Exercícios Resolvidos - Probabilidade 2022 2

1) Se a função densidade conjunta de X e Y for dada por f(x,y) = e^{-x-y} para x > 0 e y > 0, quanto vale a probabilidade de (X,Y) está dentro do retângulo com vértices (0,48; 0,44), (0,48; 3,72), (1,14; 0,44) e (1,14; 3,72) e além disso X ser menor do que Y? a) 0,08905 b) 0,07362 c) 0,02888 d) 0,18872 e) 0,13306 3) Considere a v.a. (X,Y) com densidade conjunta f(x,y) = 2x/y com 0 < x < 1 e 1 < y < e, onde e é o número de Euler. Qual a probabilidade aproximada de (X,Y) estar dentro do retângulo com vértices (0,35; 1,37), (0,35; 1,48), (0,89; 1,37) e (0,89; 1,48)? a) 0,95121 b) 0,50035 c) 0,05171 d) 0,93056 e) 0,34916 5) Se a função densidade conjunta de X e Y for dada por f(x,y) = x + y para 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1, quanto vale a probabilidade de X estar no intervalo (0,44; 0,75) dado que Y é igual a 0,68? a) 0,49714 b) 0,1081 c) 0,63455 d) 0,02568 e) 0,33496 1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥−𝑦 0.48 ≤ 𝑥 ≤ 1.14 0.44 ≤ 𝑦 ≤ 3.72 Área de integração: Portanto: 𝑝 = ∫ ∫ 𝑒−𝑥−𝑦𝑑𝑦 1.14 𝑥 𝑑𝑥 1.14 0.48 + ∫ ∫ 𝑒−𝑥−𝑦𝑑𝑦 3.72 1.14 𝑑𝑥 1.14 0.48 𝑝 = ∫ (−𝑒𝑢)|−𝑥 − 1.14 −2𝑥 𝑑𝑥 1.14 0.48 + ∫ (−𝑒𝑢)|−𝑥 − 3.72 −𝑥 − 1.14𝑑𝑥 1.14 0.48 𝑝 = − ∫ (𝑒−𝑥−3.72 − 𝑒−2𝑥)𝑑𝑥 1.14 0.48 𝑝 = 0.04468 + 0.08836 𝑝 = 0.13306 3- 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 𝑦 0 < 𝑥 < 1 1 < 𝑦 < 𝑒 𝑝 = ∫ ∫ 2𝑥 𝑦 𝑑𝑦 1.48 1.37 𝑑𝑥 0.89 0.35 𝑝 = ∫ 2𝑥(ln|𝑦|)|1.48 1.37𝑑𝑦 0.89 0.35 𝑝 = 0.15446 ∫ 𝑥𝑑𝑦 0.89 0.35 𝑝 = 0.07723(𝑥2)|0.89 0.35 𝑝 = 0.07723 ∗ 0.6696 𝑝 = 0.05171 5- 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝑦 = 0.68 𝑓𝑌(𝑦) = ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 1 0 𝑓𝑌(𝑦) = (𝑥2 2 + 𝑥𝑦)|1 0 𝑓𝑌(𝑦) = 𝑦 + 1 2 𝑓𝑋|𝑌(𝑥) = ∫ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑌(𝑦) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Portanto: 𝑝 = ∫ 𝑥 + 0.68 0.68 + 0.5 𝑑𝑥 0.75 0.44 𝑝 = 1 1.18 ∫ (𝑥 + 0.68)𝑑𝑥 0.75 0.44 𝑝 = 1 1.18 (𝑥2 2 + 0.68𝑥) |0.75 0.44 𝑝 = 1 1.18 ∗ 0.39525 𝑝 = 0.33496