Lista de Exercicios Analise Real 1 UFPel - Limites e Funcoes Continuas

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Analise Real 1 Professora Liliana Jurado Lista de exercıcios 1 Sejam f g X R a X lim xa fx L e lim xa gx M Se L M entao existe δ 0 atl que fx gx para todo x X com 0 x a δ 2 Sejam f X R a X Se existe lim xa fx entao f e limitada numa vizinhaca de a 3 Seja f R R definida por fx 0 quando x e racional e fx 1 quando x e irracional Existe lim xa fx Justificar 4 Se Q R e I R Sejam f g R R definidas por fx 0 se x ırracional e fx x se x Q g0 1 e gx 0 se x 0 Mostre que lim x0 fx 0 e lim y0 gy 0 porem nao existe lim x0 gfx 0 5 Seja f R R definida por fx 0 e fx sen1x se x 0 Mostre que para todo c 1 1 existe uma sequˆencia de pontos xn 0 tais que lim n xn 0 e lim n fxn c 6 Seja f R0 R definida por fx 11a1x onde a 1 Prove que lim x0 fx 0 e lim x0 fx 1 7 Seja p R R um polinˆomio nao constante isto e para todo x R px a0 a1x anxn com an 0 e n 1 Prove que Se n par entao lim n px lim n px se an 0 e lim n px lim n px se an 0 Se n ımpar entao lim n px e lim n px se an 0 e lim n px e lim n px se an 0 8 Seja f R R definida por fx x sen x Prove que para todo c R existe uma sequˆencia xn R com lim n xn e lim n fxn c 1 Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Analise Real 1 Professora Liliana Jurado Lista de exercıcios 1 Sejam f g X R funcoes contınuas Prove que se X e aberto entao A x X fx gx e aberto Prove que se X e fechado entao F x X fx gx e fechado 2 Sejam f g X R funcoes contınuas no ponto a Suponha que em cada vizinhanca V de a existampontos x y tais que fx gx e fy gy Prove que fa ga 3 Seja f I R uma funcao com a propriedade do valor intermediario Se para acda c R existe apenas um numero finito de pontos x I tais que fx c prove que f e contınua 4 Seja f 0 1 R contınua tal que f0 f1 Prove que existe x 0 12 tal que fx fx 12 5 Seja f R R contınua tal que lim x fx lim x fx Prove que existe x0 R tal que fx0 fx para todo x R 6 Prove que nao existe uma funcao contınua f a b R que assuma cada um dos seus valores fx x a b extamente duas vezes Mostre que a funcao contınua f R R dada por fx sen x2 nao e uniformemente contınua 1