Slide - Potencial Elétrico Superfícies Equipotenciais e O Campo Elétrico - Física 2 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Potencial produzido por uma partícula carregada • Potencial produzido por um dipolo elétrico • Potencial produzido por uma distribuição contínua de carga Resumo do que foi estudado na aula passada... Energia Potencial Elétrica. Se uma partícula de partícula de prova 𝑞0 é colocada em um ponto no qual o potencial elétrico produzido por um objeto carregado é 𝑉, a energia potencial elétrica 𝑈 do sistema partícula-objeto carregado é dada por (24-3) 𝑈 = 𝑞0𝑉. Se uma partícula de carga 𝑞 atravessa uma região onde existe uma diferença de potencial 𝛥𝑉, a variação da energia potencial elétrica 𝛥𝑈 é dada por Δ𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = 𝑞𝑉𝑓 − 𝑞𝑉𝑖 = 𝑞Δ𝑉. (24-4) 2 Energia Cinética. De acordo com a lei de conservação da energia mecânica, se uma partícula atravessa uma região onde existe uma variação Δ𝑉 do potencial elétrico sem ser submetida a uma força externa, a variação da energia cinética Δ𝐾 da partícula é dada por Δ𝐾 = −𝑞Δ𝑉 = −𝑞 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 . (24-9) 𝑂 𝑥 𝑧 𝑦 𝐸 𝑖 𝑓 𝑞 𝑉𝑖 𝑉𝑓 𝑞0 𝑃 Se a partícula atravessa uma região onde existe uma variação Δ𝑉 do potencial elétrico enquanto é submetida a uma força externa Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡 que realiza um trabalho 𝑊𝑒𝑥𝑡 sobre a partícula, a variação da energia cinética Δ𝐾 da partícula é Δ𝐾 = −Δ𝑈 + 𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑞Δ𝑉 + 𝑊𝑒𝑥𝑡. (24-11) 3 Superfícies Equipotenciais. Os pontos que pertencem a uma superfície equipotencial possuem o mesmo potencial elétrico. O trabalho 𝑊 = −𝑞(𝑉𝑓 − 𝑉𝑖) realizado sobre uma carga de prova para deslocá-la de uma superfície equipotencial para outra não depende da localização dos pontos inicial e final nem da trajetória entre os pontos [pois 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖] . O campo elétrico 𝐸 é sempre perpendicular à superfície equipotencial correspondente. Cálculo de V a partir de 𝑬. A diferença de potencial elétrico Δ𝑉 entre dois pontos 𝑖 e 𝑓 é dada por (24-18) Δ𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න 𝑖 𝑓 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 . Resumo do que foi estudado na aula passada... 𝑂 𝑥 𝑧 𝑦 Ԧ𝐹𝐸 𝑖 𝑓 𝑞 𝑉𝑖 𝑉𝑓 Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡 24-3 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA Vamos agora usar a Eq. (24-18) 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − ׬𝑖 𝑓 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 para obter uma expressão para o potencial elétrico criado no espaço por uma carga puntual, tomando como referência um potencial zero no infinito. Considere um ponto 𝑃 situado a uma distância 𝑅 de uma partícula fixa de carga positiva 𝑞 (Fig. 24-9). Para usar a Eq. (24- 18), imaginamos que uma carga de prova 𝑞0 é deslocada do ponto 𝑃 até o infinito. Como a trajetória seguida pela carga de prova é irrelevante, podemos escolher a mais simples: uma reta que liga a partícula fixa ao ponto 𝑃 e se estende até o infinito. Fig. 24-9 Nesse caso, a Eq. (24-18) se torna Para usar a Eq. (24-18), precisamos calcular o produto escalar 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 = 𝐸 Ƹ𝑟 ⋅ Ƹ𝑟𝑑𝑟 = 𝐸𝑑𝑟. (24-22) 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න 𝑟𝑖 𝑟𝑓 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 = − න 𝑅 ∞ 𝐸𝑑𝑟 . Vamos fazer 𝑉𝑖 = 𝑉 𝑟𝑖 = 𝑅 = 𝑉 e 𝑉𝑓 = 𝑉 𝑟𝑓 = ∞ = 0. O módulo do campo elétrico 𝐸 no ponto onde se encontra a carga de prova 𝑞0 é dado pela Eq. (22-3): 𝐸 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 . (24-23) (24-24) 4 𝑖 𝑓 = ∞ ... + 𝑞 𝑞0 Com essas substituições, a Eq. (24-23) se torna Fig. 24-10 0 − 𝑉 = − න 𝑅 ∞ 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 𝑑𝑟 = − 𝑞 4𝜋𝜖0 න 𝑅 ∞ 𝑟−2𝑑𝑟 = 𝑞 4𝜋𝜖0 1 𝑟 ቚ 𝑅 ∞ = 𝑞 4𝜋𝜖0 lim 𝑟→∞ 1 𝑟 − 1 𝑅 Explicitando 𝑉 e substituindo 𝑅 por 𝑟, temos 𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑅 . (24-25) 𝑉 = 𝑉 𝑟 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟 como o potencial elétrico 𝑉(𝑟) produzido por uma carga 𝑞 a uma distância 𝑟 da carga. (24-26) A Fig. 24-10 mostra um gráfico gerado em computador da Eq. (24-26) para uma partícula de carga positiva; o valor absoluto de 𝑉(𝑟) está plotado no eixo vertical. Note que o valor absoluto de 𝑉 aumenta rapidamente quando 𝑟 se aproxima de zero. Na verdade, de acordo com a Eq. (24-26), 𝑉 → ∞ quando 𝑟 → 0, embora essa tendência não seja visível no gráfico. A Eq. (24-26) também pode ser usada para calcular o potencial elétrico do lado de fora ou na superfície de uma distribuição de cargas com simetria esférica. Podemos provar esse fato usando um dos teoremas de cascas das Seções 21-1 e 23-6 para substituir a distribuição esférica por uma carga puntual de mesmo valor situada no centro da distribuição. 𝑉(𝑟) 𝑥 𝑦 5 Uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo; uma partícula de carga negativa produz um potencial elétrico negativo. Fig. 24-13a 𝑃 𝑧 𝑟(+) 𝑟(−) 𝑟 𝑑 +𝑞 −𝑞 ≈ 𝑟(−) − 𝑟(+) 𝜃 𝑂 + - Potencial Produzido por um Grupo de Partículas Carregadas Podemos calcular o potencial produzido em um ponto por um grupo de partículas carregadas com a ajuda do princípio de superposição. Usando a Eq. (24-26) 𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟 com o sinal da carga incluído, calculamos separadamente os potenciais produzidos pelas cargas no ponto 𝑃 dado e somamos os potenciais. No caso de 𝑛 cargas, o potencial resultante (ou total) em 𝑃 é 𝑉 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑉𝑖 = 1 4𝜋𝜖0 ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑞𝑖 𝑟𝑖 𝑛 partículas carregadas . (24-27) 𝑂 2 3 4 𝑛 1 𝑃 Na Eq. (24-27), 𝑞𝑖 é o valor da carga de ordem 𝑖 e 𝑟𝑖 é a distância entre o ponto 𝑃 e a carga de ordem 𝑖. 24-4 POTENCIAL PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO Vamos agora aplicar a Eq. (24-27) a um dipolo elétrico para calcular o potencial elétrico em um ponto arbitrário 𝑃 da Fig. 24-13a. No ponto 𝑃, a partícula positiva (que está a uma distância 𝑟(+)) produz um potencial 𝑉(+) e a partícula negativa (que está a uma distância 𝑟(−)) produz um potencial 𝑉(−). Assim, de acordo com a Eq. (24-27), o potencial elétrico resultante no ponto 𝑃 é dado por 𝑉 = ෍ 𝑖=1 2 𝑉𝑖 = 𝑉(+) + 𝑉(−) = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟 + + −𝑞 𝑟 − = 𝑞 4𝜋𝜖0 𝑟(−) − 𝑟(+) 𝑟 + 𝑟(−) . (24-29) 6 Os dipolos que ocorrem naturalmente, como os que estão presentes em muitas moléculas, têm dimensões reduzidas. Isso significa que, normalmente, estamos interessados apenas em pontos relativamente distantes do dipolo, tais que 𝑟 ≫ 𝑑, em que 𝑟 é a distância entre o ponto 𝑃 e o centro 𝑂 do dipolo e 𝑑 é a distância entre as cargas. Nessas condições, podemos supor que os segmentos de reta entre as cargas e o ponto 𝑃 são praticamente paralelos e que a diferença de comprimento entre esses segmentos de reta é um dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é 𝑑 (Fig. 24-13b). Além disso, a diferença é tão pequena que o produto dos comprimentos é aproximadamente 𝑟2. Assim sendo, 𝑟 + 𝑟(−) ≈ 𝑟2 e cos 𝜃 ≈ 𝑟 − − 𝑟 + 𝑑 𝑟 − − 𝑟 + ≈ 𝑑 cos 𝜃 . Substituindo esses valores na Eq. (24-29) 𝑉 = 𝑞 4𝜋𝜖0 𝑟(−)− 𝑟(+) 𝑟 + 𝑟(−) , obtemos para 𝑉 o valor aproximado 𝑉 ≈ 𝑞 4𝜋𝜖0 𝑑 cos 𝜃 𝑟2 (24-30) 𝑉 ≈ 1 4𝜋𝜖0 𝑝 cos 𝜃 𝑟2 dipolo elétrico , em que 𝑝 (= 𝑞𝑑) é o módulo do momento dipolar elétrico Ԧ𝑝 definido na Seção 22-3. 7 Fig. 24-13b 𝑟(+) 𝑟(−) 𝑑 𝑟(−) − 𝑟(+) 𝜃 𝑧 +𝑞 −𝑞 𝑂 + - Fig. 24-13a 𝑃 𝑧 𝑟(+) 𝑟(−) 𝑟 𝑑 +𝑞 −𝑞 ≈ 𝑟(−) − 𝑟(+) 𝜃 𝑂 + - 𝑃 𝑟 𝜃 𝜃 Momento Dipolar Induzido Muitas moléculas, como as da água (H2O), do ácido clorídrico (HCl), do hidróxido de amônia NH3 ou do dióxido de enxofre (SO2), possuem um momento dipolar elétrico permanente e são chamadas de moléculas polares. Em outras moléculas (conhecidas como moléculas apolares, como as do dióxido de carbono (CO2), do tetracloreto de carbono (CCl4) ou do metano (CH4)) e em todos os átomos isolados, os centros das cargas positivas e negativas coincidem (Fig. 24-14a) e, portanto, o momento dipolar elétrico Ԧ𝑝 é zero. Quando um átomo, ou uma molécula apolar, é submetido a um campo elétrico externo 𝐸, o campo distorce as órbitas eletrônicas e separa os centros das cargas positivas e negativas (Fig. 24- 14b). Como a carga dos elétrons é negativa, eles são deslocados no sentido oposto (pois Ԧ𝐹𝐸 = 𝑞𝐸) ao do campo elétrico. Esse deslocamento dá origem a um momento dipolar elétrico Ԧ𝑝 que aponta na direção do campo elétrico 𝐸. Nesse tipo de situação, dizemos que o momento dipolar elétrico é induzido pelo campo e que o átomo, ou a molécula, é polarizado pelo campo (ou seja, ele passa a ter um lado positivo e um lado negativo). Quando o campo é removido, o momento dipolar induzido e a polarização desaparecem. Fig. 24-14a Fig. 24-14b 8 𝐸 = 0 Cl H Ԧ𝑝 C O Ԧ𝑝2 O Ԧ𝑝1 Ԧ𝑝 = Ԧ𝑝1 + Ԧ𝑝2 = 0 Molécula polar Molécula apolar 9 24-5 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA Quando uma distribuição de carga é contínua (como é o caso de uma barra ou um disco uniformemente carregado), não podemos usar o somatório da Eq. (24-27) 𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 σ𝑖=1 𝑛 𝑞𝑖 𝑟𝑖 para calcular o potencial 𝑉 em um ponto 𝑃. Em vez disso, devemos escolher um elemento de carga 𝑑𝑞, calcular o potencial elétrico infinitesimal 𝑑𝑉 produzido por 𝑑𝑞 no ponto 𝑃 e integrar 𝑑𝑉 para toda a distribuição de carga. Vamos tomar novamente o potencial no infinito como nulo 𝑉 𝑟 → ∞ = 0 . Tratando o elemento de carga 𝑑𝑞 como uma partícula, podemos usar a Eq. (24- 26) 𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟 para expressar o potencial 𝑑𝑉 no ponto 𝑃 produzido por 𝑑𝑞: 𝑑𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 𝑑𝑞 𝑟 𝑑𝑞 positivo ou negativo . (24-31) Nesta equação, 𝑟 é a distância entre 𝑃 e 𝑑𝑞. Para calcular o potencial resultante 𝑉 no ponto 𝑃, integramos a Eq. (24-31) para todos os elementos de carga: (24-32) න𝑑𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 න 𝑑𝑞 𝑟 𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 න 𝑑𝑞 𝑟 . Vamos agora examinar duas distribuições contínuas de carga: uma linha de carga e um disco carregado. 𝑂 𝑑𝑞 𝑃 𝑟 ∞ 𝑉 𝑟 → ∞ = 0 Linha de Carga Na Fig. 24-15b, uma barra fina, isolante, de comprimento 𝐿, possui uma densidade linear de carga positiva 𝜆. Vamos determinar o potencial elétrico 𝑉 produzido pela barra no ponto 𝑃, situado a uma distância perpendicular 𝑑 da extremidade esquerda da barra. Fig. 24-15b 𝑃 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 Começamos por considerar um elemento de comprimento 𝑑𝑥 da barra, como mostra a Fig. 24-15c. A carga 𝑑𝑞 desse elemento é dada por 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥. (24-33) 𝐿 10 O elemento de carga 𝑑𝑞 produz um potencial elétrico 𝑑𝑉 no ponto 𝑃, que está a uma distância 𝑟 = 𝑥2 + 𝑑2 1/2 . Tratando o elemento como uma partícula carregada, podemos usar a Eq. (24-31) para escrever o potencial 𝑑𝑉 como Fig. 24-15c 𝑃 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑟 𝑑𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 𝑑𝑞 𝑟 = 1 4𝜋𝜖0 𝜆𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑑2 1/2 . (24-34) Como a densidade linear de carga 𝜆 da barra é positiva e tomamos como referência 𝑉 𝑟 → ∞ = 0, sabemos, da Seção 24-3, que 𝑑𝑉 na Eq. (24-34) deve ser positivo. 0 𝐿 𝑟2 = 𝑑2 + 𝑥2 Agora estamos em condições de calcular o potencial resultante 𝑉 produzido pela barra no ponto 𝑃 integrando a Eq. (24-34) ao longo da barra, de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 𝐿 com o auxílio da integral 17 do Apêndice E. O resultado é o seguinte: න𝑑𝑉 = න 0 𝐿 1 4𝜋𝜖0 𝜆𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑑2 1/2 = 𝜆 4𝜋𝜖0 න 0 𝐿 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑑2 1/2 𝑉 = 𝜆 4𝜋𝜖0 ln(𝐿 + 𝐿2 + 𝑑2 1/2 − ln 𝑑) 𝑉 = 𝜆 4𝜋𝜖0 ln 𝐿 + 𝐿2 + 𝑑2 1/2 𝑑 . (24-35) Como 𝑉 é uma soma de valores positivos de 𝑑𝑉, deve ser um número positivo, o que é confirmado pelo fato de que o argumento do logaritmo é maior que 1 para qualquer par de valores de 𝐿 e 𝑑, já que o logaritmo natural de qualquer número maior que 1 é positivo. 11 𝑉 = 𝜆 4𝜋𝜖0 ln 𝑥 + 𝑥2 + 𝑑2 1/2 0 𝐿 Fig. 24-15c 𝑃 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑟 0 𝐿 Disco Carregado Fig. 24-16 𝑃 𝑟 𝑧 Na Seção 22-5, calculamos o módulo do campo elétrico em pontos do eixo central de um disco de plástico de raio 𝑅 com uma densidade de carga uniforme 𝜎. Vamos agora obter uma expressão para 𝑉, o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central (eixo 𝑧). Na Fig. 24-16, considere um elemento de área constituído por um anel de raio 𝑅′ e largura radial 𝑑𝑅′. A carga infinitesimal 𝑑𝑞 desse elemento de área 𝑑𝐴 está relacionada à densidade superficial de carga 𝜎 através da seguinte equação: 𝜎 = 𝑑𝑞 𝑑𝐴 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴 = 𝜎 2𝜋𝑅′ 𝑑𝑅′ . Como o ponto 𝑃 está no eixo central, todas as partes do elemento de carga estão à mesma distância 𝑟 do ponto. Com a ajuda da Fig. 24-16, podemos usar a Eq. (24-31) 𝑑𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 𝑑𝑞 𝑟 para escrever a contribuição do elemento de carga associado ao anel alaranjado para o potencial elétrico no ponto 𝑃 na forma 𝑑𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 𝑑𝑞 𝑟 = 1 4𝜋𝜖0 𝜎 2𝜋𝑅′ 𝑑𝑅′ 𝑧2 + 𝑅′2 . (24-36) Para calcular o potencial total, somamos (por integração) as contribuições de todos os anéis de 𝑅′ = 0 a 𝑅′ = 𝑅: 𝑉 = න𝑑𝑉 = න 0 𝑅 1 4𝜋𝜖0 𝜎 2𝜋𝑅′ 𝑑𝑅′ 𝑧2 + 𝑅′2 = 𝜎 2𝜖0 න 0 𝑅 𝑅′ 𝑑𝑅′ 𝑧2 + 𝑅′2 𝑉 = 𝜎 2𝜖0 𝑧2 + 𝑅2 − 𝑧 . (24-37) 12 2𝜋𝑅′ 𝑑𝑅′ Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 17, 21 e 24. Exercícios Complementares: 12, 13, 14, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 28, 29 e 30. 13 ··17 Qual é o potencial elétrico produzido pelas quatro partículas da Fig. 24-38 no ponto 𝑃, se 𝑉 = 0 no infinito, 𝑞 = 5,00𝑓𝐶 (= 5,00 × 10−15 𝐶) e 𝑑 = 4,00 𝑐𝑚 (= 4,00 × 10−2 𝑚)? Dica: use a Eq. (24-27): em que 𝜖0 = 8,85 × 10−12 𝐶2/(𝑁. 𝑚2). Resposta: 𝑉 = 5,6 × 10−4 𝑉. 𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 ෍ 𝑖=1 4 𝑞𝑖 𝑟𝑖 , 14 ·21 A molécula de amoníaco (NH3) possui um dipolo elétrico permanente de 1,47 𝐷, em que 1 𝐷 = 1 𝑑𝑒𝑏𝑦𝑒 = 3,34 × 10−30 𝐶. 𝑚. Calcule o potencial elétrico produzido por uma molécula de amoníaco em um ponto do eixo do dipolo a uma distância de 52,0 𝑛𝑚. (Considere 𝑉 = 0 no infinito.) Dicas: faça um desenho que represente a situação física descrita no enunciado do problema. 𝑉 ≈ 1 4𝜋𝜖0 𝑝 cos 𝜃 𝑟2 , onde 𝜃 = 0 (por que? ). Resposta: 𝑉 ≈ 1,63 × 10−5 𝑉. Fig. 24-38 1 2 4 3 15 ·24 Na Fig. 24-43, uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída 𝑄 = −25,6 𝑝𝐶 tem a forma de um arco de circunferência de raio 𝑅 = 3,71 𝑐𝑚 e ângulo central 𝜙 = 120°. Com 𝑉 = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto 𝑃, o centro de curvatura da barra? Dicas: 𝑑𝑉 = 1 4𝜋𝜖0 𝑑𝑞 𝑟 , onde 𝑟 = 𝑅 e 𝑝𝐶 = 10−12 𝐶. Resposta: 𝑉 = −6,20 𝑉 Fig. 24-43 Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://www.resumoescolar.com.br/fisica/o-campo-do-potencial-eletrico-e-sua-representacao/ 16