Digitar em Slides com Fundo Branco e Revisar se Está Certo

Proposição seja xm uma sequência e c R Então o ponto c é ponto aderente de xm se e somente se para todo ε0 o conjunto A m N xm c ε c ε é infinito Dem A proposição é uma equivalência logo iremos demonstrar a ida e a volta Primeiro vamos assumir que c R é um ponto aderente da sequência xm ou seja existe uma subsequência xmk de xm de modo que limmk xmk c Definimos o seguinte subconjunto A m N xm c ε c ε Pela definição do limite temos que para todo ε0 existe n0 N tal que para todo nk n0 implica em xmk c ε Pelas propriedades de módulo temos ε xmk c ε Podemos somar c em todos os termos e manter a desigualdade c ε xmk c ε c C ε xmk ε c Assim para todo ε 0 existe n0 N mk n0 implica que c ε xmk c ε que é o mesmo de xmk c ε c εk Como isso vale para todo mk n0 logo A é infinito Para a volta suponhamos que para todo ε 0 temos que A é infinito ou seja nm c ε c ε para uma infinidade de índices m Queremos mostrar que o ponto aderente c é aderente à sequência xm isto é construir uma subsequência xmk tal que limmk c Para ε 1 0 por hipótese existem infinitos xm c 1 c 1 Vamos escolher um m1 qualquer tal que xm1 c 1 c 1 Para ε 12 0 por hipótese existem infinitos xm c 12 c 12 existe n2 n1 tal que xm2 c 12 c 12 c 1 c 1 Para ε 13 0 por hipótese existem infinitos xm c 13 c 13 existe m3 m2 m1 tal que xm3 c 13 c 13 c 12 c 12 c 1 c 1 Podemos continuar a construção por indução Suponhamos que já escolhemos xm1 xmk1 então para ε 1k 0 o conjunto dos índices m tais que nm 1 1k 1 1k é infinito logo existe mk mk1 m2 m1 tal que xmk c 1k c 1k logo c 1k xmk c 1k implica 1k xmk c 1k implica xmk c 1k Assim por indução construímos a subsequência xmk de xm aliás disso fazendo k em ambos os lados obtenos que lim mkoo X mk c Proposicao 426 Proposicao Seja xn uma sequˆencia e c R Entao o ponto c e um ponto aderente de xn se e somente se para todo ε 0 o conjunto A n N xn c ε c ε e infinito 1 4 Demonstracao A proposicao e uma equivalˆencia Logo iremos demonstrar a ida e a volta Vamos assumir que c R e um ponto aderente da sequˆencia xn ou seja existe uma subsequˆencia xnk de xn tal que lim nkxnk c Pela definicao de limite temos que para todo ε 0 existe n0 N tal que para todo nk n0 temse xnk c ε 2 4 Daı pelas propriedades de valor absoluto temos que ε xnk c ε c ε xnk c c ε c c ε xnk ε c xnk c ε c ε Assim o conjunto A n N xn c ε c ε e infinito uma vez que osındices da subsequˆencia xnk formam um subconjunto in finito dosındices da sequˆencia xn Em outras palavras todo termo da subsequˆencia xnk faz parte da sequˆencia xn 3 4 Suponhamos que para todo ε 0 o conjunto A n N xn c ε c ε seja infinito Vamos mostrar que c R e o limite de uma subsequˆencia de xn Seja xnk uma subsequˆencia de xn Entao xn0 xnk c ε c ε para todo nk n0 N Daı xnk c ε c ε c ε xnk ε c c c ε xnk c ε c c ε xnk c ε xnk c ε Assim pela definicao de limite temos que lim nkxnk c 4 4