Prova de Teoria de Controle 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO UFOP ESCOLA DE MINAS EM DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DECAT Disciplina CAT166 TEORIA DE CONTROLE III Alunao Matrícula PROVA 2 1 Considre o seguinte sistema nãolinear x1 x3 1 x2 x2 x1 x3 2 Considerando x R2 tal que x x1 x2T pedese a Calcular os pontos de equlíbrio b Linearizar em torno dos pontos de equilíbrio c Classificar os pontos de equilíbrio como nó foco centro ou sela estáveis ou instáveis d Caso algum ponto de equilíbrio seja estável po demos dizer que a estabilidade é global Justifi que 2 Seja o seguinte sistema nãolinear x1 x1 x2 x2 2x1 x3 2 Perdese a Calcular os pontos de equilíbrio b A partir da seguinte função candidata de Lyapu nov Vx 1 2x2 1 1 2x2 2 tente aferir sobre a estabilidade do ponto de equilíbrio na origem utilizando o segundo mé todo de Lyapunov Pelos resultados obtidos o ponto de equilíbrio será estável Será instável c Tente achar uma função candidata de Lyapunov que garanta a estabilidade assintótica do ponto de equilíbrio na origem Dica olhe para o re sultado de dVx dt obtido no item anterior e pense no que poderia ser mudado em Vx para que dVx dt seja negativa definida d Prove que o ponto de equilíbrio na origem é glo balmente assintoticamente estável 3 As equações de Euler para rotação de uma espaço nave rígida são dadas por J1 ω1 J2 J3ω2ω3 u1 J2 ω2 J3 J1ω3ω1 u2 J3 ω3 J1 J2ω1ω2 u3 onde ω1 ω2 e ω3 são componentes do vetor veloci dade angular ω ao longo dos eixos principais u1 u2 u3 são os torques de entrada aplicados sobre os eixos principais e J1 J2 e J3 são os momentos de inércia principais a Mostre que com u1 u2 u3 0 a origem ω 0 é estável tomando como função candi data de Lyapunov Vx J1 2 ω2 1 J2 2 ω2 2 J3 2 ω2 3 b A estabilidade é assintótica Justifique 4 Seja o modelo a seguir que representa um sistema massamola com mola linear e amortecimento vis coso não linear descrito por c1yc2yy M g K c1 e c2 são constantes positivas M y Mg Ky c1y c2yy Mostre que o ponto de equilíbrio é estável utilizando o segundo método de Lyapunov 5 Considere o sistema x1 x2x3 1 x2 x1x3 x2 x3 x2 31 x3 a Mostre que o sistema tem um único ponto de equilíbrio PE b Usando linearização 1o método de Lyapunov ou método indireto mostre que o PE é estável