Analise Real I - UFPel - Lista de Exercicios Resolvidos sobre Limites e Funcoes

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Analise Real I Professora Liliana Jurado Atividade valendo presenca 1 Indicar Verdadeiro V ou Falso F a lim x1 x21 x1 nao existe b lim x1 x22x1 x1 e 1 c O lim x2 3x2 2x 1 e 9 d O lim xπ2 cos2x4x sen 3pi2 e 3 e lim n2x6 10x5 3 f lim n2x5 10x5 3 g O conjunto Y 0 1 12 1n e fechado h Seja f N R definida por f1 0 fn 1n 1 se n 1 nao e contınua i Seja f R R uma funcao contınua entao f10 e um conjunto fechado j Se f a b fa b e uma funcao contınua entao fa b c d para algum c d R Limites Notaveis Seja fx exp x ex a funcao exponencial Domınio de fR Imagem de f0 exp x y exp x exp y para x y R lim x exp x lim x exp x 0 2 Calcular os seguintes limites a lim x 5 exp x b lim x5 exp 2x 2 exp x 3 1 a lim x2 1 x 1 não existe Resolução FALSO lim x2 1 x 1 1 1 1 1 0 0 ou seja é indeterminado Observe que x2 1 x 1x 1 Logo lim x2 1 x 1 lim x 1x 1 x 1 lim x 1 2 Portanto lim x2 1 x 1 2 b lim x2 2x 1 x 1 é 1 Resolução Verdade Temos lim x2 2x 1 x 1 1 2 1 2 2 2 1 c lim 3x2 2x 1 é 9 x 2 Resolução Verdade Temos lim 3x2 2x 1 34 4 1 12 4 1 9 d lim cos 2x 4x sen 3px2 é 3 x π 2 Resolução Falso Pois lim cos 2x 4x sen 3px2 cos 2π2 4π 2 sen 3p π 2 1 1 1 2π 1 1 2π e lim 2x6 10x5 3 n Resolução Verdade Temos lim 2x6 10x5 3 26 105 3 n ou seja indeterminação Fazendo substituição x 1t t 1x lim 3t6 10t 2 306 100 2 t0 t6 06 f lim 2x5 10x5 3 n Resolução Verdade Temos lim 2x5 10x5 3 lim 3 8x5 n 3 85 g Y 01 12 1n é Fechado Resolução Verdade vamos mostrar que RY 0 U n1 1n1 1n U Se x 0 podemos tomar ε x2 Logo x ε x ε RY pois não contém o elemento 0 nem nenhuma das frações 1n Se x 1 a vizinhança x ε x ε para algum ε 0 está contida em 1 Se x 1n1 1n para algum n N podemos tomar uma vizinhança x ε x ε 1n1 1n Logo RY é aberto e portanto Y é fechado h Seja f IN IR tal que f1 0 fn 1n1 se n 1 não é contínua Resolução Verdade A Função não é continua em n1 Pois f1 0 lim n1 fn lim n1 1n1 Logo os limites não coincidem ou seja f é descontínua em n1 i Verdade Pois rót é fechado logo f1rót é fechado já que a préimagem de um fechado por uma função continua é fechado j Falso Pois r ab é um conjunto compacto e a imagem de um conjunto compacto por uma função contínua é um conjunto compacto ou seja fr ab cd pois cd não é compacto 2 a lim x 5exp x 5 0 Portanto lim x 5exp x 0 b lim x 5exp 2x 2 exp x 3 5 exp 2 2 exp 3 50 20 3 3 Portanto lim x 5 exp 2x 2 exp x 3 3