Lista de Exercícios Álgebra Subanéis Subcorpos Ideais UFPel

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Álgebra B Professora Liliana Jurado Lista de exercícios Nº 2 Subaneis Subcorpos e Ideais 1 Provar que DR CR FR Onde A FR f R R com as operações A A A A A A f g f g f g f g tal que f g R R x fx gx f g R R x fx gx CR f R R contínua DR f R R derivável 2 n N p 2 primo Provar que nZ Z Zp Qp R 3 Seja A um anel e a A Prove que B x A x a a x é um subanel de A 4 Se BiiN uma sequência de subáneis de um anel A Prove que B iNBi é também um subanel de A 5 Seja A um anel e a A Prove que I x A x a 0 é um ideal à esquerda de A 6 Mostre que a interseção de ideais de um anel A é também um ideal de A ① Vamos mostrar que DR CR FR Claramente DR CR FR todo Função derivável é continua I DR CR Sejam f g DR i DR 0 Pois a Função identicamente nula 0x DR já que é derivável ii Como a soma das Funções deriváveis é uma Função derivável Então f g DR iii Como o proato de Funções deriváveis é derivável segue que fg DR Portanto DR CR II CR FR Sejam f g CR i CR Pois a Função identicamente nula 0x CR já que é continua ii Como a soma de Funções contínuas é uma Função contínua então f g e CR iii Proato de Funções contínuas é continua logo fg CR Portanto CR FR contudo concluímos DR CR FR ii sejam n N p 2 primo Queremos mostrar nZ Z Zp Qp IR I nZ Z Observe que nZ na a Z Z Pois x nZ x na a Z x Z Logo nZ Z Dados x na y nb nZ ii nZ Pois n0 0 nZ iii x y na nb na b nZ Logo x y nZ iii xy nanb nnab nZ Logo xy nZ Portanto nZ Z ii Z Zp Observe que Z Zp a bp a b Z p primo tq p x x Z Logo como a bx Z então Z Zp Sejam ab Z i Z pois 0 Z iii a b Z iii xy Z Logo Z Zp iii Zp Qp Observe que Zp Qp Pois xy Z podemos escrever x x1 y y1 Logo x yp Qp Sejam x a1 b1p y a2 b2p Zp i Zp Pois 0 0 0p Zp ii x y a₁ b₁ p a₂ b₂ p a₁ a₂ b₁ b₂ p Z p iii xy a₁ b₁ p a₂ b₂ p a₁ a₂ b₁ b₂ p b₁ a₂ a₁ b₂ p Logo xy Z p Portanto Z p Q p iv Q p IR Observe que Q p IR Pois x Q p x a b p com a b Q Logo x IR Dados x a₁ b₁ p y a₂ b₂ p i Q p Pois 0 0 0 p Q p ii x y a₁ a₂ b₁ b₂ p Logo x y Q p iii xy a₁ b₁ p a₂ b₂ p a₁ a₂ b₁ b₂ p a₁ b₂ b₁ a₂ p Logo xy Q p Portanto Q p IR Por I II III e IV continuos que nZ Z Z p Q p IR ③ Sejam A um anel e a A Considere B x A xa ax A Dados x y B i B Pois 0 A e temos 0a a0 0 Logo 0 B ii x B xa ax 1 y B ya ay 2 Subtraindo 2 de 1 xa ya ax ya x y a a x y Logo x y B iii x B xa ax y B ya ay Logo xaya axay xya axy Portanto xy B Concluímos assim que B é um subanel de A 4 Seja Bi i IN uma sequência de subaneis de um anel A Vamos mostrar B Bi i IN é também um subanel de A Dados x y B i B Como cada Bi é um subanel de A logo i IN Bi ii x y B x y Bi i IN Como cada Bi é subanel de A então x y Bi i IN Logo x y B iii x y B x y Bi i IN Como cada Bi é um subanel então xy Bi i IN Assim segue que xy B Portanto B Bi i IN é um subanel de A 5 Sejam A um anel a A Considere o conjunto I x A xa 0 Sejam x y I Temos i I Pois 0 A e 0a 0 ii x I xa 0 y I ya 0 Logo xa ya 0 x y a 0 Portanto x y I iii Sejam b A x I x I xa 0 b xa b0 bx a 0 Digitalizado com CamScanner Logo bx I Portanto I é um ideal à esquerda de A Digitalizado com CamScanner 6 Sejam A um anel e IᵢᵢJ uma coleção de ideais de A Vamos mostrar I ᵢJ Iᵢ também é um ideal de A i I Pois cada Iᵢ i J é um ideal de A logo 0 Iᵢ i J Portanto ᵢJ Iᵢ ii Sejam x y I Então x y Iᵢ i J Como cada Iᵢ é um ideal então x y Iᵢ i J Portanto x y I iii Sejam a A x I x Iᵢ i J Como cada Iᵢ é um ideal então ax Iᵢ i J Logo ax I xa Iᵢ i J xa I Portanto I ᵢJ Iᵢ é um ideal de A Digitalizado com CamScanner