Atividade 3 - Física 4

FIS110 Fundamentos de Óptica e Quântica Prof Felipe Escórcio Atividade 3 A Atividade 3 consiste em três exercícios abrangendo todo o conteúdo abordado até o momento No dia 27032025 será selecionado em sala de aula um desses exercícios para ser realizado sem consulta com o prazo de 30 minutos para conclusão 1 A teoria clássica de RayleighJeans prevê que a radiância espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda é dada por a O que acontece com SλT quando λ0 Qual é a consequência disso para a energia total emitida por um corpo negro b Explique qualitativamente como o fator exponencial na Lei de Planck resolve o problema da catástrofe do ultravioleta Qual foi o princípio conceitual que levou Planck a derivar a equação correta 2 Considerando o efeito Compton deduza a seguinte expressão em termos da energia do fóton antes e depois da espalhamento a Utilizando a equação acima estabeleça a energia cinética adquirida pelo elétron ao considerarmos como 4 nm o comprimento de onda inicial do fóton ante de ser espalhado a θ 60º b Qual deve ser o ângulo θ para que a Energia Cinética do Elétron seja máxima 3 Considere uma partícula quântica confinada em uma caixa unidimensional de comprimento L A função de onda que descreve o estado da partícula no instante t0 é dada por a Verifique se a função de onda Ψx0 está normalizada b Calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre xL4 e x3L4 no instante t0 c Calcule o valor esperado da posição x da partícula no instante t0 1 A teoria clássica de RayleighJeans prevê que a radiância espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda é dada por S λ2 πckT λ 4 a O que acontece com SλT quando λ0 Qual é a consequência disso para a energia total emitida por um corpo negro b Explique qualitativamente como o fator exponencial na Lei de Planck resolve o problema da catástrofe do ultravioleta Qual foi o princípio conceitual que levou Planck a derivar a equação correta RESOLUÇÃO a Comportamento de S λT quando λ0 e a consequência para a energia total Na teoria clássica de RayleighJeans a radiância espectral de um corpo negro é dada por S λT 2 πckT λ 4 Quando λ0 O denominador λ 4 tende a zero muito rapidamente Isso faz com que S λT ou seja a radiância diverge para infinito em comprimentos de onda muito pequenos região do ultravioleta e além Consequência para a energia total emitida A energia total emitida por um corpo negro é obtida integrando S λT sobre todos os comprimentos de onda λ Etotal 0 S λ T dλ Como S λT quando λ0 essa integral diverge ou seja a energia total seria infinita Isso é fisicamente impossível e ficou conhecido como a catástrofe do ultravioleta pois contradizia os resultados experimentais que mostravam que a energia total emitida era finita b Como a Lei de Planck resolve a catástrofe do ultravioleta e o princípio conceitual de Planck A Lei de Planck corrige a fórmula de RayleighJeans introduzindo um fator exponencial que suprime a radiação em altas frequências pequenos λ S λT 2 πhc 2 λ 5 1 e hcλkT1 Efeito do termo exponencial Quando λ0 o termo e hcλkT cresce muito rapidamente dominando o denominador Isso faz com que S λT 0 evitando a divergência Assim a energia total emitida permanece finita resolvendo a catástrofe do ultravioleta Para derivar sua equação Planck introduziu uma hipótese revolucionária A energia das oscilações eletromagnéticas na cavidade do corpo negro não é contínua mas quantizada Ou seja a energia só pode assumir valores discretos múltiplos de um quantum Enhν n012 onde h é a constante de Planck e ν é a frequência da radiação Impacto Essa quantização impede que modos de alta frequência pequeno λ contribuam com energia infinita pois eles requerem quanta de energia muito grandes Ehν que se tornam cada vez menos prováveis à medida que ν aumenta devido ao fator de Boltzmann e hν kT Esse foi o nascimento da teoria quântica marcando o fim da física clássica e o início da mecânica quântica A Lei de Planck não apenas resolveu a catástrofe do ultravioleta mas também estabeleceu as bases para a revolução quântica no início do século XX 2 Considerando o efeito Compton deduza a seguinte expressão em termos da energia do fóton antes e depois da espalhamento E γ Eγ 1 Eγ mcc 2 1cosθ a Utilizando a equação acima estabeleça a energia cinética adquirida pelo elétron ao considerarmos como 4 nm o comprimento de onda inicial do fóton ante de ser espalhado a θ 60º b Qual deve ser o ângulo θ para que a Energia Cinética do Elétron seja máxima RESOLUÇÃO Dedução da Equação do Efeito Compton O efeito Compton descreve o espalhamento inelástico de um fóton por um elétron resultando em um fóton com energia reduzida Eγ e um elétron com energia cinética Ke Passo a Passo da Dedução 1 Conservação de Energia e Momento o Energia inicial Eγme c 2 fóton elétron em repouso o Energia final Eγ pe c 2mec 2 2 fóton espalhado elétron em movimento o Conservação do momento pγpγ pe 2 Aplicando a Relação de Compton o O deslocamento no comprimento de onda é λ λ h me c 1cosθ o Convertendo para energia Eγhc λ hc Eγ hc Eγ h mec 1cosθ 1 Eγ 1 Eγ 1 mec 2 1cosθ 3 Isolando Eγ Eγ Eγ 1 Eγ mec 2 1cos θ a Energia Cinética do Elétron para λ4 nm e θ60 Dados Comprimento de onda inicial λ4 nm410 9m Ângulo de espalhamento θ60 Massa do elétron me91110 31kg Velocidade da luz c310 8ms Constante de Planck h66310 34J s Passo 1 Calcular Eγ energia do fóton incidente Eγhc λ 66310 34 310 8 410 9 49710 17 J310eV Passo 2 Calcular Eγ energia do fóton espalhado Eγ Eγ 1 Eγ mec 2 1cos θ Substituindo me c 2511 keV51110 3eV e cos60 05 Eγ 310 1 310 51110 3 105 310 130310 4 3099eV Passo 3 Energia Cinética do Elétron Ke Pela conservação de energia KeEγEγ 310309901eV Resposta A energia cinética do elétron é 01eV b Ângulo θ para Energia Cinética Máxima A energia cinética do elétron é máxima quando o fóton espalhado Eγ tem a menor energia possível o que ocorre quando o fóton é retroespalhado θ180 Justificativa Pela equação de Eγ o termo 1cosθ é máximo quando θ180 cos180 1 Eγ θ180 Eγ 1 2 Eγ mec 2 Assim a energia transferida ao elétron KeEγEγ é máxima Ke maxEγ 1 1 1 2 Eγ mec 2 Resposta O ângulo para máxima energia cinética do elétron é 180 3 Considere uma partícula quântica confinada em uma caixa unidimensional de comprimento L A função de onda que descreve o estado da partícula no instante t0 é dada por Ψ x 0 2 L sin πx L a Verifique se a função de onda Ψx0 está normalizada b Calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre xL4 e x3L4 no instante t0 c Calcule o valor esperado da posição x da partícula no instante t0 RESOLUÇÃO a Verificação da Normalização da Função de Onda A função de onda dada é Ψ x 0 2 L sin πx L Para verificar se está normalizada calculamos a integral de normalização 0 L Ψ x 0 2dx 0 L 2 L sin πx L 2 dx2 L 0 L sin 2 πx L dx Usando a identidade trigonométrica sin 2θ1cos2θ 2 2 L 0 L 1cos 2 πx L 2 dx 1 L 0 L 1cos 2πx L dx Resolvendo a integral 1 L x L 2π sin 2πx L 0 L 1 L L01 Conclusão A função de onda está normalizada pois a integral resulta em 1 b Probabilidade de Encontrar a Partícula entre x L 4 e x3 L 4 A probabilidade P é dada pela integral da densidade de probabilidade no intervalo P L4 3 L4 Ψ x 0 2dx2 L L4 3L4 sin 2 πx L dx Novamente usando sin 2θ1cos2θ 2 P 2 L L4 3 L4 1cos 2 πx L 2 dx 1 L L 4 3L4 1cos 2πx L dx Resolvendo a integral P 1 Lx L 2 π sin 2πx L L4 3L4 Substituindo os limites P 1 L 3 L 4 L 2π sin 3π 2 L 4 L 2π sin π 2 Simplificando sin 3 π21 e sin π21 P 1 L L 2 L 2 π 111 2 1 π 0503180818 Resposta A probabilidade é 1 2 1 π aproximadamente 818 c Valor Esperado da Posição x no Instante t0 O valor esperado da posição é dado por x 0 L xΨ x 0 2dx2 L 0 L xsin 2 πx L dx Usando a identidade sin 2θ1cos2θ 2 x 2 L 0 L x 1cos 2 πx L 2 dx 1 L 0 L xxcos 2πx L dx A integral se divide em duas partes 4 0 L x dx L 2 2 5 0 L x cos 2 πx L dx Integrando por partes ux dvcos2πx Ldx x cos 2 πx L dx L 2 π x sin 2πx L L 2 4 π 2 cos 2πx L Avaliando de 0 a L L 2π x sin 2πx L 0 L 0pois sin 0sin 2 π 0 L 2 4 π 2 cos 2πx L 0 L 0pois cos 2π cos 0 1 Portanto a segunda integral é zero Assim x 1 L L 2 2 0L 2 Resposta O valor esperado da posição é L 2