Conjunto das Partes de um Conjunto - Definição e Exercícios Resolvidos

24 Analise real 12 Conjunto das partes de um conjunto Definicao 118 Seja X um conjunto não vazio em um universo E Definimos o conjunto das partes de X e denotamos por PX o conjunto PXAcE AcX Em outras palavras o conjunto PX denota o conjunto de todos os subcon juntos do conjunto X Da definigao acima temos que A PX S A C X Observe que P X está bem definido Realmente como pela proposição 12 temos que C X e pela reflexividade da contenção temos X C X segue que 0 e PXe X PX Logo o conjunto das partes de um conjunto sempre possui pelo menos dois elementos o conjunto vazio e o préprio conjunto Proposiao 119 Sejam X e Y conjuntos em um universo E Entdo a se X C Y então PX C PY b PX NY PXNPY Demonstragao Faremos a prova de a e deixaremos b para o leitor Sejam X e Y conjuntos em E tais que X C Y Dado A PX um conjunto qualquer em PX Precisamos mostrar que À PY Como A PX entdo segue que A C Xecomo X c Y por hipétese concluimos pela transitividade da conteção que A Y donde segue que A PY Como a escolha de A foi arbitrdria segue o resultado O Proposigao 120 Seja X um conjunto finito contendo n elementos Entao o niimero de elementos de PX é 2 Demonstragao Seja X um conjunto finito com X n onde o simbolo A designa o número de elementos do conjunto A De acordo com a analise combinatéria temos que 0 número de subconjuntos de X com nenhum elemento é dado por Cno 1 referese ao conjunto 0 0 número de subconjuntos de X com 1 elemento é dado por Cn1 7 Conjuntos e funções 25 o número de subconjuntos de X com 2 elementos é dado por e o nimero de subconjuntos de X com n elementos é dado por Cnn 1 referese ao próprio conjunto X Assim temos de acordo com a teoria do Binômio de Newton que o número total de subconjuntos de X será dado por XCnncn1cnnÉ 2n Isto prova a proposição O Exercicios 1 Sabendo que X é um conjunto qualquer de um espago E diga quais das sentencas abaixo são verdadeiras justificando a X PX b X c PX X PX d X PX 2 Seja A 1212 Quantos elementos possui PA Listeos 3 Prove a propriedade b da Proposicao 119 13 Produto cartesiano Nesta seção apresentamos a definicao de produto cartesiano bem como algumas propriedades 26 Análisereal Definição 121 Sejam A e B dois conjuntos não vazios em E Definimos o produto cartestano ou direto entre A e B e denotamos por A x B como AxBab ac A ebe B Os elementos ab A x B são chamados de pares ordenados Note que em geral Ax B Bx A ie o produto cartesiano nao é comutativo Por exemplo sejam A 123 e B 25 Temos Ax B121522 2532 35 Bx A2122 23 51 52 53 Nitidamente percebemos que Ax B B x A pois por exemplo 12 Ax B mas 12 B x A Para representar graficamente A x B procedemos da seguinte maneira traga mos duas retas perpendiculares entre si uma horizontal e outra vertical fazendo coincidir suas origens Na reta horizontal marcamos os elementos a A e na vertical os elementos b B Tracejamos uma linha vertical passando por a A e uma linha horizontal passando por b B O encontro dessas duas nos dard a localizacao de ab A x B na qual demarcamos com um ponto Esta repre sentagao chamase representagdo no plano cartesiano o b ab 0 a i Considerando A 123 e B 24 temos Ax B 1214222432 34 e sua representagao grifica no plano cartesiano é apresentada na figura abaixo Conjuntos e funções 27 Proposição 122 Sejam A B e C conjuntos não vazios em um universo E O produto cartesiano goza das sequintes propriedades a AUB x CAx CUBxC b Ax BCAx BINAxXO 0 ABxCAxCBxC Demonstração Faremos apenas a demonstração da primeira e deixaremos as de mais para o leitor Queremos mostrar que AUB x CAxCUBxC Faremos isto provando duas contengoes cf as afirmagoes abaixo Af0l AUBxCCAxCUB xC Dado zy AU B x C Logo pela definição de produto cartesiano temos que r AU B e y C Pela definição de uniao de conjuntos segue que 7 A ou r B e ainda temos y C Portanto tE AeyeCouz e BeyeCie zy Ax C ou zy Bx C ouseja zy AxCUB xC Logo vale a afirmação 01 Af02 AxCUBxCCAUB xC Dado zy Ax CU B x C Entao zy A x C ou zy B x C ie reAdeyeCoux e Beye C mas isto é o mesmo que r Aouz B eyecCouseja r E AUBey e Cie ry AU B x C Logo vale a afirmacao 2 Pelas afirmacdes 01 e 02 segue o resultado 12112024 2250 28webp 8001129 fileDUserDesktopvvvxxxnuedzahn28webp 11 Conjuntos e funções 29 Definição 124 Seja À um conjunto de índices À e considere Ayyep uma fa milia de conjuntos indexada por A A Definimos a união e a intersecção dos elementos desta família respectivamente por U Ax z Apara algum AE A AEA Arz A VA A AEA Da definição acima observamos que ro UAmngAVAeA AEA to É fl Ay 10 Ay para algum Ag A AEA Como aplicação dessa definição vejamos um interessante exemplo Exemplo Seja A N e defina a família Axxem por AyzeZz A Então temos os conjuntos e AyzcZz11234 e AozZz21345 e A zeZznn1n2 Vamos determinar U Ay e fl A AEN XEN É fácil ver que A D A3 D Az D e então U AxA1 23 4 AEM Mas o que resulta em n A7 Essa interseção não é tão imediata de se obter AEN neste caso Como A7 D As D Az D então fixando n 1 temos AindnnAdn1n2 30 Análisereal o que nos faz pensar que a interseção infinita m Ax possuird também infinitos AEN elementos No entanto o que podera chocar o leitor é afirmar que essa interse ção infinita serd vazia Ou seja afirmamos que fl Ay 0 13 AEN De fato como À fl A é suficiente mostrar que fl Ay C AEN AeN E como tal afirmacao é forte demais vamos provar por absurdo Por absurdo suponha que fl A 0 Entao 3z fl A tal que 5 0 AEN AEN o que é óbvio Assim sendo roq um número inteiro defina o indice Ay zg 1 N E como 1y E n Ax em particular temse que AEN o Ay zZ A mas entdo terfamos ro zg 1 o que é um absurdo Portanto n A c AEN donde segue 13 A seguir apresentamos algumas propriedades envolvendo familias de conjun tos Proposição 125 Sejam A um conjunto qualguer num universo E e Bxxwea uma família de conjuntos inderada por A A também definida em E Então valem as igualdades aAflU B UAnBy UBABzflBE AEA AEA AEA AEA Ç b AU fl BÃ AUB d n BA BS AEA AEA AEA AEA Obs Note que as igualdades a e b são extensoes das distributividades da in terseccao e da uniao e as igualdades c e d são extensões das leis de De Morgan Conjuntos e funções 31 Demonstração Faremos apenas as provas a e de c deixando as outras duas a encargo do leitor a AfOL AN U BA c Ut4nBy AEA AEA Dado x AN U BA Segue que T Á e T U Bx Logo temos que x À AEA AEA e r B para algum A A Portanto x AN By C U AN By e então vale a afirmação 01 AEA Af02 JANBy c AN U Bx AEA AEA Dado UAMB segue que 3 A E AÀA tal que r E ANByeentior A e 2EA x By para algum A A Portanto temos que z Aex U Bx ou seja AEA TE AN UEA BA e então vale a afirmacao 02 Pelas afirmacdes 01 e 02 segue a igualdade de a c Neste caso podemos provar as duas contengoes simultaneamente como segue T UB erá UBagZBVeA Ach AsA sreBVieAe e B AsA Isto conclui a prova da proposigao Exercicios 1 Demonstrar que a VA A AyC B UACB AEA bVAA A TB AxC Ba AEA AEA