Lista 11-2021 2

Calculo 2 - Lista 11 Prof. Fermin S. V. Bazan 1. Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace. Para obter suas respostas use o Wolfram Alpha. O Wolfram reconhece ” heaviside (t-a)” como a fungao degrau unitadrio U,(t) e ” delta (t-a)” como a fungao 6(t — a). a. y" + 2ty’ — dy = 1; y(0) = y'(0) =0. b. yf" —4y'+4y = f(t); -y(0) = —2; y/(0) = 1; t, t<1 f(t) = t+2, t>1 cy" + 6y+9y= Ff); (0) = 0; (0) = 1; 0, t<a7 t)= , . I) cost, t>7 d. ty”+(1—t)y'+y=0; y)=0, y'() =-1. e. y” + 8ty’ = 0; y(0)=4; y/(0) =0. fy” +4y =d(t-2); (0) =0, y/(0) = 1 2. No estudo de reatores com agitacao continua aparece o problema de valor inicial c(t) + ac(t) = ac;(t), c(0) = 0, onde c(t) denota concentracao de saida e c;(t) representa a concentracao de entrada. Por sua vez, a é uma constante positiva que depende da velocidade das concentracgdes e do volume do reator. Determine a concentracéo c(t) quando a = 1 e c(t) é a funcao da figura abaixo. -G(t) 0 i,t Resposta: c(t) = - [-l+t+e'+uz,(t) (1-t— e (ty) 4 tye (4) ] . 1 3. Utilize o principio de Duhamel para resolver os problemas de valor inicial abaixo. As respostas podem ser obtidas no Wolfram, ele reconhece f(t) como uma fungao genérica. a) y" — 5y' + 6y = f(t); -y(0) = 0; y'(0) = 0; b) y"+9y= fF); yO) = -1; y/(0) = 1; 4. Seja g uma fungao definida para t > 0 e que possui transformada de Laplace. Defina tg(t), t>1 f(t) = 0, O<t<l Prove que L{f(t)}(s) = —4[e*L{g(t + 1)}}. 5. Resolva as equacoes integrais abaixo utilizando a transformada de Laplace a. f(t)=—1+ fo f(t—ajeBda b. f(t) =e + fo f(t—a)da c. f(t)=3+4+ fy f(a) cos[2(t — a)]da d. y(t) =1—sen(t) — fy y(u)du, y(0) = 0 Respostas: 3. hC«d a) )=-F+5e%, — b) f(t) =e * +senh(), 6 t c) f(t) = 3t+ Fag enV 15/2) d) y(t) = sen(t) — gsen(t). 6. A deflexao transversal y de uma viga de comprimento L, disposta ao longo do eixo x, presaem x = 0 e livre em x = L é governada pelo problema de valor de contorno: d‘y W(x) — = ——,, 0<2r<L dx! ET * y(0) = y/(0) =0, y"(L) = y"(L) = 0. Na equacao acima, EF é 0 médulo de elasticidade de Young, J 6 o momento de inércia da vigae W é a carga por unidade de comprimento. Resolva 0 problema acima para 0 caso em que Wo, se O<a<L/2 W(r) =< ° [2— 0, se L/2<a<L 2 Resposta: y(xz) = Wor x — peta + wat — ie (x — L/2)*U_)2(2) 7. A um circuito LC (indutancia L e capacitancia C) em série é aplicada uma forga eletromotriz dada por Fot/Tp, se O0<t< TT E(t) = ot /To 0 0, se t>Tp Admitindo que a corrente no circuito e a carga no capacitor no tempo t = 0 sao ambas iguais a zero, encontre a carga (Q(t) no capacitor para todo t > 0. Resposta: Q(t) = 1-7, (0) (¢ — VLC sen(t/VLC)) +§ un, (t) (Zo cos((t — Ty) / WLC) + VLC sen((t — To)/ VEC) — VLC sen(t/VLC)) . 8. Um indutor de LZ henrys e um capacitor de C’ farads estao ligados em série com um gerador de E volts. No tempo t = 0 a carga no capacitor e a corrente no circuito sao ambas iguais a 0. Encontre a carga no capacitor em todo t > 0 se: a. E(t) = EqU,(t), a > 0 Respostas: a. Q(t) = Ua(t)CEo (1 — cos (¢)), b. Q(t) = EgVLC sen(t/VLIC) 9. Use a transformada de Laplace para determinar a corrente elétrica em um circuito em série RLC quando L = 0,005 henry, R = 1 ohm, C = 0,02 farad e E(t) = 100|t — (t — 1)U,(t)] volts. Admita que a corrente em t = 0 é nula. Resposta: i(t) = 2(1 — e~ 10°F — 200te~100F) 4 271 — e~ 100(t—1) _ 200(¢ — 1)e7 10°C yu, (4) 10. Um objeto de 4 kg distende uma mola em 2 cm. O objeto é solto na posicao de equilibrio a partir do repouso. Determine a equagao de movimento se uma forca externa igual a f(t) = sen(t) newtons age sobre o sistema durante 0 < t < 2a (tempo em segundos) e entao é removida. Ignore qualquer amortecimento e use g = 10 m/s”. Resposta: y(t) = - (=e - joo Tapa 5008) ) - - (20 - Season VION! - 2n))) Uo (t) 11. Encontre y = y(t) satisfazendo ty” +2y'+ty=0, y(0T)=1. Resposta: y(t) = sen(t) 12. Mostre que y(t) = sen(V/t) satisfaz a EDO Aty" (t) + 2y'(t) + y(t) = 0. Usando esse fato, determine a trasformada de Laplace de y(t). Resposta: y(t) = ae, s>0