Analise Real - Trabalho 1 - UFPel - Conjuntos, Enumerabilidade e Indução

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Analise Real 1 Professora Liliana Jurado Trabalho 1 1 Sejam X Y conjuntos finitos disjuntos com m e n elementos respectivamente Entao X Y e finito e possui m n elementos 2 Provar que Z e enumeravel Provar que Z 0 e enumeravel Provar que Q e enumeravel 3 Prove por inducao 1 xn 1 nx nn 1 2 x2 se x 0 4 Seja Y 1 2n n N Provar que infY 0 e supY 1 2 1 1 Sejam X Y conjuntos finitos disjuntos com m e n elementos respectivamente Temos as seguintes possibilidades i X ø e Y ø Se X ø e Y ø então X Y X logo X Y é finito Logo card X Y card Y card Y 0 n m card Y card X ii Se X Y ø Se X Y ø então card X card Y 0 Então X Y ø Logo card X Y 0 m n onde m n 0 iii X ø e Y ø Se X ø então m 0 e Y ø então X Y Y Logo card X Y card Y n m n com m 0 iv X ø e Y ø Se X ø e Y ø então como X e Y são finitos existem bijeções f Im X e g In Y Como X Y ø então card X Y 0 Seja h Imn X Y uma função bijetiva dada por hi f1i se i m gm n i 1 se i n Como Im n é Finito e h uma bijeçã então X Y é Finito e card X Y m n 2 Z é enumerável Prova Temos que mostrar uma Função bijetora de IN em Z Considere a Função f IN Z dada por fn n2 se n é par n 12 se n é ímpar f é injetora i n1 n2 IN tais que n1 e n2 são par Se fn1 fn2 n12 n22 n1 n2 ii n1 n2 IN com n1 n2 ímpares fn1 fn2 n1 12 n2 12 n1 12 n2 12 n1 n2 Logo f é injetora f é sobrejetora Queremos mostrar que m Z n IN tal que fn m Se m n2 basta tomar n 2n e se m n 12 basta tomar n 2n 1 Logo f é sobrejetora Portanto f é bijetora implicando que Z é enumerável Z 10 T é enumerável Prova Basto considerar N N 10T logo a Função f IN Z 10T dada por fn n2 se n é par n12 se n é ímpar é uma bijeção de acordo que provamos no item anterior Portanto Z 10T é enumerável Q é enumerável Prova Como Z e Z 10T são enumeráveis então Z x Z 10T é enumerável Considere a Função dada por f Z x Z 10T Q dada por fmn mn f é sobrejetiva Pois para todo y Q existe x Z x Z 10T tal que fx y Se y mn basta tomar x mn Portanto Q é enumerável Obs Usamos esse teorema Seja X um conjunto enumerável e se f X Y é sobrejetiva então Y é enumerável 3 Prova Se n 1 então 1 x1 1 1 x 0 x2 logo para n 1 a desigualdade é verdadeira Por indução suponha que para n k vale 1 xk 1 kx kk12 x2 com x 0 Então a desigualdade é válida para k 1 Temos 1 xk 1 kx kk12 x2 Multiplicando ambos lados por 1 x 1 xk 1 x 1 kx kk12 x21 x 1 kx kk12 x2 x kx2 kk12 x3 0 1 kx kk 12 x2 x kx2 1 k 1x k 1k2 x2 Logo a desigualdade vale para k 1 Portanto n ℕ x 0 1 xn 1 nx nn 12 x2 4 Seja Y 12n n IN Afirmação 12 12n n IN Se n 1 então 12 121 Logo a desigualdade vale para n 1 Agora suponha que para n k vale 12 12k Então 12 12k1 Como 12k1 12k 12 12 12 Logo 12k1 12 e portanto a afirmação vale para k 1 Concluído obtemos 12 12n n IN Agora observe que 12 Y basta tomar n1 Como 12 12n n IN segue da definição de supremo que sup Y 12 Continuando temos 0 12n n IN Logo 0 é cota inferior de Y Suponha que c 0 Vamos mostrar que c não é cota inferior de Y Como IR é um corpo arqimediano existe n IN tal que n 1c 1 logo 1 n 1c Pela desigualdade de Bernoulli temos 2n 1 1n 1 n 1c 12n c Logo c não é cota inferior de Y Portanto inf Y 0