Algebra-Listas-de-Exercicios-Ideais-Aneis-Quocientes-e-Polinomios-Irredutiveis

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Álgebra B Professora Liliana Jurado Lista de exercícios Ideais 1 Sejam I e J ideais de um anel A Prove que I J x y x I y J é um ideal de A I J ⁿ i1 xᵢ yᵢ n ℕ xᵢ I yᵢ J é um ideal de A 2 Seja I um ideal à esquerda e J um ideal à direita do anel A Prove então que IJ é um ideal de A Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Álgebra B Professora Liliana Jurado Lista de exercícios Anéis Quocientes e Teorema de Isomorfismo de Anéis 1 Calcule Endℤi 2 Prove que os anéis 2ℤ e 3ℤ não são isomorfos 3 Prove que os corpos ℚ2 e ℚ3 não são isomorfos 4 Seja F C0 1 ℝ definida por Ff f 12 f C0 1 Prove que F é um homomorfismo Calcule ImF e NF Identifique o anel C0 1Nf Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Álgebra para Licenciatura Professora Liliana J Lista de exercícios Algoritmo da divisão 1 Mostre que Se A é anel comutativo então Ax também é anel comutativo Se A é anel com unidade então Ax também é anel com unidade Se A é domínio de integridade então Ax também é domínio de integridade 2 Determine qx e rx tais que f x qx gx rx onde rx 0 ou rx gx e f x gx ℝx a f x x³ x 1 gx x² 1 b f x x³ x gx x 1 c f x x⁵ 1 gx x 1 d f x x⁴ 2 gx x² 2 e f x x³ 2 gx x ³2 3 Calcule a soma e o produto dos polinômios f x 2x³ 4x² 3x 3 e gx 3x⁴ 2x 4 sobre o corpo ℤ₅ 0 1 2 3 4 E sobre o corpo ℤ₇ 4 Calcule todas as raízes em K ℤ₅ do polinômio f x x⁵ 3x³ x² 2x ℤ₅x 5 Seja K um corpo Dizemos que K é um corpo algebricamente fechado se f x Kxα K tal que f α 0 Prove que ℝ não é um corpo algebricamente fechado Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Álgebra B Professora Liliana Jurado Lista de exercícios Polinômios Irredutíveis 1 Da pagina 74 do livro Adilson Gonçalves resolver os seguintes números 123479 e 10 2 Seja K um corpo e fx Kx 0 Prove que se fx é um polinômio de grau 2 e possui uma raiz a K então fx é redutível sobre K 3 Mostre que todo polinômio fx Rx de grau ímpar 3 é redutível sobre R 4 Determine todos os n de modo que x2 2 divide x5 10x 12 em Zn 0 1 n1 5 Determine todos os polinômios de grau 2 que sejam irredutível sobre K Z5 6 Determine todos os polinômios irredutíveis de grau 3 sobre K Z3 7 Prove que se J Rx x2 1 é um ideal maximal de Rx e identifique o corpo RxJ 8 Mostre que x3 x 1 Z5x é irredutível sobre Z5 9 Mostre que o polinômio px x3 2 é irredutível sobre o corpo Q 10 Prove que fx x4 4 é um polinômio redutível sobre o corpo Q Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Álgebra B Professora Liliana J Lista de exercícios Decomposição de Polinômios Irredutíveis 1 Decomponha o polinômio x4 5x2 6 em produto de fatores irredutíveis sobre os seguintes corpos K a K Q b K Q2 c K R 2 Decomponha sobre o corpo K Z3 os seguintes polinômios como produto de irredutíveis a x2 x 1 b x3 x 2 c 2x3 2x2 x 1 d x4 x3 x 1 3 Prove que os polinômios x2 3 é irredutível sobre o copro K Z5 Mas ainda se J Z5x px onde px x2 3 então o corpo Z5xJ possui exatamente 24 elementos Como determinar raízes racionais de polinômios em Qx Seja fx a0 a1 x an xn Qx Então fx b0c0 b1c1 x bncn xn bi ci Z i 1 n ci 0 i 1 n Considere c c0 c1 cn Z α Q é raiz de px 0 px c fx fα 0 c 0 α é raiz de fx Desta forma para determinar raízes racionais de polinômios em Qx basta determinar raízes racionais em Zx Proposição 01 Sejam fx b0 b1 x bn xn Zx α pq Q fα 0 e MDCp q 1 Então qbn e pb0 Prova Seja α raiz de fx Daí b0 b1 α bn αn 0 Como α pq temos que b0 b1 pq bn pqn 0 b0 b1 pq bn pqn 1 Disso multiplicando 1 por qn teremos b0 qn b1 p qn1 b2 p2 qn2 bn1 pn1 q bn pn b0 qn pb1 qn1 b2 p qn2 bn pn1 2 Portanto pb0 qn pb0 MDCp q 1 Multiplicando manipulando 2 bn pn b0 qn b1 p qn1 bn1 pn1 q bn pn qb0 qn1 bn1 pn1 Que implica em qbn pn qbn MDCp q 1 Universidade Federal de Pelotas Exercícios 1 Prove que os seguintes polinômios fx ℤx são irredutíveis sobre ℚ a fx x⁴ 2x³ 2x² 2x 2 b fx x⁷ 31 c fx x⁶ 15 d fx x³ 6x² 5x 25 2 Determine quais dos seguintes polinômios são irredutíveis sobre ℚ a x³ x 1 b x³ 2x 10 c x³ 2x² x 15 d x⁴ 2 3 Seja fx a₀ a₁x aₙxⁿ ℤx um polinômio de grau n Prove que se fx é mónico então toda raiz racional de fx é inteira 4 Prove que fx ax² bx c ℝx é irredutível sobre ℝ b² 4ac 0 5 Determine quais dos seguintes polinômios sobre os seguintes corpos K são irredutíveis a x⁷ 22x³ 11x² 44x 33 K ℚ b x³ 7x² 3x 3 K ℚ c x⁴ 5 K ℤ₁₇ d x³ 5 K ℤ₁₁ Lista Ideais 1 Sejam I e J ideais de um anel A Primeiro vamos mostrar que o conjunto I J x y x I y J é um ideal de A i 0 I J Pois 0 I 0 J Logo 0 0 0 I J ii Sejam xy I J Então x x₁ y₁ y x₂ y₂ com xᵢ I e yᵢ J i 12 Assum temos x y x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ I J I J Logo x y I J iii Sejam a A x x₁ y₁ I J ax ax₁ y₁ a x₁ a y₁ I J I J Analogamente xa x₁ y₁a x₁ a y₁ a I J Portanto I J é um ideal de A Agora considere o conjunto IJ xᵢ yᵢ n ℕ xᵢ I yᵢ J i 0 IJ Tomando xᵢ 0 ou yᵢ 0 i 1 n segue que xᵢ yᵢ 0 IJ ii Sejam Σni1 xi yi Σnj1 aj bj IJ Temos Σni1 xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn Σnj1 aj bj a1 b1 a2 b2 an bn Σni1 xi yi Σnj1 aj bj x1 y1 xn yn a1 b1 an bn x1 y1a1 b1 xn ynan bn IJ IJ Σni1 xi yi ai bi IJ iii Sejam a A e Σni1 xi yi IJ a Σni1 xi yi Σni1 a xi yi Σni1 a xi yi IJ I J Portanto IJ é um ideal de A ② Sejam I um ideal à esquerda e J um ideal à direita do anel A i 0 IJ Basta tomar xi 0 ou yi 0 i logo 0 IJ ii Sejam Σni1 xi yi Σnj1 aj bj IJ Σni1 xi yi Σnj1 aj bj Σni1 xi yi ai bi IJ IJ IJ iii Sejam a A Σni1 xi yi IJ a Σni1 xi yi Σni1 a xi yi Σni1 a xi yi pois I é ideal à direita IJ Logo a Σni1 xi yi IJ Agora Σ from i1 to n xi yia Σ from i1 to n xi yia Σ from i1 to n xiyi a pois J é ideal à direita logo Σ from i1 to n xi yia IJ portanto IJ é um ideal de A Lista Anéis Quocientes e Teorema do Isomorfismo ① Zi a bi a b Z seja f Zi Zi temos f1 1 pois Zi é um domínio logo fm m m Z fabi a b fi a b Z fi² f1 1 logo fabi² a² b² portanto undZi IdZi f f² 0f ② Suponha que f 2Z 3Z é um homomorfismo temos 2² 4 2 2 então f2² f22 f2f2 f2² e f2 2 f2 f2 2 f2 logo f2² 2 f2 f2² 2 f2 0 f2f2 2 0 assim segue f2 2 0 ou f2 0 se f2 2 0 então f2 2 3Z logo f2 0 Como f é um homomorfismo então f0 0 implicando que f não é injetor portanto 2Z não é isomorfo à 3Z 3 Suponha que f Q2 Q3 é um isomorfismo Sejo f2 a b3 Q3 Temos 2 f2 f22 a b32 a2 3b2 2ab3 Logo 2 a2 3b2 e 2ab 0 Como 2ab 0 então a0 ou b0 Se a0 então 2 3b2 e b 23 Q Logo a 0 e b0 Mas se b0 2 a2 implica a 2 Q com tradução Portanto Q2 e Q3 não sao isomorfos 4 Seja F C01 IR dada por Ff f12 f C01 Sejam f g C01 i Ff g f g12 f12 g12 Ff Fg ii Ffg fg12 f12g12 FfFg Portanto F é um homomorfismo Se Ff 0 então f12 0 Logo NF f C01 f120 Im F IR Pois y IR existe f C01 tal que Ff f12 y Pelo teorema de isomorfismo temos C01 NF IR Lista Algoritmo da divisão 1 Seja A um anel comutativo Vamos mostrar Ax ao a1x anxn ai A i 1n é também um anel comutativo Sabemos que Ax é anel basta mostrar que vale a comutatividade Sejam px ao a1x anxn qx b0 b1x brxn Ax Temos pxqx co c1x ckxk onde c0 a0b0 b0a0 c1 a0b1 a1b0 b0a1 b1a0 pois ai bi A e A é comutativo Logo pxqx qxpx e portanto Ax é comutativo o Suponha que A é um anel com unidade 1 O polinômio constante px1 é a unidade de Ax Pois qx a0 anxn Ax qx1 1qx qx o Seja A um domínio de integridade já vimos como A é comutativo e têm unidade então Ax é comutativo com unidade Resta mostrar que Ax não tem divisores de zero Sejam px ao anxn qx b0 bmxm Ax Temos se pxqx 0 então a0b0 0 a00 ou b00 a0bk a1bk1 ank1b1 akb0 0 ai 0 ou bj 0 pois ai bj A e A é domínio Portanto pxqx 0 se qx 0 ou px 0 Logo Ax é um domínio de integridade 2 a f1x x3 x 1 gx x2 1 Temos x3 x 1 x2 1 x3 x x 1 Logo f1x x x2 1 1 onde gx x e rx 1 b f1x x3 x gx x 1 Temos x3 x x 1 x3 x2 x2 x 2 x2 x x2 x 2x 2 x 2 22 Portanto f1x x2 x 2x2 1 2 onde gx x2 x 2 e rx 2 c f1x x5 1 gx x 1 Temos x5 1 x 1 x5 x4 x4 x3 x2 x 1 x4 1 x4 x3 x3 1 x3 x2 x2 1 x2 x x 1 x 1 23 Logo f1x x4 x3 x2 x 1x 1 onde gx x4 x3 x2 x 1 e rx 0 d f1x x4 2 gx x2 2 Temos x4 2 x2 2 x4 2 x2 x2 2 2 x2 2 2 x2 4 Logo f1x x2 2x2 2 2 onde gx x2 2 e rx 2 3 sejam fx 2 x3 4 x2 3 x 3 e gx 3 x4 2 x 4 Em Z5 fx gx 3 x4 2 x3 4 x2 5 x 7 3 x4 2 x3 4 x2 2 fxgx 2 x3 4 x2 3 x 3 3 x4 2 x 4 6 x7 4 x4 8 x3 12 x6 8 x3 16 x2 9 x5 6 x2 12 x 9 x4 6 x 12 x7 2 x6 4 x5 3 x4 x3 2 x2 3 x 2 Em Z7 fx gx 3 x4 2 x3 4 x2 5 x 7 3 x4 2 x3 4 x2 5 x fxgx 6 x7 5 x6 2 x5 6 x4 2 x3 x2 4 x 5 e fx x3 2 gx x 2 Temos x3 2 x 2 x3 2 x2 x2 2 x 2 2 x2 2 2 x2 2 x 2 x 2 2 x 22 22 2 Logo fx x2 2 x 2 x 2 22 2 onde gx x2 2 x 2 e rx 22 2 4 Sejam kZ5014 e fx x5 3x3 x2 2x Temos f00 f1 1 3 1 2 7 2 f2 32 38 4 4 32 24 8 64 4 f3 243 81 9 6 339 4 f4 1024 192 16 8 1240 0 Portanto as raízes de fx x5 3x3 x2 2x em Z5 são 0 e 4 5 IR não é algebricamente Fechado Pois o polinômio fx x2 2 não possui raiz em IR Lista Polinômios Irreativos Pág 74 1 Seja x4 4 a0 a1 x a2 x2b0 b1 x b2 x2 a0 b0 a0 b1 x 0b2 x2 a1 b0 x a1 b2 x2 a1 b0 x2 a1 b0 x3 a1 b2 x4 Logo a0 b0 4 a0 b1 a1 b0 0 a0 b2 a1 b1 a2 b0 0 a1 b2 a2 b1 0 a2 b2 1 onde obtemos a0 b0 1 a1 2 b1 2 e a2 b2 2 Portanto x4 4 x2 2x 2x2 2x 2 2 a MDC fx gx x 5 b MDC fx gx x 2 3 a fx x3 6x2 x 4 x 1x2 5x 4 gx x5 6x 1 MDC f g 1 b fx x6 1 gx x6 x3 x 1 x 1x5 x4 x3 1 MDC f g 1 4 Sejam fx gx Kx101 Suponha que dx é um MDC de fx e gx Logo fx q1x dx gx q2x dx Se a 0 temos adx fx e adx gx Portanto adx é um MDC de fx e gx 9 a x5 x3 3x 5 x4 7 x3 8x x5 7x3 8x3 3x 5 8x3 56x 59x 5 Logo fx x3 8xx4 7 59x 5 onde qx x3 8x rx 59x 5 b x5 x3 3x 5 x 2 x4 2x3 3x2 6x 15 x5 2x4 2x4 x3 3x 5 2x4 4x3 3x3 3x 5 3x3 6x2 6x2 3x 5 6x2 12x 5 15x 5 15x 30 25 Logo fx x4 2x3 3x2 6x 15x 2 25 onde qx x4 2x3 3x2 6x 15 rx 25 c x5 x3 3x 5 1x 2 x4 2x3 3x2 6x 15 x5 2x4 2x4 x3 3x 5 x4 2x3 3x2 x 2x4 4x3 3x3 3x 5 3x3 6x2 6x2 3x 5 6x2 1 2x 15x 5 15x 30 35 0 fx x4 2x3 3x2 xx 2 d x5 x3 3x 5 x3 x 1 x5 x3 x2 x2 2 2x3 x2 3x 5 2x3 2x 2 x2 5x 7 x2 2x 2 Logo fx x2 2x3 x 1 x2 2x 2 qx x2 2 rx x2 2x 2 10 a sejam fg J i 0 J Pois 0x 0 x ii fg1 f1 g1 0 fg7 f7 g7 0 Logo fg J iii seja qx Qx qxfx q1f1 0 q7f7 0 Logo qf J Portanto J é ideal px x2 8x 7 J não é maximal b J não é ideal Pois o J já que ox 0 x c i 0 J ii f g J f g3 f3 g3 0 Logo f g J iii f J g Qx g f 3 g3 f3 0 Logo g f J J é ideal px x 3 J é maximal d i 0 J ii f g J f g4 f4 g4 0 f g0 f0 g0 f1 g1 f g1 Logo f g J iii g Qx f J g f4 g4 f4 0 g f0 g0 f0 g0 f1 g f1 Portanto J não é um ideal 2 Sejam K um corpo e fx Kx 201 Suponha 2 fx 2 e α K é uma raiz Então x αfx ou seja fx x α qx com qx Kx 201 Portanto f é irretavel sobre K Se a3 0 temos lim fx e x lim fx x Ambos casos f é continua Em algum ponto a função muda o sinal Logo todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real Logo é reativo Analogamente mostrase para polinômios de grau ímpar 3 4 x5 10x 12 x2 2 x3 2x x5 2x3 2x3 10x 12 2x3 4x 6x 12 6x 12 0 6x 12 x 2 n 2m m Z Todos n múltiplo de 2 5 K Z5 014 Polinômio grau 2 é da forma a0 a1x a2x2 a2 0 1 x2 x 1 x2 3 x2 2 x2 2x 4 x2 3x 4 x2 4x 1 x2 2x 3 x2 3x 3 x2 x 3 x2 4x 3 6 K Z3 0 1 2 Grau 2 x2 1 x2 x 2 x2 2x 2 Grau 3 x3 2x 1 x3 2x 2 x3 x2 2 x3 x2 x 2 x3 x2 2x 1 x3 2x2 1 x3 2x2 x 1 x3 2x2 2x 2 Grau 1 x 1 0 2 O polinômio x2 1 é irrealizável sobre R pois x2 1 ou seja x 1 R Logo o ideal J Rxx2 1 é maximal e RxJ é um corpo com elementos de forma fx J 8 Seja fx x3 x 1 f0 1 f1 3 f2 2 f3 1 f4 4 Logo f é irrealizável sobre Z5 9 Seja px x3 2 Se p é primo temos 2 x 1 2 1 2 4 x 2 Logo por Eisenstein px é irrealizável sobre Q 10 Seja fx x4 4 Como x4 4 x2 2x 2x2 2x 2 temos que fx x4 4 é realizável sobre Q Lista Decomposição de Polinômios irredutíveis 1 Seja fx x4 5x2 6 As raízes de fx são x 3 2 a K Q fx x2 2x2 3 b K Q2 x4 5x2 6 x2 2 x4 2x2 x2 3 3x2 6 x2 2 x 2 fx x 22 x2 3 c K IR fx x2 2x2 3 2 a fx x2 x 1 f1 0 x2 x 1 x 2 x2 2x x 1 x 1 2x 1 2x 1 0 Logo fx x zx z b fx x3 x z fz 0 x3 x z x 1 x3 x2 2x 2 x2 x z 2x2 x z 2x2 2x x z 2x z 2x z 0 Logo fx x 1x2 2x z c f1x 2 x3 2 x2 x 1 f11 0 2 x3 2 x2 x 1 2 x3 4 x2 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 2 x x 1 2 x 1 2 x 4 0 seja gx 2 x2 x 2 temos g2 0 2 x2 x 2 2 x2 2 x x 2 2 x 2 2 x 2 0 logo f1x x 2 x 1 2 x 2 d f1x x4 x3 x 1 f12 0 x4 x3 x 1 x4 x3 x 1 x 1 seja gx x3 1 temos g2 0 x3 1 x3 x2 x2 2 x 1 2 x2 2 x 2 x 1 x 1 x 1 0 Seja fx x2 2x 1 f2 0 x2 2x 1 x 1 x 1 x2 x x 1 x 1 Logo fx x 14 3 Sejam fx x2 3 e K Z5 Se fx x2 3 é irredutível em Z5 então x2 3 x ax b x2 ax bx ab x2 a bx ab Logo ab 3 Mas não existem a b 0 a b e Z5 tais que ab 3 Portanto b b 0 x2 3 é irredutível em Z5 Logo J Z5x px é um ideal maximal e portanto Z5xJ é um corpo com 52 25 elementos 1 a fx x4 2x3 2x2 2x 2 Para p 2 temos i 2 x 1 ii 21 2 iii 22 x 2 Por Eisenstein fx é irredutível sobre Q b fx x7 31 Para p 31 temos i 31 x 1 ii 31 31 iii 312 x 31 Por Eisenstein fx é irredutível sobre Q c fx x6 15 Para p 5 i 5 x 1 u 515 iii 52 x 15 Por Eisenstein fx x6 15 é irreative l sobre 𝒬 d fx x3 6x2 5x 25 é irreative l sobre 𝒬 pois possui uma raiz em 𝒬 2 a Seja fx x3 x 1 fx é irratível sobre 𝒬 pois possui uma raiz em 𝒬 b fx x3 2x 10 é irreative l para p 2 c fx x3 2x2 x 15 é irratível pois possui raiz em 𝒬 d fx x4 2 é irreative l sobre 𝒬 usando p 2 3 Se fx a0 a1 x an xn e cd a raiz de fx então a0 dn a1 c dn1 an1 cn1d cn 0 ou seja cn an1 cn1 d a1 c dn1 a0 dn Como d divide o segundo membro terá que dividir o primeiro membro ou seja cn Mas mdccd 1 logo d 1 Portanto cd é inteira Se fx ax² bx c e b² 4ac 0 Então fx tem raiz real Logo é realtivel Reciprocamente se fx ax² bx c e b² 4ac 0 então fx não têm raiz real e portanto irrreativel a é irrreativel por Eisenstein urano P 11 b é realtivel pois posui raiz em Q c x⁴ 5 é irrreativel em Z₁₇ pois não possui raiz em Z₁₇ d x³ 5 é irrreativel em Z₁₁ pois não possui raiz em Z₁₁