Lista 3-2021 2

C´alculo 2 - Lista 3 Prof. Ferm´ın S. V.Baz´an 1. Seja f(r, L) o pagamento mensal para um empr´estimo de 5 anos para a compra de uma moto como uma fun¸c˜ao da taxa de juros r e o total financiado L. A figura abaixo mostra um mapa de contornos de f(r, L). Usando esse mapa pede-se a) Obter uma estimativa do pagamento mensal de um empr´estimo de 3.000 reais a uma taxa de 7%. (Resp. 60 reais) b) Determinar uma estimativa do pagamento mensal de um empr´estimo de 5.000 reais a uma taxa de 3%. (Resp. 90 reais) c) Obter uma estimativa do total do empr´estimo se o pagamento mensal for de 80 reais e a taxa de juros for de 7% (Resp. 4.500 reais). 2. Resolva os seguintes exerc´ıcios do livro ”C´alculo de V´arias Vari´aveis” do Profs. A. de A. e Silva e M. P. Matos (Texto de apoio). a) 1, 2, 5, 6, 7 das p´ags. 12 a 13. b) 1, 2(a,b,d,f,h,,j,l), 4(a,c,e,g,h), 6, 8, 9, 11(a,c,e,g), 13, 15, 16 das p´ags. 24 a 27. O livro est´a dispon´ıvel em http://www.mpmatos.com.br/page_2.html 3. Suponha que a concentra¸c˜ao C em mg/l de um medicamento na corrente sangu´ınea de um paciente seja modelada pela fun¸c˜ao C(x, t) = 0.2 x(e0.2t − e−t), em que x ´e a dosagem do medicamento em mg e t ´e o n´umero de horas desde o in´ıcio da medica¸c˜ao. (a) Suponha que o medicamento atinja um n´ıvel satisfat´orio na corrente sangu´ınea depois de uma meia hora. Dˆe uma estimativa de quanto tempo a mais o medica- mento se mant´em eficaz. (b) Suponha que a dosagem seja de 100 mg. Dˆe uma estimativa da concentra¸c˜ao m´axima na corrente sangu´ınea. 4. A lei de um g´as ideal confinado ´e dada por: PV = kT, onde P ´e a press˜ao, V ´e o volume, T ´e a temperatura em graus e k > 0 uma constante que depende do g´as. Um tanque cont´em 2000 polegadas c´ubicas de nitrogˆenio sujeito a uma pressa˜o de 26 lib/pol2 e temperatura de 300K a) Determine k, b) Escreva P como uma fun¸c˜ao de V e T e descreva as curvas de n´ıvel. 5. A tabela abaixo mostra valores das vendas l´ıquidas x, os ativos socias y e o capital social z, todos em bilh˜oes de dollares, da Wal-Mart durante o per´ıodo 2002-2007. Um modelo que aproxima os dados da tabela ´e z = f(x, y) = 0.026x + 0.31y + 5.04. a) Use o modelo para aproximar z nos valores x, y dados na tabela, b) Qual das vari´aveis tem maior influˆencia no capital social? c) Escreva uma express˜ao para f(x, 95) e interprete o valor no contexto do problema. 6. Em cada parte, as quest˜oes se referem ao mapa de contorno na figura a seguir. (a) O ponto A ou B ´e o ponto mais alto? Explique seu racioc´ınio. (b) O ponto A ou B est´a na inclina¸c˜ao mais ´ıngreme? Explique seu racioc´ınio. (c) Iniciando em A e movendo-se de tal modo que y permanece constante e x cresce, a eleva¸c˜ao come¸car´a a crescer ou decrescer? (d) Iniciando em B e movendo-se de tal modo que y permanece constante e x cresce, a eleva¸c˜ao come¸car´a a crescer ou decrescer? (e) Iniciando em A e movendo-se de tal modo que x permanece constante e y de- cresce, a eleva¸c˜ao come¸car´a a crescer ou decrescer? (f) Iniciando em B e movendo-se de tal modo que x permanece constante e y de- cresce, a eleva¸c˜ao come¸car´a a crescer ou decrescer? Resp. (a) A (b) B (c) crescer (d) decrescer (e) crescer (f) decrescer 7. Resolva os exerc´ıcios 5 ao 7 das p´ags. 110 a 111, do livro ”Aprendendo C´alculo de V´arias Vari´aveis” do Prof. Waldecir Bianchini e da Profa. ˆAngela Rocha dos Santos. O livro est´a dispon´ıvel em http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo2/calculo2.pdf 8. Se T(x, y) for a temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa delgada de metal no plano xy, ent˜ao as curvas de n´ıvel de T s˜ao denominadas curvas isot´ermicas. To- dos os pontos sobre tal curva tˆem a mesma temperatura. Suponha que uma placa ocupe o primeiro quadrante e T(x, y) = xy. (a) Esboce as curvas isot´ermicas nas quais T = 1, T = 2 e T = 3. (b) Uma formiga, inicialmente em (1, 4), anda sobre a placa de modo que a temper- atura ao longo de sua trajet´oria per- manece constante. Qual ´e a trajet´oria tomada pela formiga e qual ´e a temperatura ao longo de sua trajet´oria? (Resp. trajet´oria xy = 4) 9. A fun¸c˜ao f(x, y) = xy/(x2 + y2), (x, y) ̸= (0, 0) e f(0, 0) = 0, tem gr´afico e mapa de contorno como descrito na fiigura abaixo: a) Mostre que (x, 0) e f(0, y) s˜ao ambas fun¸c˜oes cont´ınuas de uma vari´avel. b) Mostrar que os raios que emanam da origem est˜ao contidos em curvas de n´ıvel de f c) A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em (0, 0) ?