Continuidade Uniforme em Funções: Teoremas e Exemplos

Continuidade Uniforme Profa Liliana Jurado Funcoes Contınuas Sejam X Y R e f X Y uma bijecao Supondo f contınua sera que sua inversa f 1 Y X e contınua A resposta e em geral negativa Exemplo Sejam X 1 0 1 2 e Y 0 4 Analisar a func ao f X Y definida por f x x2 O seguinte teorema mostra que se f I J entre intervalos e contınua entao sua inversa f 1 J I tambem e contınua Teorema Sejam I J R intervalos e f I J contınua bijetiva entao f e monotona e sua inversa g J I e contınua Profa Liliana Jurado Continuidade Uniforme Funcoes Contınuas Corolario Para n par a funcao g 0 0 gx nx e contınua Corolario Para n ımpar a funcao g R R gx nx e contınua Definicao Sejam X Y R Um homeomorfismo entre X e Y e uma bijecao contınua f X Y cuja inversa f 1 Y X e contınua Profa Liliana Jurado Continuidade Uniforme Funcoes Contınuas Teorema Se X R e compacto entao toda bijecao contınua f X Y R tem inversa contınua g Y X Exemplo O conjunto Y 0 1 12 1n e compacto e a bijecao f N Y definida por f 1 0 f n 1n 1 se n 1 e contınua mas sua inversa f 1 Y N e descontınua no ponto 0 Logo a comapcidade de X nao nap pode ser substituıda pela de Y Profa Liliana Jurado Continuidade Uniforme Funcoes Contınuas Definicao Uma funcao f X R dizse uniformemente contınua no conjunto X quando ϵ 0 δ 0 x y X y x δ f y f x ϵ Uma funcao uniformemente contınua f X R e contınua em todos os pontos do conjunto X Exemplo Analisar f R 0 R definida por f x x x Exemplo Analisar f R R definida por f x 1 x Profa Liliana Jurado Continuidade Uniforme Funcoes Contınuas Teorema A fim de que f X R seja uniformemente contınua e necessaario e suficiente que para todo para de sequˆencias xn yn em X com limyn xn 0 tenhase limf yn f xn 0 Exemplo Analisar f R R definida por f x x2 Profa Liliana Jurado Continuidade Uniforme Funcoes Contınuas Teorema Seja X R compacto Toda funcao contınua f X R e uniformemente contınua Definicao Uma funcao f X R chamase lipschitziana quando k 0 f x f y kx y x y X Exemplo Analisar f lipschitziana Profa Liliana Jurado Continuidade Uniforme