Notas de Aula 9-2021 2

FÍSICA MODERNA L1 9a semana 16 a 22 de novembro de 2021 Aulas 57 a 63 NOTAS9 Estas NOTAS9 introduzem o tema Teoria de Schrödinger da mecânica quântica Capítulo 7 do texto de Eisberg que também será coberto nas NOTAS10 da próxima semana conforme explicado na Apresentação da disciplina distribuída no início do semestre Como nas outras ocasiões aqui seguiremos o tradicional texto de Eisberg mas o atualizaremos quando necessário e faremos as observações pertinentes de praxe buscando eliminar confusões e chamando a atenção aos pontos essenciais para o Licenciado pontos estes que tendem a não aparecer nos textos de Física moderna usuais Tudo que os estudantes precisam fazer nesta semana é ler com atenção o conteúdo abaixo remetendose ao livro texto apenas em uma eventualidade pois estas notas são autocontidas I Introdução à formulação de Schrödinger da mecânica quântica Nas Notas8 apresentamos a famosa hipótese de de Broglie e explicamos como ela colocou Erwin Schrödinger em 1925 na rota para chegar à sua icônica e estranha equação dependente do tempo ħ22mxxΨx t VxΨx t i ħ tΨx t 1 aqui representada em uma dimensão com i 112 sendo a base dos números imaginários e Vx é a energia potencial à qual a partícula de massa m está submetida Ou seja tratase do estudo de um sistema conservativo onde a energia E é constante Ep22m Vx Em alguns problemas Vx na equação 1 pode ser substituído por uma energia que depende também do tempo VVxt neste caso evidentemente o sistema não é mais conservativo e não será enfocado aqui Na equação acima e em outras ocasiões nestas NOTAS usamos x xx e t significando respectivamente as derivadas parciais espaciais de primeira e de segunda ordem e a derivada parcial temporal de primeira ordem atuando sobre a função de onda Ψx t imediatamente à direita desses operadores diferenciais Note inicialmente que se Vx0 caso de uma partícula livre temos ħ22mxxΨx t i ħ tΨx t 2 que não exibe a forma de uma equação clássica de ondas cujo formato é xxΨx t 1v2 ttΨx t 3 ou seja com derivadas de segunda ordem no tempo e no espaço enquanto 2 é de primeira ordem no tempo v em 3 é a velocidade de propagação das ondas Ao invés a equação 2 tem a forma de uma equação de difusão D xxΨx t tΨx t 4 onde D é o coeficiente de difusão já visto na equação 3 das NOTAS5 embora não tenhamos visto lá esta equação diferencial e não tenhamos que se preocupar agora como ela aparece na teoria do movimento browniano No entanto é interessante acrescentar que na equação 4 Ψx t é a probabilidade de se encontrar a partícula browniana na posição x no tempo t Ora se é assim podemos dizer que a equação de Schrödinger para uma partícula livre ie com Vx0 equação 2 descreve um tipo de movimento browniano em que o coeficiente de difusão assume a forma D ħ2mi ou D i ħ2m ou seja o coeficiente de difusão é um número imaginário dependendo essencialmente da razão ħm Da forma deste coeficiente de difusão já se pode notar que no caso quântico as flutuações não são controladas pelo ruído térmico Lembrese que classicamente DkBT equação 3 NOTAS5 mas por ħ Aqui já devemos adiantar que não existe uma dedução ou uma demonstração da equação de Schrödinger tratase de um princípio uma proposição aceita sem demonstração embora muitos livros queiram justificar a sua plausibilidade invocando vários tipos de argumentos Veremos o essencial desses argumentos logo mais mas não se deve levar muito a sério tais especulações Ou seja não se prova a equação de Schrödinger como se prova por exemplo o Teorema de Tales Para todo ponto P sobre um círculo o ângulo subentendido entre os segmentos que ligam P aos extremos de um diâmetro é reto Na página 170 do texto de Eisberg é lembrado de fato que we postulate the equation 1 Chegar à equação de Schrödinger e notar que os níveis de energia do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico dão os mesmos resultados do modelo de Bohr ou da teoria quântica antiga foi um evento de serendipity palavra de origem inglesa dicionarizada em português confira ou seja uma feliz coincidência do acaso Não devemos esquecer que essa equação como já tivemos oportunidade de lembrar na Seção VI das NOTAS6 quando aplicada ao átomo de hidrogênio produz resultados que a princípio são muito menos precisos do que aqueles obtidos com a teoria quântica antiga de Sommerfeld A versão tridimensional da equação 1 é ħ22mΨr t Vr tΨr t i ħ tΨr t 5 onde é o operador laplaciano em três dimensões Sendo uma equação diferencial de segunda ordem no espaço mas de primeira ordem no tempo a equação acima ou a equação 1 não é uma equação compatível com o princípio da relatividade não é relativisticamente invariante dizemos Portanto com esta origem capenga ela pode ser a princípio no máximo uma aproximação nãorelativística para alguns problemas físicos Mesmo que não faça parte da ementa da disciplina é interessante comparar esta última equação com a chamada equação de Dirac a equação quântica relativisticamente correta obtida pouco tempo depois pelo físico inglês P A M Dirac 19021984 uma equação diferencial mais elegante relativisticamente invariante de primeira ordem tanto nas coordenadas espaciais quanto no tempo e consequentemente muito mais precisa que a equação de Schrödinger aplicada ao átomo de hidrogênio a espécie atômica que é responsável pela maioria esmagadora da massa da matéria visível no universo Dirac e Schrödinger dividiram o Prêmio Nobel de Física no tenebroso ano de 1933 Deve ser observado nesta Introdução por fim que a primeira formulação geral para a mecânica quântica não foi a de Schrödinger baseada nas equações diferenciais 1 ou 5 mas uma outra desenvolvida por Werner Heisenberg o autor do Princípio de incerteza cerca de um ano antes baseada ao invés em matrizes associadas às variáveis dinâmicas como posição momento energia etc tratase portanto de uma formulação baseada em álgebra onde não aparecem ondas Apesar das limitações da teoria de Schrödinger ela é mais fácil de ser usada inclusive podese a partir dela desenvolver melhor a intuição física para a resolução de novos problemas Por isso a formulação de Schrödinger é amplamente escolhida pelos livros textos em detrimento da formulação de Heisenberg Aqui nós seguiremos a multidão como Eisberg e quase todos os outros autores de livros textos adotando apenas a formulação de Schrödinger II Elaborações a partir das relações de de Broglie Como vimos as relações de dualidade segundo de Broglie são λhp e νEh ou ωEħ Estas equações valem obviamente para fótons para os quais a Teoria da relatividade especial prevê p Ec hνc hλ 2πħλ ħk Os fótons sabemos podem ser representados por ondas eletromagnéticas planas caminhantes tradicionais do tipo expikx ωt 6 onde os atributos ondulatórios k e ω estão evidenciados Se usarmos as relações relembradas nas três primeiras linhas desta Seção poderemos representar alternativamente a onda plana anterior pela forma expipx Etħ 7 onde agora se evidencia os atributos de partículas momento p e energia E As ondas planas exibem uma simetria de translação espacial e temporal como vimos em Física L2 Por outro lado as partículas livres também exibem uma simetria de translação espacial e temporal como para estas xvt portanto a velocidade v será sempre a mesma independente do valor de x ou t As especulações que surgem são i Talvez onda planas como 7 descrevam de alguma forma uma partícula livre pois ambas exibem a mesma simetria ii Qual seria a equação de movimento para uma onda capaz de representar uma partícula livre de momento p e energia E A resposta a esta pergunta deve então partir da equação básica que define a partícula livre em termos das quantidades dinâmicas p e E Obviamente esta equação naturalmente nãorelativística é E p22m 8 Ou seja temos que encontrar a equação que leva a onda plana Ψx t eipx Etħ a corresponder a E p22m Notase logo que a equação diferencial linear abaixo de segunda ordem na coordenada espacial e de primeira ordem na coordenada temporal satisfaz essa condição de correspondência a menos de um sinal ħ22mxxΨx t i ħ tΨx t 2 Exercício 1 Mostre que a equação acima leva a E p22m se Ψx t eipx Etħ for substituída em 2 Ou seja se descartarmos o sinal teremos o resultado esperado E p22m Observação Você deve estar lembrado que algumas vezes estudando outros problemas em Física desprezamos um sinal negativo sob a alegação de que ele leva a uma situação nãofísica ie a uma situação que não tem sentido É o que fazemos aqui No entanto nem sempre isso é uma boa prática e devemos levar com mais seriedade o que a matemática está nos querendo dizer com uma raiz negativa De fato poucos meses após Schrödinger descartar a solução Ep22m Dirac mostrará que as energias negativas têm sim um significado físico muito importante nas soluções da sua equação de ondas relativisticamente correta Segue de 2 que formalmente podemos fazer as seguintes identificações p22m ħ22mxx 9a p i ħ x p2 ħ2 xx 9b E i ħ t 9c assim as quantidades físicas na formulação de Schrödinger são formalmente representadas por operadores operadores diferenciais na maioria das vezes Postulamos agora a seguinte extensão para uma partícula de massa m sujeita ao potencial Vx a equação de onda de Schrödinger será ħ22mxxΨx t VxΨx t i ħ tΨx t 1 ou seja como a conservação da energia é dada no caso por p22m Vx E segue que após usarmos as correspondências dadas nas equações 9 a equação anterior p22m Vx E vai implicar na equação 1 acima Após chegar à sua proposta de equação de onda geral 1 Schrödinger passou a testála para os casos já conhecidos e importantes resolvidos pela mecânica quântica antiga o átomo de hidrogênio o poço infinito e o oscilador harmônico Os resultados foram consistentes foram iguais com uma pequena diferença no caso do oscilador harmônico que será comentada no devido tempo E assim tem sido para muito outros casos enquanto tudo correr bem sendo confirmado pelos testes experimentais a teoria vai sobrevivendo como sempre acontece na Física Se estivermos interessados em problemas relativísiticos a equação de Schrödinger não fornece resultados coerentes temos que usar a equação de Dirac Como a equação 1 tem a quantidade imaginária i a princípio suas soluções devem ser buscadas entre funções complexas ie Ψx t tem uma parte real Rx t e outra imaginária Ix t Ψx t Rx t i Ix t onde i 112 Segue da última equação que o módulo quadrado de Ψx t Ψx t 2 é dado por Ψx t 2 Ψx tΨx t Rx t i Ix t Rx t i Ix t Rx t2 Ix t2 0 onde denota o conjugado complexo z x iy z x iy A quantidade Ψx t 2 é chamada de densidade de probabilidade enquanto Ψx t a função de onda é também chamada de amplitude de probabilidade Enquanto a densidade de probabilidade Ψx t 2 é uma função real e portanto capaz de ser observada fisicamente a amplitude de probabilidade Ψx t é a princípio uma função complexa e portanto não tem o mesmo status de observabilidade III A interpretação probabilística da mecânica quântica Essa interpretação foi introduzida em 1926 por Max Born e faz parte do que é conhecido como a Interpretação de Copenhagen da mecânica quântica a interpretação canônica convencional ou oficial o mainstream Ela diz inicialmente que Ψx t 2 dx probabilidade de encontrar a partícula no tempo t e entre a posição espacial x e xdx Outros detalhes dessa interpretação serão comentados abaixo e no devido tempo IV A equação de Schrödinger independente do tempo Para uma energia VVx apenas a solução Ψx t da equação 1 pode ser trivialmente separada no produto de uma função que só depende do espaço e outra que só depende do tempo Ψx t ψxφt como mostramos a seguir e como você aprendeu nas disciplinas de Cálculo e de Métodos matemáticos da física Substituindo esta forma em 1 temos ħ22mxx ψxφt Vxψxφt i ħ t ψxφt ħ22m φt xx ψx Vxψxφt i ħ ψx t φt Dividindo agora ambos os lados pelo produto ψxφt temos ħ22m 1ψx xx ψx Vx i ħ 1φt t φt Note então que o lado esquerdo da última equação depende só de x enquanto o lado direito só depende de t dessa forma ħ22m 1ψx xx ψx Vx i ħ 1φt t φt C 10 onde C como habitual é uma constante de separação Note que C tem a dimensão de energia esta constante é a energia total do sistema E que é naturalmente conservada já que o sistema é conservativo p22m Vx E Integrando 10 obtemos i ħ t φt C φt E φt cuja solução trivial é φt A exp Eti ħ A exp iEtħ 11 onde A é uma constante amplitude Consequentemente para a equação espacial temos ħ22m 1ψx xx ψx Vx CE ou ħ22mxx ψx Vxψx E ψx 12 Esta última é a igualmente famosa equação de Schrödinger independente do tempo Note que ela tem a forma de uma equação de autovalores Hψx E ψx 13 onde H ħ22mxx Vx é o chamado operador hamiltoniano do sistema em foco Usualmente as soluções de 12 ou 13 são rotuladas por números quânticos em uma dimensão temos a necessidade de apenas um número quântico n ψx ψnx A quantidade de números quânticos cresce linearmente com o número de dimensões espaciais assim no espaço físico tridimensional precisamos de três números quânticos exemplo ψr ψn s u r Dado um sistema físico precisamos apenas resolver 13 a parte espacial uma vez que a parte temporal é sempre conhecida não varia φt A exp iEtħ Consequentemente a função de onda a solução da equação de Schrödinger dependente do tempo é sempre dada na forma Ψx t A ψx exp iEtħ Ψx t 2 A 2 ψx 2 exp iEtħ 2 A 2 ψx 2 desde que exp iEtħ 2 expiEtħexpiEtħ expiEtħexpiEtħ exp 0 1 As soluções independentes do tempo ψx das equações 12 ou 13 são chamadas também de autofunções ou autofunções do operador hamiltoniano H Chamamos ψnx da nésima autofunção ou o nésimo autoestado eigenstate em alemão do operador hamiltoniano Pela interpretação probabilística a probabilidade de se encontrar a partícula no espaço deve ser igual a unidade assim a constante A é encontrada a partir de uma condição de normalização ie a partir de um processo de integração em todo o espaço Ψx t 2 dx 1 A2 ψx 2 dx 1 ou seja A2 1 ψx 2 dx 14 Assim A e consequentemente as funções de onda são determinadas a menos de um fator de fase expi θ com θ real exp iθ 1 ou seja se Ψx t é a função de onda para um problema então eiθ Ψx t com θ real também o será Como toda equação diferencial para a completa amarração das soluções a problemas físicos específicos fazse necessário o uso de condições ao contorno Estas serão examinadas no devido tempo à medida que formos resolvendo os problemas No entanto à princípio podemos avançar que desde que Ψx t 2 é interpretada como uma densidade de probabilidade esperase que Ψx t seja finita em todo o domínio do problema Como Ψx t ψx expiEtħ segue que ψx deve ser finita em todo o espaço O mesmo deve acontecer para a sua derivada xψx Adicionalmente ψx e xψx devem satisfazer as habituais condições físicas de continuidade em todo o espaço como você aprendeu na última unidade da disciplina de Métodos matemáticos da física V Propriedades matemáticas das funções de onda e das autofunções Já vimos nas seções anteriores algumas das propriedades matemáticas mais básicas das funções de onda Ψx t e das autofunções ψx como i o fato visto na página 5 da função de onda a solução da equação de Schrödinger dependente do tempo ser uma amplitude de probabilidade com uma estrutura de uma função complexa Ψx t Rx t i Ix t onde Rx t e Ix t são funções reais ii Outra propriedade básica é a estrutura separável de Ψx t A ψx exp iEtħ com a parte temporal invariante página 7 e iii a indeterminação de Ψx t a menos de um fator de fase eiθ onde θ é qualquer número real iv Outra propriedade fundamental comentada no final da página anterior é a condição de integrabilidade ψx 2 dx finita 15 que permite a normalização das funções de onda e consequentemente permite ser mantida a interpretação de probabilidades A estas somamse as propriedades vistas no fim da página anterior v ψx e xψx devem ser finitas em todo o espaço vi bem como ψx e xψx devem satisfazer as habituais condições físicas de continuidade em todo o espaço A estas propriedades básicas juntamse outras características de estruturas diferenciais do tipo da equação de Schrödinger independente do tempo vistas na disciplina Métodos matemáticos da física como o fato das soluções de 12 formarem um conjunto ortonormal completo COC ψnx a partir do qual qualquer função Fx poderá ser representada Fx n anψnx 16 Ou seja ψnx fornece uma base completa e ortogonal para expandir qualquer Fx assim como a partir dos vetores unitários ortogonais i j k podemos construir qualquer vetor em três dimensões A Ax i Ay j Az k Dessa forma a base COC ψnx satisfaz as relações de ortonormalidade ψnxψkxdx δnk 17 onde δnk é o símbolo de Kronecker que vale 1 e 0 respectivamente para nk e nk Caso você não se lembre da disciplina de Física matemática a demonstração das relações de ortogonalidade para as autofunções da equação de Schrödinger independente do tempo mostrando que a equação 17 é zero quando nk é muito simples e está feita em poucas linhas entre as páginas 188 e 189 do livro texto de Eisberg equações 751 a 753 A equação de Schrödinger sendo uma equação diferencial estabelece que se ψnx formam o conjunto de suas soluções então a solução mais geral é dada pela combinação linear de praxe Ψx t k akψkx expiEktħ Equação 745 de Eisberg 18 Exercício 2 Mostre em que implica a condição de normalização de Ψx t acima Solução Partindo de Ψx tΨx tdx 1 equação 748 de Eisberg após substituir o resultado 18 temos 1 Ψx tΨx tdx k ak ψkxexpiEktħn anψnx expiEntħdx kn ak ψkxexpiEktħanψnx expiEntħdx kn ak an ψkxψnxdx expiEktħexpiEntħ kn ak an δnk expiEktħexpiEntħ k ak ak k ak 2 Ou seja a condição de normalização significa que a soma de todos os módulos quadráticos dos coeficientes ou amplitudes ak satisfaz a regra de soma k ak 2 1 Isso significa fisicamente de acordo com a interpretação probabilística da mecânica quântica que a probabilidade de acharmos o sistema no estado k será dada por ak 2 e que naturalmente a probabilidade de acharmos o sistema em algum estado infinitos a princípio qualquer que seja ele iguala a unidade k ak 2 1 Os coeficientes da expansão 18 vêm determinados por ψnxΨx t k ak ψnx ψkx expiEktħ 19 ψnxΨx tdx k ak ψnxψkxdx expiEktħ k ak δnk expiEktħ an expiEntħ Ou seja se conhecemos Ψx t Ψx 0 num tempo particular t 0 por exemplo teremos que a expansão 18 assume a forma Ψx0 k ak ψkx e consequentemente os coeficientes da última expansão serão dados por an ψnxΨx0dx um caso especial do resultado encontrado na primeira linha logo após a equação 19