Conjuntos e Funcoes - Fundamentos da Analise Matematica

Capítulo 1 Conjuntos e funções A História contou que o jovem Dirichlet tinha como companhia constante em todas as suas viagens como um homem devoto tem seu livro de orações um velho e usado exemplar do Disquisitiones Arithmeticae de Gauss Heinrich Tietze Neste primeiro capítulo revisaremos alguns fatos principais sobre conjuntos e funções que serão necessários para o estudo da Análise 11 Conjuntos e operações Não definimos o que vem a ser um conjunto É simplesmente um sinônimo para uma coleção de elementos Para relacionar conjunto com elemento usamos a relação de pertinência anotada pelo símbolo Os elementos de um conjunto são representados normalmente por letras minúsculas de nosso alfabeto e os conjuntos são normalmente representados por letras maiúsculas Assim para dizer que um elemento x pertence a um conjunto A escrevemos x A e para dizer que um elemento y não pertence ao conjunto A escrevemos y A Uma maneira de expressar um conjunto X é dizendo qual a regra que decide se um dado elemento pertence ou não pertence ao referido conjunto Por exemplo seja X o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2 cuja diagonal principal não tem zeros Desta maneira temos que I₂ 1 0 0 1 X 2 0 5 3 X mas 0 3 2 1 X Uma maneira simples de representar o conjunto X dado acima é XAaij2x2 akk 0 14 Análise real De maneira geral dado X um conjunto qualquer cujos elementos de X satis façam uma propriedade p escrevemos X x x satisfaz propriedade p Utilizaremos os símbolos clássicos para denotar os conjuntos numéricos N para o conjunto dos números naturais N1234 Z para o conjunto dos números inteiros Z 3 2 10123 Q para o conjunto dos números racionais Q pq p Z e q N Estes serão os conjuntos numéricos que vamos assumir já conhecidos¹ No próximo capítulo vamos considerar o conjunto dos números irracionais ℑ e o conjunto dos números reais ℝ sendo este último como um corpo ordenado completo O conjuntos de todos os conjuntos que ocorrem numa dada discussão é chamado de conjunto universo ou espaço fundamental E Na teoria dos conjuntos também é importante a noção de conjunto vazio O conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos Ele é representado pelo símbolo ou por O conjunto vazio aparece em diversos contextos por exemplo n N n n É importante observar que não se deve confundir com O primeiro tratase do conjunto vazio e portanto não tem elemento algum já o segundo é um conjunto que possui um elemento o conjunto vazio Para relacionar conjuntos usamos o símbolo de contenção cf a definição abaixo ¹ O leitor deve ter estudado amplamente estes conjuntos em um curso de Aritmética Definição 11 Sejam A e B dois conjuntos em um universo E Dizemos que A está contido em B e escreveremos A B se todo elemento de A for elemento de B Mais precisamente A B x Ex A x B Quando A B dizemos que A é um subconjunto ou parte de B Para dizer que A não está contido em B basta exibir um elemento de A que não esteja em B ou seja A B x₀ A tal que x₀ B Uma propriedade que segue imediatamente da definição de contenção é a descrita na proposição a seguir Proposição 12 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto Demonstração Seja A um conjunto qualquer em um universo E Por absurdo suponhamos que A Assim x₀ tal que x₀ A Mas x₀ é um absurdo pois viola a definição de conjunto vazio Portanto A qualquer que seja o conjunto A A seguir definimos a igualdade de conjuntos Definição 13 Dizemos que dois conjuntos A e B em um universo E são iguais se todo elemento de A for elemento de B e todo elemento de B for elemento de A Mais precisamente A B A B e B A Proposição 14 Sejam A B e C conjuntos em um universo E Então valem as seguintes propriedades para a contenção de conjuntos i reflexiva A A ii antissimétrica se A B e B A então A B iii transitiva se A B e B C então A C Demonstração Sejam A B e C conjuntos em um universo E Mostramos cada item da proposição acima i Reflexiva A A De fato dado x A um elemento qualquer em A segue por repetição que x A Portanto A A ou seja segue a reflexividade ii Antissimétrica segue diretamente da definição 13 de igualdade de conjuntos Definição 15 Chamase diagrama de Venn toda figura fechada usada para representar graficamente um conjunto onde os elementos no interior da figura serão elementos pertencentes ao dado conjunto e os elementos fora da figura serão elementos não pertencentes ao conjunto em questão Definição 16 Sejam A e B conjuntos de um universo E Definimos a união entre A e B e anotamos por AUB o conjunto dos elementos de E que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos Mais precisamente A U B x E x A ou x B Proposição 17 Sejam A e B conjuntos em E Então A A U B e B A U B Definição 18 Chamase interseção entre dois conjuntos A e B e escrevemos A B ao conjunto dos elementos comuns a A e a B Mais precisamente A B x E x A e x B Proposição 19 Sejam A e B conjuntos em um universo E Então A B A e A B B Proposição 110 Sejam ABCM e N conjuntos em um universo E Valem as seguintes propriedades a A A A A A A b A A A c A B B A A B B A d A B C A B C A B C A B C e Se A B e M N então A M B N Se A B e M N então A M B N f A B C A B A C A B C A B A C c Mostraremos A B B A ie a comutatividade da interseção Af 01 A B B A Dado x A B segue que x A e x B ou seja x B e r A e portanto x B A Af 02 B A A B provase analogamente Portanto vale a comutatividade da interseção e Provaremos que A B e M N A M B N Suponhamos que A B e M N Precisamos mostrar que A M B N Para tanto basta mostrar que dado um elemento no primeiro conjunto este deve estar no segundo Assim seja x₀ A M Logo x₀ A B ou x₀ M B as contenções são devidas às hipóteses Logo temos x₀ B N o que prova o que queríamos f Provaremos que A B C A B A C Af01 A B C A B A C Seja x₀ A B C Assim x₀ A ou x₀ B C Se x₀ A pela proposição 17 temos que x₀ A A B e também x₀ A C Portanto x₀ A B A C e vale a afirmação 01 Por outro lado se x₀ B C segue que x₀ B B C e x₀ C A C e portanto x₀ A B A C e vale a afirmação 01 Af 02 A B A C A B C Por absurdo suponhamos que A B A C A B C Assim x₀ A B A C tal que x₀ A B C Assim x₀ A B e x₀ A C 11 Como x₀ A B C segue que 12 x₀ A e x₀ B C Por 75 e 76 temos x₀ B e x₀ C x₀ B C Mas isto é um absurdo pois contradiz 76 Logo vale a afirmação 02 As afirmações 01 e 02 provam a igualdade requerida Definição 111 Sejam A e B conjuntos não vazios em um universo E Definimos a diferença entre A e B e escrevemos A B ou A B por A B x E x A e x B Em outras palavras a diferença A B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B Abaixo temos uma representação em diagrama de Venn onde A B está sombreado Convém observar que a operação de diferença entre conjuntos não é comutativa ou seja em geral A B B A Deixamos para o leitor a confirmação deste fato Quando B A a diferença entre A e B é chamada de complementar de B em relação a A e escrevemos CA B A B Neste caso se considerarmos A como sendo o conjunto universo temos a definição que segue Definição 112 Seja B um conjunto qualquer em um universo E Definimos o complementar de B e escrevemos Bc como o conjunto de todos os elementos que estão fora de B ou seja Bc CE B E B x E x B Na proposição abaixo apresentamos as principais propriedades do complementar de um conjunto Proposição 113 Sejam A e B dois conjuntos em um universo E Então valem as seguintes propriedades a A Ac E A Ac b Acc A idempotência c A B Bc Ac d A Bc Ac Bc A Bc Ac Bc leis de De Morgan e A Ac E Demonstração a Mostraremos que A Ac E Note que A Ac E é óbvio cf a definição de espaço fundamental Resta mostrar que E A Ac Por absurdo se E A Ac segue que x₀ E tal que x₀ A Ac Então x₀ A e x₀ Ac Mas x₀ Ac x₀ Ac Absurdo Logo E A Ac Portanto vale que A Ac E b Podemos provar as duas contenções simultaneamente x A x Ac x Acc c Suponhamos que A B Precisamos mostrar que Bc Ac Dado x₀ Bc temos que x₀ B Como A B segue que x₀ A ou seja x₀ Ac Logo Bc Ac Reciprocamente suponhamos que Bc Ac Mostraremos que A B Por absurdo se A B então x₀ A tal que x₀ B Mas x₀ B equivale a x₀ Bc Assim pela hipótese de que Bc Ac segue que x₀ Ac ou seja x₀ A Mas isto é um absurdo pois x₀ A Logo A B Isto conclui a prova desta propriedade d Mostraremos que A Bc Ac Bc Podemos provar as duas contenções simultaneamente x₀ A Bc x₀ A B x₀ A e x₀ B x₀ Ac e x₀ Bc x₀ Ac Bc A demonstração da outra lei de De Morgan é análoga a esta Fica como exercício e Suponhamos que A Af 1 AC E De fato esta contenção é trivial pois qualquer conjunto é subconjunto de E uma vez que E é o espaço fundamental Logo vale a afirmação 1 Af 2 E AC Por absurdo se E AC segue que xo E tal que xo AC ou seja xo A xo mas isto é um absurdo pois viola a definição de vazio Logo vale a afirmação 2 Estas duas afirmações provam que AC E Reciprocamente suponhamos que AC E Precisamos mostrar que A Por absurdo se A segue que xo A tal que xo o que é óbvio Mas xo A então xo AC E Mas isto é um absurdo pois E é o espaço fundamental Logo vale que A A proposição que se segue estabelece outra forma de representar diferença de conjuntos ligandoos com a noção de complementar Proposição 114 Sejam A e B conjuntos de um espaço E Vale a igualdade A B A BC Demonstração Fica como exercício Definição 115 Sejam A e B dois conjuntos em um universo E Definimos a diferença simétrica entre A e B e escrevemos AΔB ao conjunto AΔB x E x A e x B ou x B e x A A B B A Em outras palavras definimos a diferença simétrica entre dois conjuntos como sendo o conjunto dos elementos que não são comuns a ambos Em diagramas de Venn temos AΔB hachurado Proposição 116 A diferença simétrica é uma operação comutativa Demonstração Sejam A e B dois conjuntos em E Vamos mostrar que AΔB BΔA De fato basta notar que tendo em vista a comutatividade da união temos AΔB A B B A B A A B BΔA Proposição 117 Sejam A e B conjuntos de um espaço E Vale a igualdade AΔB A B A B Demonstração Utilizandose das propriedades de conjuntos até então apresentadas temos AΔB A B B A A BC B AC A BC B A BC AC A B BC B A AC BC AC A B E E BC AC A B BC AC A B B AC A B A B