Lista 10-2021 2

Calculo 2 - Lista 10 Prof. Fermin S. V. Bazan 1. Encontre a transformada de Laplace de cada funcgao abaixo (use as propriedades e as transformadas jA obtidas nas videoaulas, nao faga diretamente pela definicéo!). Use o Wolfram Alpha para conferir suas respostas. (a) f(t) = tcos(at), a #0 (b) f(t) = t(3sen(2t) — 2 cos(2t)) (c) f(t) = t?sen(t) (d) f(t) = e~* cosh (2t) (e) f(t) = te~*sen(4t) (f) (= 8? — 6H? (g) f(t) =e‘ cos? (t) , O< 2 <2, 2. Determine a transformada de Laplace da fungao f(t) = ; S ; , c>2. R. F(s) = 1 6-25 - se -—l1j,s>0. Ss Ss 3. Determine cada transformada inversa de Laplace abaixo (confira suas respostas no Wolfram Alpha): _ 6s—4 -1 4s+12 a. Lo! { atu} ’ b.L {ose} ? - 38+7 -1 75s o. £1 { sth acts}, _ —4rs/5 _ 252-4 0 LMS} fo Nee ae} —1 J 5s?—15s—11 -1 3s+1 gL {sztssu th, h. £ {tha}. pe 2s2—6s+5 7 pl 2s°—s?-1 i £1 { tess h jL { eh}. k Lo} { 1 \ l co} {Gye} , (8244)? f? , “stts+1 f? 4. Resolva o PVI ‘(t) = f(t), ky, 0<t<t VN =FO> rae pip) — { Br OSES y(0) = yo ko, t= to. Observagao. Como o lado direito do problema é descontinuo, a solugao sé pode ser diferencidvel nos pontes onde f é continua. No pontos onde f é descontinua, a solugao do PVI é apenas continua. 5. Seja 3t, O<t<2 f(t) = 6, 2<t<4 com f(t) periddica de periodo igual a 4. Facga o grafico de f(t) e encontre L{ f(t)}. R: 3 — 3e-75 — 6se—4*8 +0 “ s2(l—e74s) ° 6. Se f(t) =t?,0<t<2e f(t+2) = f(t), para todo t € R, encontre L{f(t)}. R: 2 — 2e—?8 — 4se—?8 — 457725 s0 “ s3(1 — e-?8) 8 . _ . ae _ f(t) oo 7. Seja F(s) = L{f(t)}(s), s > 0. Supondo que existe o limite lim, —, © que Jo F(wdu t0 é convergente, mostra-se que CO t CO | LO = | F(u)du. o ¢ 0 Use esse fato para mostrar que CO / sen(t) aa ot 2 8. Encontre a transformada de Laplace de cada fungdéo abaixo (use as propriedades e as transformadas jd obtidas nas videoaulas, nao faga diretamente pela definicao!) (a) f(t) = fo(t — u)? cos(2u)du (b) f(t) = fs e~(*—)sen(u)du t (c) f(t) = Jo (t — u)e"du (d) U,,(t)e* cos(t) (e) #°U2(t) (f) 6(t — 7)(t — 27)? 2 1 Respostas: (a) 32(62 +4)’ s> 0; (b) G+s+8)’ s> 0; 1 s—1 . _p—7(s—1) () Beri PbO € T+?! —2s (e) 2e (25? +2s+1), s>0; (f) e~™*r?, s >0 Ss 9. Expresse cada funcao abaixo como combinacao de funcoes do tipo degrau unitdrio. Usando a formula obtida e o segundo teorema de translacao, determine a transformada de Laplace correspondente. (a) 0, O<t<l f(it)=4 -1, 1<t<2 0, t>2 (b) Sendo w > 0, tsen(wt), O<t< fo= 0, 2<t<% cos(wt), t> 7 (c) te’, O<t<l f(t) = 0, 1<t<2 ?, t>2 (d) 0, 0<t<1/2 f(t) = t? sen(mt), 1/2<t<1 0, 1<t<2 —5, t>2 Respostas: a) f(t) = Ua(t) — Ui (t), F(s) = (e€-** —e*)/s, 8 >0 b) f(t) = Ce Ux/w(t))t sen(wt) $ cos(wt) Uae /w(t), — 28 (nr /w)s__ 8 Er /w)s y 8-2 /w) 5 F(s) (2 Fw) e (2@+u22 = + we + St we ,5>0 c) f(t) = te'(1 —Ui(t)) + U2 (t), 1 1 1 6 12 12 8 F — og (s-1) f _ se —2s [= 74 of ° (s) (s— 1 e (Gets) te (St atats)so d) f(t) = Uy;2(t)t?sen(xt) — Uy (t)t?sen(mt) — 5U2,(t) 2s(s* — 317) s?— 7? 8 Qn (7? — 38") Ars 1 — (2 S'7 8 a —s/2 i Se eee Se —s_ F(s) ( (s2 + 72)3 + (s2 + 72)? + wo) e +( (s2 + 72)3 + (s2 4+ 72)? + s2 «) e 3 6-28, s>0 Ss 10. Use a transformada de Laplace para calcular as integrais abaixo: co p.-t _ ,-3t a. | SS at, 0 t R.: In(3). b [ cos(6t) — cos(4t) i, et. R.: In(2/3).