Slide Ondas de Matéria-2021 2

Física Moderna 1 Ondas de Matéria Gustavo Camelo Neto Física Licenciatura Centro Acadêmico do Agreste Universidade Federal de Pernambuco Caruaru PE 30 de novembro de 2021 Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 1 22 Sumário 1 Introdução 2 Hipotese de de Broglie 3 Ondas da Matéria 4 Pacotes de Ondas 5 Interpretação Probabilística 6 Princípio da Incerteza 7 Equação de Schrödinger Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 2 22 Introdução Introdução Louis Raymond duque de Bloglie de Breuil em 1924 a matéria poderia se comportar como ondas A ideia foi fortemente suportada por Einstein incentivando as investigações experimentais Não havia evidência experimental na época foi encontrada em 1927 por Davisson Germer e Thomson filho do outro Thomson Heisenberg por sua vez buscava obter explicações para os fenômenos quânticos ainda com base na mecânica clássica Heisenberg em 1925 reavaliou as grandezas físicas relacionadas ao mundo microscópico e chegou a conclusão de que certas incertezas eram inerentes ao ato de medir Embora a descrição de Heisenberg não fizesse referência alguma ao comportamento ondulatório mais adiante ficou comprovada a sua equivalência com a descrição de Schrödinger lançada também em 1925 totalmente baseada na hipótese de de Broglie Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 3 22 Hipotese de de Broglie Hipotese de de Broglie Uma partícula de massa m e momento p possui um comprimento de onda λ h p Para o caso nãorelativístico λ h mv Para uma partícula de energia total E a frequência será ν E h Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 4 22 Hipotese de de Broglie Hipotese de de Broglie Uma partícula de massa m e momento p possui um comprimento de onda λ h p Para o caso nãorelativístico λ h mv Para uma partícula de energia total E a frequência será ν E h Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 4 22 Hipotese de de Broglie Hipotese de de Broglie Uma partícula de massa m e momento p possui um comprimento de onda λ h p Para o caso nãorelativístico λ h mv Para uma partícula de energia total E a frequência será ν E h Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 4 22 Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Pelo postulado de Bohr mvr nℏ nh 2π De modo que 2πr nh mv Usando a hipótese de de Broglie 2πr nh mv nλ O comprimento da órbita precisa ser um múltiplo do comprimento de onda As órbitas estacionarias são aquelas onde o elétron é uma onda estacionária Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 5 22 Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Pelo postulado de Bohr mvr nℏ nh 2π De modo que 2πr nh mv Usando a hipótese de de Broglie 2πr nh mv nλ O comprimento da órbita precisa ser um múltiplo do comprimento de onda As órbitas estacionarias são aquelas onde o elétron é uma onda estacionária Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 5 22 Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Pelo postulado de Bohr mvr nℏ nh 2π De modo que 2πr nh mv Usando a hipótese de de Broglie 2πr nh mv nλ O comprimento da órbita precisa ser um múltiplo do comprimento de onda As órbitas estacionarias são aquelas onde o elétron é uma onda estacionária Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 5 22 Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Pelo postulado de Bohr mvr nℏ nh 2π De modo que 2πr nh mv Usando a hipótese de de Broglie 2πr nh mv nλ O comprimento da órbita precisa ser um múltiplo do comprimento de onda As órbitas estacionarias são aquelas onde o elétron é uma onda estacionária Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 5 22 Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Hipotese de de Broglie Interpretação da Quantização de Bohr Pelo postulado de Bohr mvr nℏ nh 2π De modo que 2πr nh mv Usando a hipótese de de Broglie 2πr nh mv nλ O comprimento da órbita precisa ser um múltiplo do comprimento de onda As órbitas estacionarias são aquelas onde o elétron é uma onda estacionária Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 5 22 ee Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e rapidez 5ms age x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 ee Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e rapidez 5ms m 20g v 50ms age Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 ee Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e rapidez 5ms m 20g v 50ms mv 2010735 age x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 SG Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e rapidez 5ms m 20g v 50ms mv 2010735 1010Kgms gad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 SG Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e rapidez 5ms m 20g v 50ms mv 2010735 1010Kgms h A mv gad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 SG Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e rapidez 5ms m 20g v 50ms mv 2010735 1010Kgms h 663 1034 mv 10102 gad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 SG Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e rapidez 5ms m 20g v 50ms mv 2010735 1010Kgms h 663 1034 mv 10102 661032m gad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 SG Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e rapidez 5ms m 20g v 50ms mv 2010735 1010Kgms h 663 1034 mv 10102 661032m 1923 A 6610 nm ues x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 es da Materia Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms m 20g v 50ms mv 2010735 1010Kgms f 663 104 mv 10102 661032m 66 107 nm oad B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 es da Materia Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms a K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms mv 2010735 1010Kgms f 663 104 mv 10102 661032m 66 107 nm oad B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 es da Materia Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms a K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms 5 KP mv 201035 2m 1010Kgms f 663 104 mv 10102 661032m 66 107 nm oad B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 SG Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms a K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms 2 K pv2mK mv 201035 2m 1010Kgms y f 66310 mv 10102 661032m 66 107 nm oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 Sits rt Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms 31 K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms 2 K pv2mK mv 201035 2m 2911 1031 10160 1019 10102Kgms P h 663 1034 mv 10102 661032m 66 107 nm gue ww aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 es da Materia Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms 31 K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms 2 K pv2mK mv 201035 2m 10102Kgms p v2911 103 10 160 1019 h 663 1034 171104Kgms A ow 10 102 6610m 66 107 nm ade x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 es da Materia Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms 31 K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms 2 K pv2mkK mv 201035 2m 10102Kgms p v2911 103 10 160 1019 h 663 1034 171104Kgms v 10102 h A 6610m i 66 107 nm ade B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 es da Materia Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms 31 K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms 2 K pv2mkK mv 201035 2m 10102Kgms p v2911 103 10 160 1019 h 663 1034 171104Kgms 2 mv 10 102 h 663 1034 66 1032m Pp 171 1024 66 107 nm ade x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 es da Materia Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms 31 K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms 2 K pv2mkK mv 201035 2m 10102Kgms p v2911 103 10 160 1019 h 663 1034 171104Kgms 2 my 1010 yah 663107 5 9g 1019 5 24 66 1032m Pp 171 10 66 107 nm ade x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 es da Materia Ondas da Matéria Bola de pinguepongue com massa de 20g e Elétron lento com energia cinética 10eV rapidez 5ms 31 K 10eV m 91110 Kg m 20g v 50ms 2 K pv2mK mv 201035 2m 10102Kgms p v2911 103 10 160 1019 h 663 1034 171104Kgms yea eee my 1010 yah 663107 5 9g 1019 5 24 66 1032m Pp 171 10 66103nm A 039nm gue x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 622 Ondas da Matéria Experimento de DavissonGermer Ondas da Matéria Experimento de DavissonGermer Davisson e Germer observaram acidentalmente a difração de elétrons em cristais de níquel Difração de Bragg nλ D sen ϕ Concordância com a ideia de de Broglie Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 7 22 Ondas da Matéria Experimento de DavissonGermer Ondas da Matéria Experimento de DavissonGermer Davisson e Germer observaram acidentalmente a difração de elétrons em cristais de níquel Difração de Bragg nλ D sen ϕ Concordância com a ideia de de Broglie Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 7 22 Ondas da Matéria Experimento de DavissonGermer Ondas da Matéria Experimento de DavissonGermer Davisson e Germer observaram acidentalmente a difração de elétrons em cristais de níquel Difração de Bragg nλ D sen ϕ Concordância com a ideia de de Broglie Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 7 22 Ondas da Matéria Experimento de G P Thomson Ondas da Matéria Experimento de G P Thomson Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 8 22 Pacotes de Ondas Ondas Classicas e Equacao de onda Ory 1 Oy 0 dx v2 At dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 922 Pacotes de Ondas Ondas Classicas e Equacao de onda Ory 1 dy 9 ax v2 at Solugdo de Ondas Planas Fases yx t yo sen kx wt ade Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 922 Pacotes de Ondas Ondas Classicas e Equacao de onda Ory 1 dy 9 ax v2 at Solucdo de Ondas Planas Fases yx t yo sen kx wt 2 5 F yosen 27 yo T age ww aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 922 Pacotes de Ondas Ondas Classicas e Equacao de onda Ory 1 dy 9 ax v2 at Solucdo de Ondas Planas Fases yx t yo sen kx wt 2 5 F yosen 27 yo T 20 yosen x vt r age w aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 922 Pacotes de Ondas Ondas Classicas e Equacao de onda Ory 1 dy 9 ax v2 at Solucdo de Ondas Planas Fases yx t yo sen kx wt 2r57 yosen 27 0 T 20 yosen x vt r age Velocidade de Fase vr 4 v 1 aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 922 Pacotes de Ondas Ondas Classicas e Equacao de onda ay 1 ey A solucdo geral forma um pulso a 2 2 Oo 2 0 x v Oot gf Solugdo de Ondas Planas Fases b N SI yx t yo sen kx wt ANNA MISS RALRA ASS SR 8 RNG x tt RY SN 8 8 WW yosen 27 SRN FS BS XN T NN QA ww YW 20 yo sen x vt r Velocidade de Fase vp Av iw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 922 Pacotes de Ondas Ondas Classicas e Equacao de onda Oy 1 dy e A solucdo geral forma um pulso aj dx vv At 0 of tS Solugdo de Ondas Planas Fases b cS rs yY YR wz yx t yo sen kx wt ARN mNYS NS SRe WANS SRRMSW x t RS RY SRS yosen 27 YRS FQ B A T NN NA 27 yosen F x vt e Um pulso é um grupo de ondas planas gad Velocidade de Fase ve Av iw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 922 Pacotes de Ondas Ondas Classicas e Equacao de onda Oy 1 dy e A solucdo geral forma um pulso aj Ox v at 0 of tS Solugdo de Ondas Planas Fases b Rm y yY yx t yo sen kx wt AANA AN N S S 5 Kr MSS SR 8 N x t BY S N Sh yosen 27 SSS FRB r T NAN SA WY W S 2 27 yo sen F x vt e Um pulso é um grupo de ondas planas Velocidade de grupo vz 2 STUPO Vg aK an Velocidade de Fase ve Av 1 aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 922 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria yx t Vx t dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 10 22 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria yx t Vx t Wx t Ael dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria yx t Vx t Wx t Ael Vp AV dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria yx t Vx t Wx t Ael h E p h dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria yx t Vx t Wx t Ael h E E p h Pp dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria yx t Vx t Wx t Ael h E E vw 8 p h Pp 2 p EK2 2m dag ww aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria yx t Ux t Wx t 6 Ae h E E v p h Pp 2 p EK2 2m p v f 2m 4eg ww aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria yx t Ux t Wx t 6 Ae h E E vw 8 p h Pp 2 p EFEkK 2m p Vv a Om 2 4eg ww aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula yx t Vx t Wx t Ael h E E 0 p h Pp 2 p EKkK 2m p V Vp s 5 2m 2 agg w aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 10 22 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula Uma particula nado é representada por uma Gnica fase yx t Wx t Wx t 6 Ae h E E p h Pp 2 p Ek 2m p Vv vyrz5 2m 2 ade B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 10 22 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t Uma particula é representada por um pulso Wx t 6 Ae h E E p h Pp 2 p Ek 2m p V v 2m 2 a x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 10 22 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Vx to Aelxt E hp h E E p h Pp 2 p EkK 2m p V v 2m 2 a x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Vx to Aelt Fh fw 27 h E E p h Pp 2 p Ek 2m p V Ves x 2m 2 a x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Wx t Aelv a a 27 h E E p h Pp 2 p Ek 2m p V v 2m 2 a x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Wx t Aelv a a 27 h E E me QQ nt p p i 2 p Ek 2m p V v 2m 2 a x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Vx to Aelkxt Fh fw hw 27 h E E veo Q pte P P Py 20 A20 2 p EkK 2m p V a fom 2 x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Wx t Aelv a a 27 h E E p p PN Wnr2n Qik 2 p EkK 2m p V fom 2 x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Vx to Aelkxt Fh fw hw 27 h E E ww4F hh p p PN Wnr2n Qik 2 p Ek 2m p V a fom 2 x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Wx t Aelv a a 27 h E E ww4F ho oh of yy p p PN Wnr2n Qik 2 EKP2 p V a 9m 2 x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Vx to Aelkxt Fh fw hw 27 h E E ww4F ahh ay p p PN Wnr2n Qik 2 FaKf p V f 2m 2 dw va Vg 4 k q x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Wx t Aelv a a 27 h E E ww4F ah A A hk p p PN Wnr2n Qik 2 EKP2 p V a 9m 2 dw dE ss y 7 4 dk dp w aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Vx to Aelkxt Fh fw hw 27 h E E ww4F ah A A hk p p PN Wnr2n Qik 2 EKP2 p V a om 2 dw dE p 8 ak dpm su P w aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Pacotes de Ondas Ondas de Matéria A velocidade de fase nao é a velocidade da particula e Uma particula nao é representada por uma Unica fase yx t Wx t e Uma particula é representada por um pulso Wx t Aelv a a 27 h E E ww4F ah A A hk p p PN Wnr2n Qik 2 FaKf p V 9m 2 dw dE p ss Ve OC TD OT Ur 4 k d dp m Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1022 Nee ieee Interpretacdo Probabilistica Densidade de Probabilidade Pxdx Wdx WWdx ged B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1122 ah ce Interpretacdo Probabilistica Densidade de Probabilidade Pxdx Wdx WWdx Normalizacado Pxdx WVdx 1 gee B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1122 ah ce Interpretacdo Probabilistica Densidade de Probabilidade Pxdx Wdx WWdx Normalizacado Pxdx vv 1 Grandezas Fisicas se A w Avdx gee B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1122 Princípio da Incerteza Princípio da Incerteza Grandezas Conjugadas não podem ser medidas simultaneamente Posição e Momento xp ℏ 2 Tempo e Energia Et ℏ 2 Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 12 22 Princípio da Incerteza Princípio da Incerteza Grandezas Conjugadas não podem ser medidas simultaneamente Posição e Momento xp ℏ 2 Tempo e Energia Et ℏ 2 Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 12 22 Princípio da Incerteza Princípio da Incerteza Grandezas Conjugadas não podem ser medidas simultaneamente Posição e Momento xp ℏ 2 Tempo e Energia Et ℏ 2 Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 12 22 Equação de Schrödinger Introdução Equação de Schrödinger Introdução O formalismo da Mecânica Quântica foi estabelecido por volta de 1926 Formalismo de Heisenberg baseado em operadores matriciais para as grandezas físicas Formalismo de Schrödinger baseado numa equação para as ondas de matéria Os formalismos são equivalentes O formalismo de Schrödinger é mais intuitivo e mais simples num primeiro momento O formalismo de Heisenberg é mais poderoso para os cálculos formais Schrödinger se inspirou na ideias de Hamilton estudo da luz e de Broglie A interpretação física para as soluções da equação de Schrödinger foi fornecida por Born A teoria quântica é uma das teorias de maior sucesso das ciências Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 13 22 Equacdo de Schrodinger Equaao de Onda em 1 Dimensdo e Equacado de onda Au 1 Ou ax vv at o2 B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1422 Equacdo de Schrodinger Equaao de Onda em 1 Dimensdo e Equacado de onda Ou 1 Ou ax vv at Solucdo Geral ux t S ajujx t i oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1422 Equacdo de Schrodinger Equaao de Onda em 1 Dimensdo e Equacado de onda fu 1 fu dx v ar e Solucdo Geral ux t S ajujx t i Onda Harmonica Simples ux t ug cos kx wt aed B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1422 Equacdo de Schrodinger Equaao de Onda em 1 Dimensdo e Equacado de onda Ou 1 Ou ax v at e Solucdo Geral ux t S ajux t i Onda Harmonica Simples ux t up cos kx wt Observando que 20 k 7 Ww 27V w kv ade x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 1422 Equação de Schrödinger Forma Complexa Equação de Schrödinger Forma Complexa ux t u0 exp ikx ωt u x iku0 exp ikx ωt 2u x2 k2ux t u t iωu0 exp ikx ωt 2u t2 ω2ux t 2u x2 1 v2 2u t2 kv ω Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 15 22 Equação de Schrödinger Forma Complexa Equação de Schrödinger Forma Complexa ux t u0 exp ikx ωt u x iku0 exp ikx ωt 2u x2 k2ux t u t iωu0 exp ikx ωt 2u t2 ω2ux t 2u x2 1 v2 2u t2 kv ω Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 15 22 Equação de Schrödinger Forma Complexa Equação de Schrödinger Forma Complexa ux t u0 exp ikx ωt u x iku0 exp ikx ωt 2u x2 k2ux t u t iωu0 exp ikx ωt 2u t2 ω2ux t 2u x2 1 v2 2u t2 kv ω Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 15 22 Equação de Schrödinger Forma Complexa Equação de Schrödinger Forma Complexa ux t u0 exp ikx ωt u x iku0 exp ikx ωt 2u x2 k2ux t u t iωu0 exp ikx ωt 2u t2 ω2ux t 2u x2 1 v2 2u t2 kv ω Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 15 22 Equação de Schrödinger Forma Complexa Equação de Schrödinger Forma Complexa ux t u0 exp ikx ωt u x iku0 exp ikx ωt 2u x2 k2ux t u t iωu0 exp ikx ωt 2u t2 ω2ux t 2u x2 1 v2 2u t2 kv ω Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 15 22 Equação de Schrödinger Forma Complexa Equação de Schrödinger Forma Complexa ux t u0 exp ikx ωt u x iku0 exp ikx ωt 2u x2 k2ux t u t iωu0 exp ikx ωt 2u t2 ω2ux t 2u x2 1 v2 2u t2 kv ω Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 15 22 Equação de Schrödinger Forma Complexa Equação de Schrödinger Forma Complexa ux t u0 exp ikx ωt u x iku0 exp ikx ωt 2u x2 k2ux t u t iωu0 exp ikx ωt 2u t2 ω2ux t 2u x2 1 v2 2u t2 kv ω Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 15 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt E y h oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt E E v w h h oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt E E v w h h h p oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt E E id woz h h h 1 p A A oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt E E v w h h h 1p Pp A 23 SS k pA A h oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp ikx wt E E id woz h h h 1p Pp A 23 SS k pA A h p E Vx tV Pxit x t 0 exp Hi 2s i oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt OV E jW Ot h x t ye aunt A Ah h 1p Pp A 23 SS k pA A h p E Vx t v ex t x t 0 exp Hi 2s i dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt OV E jW Ot h x t a ny h h EWx t ih h 1p Pp A i k pp XN h A p E Vx tV ex t x t 0 exp Hi 2s i oad Bw aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt OV E jW Ot h x t peE nuk ny h h EWx t ih h 1p Pp A 23 7 Ss k a pA A h é in Ot p E Vx t v ex t 0 e 2s oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp kx wt OV E jW Ot h x t ye aunt ay oh oh EWx t ih a x in Pp Pp A 53 57 k pA A h é in Ot p E A Vx t Wo exp i x t Ewx t EWx t oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Vx t Vo exp ikx wt ov OE ow op jW jf yh iF x t Dx ie Vx t a ny oh oh EWx t ih a x in Pp Pp A 53 57 k pA A h é in Ot p E A Vx t Wo exp i x t Ewx t EWx t oad x aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Vx t Vo exp ikx wt ov OE av op jW jf yh iF x t Dx ie Vx t v w ow ow a kh in jp EWxt ih DE px t ih P P A 23 7 Ss k a pA A h é in Ot p E A Vx t Wo exp i x t Ewx t EWx t o2 B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Vx t Vo exp ikx wt ov OE av op jW jf yh iF x t Dx ie Vx t v w ow ow a ih in jp EWxt ih DE px t ih P P A 53 57 k 0 0 pA A h é in 5 in 2 Ot p nn p E A Vx t Wo exp i x t Ewx t EWx t o2 B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Vx t Vo exp ikx wt ov OE av op jW jf yh iF x t Dx ie Vx t v Ww ow ow Ah ih jn jp EWxt ih DE px t ih P P A 53 57 k 0 a pA A h é in 5 in 2 Ot p nay p E A Vx t Wo exp i x t EWx t EWx t pWx t pUx t ood Bl aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Vx t Vo exp ikx wt ov OE ow op jW jf yh iF x t Dx ie Vx t y swt aw av h h EWx t ih pwx t iha x h 1p Pp A 53 57 k 0 a pA A h é in 5 in 2 Ot p nay p E A Wx t Vo exp 2x EWx t EVx t pV x t px t p 2 2m ood Bl aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Vx t Vo exp ikx wt ov OE ow op jW jf yh iF x t Dx ie Vx t y swt aw av h h EWx t ih pwx t iha x h 1p Pp A 53 57 k 0 a pA A h é in 5 in 2 Ot p nay p E A Wx t Vo exp 2x EWx t EVx t pV x t px t 2 2 P p ejf EvxtPw 2 xt Fvxt ood Bl aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp ikx wt ov OE ov op jW jf yh iF x t Dx ie Vx t v w ow ow h h EWx t ih pwx t iha xX h 1p Pp A 53 57 k 0 a pd A h 6 ine 5 ine Ot p ye p E A Wx t Vo exp 2x EWx t EVx t pV x t px t e EWxt 2 wxt Evx t px t 2m 2m OT Ome o2 B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equacdo de Schrodinger Particula Livre em 1 Dimensdo Wx t Vo exp ikx wt ov E OW op jW jf yh iF x t Dx ie Vx t v w ow ow h h EWx t ih pwx t iha xX h 1p Pp A 53 57 k 0 a ph h é in 5 ine Ot p ye p E A Wx t Vo exp 2x EWx t EVx t pV x t px t e EWxt 2 wxt Evx t px t 2m 2m OT Ome he orev ow a a Ih age 2m Ox Ot ia aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 16 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão Equação de Schrödinger Partícula em 1 Dimensão p ˆp iℏ x E ˆE iℏ t K ˆK ˆp2 2m ℏ2 2m 2 x2 V ˆV ˆV Ψx t V x tΨx t ˆE ˆK ˆV ˆEΨx t ˆKΨx t ˆV Ψx t ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V x tΨx t iℏΨ t x t Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 17 22 Equacdo de Schrodinger Interpretacdo Fisica A funcdo de onda Wx t complexa logo nado mensuravel diretamente aed B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 18 22 Equacdo de Schrodinger Interpretacdo Fisica A funado de onda Wx t complexa logo ndo mensuravel diretamente Na interpretacdo de Max Born Px tdx Wx tWx tdx Wx t dx ged B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 18 22 Equacdo de Schrodinger Interpretado Fisica e A funcao de onda Wx t complexa logo nado é mensuravel diretamente Na interpretacdo de Max Born Px tdx Wx tWx tdx Wx tdx A probabilidade deve ser normalizada Px tdx 1 Co ged B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 18 22 Equacdo de Schrodinger Interpretado Fisica e A funcao de onda Wx t complexa logo nado é mensuravel diretamente Na interpretacdo de Max Born Px tdx Wx tWx tdx Wx tdx A probabilidade deve ser normalizada CO Px tdx 1 Co Grandezas Fisicas co A Wx tAWx tdx ged Co B aa ee Fisica Moderna 1 30 de novembro de 2021 18 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis No caso em que V x t V x Podemos separar as variáveis Ψx t ϕxφt ℏ2 2m 2Ψ x2 x t V xΨx t iℏΨ t x t ℏ2 2m 2ϕxφt x2 V xϕxφt iℏϕxφt t ℏ2 2mφd2ϕ dx2 V xϕφ iℏϕdφ dt ϕφ ℏ2 2m 1 ϕ d2ϕ dx2 V x iℏ 1 φ dφ dt E ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ iℏdφ dt Eφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 19 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação de Schrödinger Separação de Variáveis Equação Independente de Tempo ℏ2 2m d2ϕ dx2 V xϕ Eϕ Evolução Temporal iℏdφ dt Eφ dφ dt E iℏφ i E ℏ φ dφ φ iωdt ln φ iωt const φ A exp iωt φt exp iωt Px t ΨΨ ϕeiωtϕeiωt ϕϕ Px Estados Estacionários Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 20 22 Equação de Schrödinger Condições Gerais da Solução Física Equação de Schrödinger Condições Gerais da Solução Física ϕx existe é contínua e satisfaz a equação de Schrödinger dϕdx existe e é contínua ϕx e dϕdx são finitas ϕx e dϕdx são unívocas ϕx é quadraticamente integravel Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 21 22 Referências Referências Paul A Tipler and Ralph A Llewellyn Física Moderna Livros Técnicos e Científicos 6a edition 2014 RM Eisberg and R Resnick Física quântica átomos moléculas sólidos núcleos e partículas Elsevier Editora 4a edition 1979 J J Brehm and W J Mullin Introduction to the Structure of Matter A Course in Modern Physics John Wiley Sons Incorporated 1989 R Resnick D Halliday and J Walker Fundamentos de Física Volume 4 Óptica e Física Moderna Livros Técnicos e Científicos 2016 Gustavo UFPE Física Moderna 1 30 de novembro de 2021 22 22