Notas de Aula 11-2021 2

FÍSICA MODERNA L1 11a semana 30 de novembro a 06 de dezembro de 2021 Aulas 71 a 77 NOTAS11 I Introdução Para obtermos níveis de energia quantizados E1 E2 E3 etc associados ao movimento de uma partícula de massa m precisamos ter o fenômeno de confinamento espacial dessa partícula ou seja seus movimentos devem ser limitados A figura abaixo ilustra essas situações Ali dividimos os potenciais em duas categorias confinantes lado esquerdo da figura referemse às situações em que Vx o potencial diverge de ambos os lados como já conhecemos do poço infinito unidimensional ou do oscilador harmônico Naturalmente essas situações são importantes idealizações para facilitar o tratamento teórico inicial que serve de base para o exame de situações mais realísticas uma vez que a divergência real de Vx não acontece por uma série de limitações como você já deve ter desconfiado A outra categoria é a de potenciais semiconfinantes como aquele mostrado na parte direita da figura Um exemplo básico destes ocorre no âmbito da física molecular representando o fato de que digamos uma molécula apresenta níveis se energia quantizados para baixas energias ou pequenas amplitudes de oscilação Mas se essas amplitudes aumentam por exemplo devido a um incremento de temperatura a partícula em questão foge do poço a quantização acaba e as energias permitidas à partícula passam agora a assumir valores reais contínuos positivos como será examinado em Física moderna L2 Nestas NOTAS11 examinaremos entre outros a física dos degraus de potencial e das barreiras de potencial segundo a teoria quântica de Schrödinger Estes consistem em duas classes de problemas simples e importantes de aplicação geral em física da matéria condensada e física nuclear entre outras que fogem às duas categorias anteriores pois os movimentos das partículas não são mais limitados não são a princípio casos de confinamento Abaixo ilustramos em A o caso de uma partícula sujeita a um potencial Vxconstante cujas funções de onda como vimos são dadas por Ψx t Aexpikxωt onde A é uma constante de normalização encontrada por exemplo através da normalização de caixa vista nas NOTAS10 Qual a velocidade em que esta partícula de massa m deslocase Pela forma de Ψx t dada acima seu vetor de onda é k então seu momento linear será pħk e consequentemente a velocidade da partícula será v pm ħkm Tratase portanto do exemplo mais trivial da mecânica quântica de Schrödinger No restante das Notas definiremos que as partículas sempre se originam à esquerda e caminham no sentido dos x crescentes sendo então definidas por Ψx t Aexpikx ωt Adicionalmente seguindo a prática usada em Física L2 para estudar fluidos descritos por fluxos dados por φ velocidade x densidade vρ introduziremos aqui um fluxo quântico um fluxo de probabilidade dado por Sx t vPx t onde Px t Ψx tΨx t AA e v é a velocidade da partícula para usar a mesma notação de Eisberg equação 88 II O degrau de potencial caso EV0 Na parte B da figura acima existe uma novidade a descontinuidade de Vx em certo valor de x em geral em x0 Qual a implicação física dessa descontinuidade Note inicialmente que Ep22m ie p2mE12 à esquerda dessa descontinuidade mas à direita dela temos Ep22m V0 ou seja o momento linear é menor p2mEV012 Portanto à esquerda da descontinuidade o comprimento de onda de de Broglie da partícula λhp será menor do que à direita como indicado na figura Vamos escrever as duas equações de Schrödinger independentes do tempo pois a parte temporal não traz novidades ela introduz sempre o fator exp iEtħ associadas às duas partes antes e depois da descontinuidade em Vx ħ22mxx ψx E ψx x0 1 ħ22mxx ψx EV0ψx x0 2 As soluções dessas duas equações são imediatas ψx AexpiK1x BexpiK1x x0 3 onde K1 2mE12ħ ou seja equação 838 de Eisberg Note que em 3 o primeiro termo representa a onda inicial padrão a que nos referimos caminhando sempre da esquerda para a direita Já o segundo termo com o coeficiente B representa uma onda contrapropagante caminhando no sentido decrescente de x originada pelo efeito da descontinuidade do potencial em x0 Para x0 temos a solução ψx CexpiK2x DexpiK2x x0 4 onde K2 2mEV012ħ Note no entanto que em 4 D0 pois não existe nenhum efeito levando a uma onda contrapropagante na região x0 Dadas as soluções 3 e 4 temos que impor as condições de praxe na descontinuidade em x0 devemos ter a igualdade continuidade das autofunções e de suas derivadas A primeira dessas leva imediatamente a ABC 5 Enquanto a igualdade das derivadas de 3 e 4 em x0 implica em K1ABK2C 6 Resolvendo o sistema de 2 equações 5 e 6 temos imediatamente BK1K2K1K2A e C2K1K1K2A 7 As expressões 7 são as equações 843 de Eisberg elas por assim dizer concluem o problema de se achar as autofunções para o degrau de potencial segundo Schrödinger Mas podemos fazer mais podemos calcular um coeficiente de reflexão R devido à existência da barreira Note que temos uma onda original caminhante no sentido positivo dos x e que está associada à amplitude A Paralelamente temos uma onda refletida pela descontinuidade do potencial esta onda caminha na região x0 está associada à amplitude B na equação 3 O coeficiente de reflexão é dado inequivocamente como a razão entre os fluxos associados R v1BBv1AA BBAA K1K2K1K22 8 equação 845 de Eisberg A velocidade v1 associada às partículas descritas pela auto função 3 é obviamente dada por E12mv1 2 v12Em12 Analogamente podemos definir o coeficiente de transmissão T v2CCv1AA 9 notando que a velocidade associada às partículas descritas pela autofunção 4 sem esquecer que D0 na região de transmissão x0 agora é menor de E12mv2 2 V0 então segue que v2 2EV0m12 Exercício 1 a Usando C encontrado em 7 ache a expressão para o coeficiente de transmissão T definido em 9 e mostre RT1 Note que esta última igualdade mostra que o fluxo de partículas refletidas pelo degrau no sentido decrescente de x somado ao fluxo das partículas transmitidas após o degrau no sentido de x crescente iguala ao fluxo incidente original ou seja existe uma conservação dos fluxos Exercício 2 Mostre que quando EV0 R1 ou seja todo o fluxo de partículas incidente é refletido Observação segue direto da definição 8 e do fato que K20 nesse caso conforme a definição de K2 da página anterior Exercício 3 Usando 8 e as definições de K1 e K2 da página anterior encontre a expressão para R no limite EV0 III O degrau de potencial caso EV0 Esta situação é mostrada na figura abaixo para x0 nada muda em relação ao caso anterior EV0 então a solução para a autofunção é a mesma ψx AexpiK1x BexpiK1x x0 10 Para x0 temos novidade pois a conservação da energia Ep22mV0 leva ao resultado p2 2mEV0 0 momento linear e vetor de onda são imaginários implicando que os fatores expiKx das soluções da equação de Schrödinger independente do tempo se transformam em funções exponenciais nãooscilantes ψx CexpK2x DexpK2x x0 11 Neste caso temos que descartar a parte que leva à autofunção divergente já que densidades de probabilidade não podem divergir portanto C0 Devemos repetir o que fizemos no caso anterior usar a continuidade de ψx à esquerda equação 10 e à direita equação 11 em x0 o mesmo acontecendo para a derivada primeira dψxdx Exercício 4 Mostre que se fizermos com 10 e 11 o que está descrito nas duas últimas frases do texto acima chegamos imediatamente aos resultados DAB iK2K1DAB Exercício 5 A partir das duas últimas expressões resolva para A e B em termos de D para encontrar AD21iK2K1 e BD21 iK2K1 respectivamente equações 829 e 830 de Eisberg Exercício 6 Pautandose como feito anteriormente o coeficiente de reflexão R será dado por R fluxo refletido fluxo incidente vBBvAA BBAA Note que a velocidade v das partículas é a mesma pois estamos de um único lado da barreira Mostre que usando os resultados do Exercício 5 chegamos a R1 Observe que este resultado já é esperado uma vez que não existe onda transmitida ie não existe qualquer tipo de onda à direita de x0 pois pela equação 11 ψx DexpK2x x0 ou seja temos apenas uma relaxação exponencial à direita de x0 indicando que existe uma probabilidade finita de encontrarmos partículas logo à direita de x0 mas não muito além IV A barreira de potencial Este sistema está ilustrado na figura abaixo Vamos assumir que a barreira de potencial tem uma largura a como mostrado na figura Podemos escrever imediatamente a forma das autofunções nas três regiões x0 0xa e xa Inicialmente note que para x0 e xa a forma das autofunções é a mesma tanto para EV0 quanto para EV0 pois as funções são sempre oscilantes e a velocidade das partículas será uma só dada por v1 2Em12 ψx AexpiK1x BexpiK1x x0 12 ψx CexpiK1x DexpiK1x x0 13 K12mE12ħ Vale ressaltar que D0 na equação 13 pois sabemos a princípio que só existe uma onda caminhante no sentido crescente de x para xa Na região da barreira 0xa teremos 2 possibilidades diferentes caso EV0 e EV0 ψx FexpK2x GexpK2x 0xa K2 2mV0 E12ħ EV0 14 ψx FexpiK3x GexpiK3x 0xa K3 2mE V012ħ EV0 15 Temos portanto 5 amplitudes a ser determinadas A B C F e G já que D0 Mas temos apenas 4 condições de contorno a continuidade de ψx e a de sua derivada primeira dψxdx em x0 e xa Podemos portanto tirar as expressões para B C F e G em termos de A a amplitude da onda incidente original sempre incidindo da esquerda para a direita como já observamos Assim se quisermos conhecer os coeficientes de transmissão T através da barreira devemos calcular T v1CCv1AA CCAA Exercício 7 Encontre T para 0EV0 e EV0 e compare com as expressões 853 e 855 respectivamente no livro texto de Eisberg Note que ao longo dessas NOTAS11 estamos usando os mesmos símbolos que esse autor usa para as diversas quantidades físicas Na próxima página apresentamos o gráfico desse coeficiente de transmissão TTEV0 para 0 E V0 5 verde Observe que mesmo para EV0 as partículas conseguem atravessar a barreira é o fenômeno conhecido como tunelamento quântico Observe que Tquântico oscila não muito distante de Tclássico dado pela função degrau vermelho Tclássico 0 para EV0 e Tclássico 1 para EV0 Observe ainda que efeitos de interferência quânticos fazem com que apareçam regiões em que Tquântico1 mesmo para EV0 Este gráfico de Tquântico versus EV0 é um dos grandes triunfos da equação de Schrödinger mais preciso do que os resultados advindos de seu formalismo para o átomo de hidrogênio embora a maioria dos livros textos não comente isso Aplicações 1 Uma das aplicações mais básicas do tunelamento quântico é a explicação do decaimento alfa por Gamow Condon e Gurney em 1928 Sabiase na época que essas partículas que já encontramos nas notas iniciais de FM L1 usadas para a colisão com átomos de ouro em folhas metálicas muito delgadas tinham uma origem nuclear eram núcleos de He saíam de núcleos de elementos pesados instáveis Esses três autores mostraram que a teoria do tunelamento quântico como expressa na figura acima ou no resultado do Exercício 7 era capaz de explicar esse decaimento A figura abaixo apresenta esquematicamente o que ocorre nesse fenômeno físico VR é o potencial devido às forças nucleares e às forças coulombianas As primeiras são muito mais fortes do que as segundas e são representadas na figura por um poço quântico muito profundo que confina as partículas alfa em um núcleo de raio R0 A energia coulombiana é U2Ze2R em unidades CGS onde 2e é a carga das partículas alfa e R é a separação entre a partícula alfa e o centro do núcleo Note que a barreira imposta por U é tunelada por uma partícula alfa de energia E entre os pontos a e b Evidentemente quanto menor for a energia E maior será a largura da barreira a ser vencida e consequentemente menor será a probabilidade ou a frequência dos tunelamentos Pergunta Você entende perfeitamente esta figura Aplicações 2 O tunelamento quântico tem muitas outras aplicações importantes nas tecnologias modernas particularmente na eletrônica e instrumentação Uma das aplicações mais importantes desse fenômeno físico ocorre no Microscópio de tunelamento por varredura STM desenvolvido em 1981 e que fornece imagens de altíssima resolução na escala atômica A parte essencial desse equipamento consiste em uma agulha geralmente feita de tungstênio ou liga de platina e irídio acoplada a um dispositivo piezoelétrico que transforma deformações físicas em sinais elétricos quando a agulha faz uma varredura em uma superfície ela acompanha as irregularidades na escala atômica mantendo certa distância Δx entre a ponta da agulha e o local da superfície onde está passando irregularidades maiores ou menores vão gerar correntes elétricas maiores ou menores no dispositivo piezoelétrico que servem para computar a altura da superfície A distância Δx quantifica o intervalo espacial em que a corrente de elétrons deve tunelar entre a ponta da agulha e a superfície em estudo quanto maior essa distância menor a corrente de tunelamento e viceversa A resolução do STM é sem precedentes ela pode discriminar distâncias de cerca 0001 nm ou seja 1 do diâmetro médio de um átomo V Considerações sobre o poço retangular finito Parte I A pergunta Quantos níveis quantizados de energia N um potencial Vx é capaz de suportar é legítima e importante Mas é muito difícil de ser respondida no âmbito da teoria de Schrödinger Sabemos que o número de níveis de energia classicamente permitidos para um potencial confinante Nclássico é uma quantidade real infinita Quanticamente esse número é no máximo um número inteiro infinito Nquântico Ambos satisfazem à desigualdade Nquântico Nclássico Usando a teoria de Sommerfeld podemos estimar facilmente o número de níveis quantizados Nsemiclássico Essas três quantidades em destaque satisfazem Nquântico Nsemiclássico Nclássico Podemos estimar o número de níveis discretos de energia N que um poço retangular finito pode sustentar segundo a teoria de Sommerfeld Considere para tanto o poço retangular abaixo Aplicando a condição de Sommefeld como feito nas NOTAS6 temos S pdx nh equações 5 e 6 NOTAS6 onde o asterisco significa que a integral é computada no caminho fechado associado ao movimento periódico quando representado no plano p x Como E p22m V0 ie p 2mEV012 segue então que 2pLnh ou 22mEV012L nh de onde resulta que o maior valor de n possível que é igual ao número máximo de níveis permitidos por este potencial será obtido quando fizermos E0 Essa condição implica em 22mV012L Nh ou ainda N 8mV012 Lh 16 que é a expressão mostrada na figura abaixo sob o título de NSommerfeld Observe que este valor máximo N tende a infinito no limite clássico h0 como esperado Ademais observe que o número máximo de níveis de energia quantizados aumenta com os parâmetros do poço como LV0 12 Podemos estimar quantos níveis de energia um potencial unidimensional qualquer pode sustentar Para tanto basta fazer o que é sugerido na figura abaixo Exercício 8 Aplique o método sugerido na figura acima ou a equação 16 para estimar o número de níveis quantizados de energia N para o átomo de hidrogênio Lembrese que o potencial coulombiano Vr estendese de 0 a infinito pois decai lentamente com Vr 1r ao mesmo tempo que diverge quando r tende a zero VI Considerações sobre o poço retangular finito Parte II Vimos anteriormente que os níveis de energia quantizados En para uma partícula de massa m em um poço infinito de largura L são dados por En n2h28mL2 ou por En π2n2ħ22mL2 tanto pela teoria de Sommerfeld NOTAS6 quanto pela teoria de Schrödinger NOTAS10 Outro dos grandes sucessos da teoria de Schrödinger foi no cálculo dos níveis de energia de uma partícula de massa m sujeita a um poço retangular finito como exemplificado na próxima figura Para este caso os espectros dados pelo método de Sommerfeld e de Schrödinger não mais coincidem apesar da aparente simplicidade desse potencial ele não apresenta uma solução analítica fechada para o espectro de energias na formulação de Schrödinger da mecânica quântica os níveis de energia são obtidos através das soluções numéricas de uma equação transcendental ie uma equação que não exibe soluções através de fórmulas fechadas ou uma equação que não pode ser resolvida por métodos algébricos Já pelo método de Sommerfeld o espectro de energia é simples de se obter e continua sendo dado por uma expressão fechada como no caso do poço infinito que pode eventualmente se aproximar dos níveis de energia obtidos pelo método de Schrödinger embora nem sempre Exercício 9 Relembrando o método de Sommerfeld mostre que para o poço retangular acima como parametrizado por Eisberg Capítulo 8 página 240 os níveis de energia segundo Sommerfeld são dados por E En n2h28ma2 para En V0 Obtendo os níveis de energia desse potencial figura acima com a parametrização dada acima pelo método de Schrödinger como você talvez já tenha intuído depois de ter passado pelas Seções II III e IV destas NOTAS11 devemos partir de autofunções do tipo ψx AsenK1x BcoxK1x para a2 x a2 17 ao invés de ψx AsenKx válida apenas para o poço definido entre 0 x L Para as duas outras regiões com as autofunções tracejadas na figura acima temos ψx CexpK2x para x a2 18 ψx GexpK2x para x a2 19 Ou seja pelo fato do poço não ser mais infinito existe uma probabilidade finita como ocorreu na Seção III para o degrau de potencial com E V0 da partícula ser encontrada à direita de a2 e à esquerda de a2 Assim as três equações 17 18 e 19 introduzem quatro constantes a serem conhecidas A B C e G Note que temos agora 4 condições ao contorno as continuidades de ψx e de sua derivada primeira dψxdx em xa2 e xa2 Destas quatro condições podemos chegar a uma equação transcendental na forma fE tanfE gE 20 onde fE e gE são funções simples de m E a h e V0 como esperado No livro de Eisberg tratase da equação 879 página 243 A equação 20 pode ser resolvida numericamente ou graficamente para a obtenção dos valores discretos permitidos de E