Demonstração Algebra B

5 Considere as seguintes operações em Z Z a b c d a c b d e a b c d ac ad bc respectivamente como adição e multiplicação Mostre que Z Z é um anel Qual o zero deste anel É um anel comutativo Tem unidade Se tiver qual é É um anel de integridade Exercício 5 Para mostrar que ZxZ é um anel verificase primeiro que ZxZ é um grupo abeliano Definese abcdac bd Verificase que o resultado de abcd pertence a ZxZ logo há fechamento Para a associatividade considerase abcdef ac bdef ace bdf ace bdf Também abcdef abce df ace bdf ace bdf Como os resultados são iguais a operação é associativa O elemento neutro aditivo é 00 pois ab00a0 b0ab O elemento inverso de ab é ab pois ababaa bb00 A comutatividade de segue diretamente de abcdac bdca dbcdab Logo ZxZ é um grupo abeliano Em seguida verificase se a operação é fechada associativa e distributiva em relação a Definese abcd ac adbc O fechamento ocorre pois a b c d são inteiros e então a c e a d b c também são inteiros Para a associatividade considerase abcdef Primeiro calculase abcd ac adbc Substituise esse resultado na operação ac adbcef ace acfadbc e O primeiro componente é a c e O segundo é a c f a d b c e Por outro lado cdef ce cfde e então abcdef abce cfde ace acfdebce O primeiro componente é a c e O segundo é ac f d e bc e Expandindo observase que coincide com o resultado anterior pois a multiplicação de inteiros é associativa e comutativa e a soma também é associativa e comutativa garantindo a igualdade dos dois lados A distributividade à esquerda se verifica por abcdef abce df ace adfbce e abcdabef ac adbcae afbeacae adbcafbe Fazendo as somas e produtos de inteiros obtémse a mesma expressão em ambos os casos De modo análogo verificase a distributividade à direita Portanto ZxZ satisfaz as propriedades de anel O zero do anel é 00 pois ab00ab e ab00a0 a0b000 Para verificar se o anel é comutativo observase que a adição já é comutativa Verificase a comutatividade da multiplicação abcdac adbc cdabca cbda Como a c c a e a d b c d a c b a operação é comutativa Assim o anel é comutativo Para verificar se há unidade multiplicativa procurase e1e2 tal que abe1e2ab Isto significa ae1 ae2be1ab Comparando componentes obtémse a e1a para todo a que implica e11 Substituindo em a e2be1b temse a e2bb o que dá a e20 para todo a Isto exige e20 Portanto a unidade é 10 pois ab10a1 a0b1ab Para verificar se é anel de integridade verificase a existência de divisores de zero Por exemplo consideramse 01 e 01 Calculase 010100 011000 Ambos são diferentes de 00 mas seu produto é 00 Isto mostra que o anel possui divisores de zero logo não é um anel de integridade