Lista 1-2021 2

Calculo 2 - Lista 1 Prof. Fermin S. V. Bazan Os problemas que exigem recurso computacional podem ser resolvidos usando o Wol- fram Alpha. Visualizagoes graficas também podem ser obtidas usando 0 Graphfree ou o aplicativo para smartphone GrapherFree. 1. Resolva os exercicios impares sobre comprimento de arco (1 ao 20) das padginas 147 — 148 do livro ”Calculo I: Volume II” do Profs. Mauricio A. Vilches e Maria Luiza Corréa do IME-UERJ. O livro esta disponivel em https://www.ime.uerj.br/livros-apostilas-e-tutoriais-2/?cp_livro=3 2. Uma ponte suspensa é sustentada por cabos da forma y = kx”, k constante, como mostrado na figura abaixo, | t | k | | lI Ee 2 — ra . , ° Ah? Mostre que o comprimento do cabo é s = 2 1+ —,2dz. 0 w 3. Suponha que o arco definido por y = f(z), a< x <b, é descrito parametricamente pelas equagdes x = $(t), y= y(t), a<t< 8. Se de vy sao funcoes diferencidveis, mostre que o comprimento de arco baseado nas euqacoes paramétricas é dado por B s= | Vor yut Com base no resultado acima, calcule o comprimento de arco da astrdide dada por x = 3cos*(t), y = 3sin*(t), t € [0, 27]. Resp. 18 unidades de comprimento 4. As equagoes paramétricas do movimento de uma particula no plano sao dadas por x = 3te y = 2t?. Qual sera a distancia percorrida pela particula entre os instantes t=O0et=1? Resp. 4\/2 — 2 unidades de comprimento 5. Determine uma funcao y = f(x) cujo grafico é representado por uma curva que que passa pelo ponto (25,7) e tem comprimento 3 1 s= 1+ —dz. 9 Ax 6. Calcule o comprimento da curva dada por y L= | vVsec*(t)—ldt, -1/4<y<7/4. 0 Resposta: 2 7. Determine uma curva que passa pelo ponto (0,0) no plano cartesiano e cujo com- primento dex=Oaxv=16 ' 1 s= 1+ -e*dx. 0 4 Resposta.: y = —1+ e*/?. 8. Mostre que a area sob o grafico de y = cosh(x) para a < x < b é igual ao compri- mento correspondente da curva. 9. Um cabo de transmissao elétrica esta pendurado entre dois postes localizados em x= —-Cex = fe tem formato de uma catenaria, a qual é dada pela curva y = 8+acosh(x/a), a > 0. Determine 0 comprimento do cabo. Agora, suponha que os dois postes estejam separados por uma distancia de 18 metros e que o com- primento do cabo deva ser de 19 metros. Ha arvores no local cujas alturas ficam abaixo de 5 metros. Qual a menor altura que o cabo deve estar preso em cada poste de forma que este nao tenha contato com as arvores? (Obs.: necessita de recurso computacional). Resposta: 2a sinh (€/a); 7,65 metros 10. Determine as areas das superficies geradas pela rotacao das curvas em torno dos eixos indicados: a. y= V2x —2?,0,2 <2 <1, eixor b. «= y?/3, 0< y <1, eixo y. c. vw = (1/3)y9/? — yl/?, 2 <y < 10, eixo y d. y = (1/3)(a? + 2)9/?, 0 <@ <5, eixo y. Respostas: a) 1,67 ; b) 7/9(2V/2 — 1) ; c) on ; d) en 11. Resolva os exerc´ıcios 1, 3 e 4 da p´agina 181 do livro: -C´alculo II/ Eliezer Batista, Elisa Zunko Toma, M´arcio Rodolfo Fernandes, Silvia Martini de Holanda Janesch - 2 ed. - Florian´opolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2012. O livro est´a dispon´ıvel em https://mtm.grad.ufsc.br/livrosdigitais/. 12. Uma esfera de raio R foi cortada por dois planos paralelos. A distˆancia de cada um dos planos ao centro da esfera ´e a mesma e a distˆancia entre os planos ´e h. Mostre que a ´area da superf´ıcie da esfera localizada entre os planos ´e 2πRh. 13. Encontre a ´area da superf´ıcie obtida pela rota¸c˜ao do arco da curva x2/3 + y2/3 = 4, 0 ≤ y ≤ 8, no primeiro quadrante (como visto na figura abaixo), em torno do eixo y. Resp. 384π/5. 14. Uma lˆampada ornamental ´e projetada rotacionando a curva y = 1 3x1/2 − x3/2, 0 ≤ x ≤ 1/3, em torno do eixo x, com x e y medidos em cm. Determine a ´area da lˆampada. 15. Um antena receptora tem formato correspondente `a superf´ıcie obtido pela rota¸c˜ao da par´abola x2 = 4py, p > 0, em torno do eixo y. Se a antena tiver 8 metros de diˆametro e profundidade de 1, 2 metros, encontre o valor de p e a ´area da superf´ıcie da antena. Resposta: p = 10/3; 32π 135 (−125 + 34 √ 34) m2