Questao Solução de Schwarzschild Resolvida-2022 1

2 Questito Considere a solução de Schwarzschild ds² 1 2mr dt² dr²1 2mr r² dθ² r² sin² θ dϕ² onde m GM e c 1 a 2 pontos Mostre que as órbitas na solução de Schwarzschild são planares Sugestão observe as condições para as coordenadas angulares para que órbita ser planar e observe as leis de conservação vistas em sala de aula b 2 pontos Considere a transformação de coordenadas r ρ1 m2ρ denominadas de coordenadas isotrópicas Mostre que drdρ 1 m2ρ² e que 1 2mr 1 m2ρ²1 m2ρ² c 2 pontos Usando os resultados do item b mostre que a solução de Schwarzschild passa a ser ds² 1 m2ρ² 1 m2ρ² dt² 1 m2ρ⁴ dρ² ρ² dθ² ρ² sin² θ dϕ² 2a As órbitas são geradas pela Lagrangiana L 12 1 2mr t² r²1 2mr r²θ² sin² θ φ² Para encontrarmos a equação das órbitas fazemos ddx2L2θ 2L2θ e ddxr²θ r² sin θ cos θ dθdt Essa equação é simétrica sobre θ π θ logo numa órbita cujo θ π2 θ 0 em τ 0 terá θ π2 para todo τ Como a métrica é especificamente simétrica o movimento simples pode ser reduzido ao plano equatorial por uma operação de rotação Logo b Temos r ρ1 m2ρ pela regra da cadeia drdρ 1 m2ρ² mρ1 m2ρ Então drdρ 1 mρ m²4ρ² mρ1 m2ρ 1 m²4ρ² Além disso se substituirmos r ρ1 m2ρ² temos drdρ 1 m2ρ1 m2ρ 1 2msqrt1 rho frac2 rho m m22 rho 2m fracrho m m24 rho2 fracrho 1 fracm2 rho2sqrt left1 frac2mrhoright dt2 left1 fracm2rhoright2 dt2 Rightarrow fracdr21 frac2mrho Rightarrow left 1 fracm22rhoright4 drho2