Notas de Aula 10-2021 2

FÍSICA MODERNA L1 10a semana 23 a 29 de novembro de 2021 Aulas 64 a 70 NOTAS10 Estas NOTAS10 concluem a teoria da formulação de Schrödinger da Mecânica quântica como vista no Capítulo 7 do texto de Eisberg Nas duas próximas semanas concluindo a disciplina estaremos examinando as aplicações básicas dessa teoria de acordo com o Programa distribuído no início do semestre Os tópicos que serão vistos aqui compreendem os procedimentos para o cálculo de valores esperados médias de quantidades físicas nessa formulação bem como estudaremos o limite clássico da Mecânica quântica tópico este que já examinamos anteriormente dentro do que é conhecido como Princípio de correspondência A seção 7 deste Capítulo 7 cujo título é The classical theory of transverse waves in a stretched string cujo conteúdo é visto nas disciplinas Métodos matemáticos da física itens III e IV do conteúdo programático e Vibrações e ondas itens IV e V do conteúdo programático não será repetido aqui mesmo porque como já comentamos nas NOTAS9 a equação de Schrödinger não é uma equação clássica de ondas mas é uma equação de difusão onde a derivada temporal da função de onda é de 1a ordem com coeficiente de difusão assumindo um valor imaginário Tudo que os estudantes precisam fazer nesta semana é ler com atenção o conteúdo abaixo I Valores esperados e operadores diferenciais Nas Notas9 vimos que a partir da função de onda Ψx t para um sistema físico podemos obter a densidade de probabilidade Px t Ψx t 2 significando segundo a interpretacão probabilística da mecânica quântica que a probabilidade de encontrarmos a partícula no tempo t entre as coordenadas espaciais x e x dx é Px tdx Ψx t 2dx Ψx tΨx tdx 1 conforme a seção III das NOTAS9 Se fazemos uma série de medidas equivalentes da posição x da partícula bem como de x2 é natural imaginar que poderemos obter os valores estatísticos esperados destas quantidades x e x2 em um tempo fixo t através do cálculo das integrais x xPx tdx 2 x2 x2Px tdx 3 onde Pxt o peso estatístico é dado pela equação 1 e as integrais são computadas em todo o espaço ie no domínio x As duas equações acima podem ser colocadas alternativamente na forma mais simétrica x Ψx t x Ψx tdx 2a x2 Ψx t x2 Ψx tdx 3a Assim caso estejamos em geral interessados em calcular o valor médio de uma quantidade física F teremos que calcular F Ψx t F Ψx tdx 4 Doravante usaremos esta última forma por razões que logo ficarão claras Devemos recordar da Seção II das NOTAS9 equações 9a 9c que algumas das mais importantes quantidades físicas são representadas na Mecânica quântica por operadores diferenciais p22m ħ22mxx 5a p i ħ x p2 ħ2 xx 5b E i ħ t 5c Em geral é isso que sempre ocorre a princípio as quantidades físicas na formulação de Schrödinger sempre são dadas por operadores diferenciais Como um teste adicional suponha que estamos interessados em calcular o valor médio do momento linear px i ħ x Pela prescrição 4 ele será dado por px Ψx t i ħ x Ψx tdx 6 Note inicialmente que se procedêssemos como nas equações 2 e 3 teríamos px i ħ x Px tdx 7 Ora como Px t Ψx t 2 é uma função real o resultado da equação 7 seria um número imaginário ou seja um resultado nãofísico Por esta razão devemos usar em geral a equação 4 ou mais exatamente a equação 6 em se tratando de momento linear Vamos então substituir 7 por px Ψx t i ħ x Ψx tdx 6 Suponha o caso mais simples possível de uma partícula livre representada pela onda plana Ψx t expikx ωt Aplicando este resultado na equação 6 acima temos px expikx ωt i ħ x expikx ωtdx expikx ωt i ħ ik expikx ωtdx expikx ωt ħk expikx ωtdx ħk expikx ωt expikx ωtdx p expikx ωtexpikx ωtdx 8 uma vez que p ħk Esta resposta diferentemente de 7 fornece um valor real para o momento linear portanto obtemos uma resposta com significado físico Mas um segundo problema aparece a última integral acima expikx ωtexpikx ωtdx 1dx já que devemos integrar em todo o espaço Esta divergência pode ser facilmente removida lembrandose da necessidade de normalizarmos as funções de onda basta definir a partícula livre pela função de onda Ψx t 1L12expikx ωt ao invés de simplesmente Ψx t expikx ωt Na primeira dessas expressões para Ψx t L é o tamanho da caixa unidimensional onde a partícula pode ser encontrada esta caixa se estende de x L2 a x L2 Podemos eventualmente fazer L A integral de normalização neste caso tornase 1 C2 expikx ωtexpikx ωtdx portanto a constante de normalização C é dada por C2 1 expikx ωtexpikx ωtdx 1 L pois a integral logo acima é feita entre x L2 e x L2 Ou seja C 1L12 Esse tipo de normalização por razões óbvias é chamada de normalização de caixa e é geralmente empregada em todos os problemas envolvendo partículas livres Com isso em mente encontramos que para uma partícula livre px ħk p como esperado Para a energia total E o operador diferencial associado a essa quantidade é i ħ t como vimos na equação 9c das NOTAS9 Portanto o valor médio da energia usando 4 para uma Ψx t ψx exp iEtħ fornece como esperado E Ψx t i ħ t Ψx tdx 9 ψxexp iEtħ i ħ t ψxexp iEtħ dx ψxexp iEtħ i ħ iEħ ψx exp iEtħ dx E supondo evidentemente que ψx ee normalizada Você poderá questionar com razão que embora o cálculo de E feito acima aponte para um resultado consistente ele é trivial Dessa forma vamos examinar um caso mais realístico em que ao invés de usarmos Ψx t ψx exp iEtħ adotaremos para a função de onda a expressão mais geral possível em que a função de onda do sistema é expressa como uma combinação linear com infinitos termos usando como funçõesbase o conjunto completo de autofunções ψkx do problema Ψx t k akψkx expiEktħ equação 18 das NOTAS9 Neste caso substituindo esta última expressão na equação 9 acima temos E Ψx t i ħ tΨx tdx k akψkx expiEktħ i ħ tn anψnx expiEntħdx kn akan expiEktħ En ψkxψnxdx expiEntħ kn akan expiEktħ En δkn expiEntħ k ak2Ek 10 Este último resultado é consistente com o fato de que os únicos valores possíveis da energia são os valores quantizados dados pelo conjunto de todos os autovalores de energia Ek Neste caso mantémse a interpretação probabilística onde os coeficientes ak2 fornecem a probabilidade de se encontrar o sistema com o autovalor de energia Ek Alternativamente podemos calcular E por E Ψx t i ħ t Ψx tdx Ψx tħ22mxx VxΨx t dx 11 já que i ħ t Ψx t ħ22mxx VxΨx t Em geral para uma quantidade física F Fx px t o operador correspondente será F Fx i ħ x t e o valor médio F de F é calculado como F Ψx t Fx i ħ x t Ψx tdx 12 II O limite clássico da mecânica quântica Na mecânica clássica temos a segunda lei de Newton para uma partícula de massa m sujeita a um potencial Vx dpdt dVxdx onde p mdxdt é o momento linear Em 1926 Paul Ehrenfest 1880 1933 mostrou que essas duas relações em destaque continuam válidas na Mecânica quântica mas só para os valores médios ou seja dpdt dVxdx 13 onde p mdxdt 14 No limite em que as distâncias e os momentos lineares envolvidos são muito grandes em relação às incertezas nessas quantidades p e x convergem para valores precisos e as duas últimas relações convergem para as correspondentes expressões clássicas dadas logo no início desta seção Consideremos uma partícula de massa m movendose sob a influência de um potencial Vx t de sorte que ela é descrita por uma função de onda Ψ Ψx t Nessas condições x ΨxΨdx 15 onde a integral corre sobre todo o espaço x Se calcularmos a derivada temporal de 15 encontraremos dxdt ddt Ψ x Ψdx Ψ x tΨ tΨ x Ψ dx 16 Usando a equação de Schrödinger dependente do tempo ħ22mxxΨx t V Ψx t i ħ tΨx t tΨx t iħħ22mxxΨx t V Ψx t 17 e sua conjugada complexa ħ22mxxΨx t V Ψx t i ħ tΨx t tΨx t iħħ22mxxΨx t V Ψx t 18 Assim temos após substituirmos 17 e 18 em 16 dxdt iħ Ψ xħ22mxxΨx t V Ψx t ħ22mxxΨx t V Ψx txΨdx iħ2m Ψ x xxΨx t xxΨx txΨdx 19 Usando integração por partes na segunda integral de 19 acima como feito nas páginas 2078 do texto de Eisberg chegamos ao resultado dxdt pm 20 onde p iħΨ x xΨx t dx Analogamente podese mostrar páginas 2089 do texto de Eisberg que dpdt Vx 21 As equações 20 e 21 são exatamente iguais às equações 13 e 14 do início desta seção ou seja elas têm a mesma forma das equações clássicas mas as quantidades envolvidas são médias e não as funções que estávamos acostumados em Física L1 L2 ou Mecânica L1 PROBLEMA Usando o que aprendemos nas NOTAS9 e 10 vamos explorar inicialmente o problema mais simples da mecânica quântica a saber uma partícula pontual de massa m sujeita ao poço infinito unidimensional O poço infinito é uma plataforma para você testar e aprender tudo sobre a mecânica quântica É essencial você dominar esse problema Considere então o potencial Vx 0 para 0 x L e Vx para todos os outros pontos 1 Nessas condições a equação de Schrödinger independente do tempo toma a forma ħ22m xx ψnx En ψnx para 0 x L 22 Para qualquer outro valor de x fora do intervalo 0 x L teremos ψx 0 e igualmente Ψx t 0 pois nesses casos o potencial diverge e a partícula não pode ser encontrada lá ou seja isso é uma consequência da interpretação probabilística da mecânica quântica pois o módulo quadrado de Ψx t dá a densidade de probabilidade de se encontrar a partícula naquela posição e naquele tempo A partícula está restrita ao domínio 0 x L Devemos analisar em detalhe o que ocorre com as condições ao contorno desse problema Essas condições referemse especificamente aos pontos x 0 e x L À esquerda de x 0 e à direita de x L devemos ter ψx 0 segue então que sobre as paredes as autofunções da equação de Schrödinger independente do tempo ou as funções de onda soluções da equação de Schrödinger dependente do tempo devem ter nodos pontos onde a onda tem amplitude zero ou seja pontos onde a probabilidade de se encontrar a partícula é zero A equação 22 diz essencialmente que xx ψnx 2mEn ħ2 ψnx 23 ou seja xx ψnx ψnx Esta equação já foi vista em Física L2 e suas soluções são as funções ditas harmônicas senkx e coskx No entanto a condição de contorno em x 0 não permite as soluções em coseno pois cos0 0 Resta portanto a solução em seno ψnx Asenknx 24 onde A é uma constante de normalização As soluções 23 automaticamente satisfazem ψnx0 0 Os níveis de energia quantizados emergem sempre das condições ao contorno no caso em questão restanos apenas a condição do nodo em x L ψnxL AsenknL 0 knL nπ kn nπ L ψnx AsennπxL 25 Exercício 1 Encontre a constante de normalização A em 25 Solução ψnxψnxdx 1 A2 1 sen2nπxLdx onde a integral é definida entre x 0 e x L Resolvendo a integral temos A2L12 Em geral podemos escrever que A 2L12 eiθ onde θ é qualquer número real Substituindo 24 em 23 temos kn 2 senknx 2mEn ħ2 senknx kn 2 2mEn ħ2 ou nπ L2 2mEn ħ2 En n π ħ2 2mL2 26 como já encontrado quando usamos a regra de quantização de Sommerfeld As expressões 25 e 26 trazem as autofunções e autovalores de energia para o poço infinito unidimensional Destas duas equações temos para as funções de onda Ψx t 2L12sennπxLexpinπL2ħt2m 27 onde o argumento na última função exponencial tem a assinatura característica da parte temporal das funções de onda expiEntħ expinπL2ħt2m com En dado por 26 2 Mas temos muitas outras novidades em relação ao tratamento semiclássico Por exemplo podemos ter soluções para esse poço na forma de séries infinitas Ψx 0 2L12 n an sennπxL 28 onde os coeficientes an ψnxΨx 0dx n variando de 1 a Assim a soma 28 pode referirse a uma função como digamos Ψx 0 AxLx 29 Note que esta última função satisfaz Ψ0 0 ΨL 0 0 como requerido Exercício 2 Use a condição de normalização sobre 29 para determinar A Resposta A 30L512 Mas séries finitas também são possíveis como Ψx 0 a1ψ1x a2ψ2x a6ψ6x 30 Exercício 3 Na expansão de três termos acima suponha que a1 06 e a2 015 Qual o valor de a6 Solução Pela condição de normalização e pela interpretação probabilística devemos ter a12 a22 a62 1 a62 1 a12 a22 1 036 00225 06175 a6 07858 ou de forma mais geral a6 07858expiθ onde θ é qualquer real Exercício 4 Suponha que fizemos uma medida em t 0 para obter o estado de uma partícula em um poço infinito e descobrimos que ela está no primeiro estado excitado desse poço n 2 a saber ψ2x 2L12sen2πxL ou seja Ψx 0 2L12sen2πxL Como será a evolução temporal desse estado ie Ψx t Solução Como mostramos na Seção IV equação 11 das NOTAS9 a assinatura temporal das funções de onda não muda é sempre do tipo expiEtħ Isso decorre da equação de movimento que é a equação de Schrödinger dependente do tempo iħtΨx t EΨx t A integração desta última equação leva trivialmente ao fator expiEtħ Portando no caso em consideração a evolução temporal seguirá Ψx t 2L12sen2πxLexpiEtħ onde E E2 2π2ħ2mL2 Exercício 5 Se a função de onda em t0 para uma partícula de massa m em um poço infinito unidimensional é dada por Ψx 0 a1ψ1x a2ψ2x a6ψ6x como na equação 30 acima qual será a função de onda para tempos futuros Ψx t Exercício 6 Você sabe como é a autofunção do estado fundamental n 1 do poço infinito unidimensional ψ1x 2L12senπxL Faça um esboço do tipo de autofunção que você espera para a mesma partícula em um poço unidimensional bastante profundo embora nãoinfinito Justifique fisicamente a sua resposta Exercício 7 a Esboce a densidade de probabilidade ψ4x2 para se encontrar uma partícula em um poço infinito unidimensional de largura L nesse estado n 4 b Qual o valor máximo dessa densidade em termos de L c Compare esta densidade de probabilidade com a densidade clássica para o mesmo tipo de poço Exercício 8 Encontre as incertezas na posição x no momento p e na energia E para uma partícula de massa m em um poço infinito de largura L no nésimo autoestado Lembrese que a incerteza de uma quantidade Q é dada por Q Q2 Q2