Atividadade de Sequencia Limitada de Analise Real

43 Sequências limitadas Definição 46 O número L é chamado de cota inferior da sequência xn se L xn para todo n inteiro positivo e o número S é chamado de cota superior da sequência xn se xn S para todo n inteiro positivo No caso quando uma sequência xn possuir uma cota inferior dizemos que a mesma é limitada inferiormente e no caso de possuir uma cota superior dizemos que ela é limitada superiormente Definição 47 Dizemos que uma sequência xn é limitada se e somente se ela tiver cotas superior e inferior ou seja quando for limitada superiormente e inferiormente Ou seja xn é dita limitada se e somente se ab R tais que a xn b n N Ou de uma maneira mais simples dizemos que xn é limitada se existir M 0 tal que xn M n N Exemplo 1 Para a sequência xn 1 n cujos elementos são 1 12 13 14 podemos considerar 1 uma cota superior assim como 30 também é uma cota superior 0 é uma cota inferior Como o conjunto X xn nN dos termos dessa sequência assume valor máximo 1 temos que o supremo de X é 1 ou seja suprnN 1 Vamos mostrar que o ínfimo de X é 0 De fato basta notar que a xn 1 n 0 n N Logo 0 é uma cota inferior para X xn 1 n N b Vamos mostrar que 0 é a maior cota inferior para o conjunto X ie mostraremos que ε 0 n0 N tal que 0 xn0 0 ε 41 De fato se por absurdo ε0 0 tal que xn ε0 n N então temos que 1 n ε0 n N Tornando os inversos vem que n 1 ε0 n N Então segue que N R fica limitado superiormente por 1 ε0 o que é um absurdo pois R é arquimediano Logo vale 41 ou seja vale b Portanto de a e b segue que 0 infxn Proposição 48 Se xn for uma sequência convergente então xn é limitada Demonstração Seja lim xn a Tome ε 1 Então n0 N tal que n n0 implica em xn a 1 ou seja 1 xn a 1 n n0 isto é a 1 xn a 1 n n0 Defina o conjunto X x1 x2 xn01 a 1 a 1 Como este conjunto é finito segue que existem M max X e m min X e portanto concluímos que m xn M n N ou seja xn é limitada Observamos porém que o fato de uma sequência ser limitada não implica que ela seja convergente Por exemplo a sequência xn dada por xn 1n é limitada visto que seus termos são sempre 1 e 1 os ímpares e os pares respectivamente Portanto 3 lim xn A convergência não ocorreu neste caso pois os seus termos oscilam nos seus valores A garantia da convergência de uma sequência limitada é adicionar a hipótese da sequência além de limitada ser também monótona Isto será provado no Teorema 412 Exercícios 1 Prove cada limite a seguir pela definição a lim 2n135n 25 b lim n3n1 13 c lim n1 n 0 d lim 24n4n7 1 e lim lnn1n 0 f lim nn en 1 1 lim n 24n4n7 1 Dem Dado ε 0 desejamos que 24n4n7 1 ε 1 Note que 24n4n7 1 24n 4n 74n7 54n7 54n7 54n7 pois n assume valores extremamente grandes Agora vamos determinar um valor para Kε de modo que se n Kε vale a desigualdade 1 54n7 ε 4n7 54n7 4n7ε 5 4nε 7ε 5 7ε 4nε 2ε 7ε 5 7ε4ε 4nε4ε 5 7ε4ε n Definimos Kε N tal que Kε 5 7ε4ε Assim se n Kε temos pelos equivalentes acima que 24n4n7 1 ε Portanto lim n 24n4n7 1 lim n 24n4n7 1 Dem Dado ε 0 desejamos que 24n4n7 1 ε Note que 24n4n7 1 24n 4n 74n7 54n7 54n7 54n 5n Sabemos que existe Kε N tal que 1m ε5 Assim se n Kε temos 1n 1Kε de modo que 24n4n7 1 54n7 5n 5K ε5 ε Portanto lim n 24n4n7 1 Este é um caso onde podemos usar o artifício de tomar Kε N de modo que 1Kε ε O denominador é igual ao numerador da fração 1n que encontramos quando simplificamos o módulo Este caso é menos complicado que o da questão que você mandou