Lista 2-2021 2

C´alculo 2 - Lista 2 Prof. Ferm´ın S. V. Baz´an Os problemas que exigem recurso computacional podem ser resolvidos usando o Wol- fram Alpha. Vizualiza¸c˜oes gr´aficas tamb´em podem ser obtidas atrav´es do aplicativo para smartphone GrapherFree. 1. Determine o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao do la¸co da curva y2 = x(4 − x)2 (veja figura abaixo) em torno de: a) o eixo x, b) o eixo y, c) a reta x = 4. Resposta: a) 64π/3, b) 2048π/35, c) 8192π/105 2. Calcule o volume de um dos Donuts (figura (b)) considerando que ele pode ser representado como na figura (a) abaixo, ou seja, como um toro que ´e o s´olido obtido pela rota¸c˜ao do c´ırculo de raio r da figura (a) ao redor do eixo y. Resposta: 2π2r2R2 3. Resolva os exerc´ıcios 8 ao 14 das p´aginas 319−320 do livro ”Aprendendo C´alculo de Uma Vari´avel” do Prof. Waldecir Bianchini e da Profa. ˆAngela Rocha dos Santos do Instituto de Matem´atica da UFRJ. O livro est´a dispon´ıvel em http://www2.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/aprendendocalculo/calculo1.pdf. 4. Alguns dos pioneiros do Calculo, como Kepler e Newton foram inspirados pelo prob- lema de encontrar os volumes de barris de vinho. (De fato, Kepler publicou em 1715 Stereometria doliorum, um livro dedicado aos métodos para encontrar os volumes de barris). Eles freqiientemente aproximavam o formato dos lados por pardbolas. Por exemplo: um barril com altura h e o raio maximo R é construido pela rotagao ao redor do eixo x da parabola y = R—-cx?, —h/2 <x < h/2, onde c é uma constante positiva. Mostre que o volume interno do barril é 1 2 V =-7h(2R?+7r?- =a yeh (an 48 Sat), onde r = R —d 60 raio de cada extremo do barril e d = ch?/4. 1) Ss 5. Encontre o volume do solido cuja base é um circulo de raio R e que tem segoes transversais perpendiculares a um diametro fixo dadas por triangulos equildteros. Resposta: Av3Re 3 6. Uma cunha é obtida interceptando-se um cilindro circular reto de raio R por um plano que intercepta a base exatamente no seu diametro e que tem inclinacao de 45° com relacao & base do cilindro. Calcule o volume da cunha. 3 Resposta: 7. Um fabricante faz um buraco numa esfera metadlica de raio 5 polegadas, conforme mostrado na figura abaixo. Se o buraco tem raio de 3 polegadas, determine o volume do sélido resultante dessa operacao. 3 if. 5 in. € oe 1 45 | Resposta: en 8. Um sélido tem como base a regiao entre a curva y = 2,/sin(z) e o intervalo [0,7] no eixo x. As secoes transversais perpendiculares ao eixo x sao quadrados com bases que vao do eixo x a curva. Determine o volume do sélido. Resposta: 8 9. Resolva os exercicios impares 1 ao 19, e os pares de 24 ao 28, sobre volumes de revolucao das paginas 145 — 147 do livro ”Calculo I: Volume II” do Profs. Mauricio A. Vilches e Maria Luiza Corréa do IME-UERJ. O livro esta disponivel em https://www.ime.uerj.br/livros-apostilas-e-tutoriais-2/?cp_livro=3. 10. Considere a regiao delimitada pelo grafico da funcgao (y — 2)? = 4— 2 € 0 eixo y. Escreva uma integral que representa o volume do sdlido obtido ao rotacionarmos essa regiao em torno do eixo 2. Resposta: 27 So y(4 — (y — 2)?) dy 11. Um sélido é obtido através da rotacao da regiao delimitada por y = Sr", y = 2, x = 0, no primeiro quadrante, em torno do eixo y. Um buraco é perfurado no solido ao longo do seu eixo de simetria, de forma que um quarto do volume do sélido é removido. Encontre o diametro do buraco. Resposta: 2//2 12. Encontre o volume do soélido formado pela rotacao da regiao limitada pelos graficos dey=a22?+24+1,y=lex=1em torno dareta x = 2. 297 Resposta: 5" 13. A regiao delimitada pela curva y = 4 — 27/4, 0 < x < 4, e os eixos re y, 6 rotacionada em torno da reta y = b, conforme visto na figua abaixo. ib 4 yeh . ay ae a) determine 0 volume do sdlido como fungao de 8, b) determine o valor de b que minimiza o volume do solido. Resposta: a) V = 7(4b? — 64b/3 + 512/15, b) b= 8/3.