Algebra B - Tarefa 1 - Domínio de Integridade, Subanel e Homomorfismo

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Algebra B Professora Liliana Jurado Tarefa 1 Seja A Zi a bi a b Z onde i2 1 e a bi c di a c b d vamos definir e em A do seguinte modo para a b c d Z Soma a bi c di a c b di Produto a bi c di ac bd ad bci Prove que Zi e um domınio de integridade 2 Sejam A um anel a A e B x A x a 0 a Mostre que B e um subanel de A b Se A Z e a Z e nao nulo determine B 3 Sejam C0 1 f 0 1 0 1 fcontinua e F C0 1 R definida por Ff f12 f C0 1 Prove que F e um homomorfismo Calcule NF Nucleo de F F e sobrejetiva Justificar Enuncie o Teorema do Isomorfismo Identifique o anel C0 1NF 1 Sejam a bi c di e fi Zi Temos 1 a bi c di e fi a c b di e fi a c e b d fi a c e b d fi a bi c e d fi a bi c di e fi 2 a bi c di a c b di c a d bi c di a bi 3 O elemento neutro é 0 0i Pois a bi 0 0i a 0 b 0i a bi 4 Elemento oposto de a bi Zi é a bi Zi Pois a bi a bi a a b bi 0 0i 5 a bic die fi ac bd ad bci e fi ac bde ad bcf ac bdf ad bcei ace bde adf bcf acf bdf ode bcei Por outro lado a bic die fi a bice df cf dei ace df bcf de acf de bce dfi ace adf bcf bde acf ade bce bdfi Logo o produto é associativo 6 a b i c d i e f i a b i c e d f i a c e b d f a d f b c e i ac bd ad bc i a e b f a f be i Por outro lado a b i c d i a b i e f i a c b d ad bc i a e b f a f be i Logo a b i c d i e f i a b i c d i a b i e f i Analogamente obtemos a bi c d i e f i a b i e f i c d i e f i 7 A unidade é 1 1 0 i a b i 1 0 i a b i 1 0 i a b i 8 a b i c d i ac bd ad bc i Por outro lado c ai a b c ca db cb da i ac bd ad bc i Logo a b i c d i c ai a bi 9 a b i c d i 0 a c b d 0 ad bc 0 a b i 0 ou c d i 0 Logo nao existe divisor zero em Zci Portanto Zciz é um dominio 2 a Sejam A um anel e B x e A xa 0 T c A com a e A fixo Dados x y e A i o e A e 0a 0 Logo o e B ii x e B xa 0 y e B y a 0 Logo xa y a 0 x y a 0 Portanto x y e B iii x e B x a 0 y e B y a 0 Logo x a y a 0 xy a 0 Portanto xy e B Contudo concluímos que B é um subanel de A b Sejam A Z e B x Z xa 0 a Z a 0 Temos em Z xa 0 x 0 ou a 0 Como a 0 então x 0 Portanto B 0 Z 3º F C0 1 IR dado por Ff f12 é um homomorfismo De fato dados f g C0 1 temos i Ff g f g12 f12 g12 Ff Fg ii Ffg fg12 f12g12 Ff Fg Se Ff 0 então f12 0 Portanto NF f C0 1 f12 0 F é sobrejetiva De fato seja r IR Defina a função constante fx r Logo f C0 1 Temos Ff f12 r Portanto F é sobrejetiva Teorema do Isomorfismo Seja f A B um homomorfismo de aneis Então ANf Imf Como ImF IR logo pelo Teorema do Isomorfismo C0 1NF IR