa das extremidades negativas dos dipolos). A barra como um todo permanece eletricamente neutra e no interior da barra não existe excesso de cargas positivas ou negativas em nenhum elemento de volume. A Fig. 25-15c mostra que as cargas induzidas nas superfícies do dielétrico produzem um campo elétrico 𝐸′ no sentido oposto ao do campo elétrico aplicado 𝐸0. O campo elétrico resultante, 𝐸, no interior do dielétrico (que é a soma vetorial dos campos 𝐸0 e 𝐸′) tem a mesma direção que 𝐸0, mas é menor em módulo. Tanto o campo elétrico produzido pelas cargas superficiais dos dipolos induzidos nas moléculas apolares (Fig. 25-15c) como o campo elétrico produzido pelos dipolos permanentes das moléculas polares (Fig. 25-14) apontam no sentido oposto ao do campo aplicado 𝐸0. Assim, tanto os dielétricos polares como os dielétricos apolares enfraquecem o campo elétrico na região onde se encontram, que pode ser o espaço entre as placas de um capacitor. Fig. 25-15a Fig. 25-15b Fig. 25-15c 15 Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 10 e 42. Exercícios Complementares: 9, 11, 12, 16, 19, 21, 22, 24, 25, 40, 46, 48, 49 e 50. 16 17 ·10 Determine a capacitância equivalente do circuito da Fig. 25-28 para 𝐶1 = 10,0 𝜇𝐹, 𝐶2 = 5,00 𝜇𝐹 e 𝐶3 = 4,00 𝜇𝐹. Dicas: use 1 𝐶𝑒𝑞 = σ𝑗=1 𝑛 1 𝐶𝑗 para capacitores em série e 𝐶𝑒𝑞 = σ𝑗=1 𝑛 𝐶𝑗 para capacitores em paralelo. Resposta: 𝐶𝑒𝑞 = 7,33 𝜇𝐹. Fig. 25-28 ·42 Um capacitor de placas paralelas, cujo dielétrico é o ar, tem uma capacitância de 50 𝑝𝐹. (a) Se a área das placas é 0,35 𝑚2, qual é a distância entre as placas? (b) Se a região entre as placas for preenchida por um material com 𝜅 = 5,6, qual será a nova capacitância? Dicas: faça um desenho para representar a situação física descrita no enunciado do problema. 1 𝑝𝐹 = 1 × 10−12 𝐹. (a) 𝐶ar = 𝜖0𝐴 𝑑 para um capacitor de placas paralelas. (b) 𝐶 = 𝜅𝐶ar. Respostas: (a) 𝑑 = 0,062 𝑚. (b) 𝐶 = 280 𝑝𝐹. Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://www.topgadget.com.br/howto/eletronica/pra-que-servem-e-quais-sao-as-aplicacoes-dos- capacitores.htm 18