Slide - Capacitância Cálculo da Capacitância - Física 2 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Potencial elétrico • Superfícies equipotenciais e o campo elétrico Resumo do que foi estudado na aula passada... Aplicações da Lei de Gauss. Usando a lei de Gauss e, em alguns casos, princípios de simetria, é possível demonstrar várias propriedades importantes de sistemas eletrostáticos, entre as quais as seguintes: 4. O campo elétrico produzido por uma placa isolante infinita com densidade superficial de carga uniforme 𝜎 é perpendicular ao plano da placa e tem um módulo dado por (23-13) 𝐸 = 𝜎 2𝜖0 placa isolante carregada infinita . 2 Ԧ𝐴 Ԧ𝐴 𝜎 3 5. O campo elétrico em um ponto do lado de fora de uma casca esférica uniformemente carregada, de raio 𝑅 e carga total 𝑞, aponta na direção radial e tem um módulo dado por (23-15) 𝐸 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 casca esférica, campo para 𝑟 > 𝑅 . O campo elétrico do lado de dentro da casca esférica uniformemente carregada é zero: (23-16) 𝐸 = 0 casca esférica, campo para 𝑟 < 𝑅 . 𝑞 𝑆1 𝑆2 𝑟 𝑅 𝑞 𝑑 Ԧ𝐴 𝑑 Ԧ𝐴 𝐸 𝐸 𝐸 𝑟 𝑅 0 Resumo do que foi estudado na aula passada... 4 6. O campo elétrico em um ponto no interior de uma esfera uniformemente carregada com carga total 𝑞 e raio 𝑅 aponta na direção radial e tem um módulo dado por 𝐸 = 𝑞 4𝜋𝜖0𝑅3 𝑟 esfera, campo para 𝑟 ≤ 𝑅 . (23-20) 7. O campo elétrico em um ponto do lado de fora de uma esfera uniformemente carregada, de raio 𝑅 e carga total 𝑞, aponta na direção radial e tem um módulo dado por 𝐸 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 esfera, campo para 𝑟 ≥ 𝑅 . 𝐸 𝑟 𝑅 Resumo do que foi estudado na aula passada... 𝑑 Ԧ𝐴 𝐸 𝑆2 Distribuição de carga uniforme 𝐸 𝑑 Ԧ𝐴 𝑆1 0 24-1 POTENCIAL ELÉTRICO Vamos voltar a um problema que examinamos no Capítulo 22. Na Fig. 24-1, a partícula 1, de carga positiva 𝑞1, está situada no ponto 𝑃, nas vizinhanças da partícula 2, de carga positiva 𝑞2. Como vimos no Capítulo 22, a partícula 2 pode exercer uma força sobre a partícula 1 sem que haja contato entre as duas partículas. Para explicar a existência da força Ԧ𝐹12 (que é uma grandeza vetorial), definimos um campo elétrico 𝐸2 (que também é uma grandeza vetorial) que é criado pela partícula 2 no ponto 𝑃. O campo 𝐸2 existe, mesmo que a partícula 1 não esteja presente no ponto 𝑃. Quando colocamos a partícula 1 nessa posição, ela fica submetida a uma força Ԧ𝐹12 = 𝑞1𝐸2 porque possui uma carga 𝑞1 e está em um ponto onde existe um campo elétrico 𝐸2. Fig. 24-1 𝑞1 𝑞2 Aqui está um problema correlato: quando liberamos a partícula 1 no ponto 𝑃, ela começa a se mover e, portanto, adquire energia cinética. Como a energia não pode ser criada, de onde vem essa energia? Essa energia vem da energia potencial elétrica 𝑈 associada à força entre as duas partículas no arranjo da Fig. 24-1. Para explicar a origem da energia potencial elétrica 𝑈 (que é uma grandeza escalar), definimos um potencial elétrico 𝑉2 (que também é uma grandeza escalar) criado pela partícula 2 no ponto 𝑃. Quando a partícula 1 é colocada no ponto 𝑃, a energia potencial do sistema de duas partículas se deve à carga 𝑞1 e ao potencial elétrico 𝑉2 (ou à carga 𝑞2 e ao potencial elétrico 𝑉1). Capítulo 24 – Potencial Elétrico 5 + + 𝑃 Ԧ𝐹12 Potencial Elétrico e Energia Potencial Elétrica Como vamos definir o potencial elétrico (ou, potencial) em termos da energia potencial elétrica, nossa primeira tarefa é descobrir como calcular a energia potencial elétrica. No Capítulo 8 [Física 1 - Mecânica], calculamos a energia potencial gravitacional 𝑈 de um objeto (1) atribuindo arbitrariamente o valor 𝑈 = 0 a uma configuração de referência (como a posição de um objeto no nível do solo), (2) determinando o trabalho 𝑊 que a força gravitacional realiza quando o objeto é deslocado para outro nível e (3) definindo a energia potencial pela equação (24-1) 𝑈 = −𝑊 energia potencial . Vamos aplicar o mesmo método à nossa nova força conservativa, a força elétrica. Na situação mostrada na Fig. 24-2a, estamos interessados em calcular a energia potencial elétrica 𝑈 do sistema formado por uma barra carregada e uma carga de prova 𝑞0 situada no ponto 𝑃. Para começar, precisamos definir uma configuração de referência para a qual 𝑈 = 0. Uma escolha razoável é supor que a energia potencial é nula quando a carga de prova está a uma distância infinita da barra, já que, nesse caso, ela não é afetada pelo campo elétrico produzido pela barra. O passo seguinte consiste em calcular o trabalho necessário para deslocar a carga de prova do infinito até o ponto 𝑃 para formar a configuração da Fig. 24-2a. A energia potencial da configuração final é dada pela Eq. (24- 1), em que 𝑊 agora é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova. Vamos usar a notação 𝑊∞ para indicar que nossa configuração de referência é com a carga a uma distância infinita da barra. O trabalho (e, portanto, a energia potencial) pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal da carga da barra. Fig. 24-2a 6 ∞ 𝑞0 𝑈 𝑟 → ∞ = 0 (24-2) 𝑉 = − 𝑊∞ 𝑞0 = 𝑈 𝑞0 potencial elétrico . Vamos agora definir o potencial elétrico 𝑉 no ponto 𝑃 em termos do trabalho realizado pelo campo elétrico e a energia potencial resultante: Em palavras, o potencial elétrico em um ponto 𝑃 é a energia potencial elétrica por unidade de carga quando uma carga de prova 𝑞0 é deslocada do infinito até o ponto 𝑃. A barra cria esse potencial 𝑉 no ponto 𝑃, mesmo na ausência da carga de prova (Fig. 24-b). Fig. 24-b Aplicando o mesmo método a outros pontos do espaço, verificamos que um potencial elétrico existe em todos os pontos em que o campo elétrico criado pela barra está presente. Na verdade, todo objeto carregado cria um potencial elétrico 𝑉 nos mesmos pontos em que cria um campo elétrico. Quando colocamos uma partícula de carga 𝑞 em um ponto onde já existe um potencial elétrico 𝑉, a energia potencial elétrica 𝑈 da configuração é dada por: (24-3) 𝑈 = 𝑞𝑉. Duas Observações Importantes. (1) O nome adotado (há muitos anos) para a grandeza 𝑉 foi uma escolha infeliz, porque potencial pode ser facilmente confundido com energia potencial. É verdade que as duas grandezas estão relacionadas (daí a escolha), mas são muito diferentes e uma não pode ser usada no lugar da outra. (2) O potencial elétrico não é um vetor, como o campo elétrico, e sim um escalar. 7 ∞ 𝑈 𝑟 → ∞ = 0 Terminologia. A energia potencial é uma propriedade de um sistema (ou configuração) de objetos, mas às vezes podemos atribuí-la a um único objeto. Assim, por exemplo, a energia potencial gravitacional de uma bola de futebol chutada, em direção ao campo do adversário, pelo goleiro é, na verdade, a energia potencial do sistema bola-Terra, já que está associada à força entre a Terra e a bola. Como, porém, o movimento da Terra causado pela interação é desprezível, podemos atribuir a energia potencial gravitacional apenas à bola. Analogamente, se uma partícula carregada é colocada em uma região onde existe um campo elétrico e não afeta de modo significativo o objeto que produziu o campo elétrico, podemos atribuir a energia potencial elétrica (e o potencial elétrico) apenas à partícula. Unidades. De acordo com a Eq. (24-2) [𝑉 = 𝑈/𝑞0], a unidade de potencial elétrico do SI é o joule por coulomb. Essa combinação é tão frequente que foi criado um nome especial, o volt (𝑉) para representá-la. Assim, 1 volt = 1 joule por coulomb ⇒ 1 𝑉 = 1 𝐽 𝐶 . Movimento na Presença de um Campo Elétrico Variação do Potencial Elétrico. Quando passamos de um ponto inicial 𝑖 para um ponto final 𝑓 na presença de um campo elétrico 𝐸 produzido por um objeto carregado, a variação do potencial elétrico Δ𝑉 é dada por Δ𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖. Nesse caso, de acordo com a Eq. (24-3) [𝑈 = 𝑞𝑉], a variação da energia potencial Δ𝑈 do sistema é dada por Δ𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = 𝑞𝑉𝑓 − 𝑞𝑉𝑖 = 𝑞Δ𝑉. (24-4) 8 𝑂 𝑥 𝑧 𝑦 𝐸 𝑖 𝑓 𝑞 𝑉𝑖 𝑉𝑓 Trabalho Realizado pela Força Elétrica. Podemos relacionar a variação de energia potencial Δ𝑈 ao trabalho 𝑊 realizado pela força elétrica ׬𝑖 𝑓 Ԧ𝐹𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑟 = ׬𝑖 𝑓 𝑞𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑟 enquanto a partícula se desloca do ponto 𝑖 para o ponto 𝑓 usando uma relação que é válida para qualquer força conservativa [Eq. (8-1) do livro de Mecânica - Física 1]: 𝑊 = −Δ𝑈 (24-6) 𝑊 = −𝑞Δ𝑉 = −𝑞(𝑉𝑓 − 𝑉𝑖). Δ𝑈 = 𝑞Δ𝑉 (24-5) Da mesma forma que Δ𝑈, o trabalho 𝑊 não depende da trajetória da partícula. (Se você precisa calcular o trabalho para uma trajetória complicada, mude para uma trajetória mais fácil; você obterá o mesmo resultado.) Conservação da Energia Mecânica. Se uma partícula carregada se move na presença de um campo elétrico sem ser submetida a nenhuma outra força além da força elétrica, a energia mecânica é conservada. Vamos supor que seja possível atribuir uma energia potencial elétrica apenas à partícula. Nesse caso, podemos escrever a conservação da energia mecânica quando a partícula se desloca do ponto 𝑖 para o ponto 𝑓 na forma (24-7) 𝐸𝑚𝑒𝑐,𝑖 = 𝐸𝑚𝑒𝑐,𝑓 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 Δ𝐾 = −Δ𝑈. (24-8) Δ𝑈 = 𝑞Δ𝑉 Δ𝐾 = −𝑞Δ𝑉 = −𝑞 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 . (24-9) 9 𝐾𝑖 − 𝐾𝑓 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = −𝑈𝑓 + 𝑈𝑖 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = −(𝑈𝑓 − 𝑈𝑖) 𝑂 𝑥 𝑧 𝑦 𝐸 𝑖 𝑓 𝑞 𝑉𝑖 𝑉𝑓 Trabalho Realizado por uma Força Externa. Se uma partícula carregada se move na presença da força elétrica Ԧ𝐹𝐸 = 𝑞𝐸 e de outra força qualquer, a outra força é chamada de força externa ( Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡) e é frequentemente a atribuída a um agente externo. A força externa pode realizar trabalho sobre a partícula, mas não é necessariamente conservativa e, portanto, nem sempre pode ser associada a uma energia potencial. Podemos levar em conta o trabalho 𝑊𝑒𝑥𝑡 realizado por uma força externa acrescentando um termo ao lado esquerdo da Eq. (24-7) ൣ ൧ 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 : (24-10) 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 + 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓. Explicitando Δ𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 e usando a Eq. (24-4), podemos escrever também Δ𝐾 = −Δ𝑈 + 𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑞Δ𝑉 + 𝑊𝑒𝑥𝑡. (24-11) Energia em Elétrons-Volts. Na física atômica e subatômica, a medida das energias em joules (a unidade de energia do SI) envolve potências negativas de dez. Uma unidade mais conveniente (que não faz parte do SI) é o elétron-volt (𝑒𝑉), que é definido como o trabalho necessário para deslocar uma carga elementar 𝑒 (como do elétron ou do próton) se a diferença de potencial entre o ponto inicial e o ponto final é um volt. De acordo com a Eq. (24-6) 𝑊 = −𝑞Δ𝑉 , o módulo desse trabalho é igual a 𝑞Δ𝑉. Assim, 1 𝑒𝑉 = (𝑒) 1 𝑉 = 1,60 × 10−19𝐶 1 𝐽 𝐶 = 1,60 × 10−19 𝐽. (24-14) No caso em que a partícula está parada antes 𝐾𝑖 = 0 e depois 𝐾𝑓 = 0 do deslocamento, Δ𝐾 = 0 e a Eq. (24-11) pode ser escrita como 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑞Δ𝑉 (para 𝐾𝑓 = 𝐾𝑖). (24-12) 10 Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑂 𝑥 𝑧 𝑦 Ԧ𝐹𝐸 𝑖 𝑓 𝑞 𝑉𝑖 𝑉𝑓 24-2 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS E O CAMPO ELÉTRICO Superfícies Equipotenciais Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfícies equipotenciais, que pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real. O campo elétrico 𝐸 não realiza nenhum trabalho líquido 𝑊 sobre uma partícula carregada quando a partícula se desloca de um ponto para outro de uma superfície equipotencial. Esse fato é consequência da Eq. (24-6) [𝑊 = −𝑞(𝑉𝑓 − 𝑉𝑖)], segundo a qual 𝑊 = 0 para 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖. Como o trabalho (e, portanto, a energia potencial e o potencial) não depende da trajetória, 𝑊 = 0 para qualquer trajetória que ligue dois pontos 𝑖 e 𝑓 pertencentes a uma superfície equipotencial, mesmo que a trajetória não esteja inteiramente na superfície. A Fig. 24-4 mostra uma família de superfícies equipotenciais associada ao campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas. Na figura, temos a vista parcial de quatro superfícies equipotenciais cujos potenciais elétricos são 𝑉1 = 100 𝑉, 𝑉2 = 80 𝑉, 𝑉3 = 60 𝑉 e 𝑉4 = 40 𝑉. A figura mostra duas linhas (azuis) de campo elétrico e quatro trajetórias (verdes) possíveis de uma carga de prova. Fig. 24-4 11 𝐸 𝐸 𝑉1 = 100 𝑉 𝑉2 = 80 𝑉 𝑉3 = 60 𝑉 𝑉4 = 40 𝑉 Por simetria, as superfícies equipotenciais produzidas por uma carga puntual ou por qualquer distribuição de cargas com simetria esférica constituem uma família de esferas concêntricas. No caso de um campo elétrico uniforme, as superfícies formam uma família de planos perpendiculares às linhas de campo. Na verdade, as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de campo e, portanto, perpendiculares a 𝐸, que é tangente a essas linhas. Se não fosse perpendicular a uma superfície equipotencial, 𝐸 teria uma componente paralela à superfície, que realizaria trabalho sobre uma partícula carregada quando a partícula se deslocasse ao longo da superfície. Entretanto, de acordo com a Eq. (24-6) 𝑊 = −𝑞 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 , o trabalho realizado deve ser nulo no caso de uma superfície equipotencial. A única conclusão possível é que o vetor 𝐸 em todos os pontos do espaço deve ser perpendicular à superfície equipotencial que passa por esse ponto. A Fig. 24-5 mostra linhas de campo e seções retas de superfícies equipotenciais no caso de um campo elétrico uniforme 𝐸1 e no caso do campo 𝐸2 associado a uma carga elétrica puntual. Cálculo do Potencial Elétrico a Partir do Campo Elétrico É possível calcular a diferença de potencial entre dois pontos 𝑖 e 𝑓 em uma região do espaço onde existe um campo elétrico se o vetor campo elétrico 𝐸 for conhecido em todos os pontos de uma trajetória que ligue esses pontos. Para isso, basta determinar o trabalho realizado pelo campo sobre uma carga de prova quando a carga se desloca do ponto 𝑖 até o ponto 𝑓 e usar a Eq. (24-6). Fig. 24-5b Fig. 24-5a 12 𝐸1 𝐸2 Considere um campo elétrico qualquer, representado pelas linhas de campo da Fig. 24-6, e uma carga de prova 𝑞0 (positiva) que se move do ponto 𝑖 ao ponto 𝑓, percorrendo a trajetória mostrada na figura. Em todos os pontos da trajetória, uma força eletrostática Ԧ𝐹𝐸 = 𝑞0𝐸 age sobre a carga enquanto ela sofre um deslocamento infinitesimal 𝑑Ԧ𝑠. De acordo com o que foi visto no Capítulo 7 [Física 1 - Mecânica], o trabalho infinitesimal 𝑑𝑊 realizado sobre uma partícula por uma força durante um deslocamento 𝑑Ԧ𝑠 é dado por Fig. 24-6 (24-16) 𝑑𝑊 = Ԧ𝐹𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 = 𝑞0𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠. Para determinar o trabalho total 𝑊 realizado pelo campo elétrico 𝐸 sobre a carga quando ela se desloca do ponto 𝑖 para o ponto 𝑓, somamos, por integração, os trabalhos elementares 𝑑𝑊 realizados sobre a carga quando ela sofre todos os deslocamentos elementares 𝑑Ԧ𝑠 de que é composta a trajetória: (24-18) න 𝑖 𝑓 𝑑𝑊 = න 𝑖 𝑓 𝑞0𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 𝑊 = 𝑞0 න 𝑖 𝑓 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 𝑊 = −𝑞0(𝑉𝑓 − 𝑉𝑖) −𝑞0 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = 𝑞0 න 𝑖 𝑓 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − න 𝑖 𝑓 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 . A Eq. (24-18) permite calcular a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer de uma região onde existe um campo elétrico. Se o potencial 𝑉𝑖 do ponto 𝑖 é tomado como zero (ou seja, se 𝑉𝑖 = 0), a Eq. (24-18) se torna (24-19) 𝑉𝑓 = − න 𝑖 𝑓 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 . 13 𝑞0 Campo Uniforme. Vamos aplicar a Eq. (24-18) 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − ׬𝑖 𝑓 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 a um campo elétrico uniforme 𝐸 = 𝐸 Ƹ𝑖, como mostra a Fig. 24-7. Começamos em um ponto 𝑖 de um plano equipotencial de potencial 𝑉𝑖 e terminamos em um ponto 𝑓 de um plano equipotencial de potencial 𝑉𝑓. A distância entre os dois planos equipotenciais é Δ𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖. Vamos escolher uma trajetória paralela à direção do campo elétrico 𝐸 (e, portanto, perpendicular aos planos equipotenciais). Nesse caso, o ângulo entre 𝐸 = 𝐸 Ƹ𝑖 e 𝑑Ԧ𝑠 = Ƹ𝑖𝑑𝑠 na Eq. (24-18) é zero e o produto escalar se torna Fig. 24-7 𝐸 ⋅ 𝑑Ԧ𝑠 = 𝐸 Ƹ𝑖 ⋅ Ƹ𝑖𝑑𝑠 = 𝐸 Ƹ𝑖 Ƹ𝑖 cos 0 𝑑𝑠 = 𝐸𝑑𝑠. Como o campo elétrico é uniforme, pode “sair da integral” e a Eq. (24-18) se torna 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = −𝐸 න 𝑖 𝑓 𝑑𝑠 Δ𝑉 = −𝐸(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖) = −𝐸Δ𝑥 (campo uniforme). (24-21) De acordo com a Eq. (24-21), se a trajetória da carga de prova 𝑞0 (positiva) é no sentido do campo elétrico, o potencial elétrico diminui; se a trajetória é no sentido oposto, o potencial aumenta. ➢ O vetor campo elétrico aponta do maior potencial para o menor potencial. 14 𝑑Ԧ𝑠 𝑞0 𝑉𝑓 𝑉𝑖 𝐸 Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 2 e 6. Exercícios Complementares: 4, 5, 7, 9 e 11. 15 ·6 Na Fig. 24-34, quando um elétron se desloca de 𝐴 para 𝐵 ao longo de uma linha de campo elétrico, o campo elétrico realiza um trabalho de 3,94 × 10−19 𝐽. Qual é a diferença de potencial elétrico (a) 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴, (b) 𝑉𝐶 − 𝑉𝐴 e (c) 𝑉𝐶 − 𝑉𝐵? Dicas: 𝑊𝐵→𝐴 = −3,94 × 10−19 𝐽 e 𝑊𝐵→𝐴 = −𝑞 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 e a carga do elétron é 𝑞 = −𝑒 = −1,6 × 10−19 𝐶. Respostas: (a) 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 2,46 𝑉. (b) 𝑉𝐶 − 𝑉𝐴 = 2,46 𝑉. (c) 𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 = 0. Fig. 24-34 16 ·2 A diferença de potencial elétrico entre a terra e uma nuvem de tempestade é 1,2 × 109 𝑉. Qual é o módulo da variação da energia potencial elétrica de um elétron que se desloca da nuvem para a terra? Expresse a resposta em elétrons-volts. Dicas: faça um desenho para representar a situação descrita no enunciado da questão. Δ𝑈 = 𝑞Δ𝑉, em que 𝑞 = −𝑒 = −1,6 × 10−19 𝐶 e 1 𝑒𝑉 = 1,6 × 10−19 𝐽. Resposta: 1,2 × 109 𝑒𝑉. Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://wall.alphacoders.com/big.php?i=1007351&lang=Portuguese 17