Slide - Corrente Elétrica Densidade de Corrente Resistência e Resistividade 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Corrente Elétrica • Densidade de Corrente • Resistência e Resistividade Resumo do que foi estudado na aula passada... Capacitores em Paralelo e em Série. As capacitâncias equivalentes 𝐶𝑒𝑞 de combinações de capacitores em paralelo e em série podem ser calculadas usando as expressões (25-19) 𝐶𝑒𝑞 = ෍ 𝑗=1 𝑛 𝐶𝑗 𝑛 capacitores em paralelo (25-20) 1 𝐶𝑒𝑞 = ෍ 𝑗=1 𝑛 1 𝐶𝑗 𝑛 capacitores em série . 2 Capacitores em série. Capacitores em paralelo. Capacitor equivalente Capacitor equivalente 3 Capacitância com um Dielétrico. Se o espaço entre as placas de um capacitor é totalmente preenchido por um material dielétrico, a capacitância do capacitor é multiplicada por um fator 𝜅 (ou seja, 𝐶 = 𝜅𝐶ar), conhecido como constante dielétrica, que varia de material para material. Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica 𝜅, a permissividade elétrica do vácuo 𝜖0 deve ser substituída por 𝜅𝜖0 em todas as equações. Os efeitos da presença de um dielétrico podem ser explicados em termos da ação de um campo elétrico aplicado 𝐸0 sobre os dipolos elétricos permanentes ou induzidos no dielétrico. O resultado é a formação de cargas induzidas nas superfícies do dielétrico. Essas cargas tornam o campo, no interior do dielétrico, menor do que o campo que seria produzido na mesma região pelas cargas livres das placas do capacitor se o dielétrico não estivesse presente. Resumo do que foi estudado na aula passada... 26-1 CORRENTE ELÉTRICA Embora uma corrente elétrica seja um movimento de partículas carregadas, nem todas as partículas carregadas que se movem produzem uma corrente elétrica. Para que uma superfície seja atravessada por uma corrente elétrica, é preciso que haja um fluxo líquido de cargas através da superfície. Dois exemplos deixarão claro o que queremos dizer. 1. Os elétrons livres (elétrons de condução) que existem no interior de um fio de cobre se movem em direções aleatórias a uma velocidade média da ordem de 106 𝑚/𝑠. Se imaginarmos um plano perpendicular ao fio, elétrons de condução passarão pelo plano nos dois sentidos bilhões de vezes por segundo, mas não haverá um fluxo líquido de cargas e, portanto, não haverá uma corrente elétrica no fio. Se ligarmos as extremidades do fio a uma bateria, por outro lado, o número de elétrons que atravessam o plano em um sentido se tornará ligeiramente maior que o número de elétrons que atravessam o plano no sentido oposto; em consequência, haverá um fluxo líquido de cargas e, portanto, haverá uma corrente elétrica no fio. Capítulo 26 – Corrente e Resistência 4 Elétrons de condução dentro de um fio de cobre equipotencial. Nesse caso, não há fluxo líquido de cargas, ou seja, não há corrente elétrica. Ԧ𝑣1 Ԧ𝑣2 Ԧ𝑣3 Ԧ𝑣4 Ԧ𝑣5 Ԧ𝑣6 5 2. O fluxo de água em uma mangueira representa um movimento de cargas positivas (os prótons das moléculas de água) da ordem de milhões de coulombs por segundo. Entretanto, não existe um fluxo líquido de carga, já que existe também um movimento de cargas negativas (os elétrons das moléculas de água) que compensa exatamente o movimento das cargas positivas. Em consequência, a corrente elétrica associada ao movimento da água no interior de uma mangueira é zero. Neste capítulo, vamos nos limitar ao estudo de correntes elétricas constantes de elétrons de condução em condutores metálicos, como fios de cobre, por exemplo. Mangueira saindo água. Nesse caso, também não existe um fluxo líquido de carga, pois o movimento das cargas negativas das moléculas de água compensa exatamente o movimento das cargas positivas. Em um circuito fechado feito exclusivamente de um material condutor, como o da Fig. 26-1a, mesmo que exista um excesso de carga, todos os pontos estão ao mesmo potencial elétrico. Sendo assim, não pode haver um campo elétrico no material 𝐸 = 0 . Embora existam elétrons de condução disponíveis, eles não estão sujeitos a uma força elétrica pois Ԧ𝐹𝐸 = −𝑒𝐸 e 𝐸 = 0 e, portanto, não existe corrente elétrica. Fig. 26-1a Fig. 26-1b Por outro lado, quando introduzimos uma bateria no circuito, como mostrado na Fig. 26-1b, o potencial não é mais o mesmo em todo o circuito. Campos elétricos são criados no interior do material e exercem uma força sobre os elétrons de condução que os faz se moverem preferencialmente em um sentido, produzindo uma corrente. Depois de um pequeno intervalo de tempo, o movimento dos elétrons atinge um valor constante e a corrente entra no regime estacionário (deixa de variar com o tempo). A Fig. 26-2 mostra uma seção reta de um condutor, parte de um circuito no qual existe uma corrente. Se uma carga 𝑑𝑞 passa por um plano hipotético (como 𝑎𝑎′) em um intervalo de tempo 𝑑𝑡, a corrente 𝑖 que passa através desse plano é definida como 𝑖 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 definição de corrente . (26-1) Podemos determinar por integração a carga elétrica total que passa pelo plano 𝑎𝑎′ no intervalo de tempo de 0 a 𝑡: 𝑑𝑞 = 𝑖𝑑𝑡 න plano 𝑑𝑞 = න 0 𝑡 𝑖𝑑𝑡 𝑞 = න 0 𝑡 𝑖𝑑𝑡 . (26-2) 6 Material condutor 𝐸 = 0 𝐸 ≠ 0 Fig. 26-2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎′ 𝑏′ 𝑐′ 𝑖 𝑖 Bateria No regime estacionário, a corrente elétrica é a mesma através dos planos 𝑎𝑎′, 𝑏𝑏′ e 𝑐𝑐′ em qualquer outro plano que intercepte totalmente o condutor, seja qual for a localização ou orientação desse plano. Isso é uma consequência do fato de que a carga elétrica é conservada. Unidade de corrente no SI: 1 ampère = 1 𝐴 = 1 coulomb por segundo = 1 𝐶/𝑠. A corrente elétrica, definida pela Eq. (26-1) 𝑖 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 , é uma grandeza escalar, já que a carga e o tempo que aparecem na equação são grandezas escalares. Entretanto, como na Fig. 26-1b, muitas vezes representamos uma corrente por uma seta para indicar o sentido em que as cargas estão se movendo. Essas setas não são vetores, e a elas não se aplicam as regras das operações vetoriais. A Fig. 26-3a mostra um condutor percorrido por uma corrente 𝑖0 que se divide em duas ao chegar a uma bifurcação (que, no caso das correntes elétricas, é chamada de nó). Como a carga é conservada, a soma das correntes nos dois ramos é igual à corrente inicial: 𝑖0 = 𝑖1 + 𝑖2. (26-3) Como mostra a Fig. 26-3b, a Eq. (26-3) continua a ser válida, mesmo que os fios sejam retorcidos. No caso da corrente elétrica, as setas indicam apenas o sentido em que as cargas estão se movendo em um condutor e não uma direção no espaço. 7 Fig. 26-2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎′ 𝑏′ 𝑐′ 𝑖 𝑖 Fig. 26-3a Fig. 26-3b 𝑖0 𝑖2 𝑖1 𝑖0 𝑖1 𝑖2 O Sentido da Corrente Elétrica Na Fig. 26-1b, desenhamos as setas que indicam a corrente no sentido em que partículas positivamente carregadas seriam forçadas pelo campo elétrico a se mover no circuito. Se fossem positivos, esses portadores de carga, como são chamados, sairiam do terminal positivo da bateria e entrariam no terminal negativo. Na verdade, no caso do fio de cobre da Fig. 26-1b, os portadores de carga são elétrons, partículas negativamente carregadas. O campo elétrico faz essas partículas se moverem no sentido oposto ao indicado pelas setas, do terminal negativo para o terminal positivo (pois Ԧ𝐹𝐸 = −𝑒𝐸). Por questões históricas, usamos a seguinte convenção: A seta da corrente é desenhada no sentido em que portadores de carga positivos se moveriam, mesmo que os verdadeiros portadores de carga sejam negativos e se movam no sentido oposto. 8 𝑖 𝑖 Corrente elétrica constituída por portadores de carga positivos. Corrente elétrica constituída por portadores de carga negativos. Ԧ𝑣𝑑 Ԧ𝑣𝑑 9 26-2 DENSIDADE DE CORRENTE Às vezes estamos interessados em conhecer a corrente total 𝑖 em um condutor. Em outras ocasiões, nosso interesse é mais específico e queremos estudar o fluxo de carga através de uma seção reta 𝐴 que se estende apenas a uma parte do material. Para descrever esse fluxo, usamos a densidade de corrente Ԧ𝐽, que tem a mesma direção e o mesmo sentido que a velocidade das cargas que constituem a corrente, se as cargas forem positivas, e a mesma direção e o sentido oposto, se as cargas forem negativas. 𝐴 𝑖 Ԧ𝑗 Para cada elemento 𝑑 Ԧ𝐴 da seção reta, o módulo 𝐽 da densidade de corrente é igual à corrente dividida pela área do elemento. Podemos escrever a corrente infinitesimal 𝑑𝑖 que atravessa o elemento de área 𝑑 Ԧ𝐴 como Ԧ𝐽 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 , em que 𝑑 Ԧ𝐴 é o vetor área do elemento, perpendicular ao elemento. A corrente total 𝑖 que atravessa a seção reta 𝐴 é, portanto, න 𝐴 𝑑𝑖 = 𝑖 = න 𝐴 Ԧ𝐽 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 . (26-4) 𝑖 Ԧ𝑗 𝐴 Se a corrente 𝑖 é uniforme em toda a seção reta e paralela a 𝑑 Ԧ𝐴, Ԧ𝐽 também é uniforme e paralela a 𝑑 Ԧ𝐴. Nesse caso, a Eq. (26-4) se torna 𝑖 = න 𝐴 Ԧ𝐽 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = න 𝐴 𝐽 Ƹ𝑖 ⋅ Ƹ𝑖𝑑𝐴 = 𝐽 න 𝐴 𝑑𝐴 = 𝐽𝐴 (26-5) 𝐽 = 𝑖 𝐴 . 𝑑𝑖 = Ԧ𝐽 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 𝑥 𝑑 Ԧ𝐴 10 𝑖 Fig. 26-4 Como vimos no Capítulo 22, os campos elétricos podem ser representados por linhas de campo. A Fig. 26-4 mostra que a densidade de corrente Ԧ𝐽 também pode ser representada por um conjunto de linhas, conhecidas como linhas de corrente. Na Fig. 26-4, a corrente, que é da esquerda para a direita, faz uma transição de um condutor mais largo, à esquerda, para um condutor mais estreito, à direita. Como a carga é conservada na transição, a quantidade de carga e a quantidade de corrente não podem mudar; o que muda é a densidade de corrente, que é maior no condutor mais estreito, já que 𝐽1 = 𝑖 𝐴1 , 𝐽2 = 𝑖 𝐴2 e, como 𝐴1 > 𝐴2, então 𝐽1 < 𝐽2. O espaçamento das linhas de corrente é inversamente proporcional à densidade de corrente; quanto mais próximas as linhas de corrente, maior a densidade de corrente. linhas de corrente 𝐴1 𝐴2 𝐽1 𝐽2 Velocidade de Deriva Quando um condutor não está sendo percorrido por corrente, os elétrons de condução se movem aleatoriamente, sem que haja uma direção preferencial. Quando existe uma corrente, os elétrons continuam a se mover aleatoriamente, mas tendem a derivar com uma velocidade de deriva 𝑣𝑑 no sentido oposto ao do campo elétrico que produziu a corrente. A velocidade de deriva é muito pequena em relação à velocidade com a qual os elétrons se movem aleatoriamente, conhecida como velocidade térmica 𝑣𝑡, por estar associada ao conceito de temperatura. Por exemplo, nos condutores de cobre da fiação elétrica residencial 𝑣𝑑 ≈ 10−7 𝑚/𝑠 e 𝑣𝑡 ≈ 106 𝑚/𝑠. 11 Podemos usar a Fig. 26-5 para relacionar a velocidade de deriva 𝑣𝑑 dos elétrons de condução em um fio ao módulo da densidade de corrente 𝐽 no fio. Por conveniência, a Fig. 26-5 mostra a velocidade de deriva como se os portadores de carga fossem positivos; é por isso que o sentido de Ԧ𝑣𝑑 é o mesmo de 𝐸 e Ԧ𝐽. Na verdade, na maioria dos casos, os portadores de carga são negativos e Ԧ𝑣𝑑 tem o sentido oposto ao de 𝐸 e Ԧ𝐽. Vamos supor que todos esses portadores de carga se movem com a mesma velocidade de deriva 𝑣𝑑 e que a densidade de corrente 𝐽 é a mesma em toda a seção reta 𝐴 do fio. Vamos supor ainda que a seção reta do fio seja uniforme. Nesse caso, o número 𝑁 de portadores em um pedaço do fio de comprimento 𝐿 é 𝑛𝑉 = 𝑛𝐴𝐿, em que 𝑛 é o número de portadores por unidade de volume. Como cada portador possui uma carga 𝑒, a carga total 𝑞 dos portadores nesse pedaço do fio pode ser escrita como: 𝑖 Fig. 26-5 Ԧ𝑣𝑑 𝐸 Ԧ𝐽 𝐿 𝐴 𝑒 𝑞 = 𝑁𝑒 = 𝑛𝐴𝐿𝑒. Como todos os portadores estão se movendo com a mesma velocidade 𝑣𝑑, o intervalo de tempo Δ𝑡 que a carga total 𝑞 leva para atravessar uma seção reta 𝐴 pode ser obtido levando-se em conta que a velocidade de deriva 𝑣𝑑 de cada carga é igual à distância total 𝐿 percorrida pela carga dividida por intervalo de tempo Δ𝑡: Δ𝑡 = 𝐿 𝑣𝑑 . 𝑣𝑑 = 𝐿 Δ𝑡 𝐿 Ԧ𝑣𝑑 𝑒 De acordo com a Eq. (26-1) 𝑖 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 , a corrente 𝑖 é a taxa de variação, com o tempo, do fluxo de carga em uma seção reta. Assim, temos (26-6) 𝑖 = 𝑞 Δ𝑡 = 𝑛𝐴𝐿𝑒 𝐿/𝑣𝑑 = 𝑛𝐴𝑒𝑣𝑑. 12 Explicitando 𝑣𝑑 e lembrando que, de acordo com a Eq. (26-5), 𝑖/𝐴 = 𝐽, temos 𝑣𝑑 = 𝑖 𝑛𝐴𝑒 = 𝐽 𝑛𝑒 (26-7) Ԧ𝐽 = 𝑛𝑒 Ԧ𝑣𝑑. O produto 𝑛𝑒, que no SI é medido em coulombs por metro cúbico (𝐶/𝑚3), é chamado de densidade de carga dos portadores. No caso de portadores positivos, 𝑛𝑒 é positivo e, portanto, de acordo com a Eq. (26-7), Ԧ𝐽 e Ԧ𝑣𝑑 têm o mesmo sentido. No caso de portadores negativos (𝑒 → −𝑒), 𝑛(−𝑒) é negativo e Ԧ𝐽 e Ԧ𝑣𝑑 têm sentidos opostos. Ԧ𝐽 Ԧ𝐽 Para portadores de carga positivos, Ԧ𝐽 e Ԧ𝑣𝑑 têm o mesmo sentido. Para portadores de carga negativos, Ԧ𝐽 e Ԧ𝑣𝑑 têm sentidos opostos. Ԧ𝑣𝑑 Ԧ𝑣𝑑 𝑖 Fig. 26-5 Ԧ𝑣𝑑 𝐸 Ԧ𝐽 𝐿 𝐴 𝑒 26-3 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE Quando aplicamos a mesma diferença de potencial às extremidades de barras de mesmas dimensões feitas de cobre e de vidro, os resultados são muito diferentes. A característica do material que determina a diferença é a resistência elétrica. Medimos a resistência 𝑅 entre dois pontos de um condutor aplicando uma diferença de potencial 𝑉(= 𝑉+ − 𝑉−) entre esses pontos e medindo a corrente 𝑖 resultante. A resistência 𝑅 é definida como (26-8) 𝑅 = 𝑉 𝑖 (definição de 𝑅). De acordo com a Eq. (26-8), a unidade de resistência elétrica no SI é o volt por ampère. Essa combinação ocorre com tanta frequência que uma unidade especial, o ohm (Ω), é usada para representá-la. Assim sendo, 1 𝑜ℎ𝑚 = 1 Ω = 1 volt por ampère = 1 𝑉 𝐴 . (26-9) 13 Quando escrevemos a Eq. (26-8) na forma 𝑖 = 𝑉/𝑅 vemos que “resistência” é um nome bem escolhido. Para uma dada diferença de potencial, quanto maior a resistência (à passagem de corrente), menor a corrente elétrica. 𝑅 𝑉+ 𝑉− 𝑖 Um condutor, cuja função em um circuito é introduzir uma resistência, é chamado de resistor (veja a Fig. 26-7a). Nos diagramas dos circuitos elétricos, um resistor 𝑅 é representado pelo símbolo (Fig. 26-7b). A resistência de um condutor depende do modo como a diferença de potencial é aplicada. A Fig. 26-8, por exemplo, mostra a mesma diferença de potencial 𝑉(= 𝑉+ − 𝑉−) aplicada de duas formas diferentes ao mesmo condutor. Como se pode ver pelas linhas de corrente, as correntes nos dois casos são diferentes; portanto, as resistências também são diferentes. A menos que seja dito explicitamente o contrário, vamos supor que as diferenças de potencial são aplicadas aos condutores como na Fig. 26-8b. Fig. 26-7a Fig. 26-8a Fig. 26-8b 14 linhas de corrente linhas de corrente 𝑉+ 𝑉+ 𝑉− 𝑉− 𝑉 𝑅 Fig. 26-7b As Eqs. (26-10) e (26-11) são válidas apenas para materiais isotrópicos, ou seja, materiais cujas propriedades são as mesmas em todas as direções. 𝜎 = 1 𝜌 . (26-12) Também podemos falar da condutividade 𝜎 de um material, que é simplesmente o recíproco da resistividade: A unidade de condutividade do SI é o ohm-metro recíproco, Ω. 𝑚 −1. Usando a definição de 𝜎, podemos escrever a Eq. (26-11) na forma Ԧ𝐽 = 𝜎𝐸. (26-13) 15 Como já fizemos em outras ocasiões, estamos interessados em adotar um ponto de vista que enfatize mais o material que o dispositivo. Por isso, concentramos a atenção, não na diferença de potencial 𝑉 entre as extremidades de um resistor, mas no campo elétrico 𝐸 que existe em um ponto do material resistivo. Em vez de lidar com a corrente 𝑖 no resistor, lidamos com a densidade de corrente Ԧ𝐽 no ponto em questão. Em vez de falar da resistência 𝑅 de um componente, falamos da resistividade 𝜌 do material: 𝜌 = 𝐸 𝐽 𝐸 = 𝜌Ԧ𝐽. (26-10) (26-11) 𝜌, 𝜎 𝐸 Ԧ𝑗 𝑉+ 𝑉− A Tabela 26-1 mostra a resistividade de alguns materiais. 16 17 Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 1, 8 e 14. Exercícios Complementares: 6, 7, 9, 11, 12, 13 e 32. ·1 Durante os 4,0 𝑚𝑖𝑛 em que uma corrente de 5,0 𝐴 atravessa um fio, (a) quantos coulombs e (b) quantos elétrons passam por uma seção reta do fio? Dicas: faça um desenho para representar a situação física descrita no enunciado do problema. Em (a) use 𝑖 = 𝑞/Δ𝑡 e 1,0 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠. Em (b) use 𝑞 = 𝑁𝑒, em que 𝑒 = 1,6 × 10−19 𝐶 e 𝑁 é o números de elétrons. Respostas: (a) 𝑞 = 1,2 × 103 𝐶. (b) 𝑁 = 7,5 × 1021 elétrons. 18 ·8 Uma corrente pequena, porém mensurável, de 1,2 × 10−10 𝐴, atravessa um fio de cobre com 2,5 𝑚𝑚 de diâmetro. O número de portadores de carga por unidade de volume é 𝑛 = 8,49 × 1028 𝑚−3. Supondo que a corrente é uniforme, calcule (a) a densidade de corrente e (b) a velocidade de deriva dos elétrons. Dicas: em (a) use 𝐽 = 𝑖/𝐴, onde 𝐴 = 𝜋𝑟2 e 𝑟 = 𝑑/2. Em (b) use 𝑣𝑑 = 𝐽/𝑛𝑒 e 𝑒 = 1,6 × 10−19 𝐶. Respostas: (a) 𝐽 = 2,4 × 10−5 𝐴/𝑚2. (b) 𝑣𝑑 = 1,8 × 10−15 𝑚/𝑠. 𝑑 𝑖 ·14 Um ser humano pode morrer se uma corrente elétrica da ordem de 50 𝑚𝐴 passar perto do coração. Um eletricista trabalhando com as mãos suadas, o que reduz consideravelmente a resistência da pele, segura dois fios desencapados, um em cada mão. Se a resistência do corpo do eletricista é 2000 Ω, qual é a menor diferença de potencial entre os fios capaz de produzir um choque mortal? Dicas: faça um desenho para representar a situação física descrita no enunciado do problema. 1 𝑚𝐴 = 1 × 10−3 𝐴 e 𝑉 = 𝑅𝑖. Resposta: 𝑉 = 100 𝑉. Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://www.embarcados.com.br/lei-de-ohm/ • https://brasilescola.uol.com.br/fisica/corrente-eletrica.htm 19