Definição e Propriedades de Funções Contínuas

Definicao de Continuidade Propriedades Profa Liliana Jurado Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Funcoes Contınuas De modo informal uma funcao e contınua em um ponto se seu grafico naquele ponto nao apresenta buracos saltos ou quebras Considere por exemplo o grafico da funcao f representado por Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Funcoes Contınuas Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Funcoes Contınuas Definicao Sejam X R f X R uma funcao real e a X Dizse contınua no ponto a X quando ϵ 0 δ 0 x X x a δ f x f a ϵ Quando f nao e contınua em a entao dizemos que f e descontınua em a isto quer dizer que ϵ 0 δ 0 pode se achar xδ X xδ a δ e f xδ f a ϵ Dizemos tambem que f e contınua em X R se f e contınua em todos os pontos de X Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Funcoes Contınuas Definicao Sejam X R e a X a e um ponto isolado do conjunto X se existe δ 0 tal que X a δ a δ a Exemplo X Z todos seus pontos sao isolados Exemplo Sejam f X R e a um ponto isolado entao f e contınua em a Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Funcoes Contınuas Teorema Sejam f X R e a X X Uma funcao f e contınua no ponto a se e somente se lim xa f x f a Teorema Sejam f g X R contınuas no ponto a X com f a ga Existe δ 0 tal que f x gx para todo x a δ a δ Teorema Seja f X R contınua no ponto a X Se f a 0 existe δ 0 tal que para todo x a δ a δ f x tem o mesmo sinal de f a Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Propriedades de Funcoes Contınuas Teorema Sejam f X R e a f e contınua em a se e somente se toda sequˆencia de pontos xn X com limn xn a se tenha limn f xn f a Propriedades de Funcoes Contınuas Se f e g sao contınuas em x a entao 1 f g e contınua em x a 2 fg e contınua em x a 3 f g e contınua em x a desde que ga 0 Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Propriedades de Funcoes Contınuas Teorema 1 Toda funcao polinomial y Px e contınua em todos os pontos x 2 Toda funcao racional Rx pxqx e contınua em todos os pontos x para os quais qx 0 Teorema Sejam f X R contınua no ponto a X g Y R contınua no ponto b f a Y e f X Y de modo que a composta g f X R esta definida Entao g f e contınua no ponto a Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Propriedades de Funcoes Contınuas Teorema Os seguintes tipos de funcoes sao contınuas para todo o numero de seus domınios polinˆomios funcoes racionais funcoes raızes funcoes trigonometricas funcoes trigonometricas inversas funcoes exponenciais funcoes logarıtmicas Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Propriedades de Funcoes Contınuas Exemplo Encontre os valores de x para os quais cada uma das funcoes e contınua a f x 3x3x b gx 8x10 4x 1 x2 1 c hx 4x3 3x2 1 x2 3x 2 Solucao a A funcao f e uma funcao polinomial de grau 3 logo f x e contınua para todos os valores de x b A funcao g e uma funcao racional Observe que o denominador de g nunca e igual a zero Concluımos que g e contınua para todos os valores de x c A funcao h e uma funcao racional Neste caso no entanto o denominador de h e igual a zero em x 1 e x 2 Concluımos que h e contınua em todos os pontos exceto em x 1 e x 2 Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Propriedades de Funcoes Continuas Encontre os valores de x para os quais cada uma das funcdes é continua 2 x 4 x2 sex 2 a f x b x x x2 ax 13 sex 2 ee E Solucao a Note que a funcdo f nao esta definida em x 2 portanto f é continua em todos os valores de x exceto em x 2 b A funcao gx esta definida em 2 subdominios entao devemos ter cuidado e analizar a continuidade de g no ponto no qual se divide os subdominios neste caso em x 2 o Nace Propriedades de Funcoes Contınuas 1 Existe g2 Sim e e g2 1 R 2 Existe limx2 gx Sim quando x tende a 2 temos lim x2 gx lim x2 x 2 4 3 lim x2 gx g2 Nao pois lim x2 gx 4 e g2 1 Portanto f e contınua em todos os valores de x exceto em x 2 Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Propriedades de Funcoes Contınuas Exemplo Analisar as funcoes f x sen 1 x e gx x sen 1 x Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades Propriedades de Funcoes Contınuas Corolario Dadas f g X R funcoes contınuas seja Y x X f x gx entao existe A aberto tal que Y A X Em particular se X e aberto entao Y e aberto Corolario Dadas f g X R funcoes contınuas seja Z x X f x gx entao existe B fechado tal que Z B X Em particular se X e fechado entao Z e fechado Profa Liliana Jurado Definicao de Continuidade Propriedades