Lista 8-2021 2

C´alculo 2 - Lista 8 Prof. Ferm´ın S. V. Baz´an 1. Resolva cada E.D.O. abaixo: a. xy′′ = 2 + y′ b. 1 − y′ = 4y′′ c. y′′ = 1 + (y′)2 d. yy′′ = y2y′ + (y′)2 Respostas: a) y = kx2 2 − 2x + C; K e C s˜ao constantes quaisquer; b) y = x + C1e−x/4 + C2; C1 e C2 s˜ao constantes quaisquer c) y = − ln(cos(x + C1)) + C2; C1 e C2 s˜ao constantes quaisquer e x deve estar no intervalo (− π 2 − C1, π 2 + C1) d) y = 1 C1eC2x−1 ; C1 e C2 s˜ao constantes quaisquer; a solu¸c˜ao ´e v´alida num intervalo em que C1eC2x ̸= 1. 2. Resolva cada P.V.I. abaixo a. yy′′ + 3(y′)2 = 0, y(1) = 2, y′(1) = −1 b. y′′ = 2y(y′)3, y(0) = 0, y′(0) = 1 a) y = 2 4√−2x + 3, x > 3/2 b) y − y3 3 = x 3. Encontre a solu¸c˜ao geral de cada EDO (use o Wolfram Alpha para compara¸c˜ao a solu¸c˜ao da ECO com suas respostas): (a) y′′ − y′ − 6y = 0 (b) y′′ + 6y′ + 9y = 0 (c) y′′ + 10y′ + 26y = 0 (d) y′′ − 9y′ − 9y = 0 (e) t2y′′ + 2ty′ − 6y = 0, t > 0 (f) t2y′′ + ty′ + 4y = 0, t < 0 4. Encontre a solu¸c˜ao de cada PVI abaixo (use o Wolfram Alpha para comparar a solu¸c˜ao do PVI com suas respostas) (a) y′′ + 2y′ − 3y = 0, y(0) = 6, y′(0) = −2 (b) y′′ + 3y′ = 0, y(0) = 3, y′(0) = 6 (c) y′′ − 2y′ + y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1, (d) y′′ − y′ + 4y = 0, y(−2) = 1, y′(−2) = 3 (f) t2y′′ − ty′ = 0, y(2) = 5, y′(2) = 8 5. Escreva a solu¸c˜ao de cada P.V.I abaixo na forma de ˆangulo de fase: a. 20y′′ + 4y′ + y = 0, y(0) = −1, y′(0) = −2 b. y” + 6y! + 10y = 0, y(0) = —2, y(0) = 10 Respostas: a) y(x) = VB 2/20 cos (< t+a+ arcta(-21/2)) b) y(x) = 2V5 e~3* cos(x + arctg(2) — 7) 6. Verifique que, para qualquer constante a, y(t) = e~* é uma solucao de y” +2ay’+a7y = 0. Encontre a solucao geral dessa EDO. Resposta: y(t) = Cye~%* + Cote 7. Suponha que ¢y é solucao do problema de valor inicial y” + Ay’ + By = 0, y(xo) = a, y'(zo) = 6, em que A, B,a,b sao constantes. Supondo que A e B sao positivos, mostre que Jim p(x) =0. 8. Um objeto de massa m, movendo-se ao longo do eixo z, é atraido para a origem por uma forga (resultante) que é proporcional a distancia do objeto 4 origem. Achar a equacaéo do movimento do objeto quando: a. o objeto inicia em x = xg a partir do repouso. b. o objeto inicia em © = xp com velocidade inicial vg. a) a(t) = x9 cos (VE) , b) x(t) = xg cos (V+) + vo /%sen (V+) 9. Considere duas esféricas concéntricas de raios r; < rg. Suponha que as esferas estejam carregadas eletricamente, a esfera mais interna tem potencial V; e a mais externa tem potencial V2. Sendo r o raio entre as esferas e V o potencial eletrostatico na regiao entre elas (vacuo), sabe-se que V satisfaz a equacao dV 2dV —, +-— =0. dr2 sor dr Encontre V. Resposta: V = Vara(r = 1) ~ Viri(r = 2) r(r2 — 71) 10. Considere o péndulo simples como mostrado na Figura abaixo. O péndulo consiste de uma pequena bola de massa m presa a uma corda de comprimento L. Podemos especificar a posicao da bola no tempo ¢ através do angulo @ = @(t) como na figura, medido no sentido anti-horadrio. Despreze a massa da corda e os efeitos de atrito. . spe , 1 2/d0 2 a. Mostre que a energia cinética da bola 6 T = 5mL (4) . b. Escolhendo o ponto O mostrado na figura como referéncia, conclua que a ener- gia potencial da bola é dada por V = mgh, sendo h = L(1 — cos(@)) e g a aceleragao gravitacional. ~ . 2, c. Usando conservacao de energia, conclua que a + Zsen(6) = 0. d. Em situagdes as quais 0(t) tem baixa magnitude, podemos usar a aproximagao sen(@) ~ 0, de onde obtemos a equacéo a6 —~ + 49 =0. dt L Encontre a solucao geral dessa equacao. Determine o periodo e a frequéncia do movimento do péndulo. Resposta: 0(t) = Acos(\/g/L t) + Bsen(\/g/L t), periodo é 27\/L/g e a frequéncia é x V9/L fi f ‘, A \ 1. ae ho. at —_,2= i 11. Admita que a equacao diferencial que modela o movimento de um um péndulo simples de comprimento L é a0 “+ 26=0, dt? iL sendo g = GM/R? a aceleracao gravitacional no local onde o péndulo esta localizado; R representa a distancia do péndulo ao centro da Terra, M é a massa da Terra e Ga constante de Newton. Mostre que, dados dois péndulos de comprimento L, e Lz, perfodo pi & p2 e distancia até o centro da Terra R; e Ro, respectivamente, entao pi _ Rivli pe RovVLe Use esse resultado para responder as seguintes quest6es: a. Um péndulo de comprimento 100,01 polegadas localiza-se ao nivel do mar, onde R = 3960 milhas. Este péndulo tem o mesmo periodo que um péndulo de comprimento 100 polegadas localizado no alto de uma montanha . Qual a altura da montanha com relacgao ao nivel do mar? b. Reldgios de péndulo geralmente tem comprimento ajustavel. Um relégio de péndulo atrasa 10 minutos por dia quando seu comprimento é 30 polegadas. Qual deve ser o comprimento do péndulo para que o relogio funcione adequadamente? Respostas: a) © 1,98 milhas; b) 30(143/144)? = 29, 85 polegadas.