Refazer a Demonstração da Proposição - Análise Real

Proposição 426 Seja xn uma sequência e c R Então o ponto c é ponto aderente de xn se e somente se para todo ε 0 o conjunto n N xn c ε c ε é infinito Demonstração Suponha que c R seja ponto aderente de xn Então existe uma subsequência xnk de xn tal que xnk c Tome ε 0 Então pela definição de limite segue que existe um índice n0 N tal que nk n0 implica em xnk c ε ou seja implica em c ε xnk c ε nk n0 e como tal desigualdade pela definição de limite vale para uma infinidade de índices nk desde que nk n0 concluímos que o conjunto nk xnk c ε c ε é infinito Reciprocamente suponha que ε 0 xn c ε c ε para uma infinidade de índices n Vamos construir uma subsequência xnk tal que xnk c De fato como a pertinência acima vale para todo ε 0 então Para ε 1 0 o conjunto de pontos de xn tais que xn c 1 c 1 é infinito Então escolha um índice n1 tal que xn1 c 1 c 1 Para ε 12 0 o conjunto de pontos de xn tais que xn c 12 c 12 é infinito Assim escolha um índice n2 n1 tal que xn2 c 12 c 12 Para ε 13 0 o conjunto de pontos de xn tais que xn c 13 c 13 é infinito Assim escolha um índice n3 n2 tal que xn3 c 13 c 13 Segue a construção por indução para ε 1k 0 suponha escolhido o índice nk nk1 tal que xnk x 1k c 1k para uma infinidade de índices para ε 1k1 0 escolhese o índice nk1 nk tal que o conjunto n N c 1k1 c 1k1 é infinito Assim por indução construímos uma subsequência xnk de xn tal que xnk c 1k o que fazendo k concluímos que xnk c Portanto c é um ponto aderente para a sequência xn Teorema Seja Xul umasequência e celR Então a ponto c e ponto aderente de Axnl se e somente se para todo ano a conjunto A neNXnec 3 c a é infinito Demonstração O Teorema é uma equivalência logo inemos demonstra a ida e a volta ED Primeiro vamos anumir que CER é um ponto aderente dasequência X au seja existe uma subsequência Xne de 1 de modo que 5 fim Xn C n Di Defina o seguinte subconjunto dos naturais C E C A neNXnec 3 c a ⑳ D peladefiniçãodo limite em Is temos pa todo anoexiste notIN tol que em 2 xn C pela desigualdade em 21 e definição de módulo temos Xn CE podemos soma a e todos a famos e manter a desigualdade c dXny c c C c 2XmC E Anim para todo aso existe NoEN Mas no implica que éamemode te como inaaein Para a voltasuporta que para todo eso temos que A é infinito ou seja necepu umainfinidadedeÍndice nQuemmata que aon a e limXT Para C 100 por hipótese existem infinitos XnECs C 1 vamos escolher um no quel quen fal que Xugecs c 1 Para E 210 por hipotese existem infinitos Xn CS C 2 existe na tol que Xe C si c S2 cs Para E 11310 por hipotese existem infinitos XnEPCS3 C 113 existe Un tol que X ec 13 c 113 112 C 12 c s c 1 3 Podemos continua a constração por indução matemática into é suporta que já escolhemos Ineentãpua E 10 o conjunto dos índices n tai que XnsA Pr p n fol que XntC1 0 C 1k logo 2 k Xn C 1k EX mc 3 Anim por inclusão construímos umabrequêcia X de n além dino fazendo Ke0 em ambos os lados de 131 obtemos que lim X Xua c 1 C 2 t 111111111 C 2 C Xuk C 1 Figura Diagrama da construção de subsequência Xna