Apostila Princípios de Sistemas de Controle

Parte I Controle Contínuo ii SUM´ARIO 3.6 Resposta em freq¨uˆencia e ru´ıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.7 Conclus˜oes sobre o efeito de p´olos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados 37 4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Propriedades e Fun¸c˜oes de transferˆencia b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.1 Rastreamento ou seguimento da referˆencia (precis˜ao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.2 Rejei¸c˜ao de perturba¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.3 Sensibilidade ao ru´ıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.4 Sensibilidade param´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.5 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Estudo de Caso: Controle de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.1 Modelo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.2 Rastreamento e rejei¸c˜ao de perturba¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.3 Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.4 Rastreamento Dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4 Rastreamento em regime permanente (precis˜ao) e tipo de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.1 Rastreamento e sinais padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.2 Tipos de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.1 Estabilidade Entrada-Sa´ıda (BIBO-estabilidade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.2 Estabilidade Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.5.3 Crit´erio de Estabilidade de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.5.4 Lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.5.5 Estabilidade no dom´ınio da freq¨uˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5 Objetivos do controle e estruturas b´asicas de controladores 91 5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Compensa¸c˜ao S´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3 Caracter´ısticas desej´aveis do sistema controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3.1 Posi¸c˜ao dos p´olos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3.2 Resposta em freq¨uˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4 Estrutura de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4.1 Controlador Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4.2 Controle proporcional-derivativo (PD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4.3 Controlador Proporcional-Integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4.4 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4.5 Compensador de Avan¸co de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.4.6 Compensador de Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6 M´etodos diretos de projeto 105 6.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2 Controle de Processos de 1a ou 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2.1 Controle de Processos de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2.2 Controle de Processos de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.3 M´etodo de Ziegler Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.3.1 Projeto baseado na resposta da planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.3.2 Projeto baseado na resposta em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7 Projeto usando o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes 123 7.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.2 Projeto do compensador de Avan¸co de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.3 Projeto do Compensador de Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8 Projeto no Dom´ınio da Freq¨uˆencia 133 8.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.1.1 Compensa¸c˜ao via Compensador de Avan¸co de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.1.2 Compensa¸c˜ao via Compensador de Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 SUM´ARIO iii II Controle Discreto 139 9 Introduc¸˜ao ao Controle Discreto 141 9.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9.2 Defini¸c˜oes b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.2.1 Tipos de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.3 Amostragem e reconstru¸c˜ao do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.3.1 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 9.3.2 Reconstru¸c˜ao de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10 Modelagem e resposta de sistemas discretos 149 10.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.2 Equa¸c˜oes diferen¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.3 Fun¸c˜ao de transferˆencia discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.3.1 Obten¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.4 ´Algebra de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.4.1 Associa¸c˜ao em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.4.2 Associa¸c˜ao em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.4.3 Malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.5 Mapeamento entre o plano s e o plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.5.1 Mapeamento do semi-plano esquerdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.5.2 Faixa prim´aria e faixas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11 Precis˜ao e estabilidade 159 11.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2 Precis˜ao de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.3 Erro aos sinais padr˜ao e tipos de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.3.1 Erro ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.3.2 Erro `a rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.3.3 Erro `a par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.4.1 Crit´erio de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.4.2 Crit´erio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.4.3 Lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12 Projeto de controladores discretos 169 12.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.2 Estruturas de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.3 Controle Digital por Emula¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.3.1 Controle por emula¸c˜ao via Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.3.2 M´etodo de Tustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.3.3 M´etodo da transforma¸c˜ao casada de p´olos-zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.4 Projeto por m´etodos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.4.1 Projeto pelo lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 12.4.2 Projeto no dom´ınio da freq¨uˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 12.5 Quest˜oes de Implementa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 18 Capítulo 2: Modelagem e representação de sistemas de controle incidente vindo do nó R(s), com ganho unitário, e um ramo vindo de N(s) com ganho −1. Isto é mostrado na Figura 2.11 A variável M(s) tem um valor que corresponde ao valor de E(s) multiplicado por G1. Portanto existe um ramo incidente em M(s) vindo de E(s) com ganho G1, como mostrado na Figura 2.12. A variável N(s) é o valor de M(s) multiplicado por G2 e portanto existe um ramo incidente em N(s) vindo de M(s) com ganho G2. O valor de Y(s) é o valor de N(s) e portanto existe um ramo incidente em Y(s) com ganho 1. O diagrama até este ponto é mostrado na Figura 2.13. Finalmente a variável O(s) corresponde ao valor de N(s) multiplicado por G3. Portanto um ramo parte de N(s) e termina em O(s) com ganho G3. Com isto o diagrama de fluxo de sinal está completo, como mostrado na Figura 2.14. Exemplo 2.4.2 Apresentado em sala de aula Exemplo 2.4.3 Apresentado em sala de aula Exemplo 2.4.4 Apresentado em sala de aula 2.4.5 Regra de Mason A função de transferência de um sistema pode ser determinada a partir do diagrama de fluxo de sinal através da regra de Mason. Esta regra é útil em casos onde é muito difícil determinar a função de transferência equivalente de um diagrama de blocos usando a álgebra de blocos. A regra de Mason é dada por G(s) = \frac{1}{\Delta} \sum_i G_i \Delta_i \quad (2.4.1) CAP´ITULO 1 Introdu¸c˜ao A engenharia de controle baseia-se no princ´ıpio da realimenta¸c˜ao (ou retroa¸c˜ao) e objetiva o controle de de- terminadas vari´aveis de um sistema. Embora esteja tradicionalmente ligada `a engenharia el´etrica, a engenharia de controle ´e interdisciplinar e encontra aplica¸c˜oes em engenharia qu´ımica, mecˆanica, aeron´autica, biom´edica, etc. Em engenharia el´etrica o n´umero de aplica¸c˜oes ´e muito grande e este cap´ıtulo cita alguns exemplos encontrados em diversas ´areas. Um processo industrial simples permite ilustrar o problema b´asico da engenharia de controle. O exemplo considerado ´e o controle de velocidade de um motor de corrente cont´ınua em uma linha de produ¸c˜ao industrial. O objetivo ´e manter constante a velocidade do motor, o qual aciona uma carga. Esta velocidade, denominada de referˆencia, pode ser escolhida pelo operador. A carga pode variar, mas mesmo assim a velocidade deve ser mantida o mais pr´oximo poss´ıvel da velocidade de referˆencia. Pode-se ainda considerar que al´em de poss´ıveis varia¸c˜oes da carga, o uso intensivo de um tal sistema industrial provocar´a desgaste e portanto varia¸c˜oes dos parˆametros do sistema com o tempo. No entanto, neste exemplo, apenas perturba¸c˜oes externas (varia¸c˜ao da carga) ser˜ao consideradas. Uma primeira solu¸c˜ao seria verificar a tens˜ao a ser aplicada ao motor para que, acionando a carga, se obtenha a velocidade de referˆencia. Esta situa¸c˜ao ´e apresentada na Figura 1.1a. `A velocidade de referˆencia ωref corresponde a tens˜ao de armadura que deve ser aplicada para se obter a sa´ıda desejada. Se todos os parˆametros do sistemas se mantiverem constantes, ent˜ao a velocidade desejada ser´a obtida na sa´ıda do sistema. Se, no entanto, a carga variar, ent˜ao a velocidade de sa´ıda n˜ao ser´a a mesma. Como a entrada n˜ao tem nenhuma informa¸c˜ao sobre a sa´ıda, um erro de velocidade persistir´a. A varia¸c˜ao de carga pode ser considerada como uma perturba¸c˜ao que atua no sistema. Esta situa¸c˜ao ´e ilustrada na Figura 1.1b. Motor + Carga ωref ω (a) Sem perturba¸c˜ao: ω = ωref Perturba¸c˜ao Motor + Carga ωref ω (b) Com perturba¸c˜ao: ω ̸= ωref Figura 1.1: Controle de velocidade em malha aberta Varia¸c˜oes param´etricas, como desgaste de componentes tamb´em podem provocar um erro na sa´ıda. Um controle como o descrito ´e um controle em malha aberta, pois nenhuma informa¸c˜ao da sa´ıda real do sistema ´e usada para modificar a entrada. 4 Cap´ıtulo 1: Introduc¸˜ao Uma segunda solu¸c˜ao ´e fechar a malha de controle, ou seja, comparar a referˆencia desejada com a sa´ıda e a diferen¸ca entre as duas, chamada de erro, ´e usada como entrada do sistema (Figura 1.2). Σ Motor + Carga ωref Erro ω + − (a) Sem perturba¸c˜ao: ω = ωref Perturba¸c˜ao Σ Motor + Carga ωref Erro ω + − (b) Com perturba¸c˜ao: ω ≈ ωref Figura 1.2: Controle de velocidade em malha fechada Um aumento de carga reduzindo a velocidade origina um erro maior, implicando em uma maior tens˜ao de armadura no motor, que tende a aumentar a velocidade e portanto diminuir o erro. Neste caso o sistema tende a corrigir o erro de velocidade, mesmo que varia¸c˜oes de carga (ou seja perturba¸c˜oes) ocorram. Varia¸c˜oes param´etricas tamb´em s˜ao levadas em conta. Sobre esta id´eia simples, o conceito de realimenta¸c˜ao, repousa grande parte da teoria de controle. A esta altura pode-se perguntar se simplesmente fechar a malha de controle, como proposto, resolve todos os problemas do controle de velocidade deste exemplo. Para responder a esta quest˜ao deve-se perguntar quais s˜ao os requisitos de desempenho que seria razo´avel colocar para este sistema. Inicialmente considera-se que o sistema vai come¸car a operar e que o operador especificou uma velocidade de referˆencia. ´E importante que no regime permanente o erro de velocidade com rela¸c˜ao `a referˆencia seja nulo ou pelo menos limitado. Se houver uma varia¸c˜ao de carga, ou seja uma perturba¸c˜ao, novamente o erro de velocidade deve ser pequeno ou nulo. Foi mostrado que a realimenta¸c˜ao resolve este problema. Mas al´em dos requisitos mencionados, deve-se estabelecer outros que se referem ao desempenho em regime transit´orio, ou seja, como o sistema evolui para atingir o novo ponto de opera¸c˜ao (ponto de equil´ıbrio). Um requisito razo´avel seria que o motor atingisse a velocidade final com uma certa rapidez, ou seja com um bom tempo de resposta. Al´em disso, esta resposta n˜ao deveria ser muito oscilat´oria, ou seja, o sistema em malha fechada deve apresentar um bom amortecimento. Mais importante ainda, o sistema deve atingir um ponto de equil´ıbrio, e n˜ao se afastar continuamente do valor final, ou seja, deve ser est´avel. A Figura 1.3 apresenta algumas poss´ıveis formas da resposta. Pode-se ent˜ao classificar os requisitos de desempenho para o sistema em malha fechada como sendo: • requisitos de desempenho transit´orio, tais como estabilidade, baixo tempo de resposta e adequado amorteci- mento • requisitos de desempenho em regime permanente, tais como erros baixos ou nulos `a referˆencia ou `a per- turba¸c˜oes. Atender a todos estes requisitos, que podem inclusive ser conflitantes, n˜ao ´e, em geral, poss´ıvel simplesmente fechando a malha de controle. Deve-se ent˜ao modificar o sistema em malha fechada, pela adi¸c˜ao de um controlador, para que este sistema apresente as caracter´ısticas de desempenho tanto transit´orias, como em regime permanente, desejadas. O projeto deste controlador, usando t´ecnicas de controle cl´assicas constitui o objetivo final deste texto. Nos cap´ıtulos seguintes, s˜ao apresentados os conceitos e ferramentas para atingir este objetivo. Essencialmente o projeto de tais controladores envolve a modelagem do sistema (ou processo ou planta) a ser controlado, a an´alise do desempenho deste sistema e a s´ıntese do controlador para atender os requisitos de projeto. Motor CC + Carga ω ωref − + Figura 1.3: Poss´ıveis respostas do sistema em malha fechada EEL-DAS-UFSC 5 1.1 Sistemas de Controle em Malha Aberta e em Malha Fechada Definic¸˜ao 1 Um Sistema de Controle em Malha Aberta (SCMA) utiliza um controlador conectado em s´erie com o processo a ser controlado, de modo que a entrada do processo deve ser tal que sua sa´ıda se comportar´a como desejado. A caracter´ıstica importante ´e que a a¸c˜ao de controle independe da sa´ıda. Observe-se que um sistema de controle deste tipo fornecer´a a sa´ıda desejada se n˜ao ocorrerem perturba¸c˜oes externas que alterem o valor da sa´ıda ou altera¸c˜oes param´etricas internas do sistema. Se alguma destas ocorrer, a sa´ıda muda, mas a a¸c˜ao de controle continua exatamente a mesma. Definic¸˜ao 2 Um Sistema de Controle em Malha Fechada (SCMF) utiliza uma medida adicional da sa´ıda (resposta) real a fim de compar´a-la com a resposta desejada do sistema. O SCMF tamb´em ´e chamado Servomecanismo. O termo servomecanismo era originalmente empregado para denotar uma classe de sistemas de controle para os quais a referˆencia era constante. Atualmente o termo servomecanismo ´e usado em sentido amplo, significando Sistema de Controle em Malha Fechada (SCMF). No entanto, usa-se ainda a express˜ao problema de servomecanismo em conex˜ao com o objetivo de seguir uma refˆerencia constante e problema de rastreamento, em conex˜ao com o objetivo de seguir uma referˆencia que varia com o tempo. Embora o conceito de sistema de controle em malha aberta seja usado, sistemas de controle reais s˜ao essenci- almente de malha fechada. Isto leva `a defini¸c˜ao geral de sistemas de controle. Definic¸˜ao 3 Sistema de Controle ´e um sistema que tende a manter uma rela¸c˜ao pr´e-estabelecida entre duas vari´aveis do sistema atrav´es da compara¸c˜ao de fun¸c˜oes destas vari´aveis e utilizando a diferen¸ca como meio de controle. 1.2 Componentes de um sistema de controle Uma vers˜ao detalhada do diagrama funcional de um SCMF ´e dada na Figura 1.4. Este diagrama mostra os principais componentes do sistema de controle, definidos a seguir. Referˆencia: Valor desejado da vari´avel a ser controlada. Comparador: Dispositivo que constr´oi o sinal de erro entre o valor desejado e o obtido. Controlador: Dispositivo que manipula o sinal de erro, gerando um sinal de controle que ser´a aplicado no sistema, afim de corrigir a vari´avel a ser controlada. Atuador: Dispositivo que recebe o sinal de controle e gera um sinal com potˆencia suficiente para atuar sobre o sistema. Sistema: Dispositivo ou fenˆomeno que se deseja operar com alguma finalidade (objetivo de controle). Um sistema ´e representado por uma vari´avel de entrada (controle), uma de sa´ıda (controlada) e uma rela¸c˜ao (fun¸c˜ao de trans- ferˆencia) entre elas. Medidor: (transdutor) Dispositivos respons´aveis pela medi¸c˜ao e convers˜ao da vari´avel a ser controlada para fins de compara¸c˜ao e obten¸c˜ao do erro de sa´ıda. 1.3 Compara¸c˜ao de Sistemas de Controle em Malha Aberta e em Ma- lha Fechada O exemplo descrito no come¸co deste cap´ıtulo ser´a usado para comparar o desempenho de um sistema em malha aberta com o de um sistema em malha fechada. Para isto, um modelo simplicado do sistema de controle ser´a usado. O motor de corrente cont´ınua ser´a representado apenas por um ganho. Isto significa que toda a dinˆamica do sistema ´e desprezada. Nos cap´ıtulos seguintes, a dinˆamica completa do mesmo sistema ser´a apresentada. O conjunto motor mais carga ´e representado por um ganho Kmotor = 10 rpm/V olt. Isto significa que uma aumento (diminui¸c˜ao) de 1 V olt na tens˜ao do motor provoca um aumento (diminui¸c˜ao) de 10 rpm. A perturba¸c˜ao ´e um aumento de carga. Sup˜oe-se que um aumento de carga de 1 N.m produz uma queda de velocidade de 2 rpm. Portanto a perturba¸c˜ao ´e modelada atrav´es de um ganho de −2 rpm/N.m. O diagrama do sistema, usando os dados acima, ´e apresentado na Figura 1.5. Observa-se que como o sistema 6 Cap´ıtulo 1: Introduc¸˜ao Comparador Controlador Atuador + Sistema, processo ou planta Medidor Referˆencia Sinal de erro Sinal ou esfor¸co de controle Sa´ıda Sinal de realimenta¸c˜ao Figura 1.4: Diagrama de um sistema de controle em malha fechada d 2 10 Σ u ω + − Figura 1.5: Modelo do sistema ´e linear, vale o princ´ıpio de superposi¸c˜ao de efeitos e pode-se estudar separadamente o efeito da referˆencia e da perturba¸c˜ao. Considera-se inicialmente o sistema em malha aberta, como apresentado na Figura 1.6 Para que a sa´ıda tenha o mesmo valor da entrada em regime permanente, adiciona-se um controlador, que no caso ´e simplesmente um ganho que adapta o valor da referˆencia desejada, ao valor da tens˜ao de armadura para produzir a velocidade desejada. O ganho do controlador ´e 1 10. Para d = 0, tem-se que ω = 10 × 1 10ωref, ou ω = ωref. Para uma velocidade de referˆencia de, por exemplo, 1000 rpm, tem-se exatamente o mesmo valor de sa´ıda. Considera-se agora o caso de um aumento de carga tal que d = 100 Nm. Um simples c´alculo mostra que o valor final da velocidade ´e 800 rpm. Portanto o sistema ´e sens´ıvel a perturba¸c˜ao, ou mais precisamente, n˜ao rejeita a perturba¸c˜ao. Considera-se agora o sistema em malha fechada, como mostrado na Figura 1.7. O controlador ser´a novamente um ganho. Somente neste caso o ganho ter´a um valor elevado. A raz˜ao desta escolha ficar´a claro no desenvolvimento apresentado nos cap´ıtulos seguintes. O ganho escolhido ´e Kc = 200. Considerando-se inicialmente o sistema sem perturba¸c˜ao, ou seja, d = 0, a sa´ıda pode ser calculada por ω = 200 × 10 × (ωref − ω) ou ω = 0.9995 ωref. Para ωref = 1000 rpm tem-se que ω = 999.5 rpm. Embora o erro seja diferente de zero, ele pode ser reduzido aumentando-se o ganho. Ser´a visto, no entanto, que este aumento pode ser limitado por considera¸c˜oes de desempenho dinˆamico do sistema. Considera-se agora o caso com a perturba¸c˜ao. O valor da sa´ıda ´e ω = 200×10(ωref −ω)−2 d ou ω = 2000 2001 ωref − 1 2001 d. Para ωref = 1000 rpm e d = 100, como no caso da malha aberta, tem-se uma sa´ıda ω = 999.45 rpm. Para EEL-DAS-UFSC 7 d 2 1 10 10 Σ 10 u y + − Figura 1.6: Sistema em malha aberta d 2 Σ 200 10 Σ ωref e u ω + − + − Figura 1.7: Sistema em malha fechada o caso da malha aberta o valor de sa´ıda era de 800 rpm. Vamos considerar agora uma varia¸c˜ao param´etrica, ou seja, vamos supor que um parˆametro, no caso o ganho do processo com valor de 10, tem uma varia¸c˜ao de −20%, passando para 8. Esta varia¸c˜ao pode ser devida a um desgaste de componentes com o tempo, a varia¸c˜ao com temperatura, ou simplesmente devido ao fato de que o parˆametro n˜ao foi precisamente determinado. Considerando o sistema em malha aberta, sem perturba¸c˜ao, para a mesma referˆencia ωref = 1000 rpm a sa´ıda ´e ω = 8 × 1 10 × 1000 = 800 rpm. Observa-se assim uma consider´avel varia¸c˜ao da velocidade real do motor. Para o sistema em malha fechada, com o mesmo ganho anterior do controlador de 200 tem-se ω = 200 × 8 × (ωref − ω) ou ω = 999.37 rpm. Este exemplo mostra claramente as vantagens do sistema de controle em malha fechada. Tanto o erro a perturba¸c˜oes quanto as varia¸c˜oes param´etricas s˜ao reduzidos. No entanto a an´alise foi restrita ao comportamento em regime permanente. Observa-se que tanto a planta quanto o efeito da perturba¸c˜ao foram modeladas por constantes. Este modelo n˜ao reflete o comportamento real do sistema, embora possa ser usado para estudar o regime permanente. O comportamento dinˆamico ser´a estudado nos cap´ıtulos seguintes, mas algumas conclus˜oes s˜ao adiantadas na compara¸c˜ao seguinte entre sistemas de controle de malha aberta e malha fechada. • Os sistemas com realimenta¸c˜ao apresentam uma precis˜ao melhor (maior capacidade de seguir fielmente a en- trada). Isto ficou claro do exemplo discutido anteriormente. Quando perturba¸c˜oes ou varia¸c˜oes param´etricas est˜ao presentes o erro do sistema em malha aberta pode ser muito grande. • Os sistemas em malha fechada apresentam menor sensibilidade a varia¸c˜oes nas caracter´ısticas (por exemplo, parˆametros) do sistema. Conforme discutido anteriormente, varia¸c˜oes de parˆametro afetam mais sistemas de malha aberta, provocando grandes erros. • Os efeitos de n˜ao-linearidades e distor¸c˜oes s˜ao reduzidas em sistemas de malha fechada. A raz˜ao ´e semelhante `a dos casos anteriores. • A faixa de freq¨uˆencias nas quais o sistema responde satisfatoriamente ´e maior em sistemas em malha fechada Isto ser´a discutido nos pr´oximos cap´ıtulos e ´e associado `a possibilidade de controlar a velocidade de resposta do sistema atrav´es do ajuste de um compensador adequado. • Os sistemas em malha fechada apresentam maior tendˆencia para oscila¸c˜ao e instabilidade. Um sistema est´avel (e o conceito ser´a discutido no Cap´ıtulo 3) pode ser inst´avel em malha fechada, se os parˆametros n˜ao forem escolhidos adequadamente. O projeto do controlador deve levar em conta a estabilidade e amortecimento do sistema em malha fechada. 8 Cap´ıtulo 1: Introduc¸˜ao 1.4 Aplica¸c˜oes em Engenharia El´etrica Embora a aplica¸c˜ao de sistemas de controle permeie muitas ´areas da engenharia esta se¸c˜ao apresenta algumas aplica¸c˜oes `a engenharia el´etrica. • Sistemas el´etricos de potˆencia A opera¸c˜ao de sistemas el´etricos depende de v´arias malhas de controle que atuam nos geradores e em outros equipamentos. Pode-se citar como exemplos a malha de controle de tens˜ao dos geradores, que permite controlar a tens˜ao terminal, e a malha de controle de velocidade, que permite controlar a freq¨uˆencia. As perturba¸c˜oes s˜ao as varia¸c˜oes da carga dos consumidores. Controladores s˜ao ainda usados para estabilizar ou aumentar o amortecimento do sistema, evitando oscila¸c˜oes indesej´aveis de potˆencia e tens˜ao. • Eletrˆonica de potˆencia O controle de conversores e inversores ´e realizado por sistemas de controle espec´ıficos. • Eletrˆonica Um grande n´umero de equipamentos eletrˆonicos usam a realimenta¸c˜ao para o controle de vari´aveis. • Engenharia biom´edica Muitos sistemas bilol´ogicos podem ser modelados como sistemas de controle. 1.5 Uma breve hist´oria da engenharia de controle O objetivo desta se¸c˜ao ´e apresentar um breve hist´orico da evolu¸c˜ao da engenharia de controle visando situar as t´ecnicas usadas neste curso com rela¸c˜ao ao estado atual da teoria. O uso de algumas t´ecnicas rudimentares de controle na Gr´ecia e em Alexandria s˜ao descritas em documentos hist´oricos. Nos s´eculos XVII e XVIII v´arios dispositivos de controle foram criados visando resolver alguns problemas pr´aticos [1]. Mas foi a revolu¸c˜ao industrial no s´eculo XVIII, com o desenvolvimento de processos industriais, que deu o impulso ao desenvolvimento das t´ecnicas de controle. Um dos problemas comuns na ´epoca era o controle da velocidade de teares. Watt desenvolveu um sistema de controle usando o chamado pˆendulo de Watt como sensor de velocidade. Isto permitia o controle em malha fechada da velocidade controlado a inje¸c˜ao de vapor em m´aquinas a vapor. Eventualmente tais sistemas apresentavam um comportamento inst´avel, o que levou a uma pesquisa te´orica da raz˜ao deste comportamento. Em 1868 Maxwell publicou um artigo analisando o comportamento dinˆamico dos sistemas de controle [2]. A abordagem usada foi a modelagem do sistema por equa¸c˜oes diferenciais sendo que Maxwell demonstrou que para determinadas faixas de valores dos parˆametros as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes eram inst´aveis. Na mesma ´epoca, Routh e Hurwitz desenvolveram t´ecnicas que permitiam determinar diretamente a estabilidade do sistema sem a necessidade da solu¸c˜ao das equa¸c˜oes. Um marco no desenvolvimento da teoria de controle foi a publica¸c˜ao de um trabalho pelo matem´atico russo A. Lyapunov em 1897. Este trabalho foi traduzido para o francˆes em 1907 e em inglˆes em 1947. Pouco divulgado no Ocidente, o trabalho de Lyapunov continou a ser desenvolvido na ent˜ao Uni˜ao Sovi´etica, o que permitiu aos pesquisadores sovi´eticos grandes avan¸cos especialmente na teoria de sistemas n˜ao-lineares e uma lideran¸ca na ´area que se manteve at´e os anos 1950. Na d´ecada de 1920, engenheiros dos laborat´orios Bell trabalhavam com o problema de comunica¸c˜ao a longa distˆancia nos Estados Unidos. O problema de refor¸co de sinais atrav´es de amplificadors levou ao desenvolvimento de t´ecnicas no dom´ınio da freq¨uˆencia. Nyquist e Bode, assim como v´arios outros associados a estas t´ecnicas, eram engenheiros dos laborat´orios Bell. Eventualmente tais t´ecnicas foram usadas para o projeto de sistemas de controle. O in´ıcio da Segunda Guerra mundial estimulou a pesquisa em sistemas de controle, visando o uso militar. Nos Estados Unidos o MIT foi um centro de desenvolvimento de tais t´ecnicas [1]. Outros desenvolvimentos se seguiram, inclusive com o aparecimento da t´ecnica do lugar das ra´ızes, criada por Evans em 1947. A teoria de controle ao final dos anos 1950 j´a consistia de um corpo de conhecimento consolidado, com forte ˆenfase em t´ecnicas baseadas no uso de m´etodos freq¨uˆenciais e com muitas aplica¸c˜oes industriais. No entanto a demanda por novas t´ecnicas, especialmente no florescente setor a´ero-espacial impulsionou o desenvolvimento do chamado controle moderno. O controle moderno retomou muitas das id´eias de Lyapunov, usando t´ecnicas no dom´ınio do tempo. O caso de sistemas multivari´aveis (com v´arias entradas e v´arias sa´ıdas) pode ser facilmente tratado com t´ecnicas modernas. O nome de R. Kalman aparece com destaque entre os criadores do controle moderno. Atualmente o nome controle modal ´e usado para designar muitas das t´ecnicas associadas ao controle moderno desenvolvido nas d´ecadas de 1960 e 1970. EEL-DAS-UFSC 9 Atualmente a teoria de controle ´e bastante extensa mas a rela¸c˜ao entre v´arios aspectos foi melhor estabelecida. Assim, t´ecnicas da freq¨uˆencia para sistemas multivari´aveis foram desenvolvidas e a rela¸c˜ao entre o dom´ınio do tempo e da freq¨uˆencia melhor compreendidas [3]. Mas o controle cl´assico ainda tem predominˆancia em muitas aplica¸c˜oes industriais. O objetivo deste texto ´e apresentar as t´ecnicas associadas ao controle cl´assico. Estas t´ecnicas ainda s˜ao as ferramentas comuns na maior parte das aplica¸c˜oes industriais. O seu conhecimento tamb´em ´e essencial para o entendimento do controle moderno. Uma apresenta¸c˜ao da modelagem por v´ari´aveis de estado e uma introdu¸c˜ao ao controle modal tamb´em s˜ao apresentados. 10 Cap´ıtulo 1: Introduc¸˜ao Exerc´ıcios 1. Considere um avi˜ao com um sistema autom´atico de navega¸c˜ao (piloto autom´atico). Fa¸ca o diagrama de blocos deste sistema. Quais as perturba¸c˜oes que atuam no sistema? 2. Considere um autom´ovel. Este sistema pode ser considerado como um sistema realimentado. Esquematize o diagrama de blocos e analise o comportamento do sistema. 3. A figura abaixo mostra o diagrama simplificado de um sistema de controle de freq¨uˆencia de uma usina el´etrica. Analise o comportamento deste sistema. Qual o objetivo deste controle? Identifique o controlador, o atuador e o processo. Qual a natureza da perturba¸c˜ao que atua no sistema? O que aconteceria em um sistema el´etrico se n˜ao existisse esta malha de controle? Torque da carga Σ Regulador + Servomotor + Turbina Σ In´ercia do Gerador ωref Erro Torque de acelera¸c˜ao ω + − + − CAP´ITULO 2 Modelagem e representa¸c˜ao de sistemas de controle 2.1 Introdu¸c˜ao A an´alise e projeto de sistemas de controle exigem o uso de um modelo para o sistema a ser controlado. O objetivo deste cap´ıtulo ´e introduzir o problema da modelagem de sistemas de controle. A simplifica¸c˜ao de modelos e a quest˜ao de dinˆamica n˜ao-modelada ´e inicialmente discutida. Apresenta-se ent˜ao os princ´ıpios da obten¸c˜ao de modelos. O uso de diagramas de blocos ´e discutido e a ´algebra de blocos ´e apresentada. A seguir s˜ao introduzidos os diagramas de fluxo de sinal e a regra de Mason. Uma breve introdu¸c˜ao `a modelagem por vari´aveis de estado ´e apresentada. O cap´ıtulo ´e conclu´ıdo com a discuss˜ao da representa¸c˜ao gen´erica de sistemas de controle por diagramas de blocos. 2.2 Modelos de sistemas f´ısicos A modelagem de sistemas ´e essencial em engenharia e em particular para o projeto de sistemas de controle. Os modelos de processos podem ser determinados por ensaios de campo, quando o modelo ´e obtido a partir do comportamento entrada/sa´ıda, em geral na forma de fun¸c˜ao de transferˆencia, ou a partir do conhecimento da estrutura interna do sistema. Neste ´ultimo caso determinam-se as equa¸c˜oes diferenciais que descrevem o sistema. A partir destas equa¸c˜oes pode-se obter fun¸c˜oes de transferˆencia ou as equa¸c˜oes de estado do sistema. Os processos podem ser el´etricos, mecˆanicos, eletro-mecˆanicos ou qu´ımicos. As leis b´asicas da f´ısica permitem obter as equa¸c˜oes que descrevem os processos. Para aplica¸c˜oes em engenharia, no entanto, simplifica¸c˜oes s˜ao normalmente usadas na obten¸c˜ao de modelos. Estas simplifica¸c˜oes s˜ao poss´ıveis se aspectos do comportamento do sistema podem ser desprezados. Por exemplo, se o comportamento mais lento de um processo eletro-mecˆanico est´a sendo considerado, ent˜ao transit´orios el´etricos, que s˜ao r´apidos, podem ser desprezados. Para que o projeto seja realizado de forma mais f´acil, uma caracter´ıstica desej´avel ´e que o modelo seja linear. Embora muitos sistemas sejam essencialmente n˜ao-lineares, modelos linearizados podem ser usados dentro de certos limites. A seguir algumas quest˜oes de redu¸c˜ao de ordem e obten¸c˜ao de modelos s˜ao discutidas. 2.2.1 Redu¸c˜ao de ordem e dinˆamica n˜ao-modelada A determina¸c˜ao de um modelo adequado ´e uma fase cr´ıtica, e `as vezes dif´ıcil do projeto. O termo modelo adequado ´e usado aqui para indicar um modelo matem´atico que reproduz as caracter´ısticas do sistema na escala de tempo de interesse. Assim, em um processo lento, alguns fenˆomenos r´apidos podem ser desconsiderados, se eles n˜ao tiverem efeito significativo na vari´avel ou vari´aveis a serem controladas. O mesmo pode ocorrer no caso de um proceso r´apido, onde fenˆomenos lentos podem, em alguns casos, serem desconsiderados no modelo. Um exemplo 12 Cap´ıtulo 2: Modelagem e representac¸˜ao de sistemas de controle que ilustra estas afirma¸c˜oes s˜ao os controles de tens˜ao e freq¨uˆencia em um sistema el´etrico de potˆencia. Estes dois la¸cos de controle coexistem em uma usina, mas usualmente modelos diferentes s˜ao usados para o projeto de cada um deles. O controle da tens˜ao terminal de um gerador ´e r´apido, ao passo que o controle de freq¨uˆencia envolve elementos com resposta mais lenta. Usa-se ent˜ao um modelo que descreve apenas a dinˆamica r´apida do sistema para o projeto do controle de tens˜ao e um modelo que descreve apenas a dinˆamica lenta para o caso do controle de freq¨uˆencia. A simplifica¸c˜ao de modelos, como descrito acima, ´e freq¨uentemente necess´aria para se evitar um modelo de dimens˜ao elevada. A dinˆamica desprezada ´e chamada de dinˆamica n˜ao-modelada. ´E preciso notar que a dinˆamica n˜ao-modelada pode emergir em determinadas situa¸c˜oes e neste caso o modelo ser´a inadequado, pois n˜ao reproduzir´a os fenˆomenos que aparecem no sistema real. 2.2.2 Obten¸c˜ao de modelos Basicamente dois m´etodos podem ser usados para determinar o modelo de um processo a ser controlado. O primeiro m´etodo parte da descri¸c˜ao da f´ısica do processo a partir das equa¸c˜oes que descrevem a natureza dos fenˆomenos envolvidos (el´etricos, mecˆanicos, qu´ımicos, etc.). O segundo m´etodo baseia-se na identifica¸c˜ao do sistema a partir de ensaios que relacionam a entrada e a sa´ıda. Neste caso n˜ao h´a necessidade de conhecer os detalhes ou os diversos componentes que formam o processo. Apenas a rela¸c˜ao entrada-sa´ıda ´e importante. No controle cl´assico, independente do m´etodo que tenha sido usado para obtˆe-lo, o modelo deve relacionar as entradas e sa´ıdas do sistema. Portanto, o modelo consiste basicamente de fun¸c˜oes de transferˆencia relacionando as diversas entradas e sa´ıdas do sistema. No controle por realimenta¸c˜ao de estados, modelos de estado s˜ao usados para representar a planta e o controlador. 2.3 Representa¸c˜ao de Sistemas Atrav´es de Diagramas de Bloco O m´etodo dos diagramas de bloco para representar um sistema procura combinar a descri¸c˜ao puramente ma- tem´atica do sistema atrav´es de equa¸c˜oes, com a visualiza¸c˜ao proporcionada por um diagrama. Um bloco pode representar um ´unico componente ou um grupo de componentes, mas cada bloco ´e completa- mente caracterizado por uma fun¸c˜ao de transferˆencia. Definic¸˜ao 4 Um diagrama de Blocos (DB) consiste de blocos operacionais interligados que mostram a dire¸c˜ao de fluxo e as opera¸c˜oes sobre a vari´aveis do sistema de tal modo que se estabelece uma rela¸c˜ao entre entrada e sa´ıda quando se percorre um caminho sobre o diagrama. O fluxo de vari´aveis do sistema de um bloco para outro ´e representado por uma linha. Como fun¸c˜oes de trans- ferˆencia caracterizam os blocos, apenas equa¸c˜oes alg´ebricas e opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao est˜ao envolvidas nos blocos. Exemplo 2.3.1 Resistˆencia: A equa¸c˜ao ´e I(s) = 1 RV (s). Dependendo da entrada escolhida tem-se os diagramas de blocos mostrados na Figura 2.1. 1 R V (s) I(s) (a) Entrada: tens˜ao R I(s) V (s) (b) Entrada: cor- rente Figura 2.1: Diagramas de bloco para a resistˆencia Exemplo 2.3.2 Indutˆancia: Para a indutˆancia a equa¸c˜ao ´e V (s) = sLI(s). Os diagramas de bloco correspondentes s˜ao dados na Figura 2.2 Exemplo 2.3.3 Capacitˆancia: A equa¸c˜ao ´e V (s) = 1 sC I(s), sendo os diagramas de bloco correspondentes mos- trados na Figura 2.3. EEL-DAS-UFSC 13 1 sL V (s) I(s) (a) Entrada: tens˜ao sL I(s) V (s) (b) Entrada: corrente Figura 2.2: Diagramas de bloco para a indutˆancia sC V (s) I(s) (a) Entrada: tens˜ao 1 sC I(s) V (s) (b) Entrada: corrente Figura 2.3: Diagramas de bloco para a capacitˆancia 2.3.1 Elementos b´asicos do diagrama de blocos Os diagramas de bloco s˜ao constitu´ıdos basicamente de blocos associados `a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao entre a entrada e a fun¸c˜ao de transferˆencia do bloco, produzindo a sa´ıda, a somadores, que fornecem como sa´ıda a soma alg´ebrica dos sinais de entrada, e pontos de ramifica¸c˜ao, onde o mesmo sinal se ramifica e ´e levado a pontos diferentes do diagrama. 2.3.1.1 Blocos Blocos s˜ao associados `a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao entre a entrada do bloco e a fun¸c˜ao de transferˆencia corres- pondente ao bloco, produzindo a sa´ıda. 2.3.1.2 Somadores ou pontos de soma Os somadores produzem como sa´ıda a soma alg´ebrica dos sinais de entrada, como ilustra a Figura 2.4. Σ Y = R − Z Z R + Y − Figura 2.4: Somador 2.3.1.3 Pontos de Ramificac¸˜ao Nos pontos de ramifica¸c˜ao, o mesmo sinal se ramifica e ´e levado a pontos diferentes do diagrama, como mostrado na Figura 2.5. 2.3.1.4 Outros componentes Embora estes componentes b´asicos sejam suficientes para descrever sistemas lineares, os diagramas de blocos tamb´em podem ser usados para descrever sistemas n˜ao-lineares. Neste caso blocos podem ser associados a n˜ao- linearidades e multiplicadores tamb´em podem estar presentes. 2.3.2 ´Algebra de Diagramas de Blocos A transforma¸c˜ao de diagramas de blocos permite a simplifica¸c˜ao de diagramas complexos, podendo-se obter um diagrama que relaciona diretamente a vari´avel de entrada e a de sa´ıda. Existem algumas regras que permitem a realiza¸c˜ao desta transforma¸c˜ao, e que s˜ao apresentadas a seguir. 14 Cap´ıtulo 2: Modelagem e representac¸˜ao de sistemas de controle X X X Figura 2.5: Ponto de ramifica¸c˜ao 2.3.2.1 Combinac¸˜ao de blocos em s´erie ou cascata Quando blocos est˜ao em cascata, pode-se obter um bloco equivalente simplesmente multiplicando-se as fun¸c˜oes de transferˆencia dos blocos. A figura mostra o caso de dois blocos em cascata, mas o mesmo se aplica a um n´umero qualquer de blocos. G1(s) G2(s) U1(s) U2(s) Y (s) ⇐⇒ G1(s)G2(s) U1(s) Y (s) 2.3.2.2 Movimentac¸˜ao de um ponto de soma para tr´as de um bloco No exemplo apresentado na figura abaixo, observa-se `a esquerda, que o sinal U2 ´e multiplicado pela fun¸c˜ao de transferˆencia G(s). Para que nada seja alterado, aquele sinal deve ser multiplicado por G(s) ap´os o deslocamento do ponto de soma. Deve-se ent˜ao acrescentar um bloco G(s) na entrada U2(s). Σ G(s) U2(s) U1(s) Y (s) + − ⇐⇒ G(s) Σ G(s) U2(s) U1(s) Y (s) + − 2.3.2.3 Movimentac¸˜ao de um ponto de soma para frente de um bloco Neste caso o sinal U2(s), n˜ao multiplica G(s). Ap´os a mudan¸ca do ponto de soma ele ainda n˜ao deve multiplicar aquela fun¸c˜ao. Deve-se ent˜ao adicionar um bloco 1 G(s), na entrada U2(s), para n˜ao alterar o valor de Y (s). G(s) Σ U2(s) U1(s) Y (s) + − ⇐⇒ Σ G(s) 1 G(s) U2(s) U1(s) Y (s) + − 2.3.2.4 Movimentac¸˜ao de um ponto de ramificac¸˜ao para tr´as de um bloco A simples mudan¸ca do ponto de soma alteraria o valor da vari´avel na ramifica¸c˜ao. Para manter o valor U(s) deve-se ent˜ao adicionar um bloco com valor 1 G(s), para manter o valor de sa´ıda U(s). G(s) U(s) U(s) Y (s) ⇐⇒ G(s) 1 G(s) U(s) U(s) Y (s) EEL-DAS-UFSC 15 2.3.2.5 Passagem de um ponto de ramificac¸˜ao para frente de um bloco A vari´avel na ramifica¸c˜ao, no lado esquerdo da figura abaixo, ´e Y (s) = G(s)U(s). Para manter este valor, ap´os a mudan¸ca do ponto de ramifica¸c˜ao, deve-se adicionar um bloco G(s). G(s) Y (s) U(s) Y (s) ⇐⇒ G(s) G(s) Y (s) U(s) Y (s) Observa-se que todas as regras anteriores podem ser obtidas pela simples observa¸c˜ao do fato de que as vari´aveis n˜ao podem ter seus valores alterados, n˜ao havendo necessidade de decor´a-las. 2.3.2.6 Eliminac¸˜ao de malha fechada O caso de elimina¸c˜ao de malha fechada pode ser obtido facilmente a partir da manipula¸c˜ao das equa¸c˜oes alg´ebricas que representam o diagrama de blocos. Assim, da Figura 2.6 abaixo, Y (s) = G(s)E(s) = G(s)[U(s) ± H(s)Y (s)] (2.3.1) Isolando-se Y (s) obt´em-se: [1 ∓ G(s)H(s)]Y (s) = G(s)U(s) (2.3.2) ou Y (s) U(s) = G(s) 1 ∓ G(s)H(s) (2.3.3) Se a realimenta¸c˜ao for negativa, ent˜ao Y (s) U(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) (2.3.4) e se for positiva Y (s) U(s) = G(s) 1 − G(s)H(s) (2.3.5) Σ G(s) H(s) U(s) E(s) Y (s) + ± Figura 2.6: Sistema realimentado Para o caso H(s) = 1, a fun¸c˜ao de transferˆencia equivalente ´e simplesmente Y (s) U(s) = G(s) 1 + G(s) (2.3.6) Exemplo 2.3.4 Para o circuito mostrado na Figura 2.7 1. Construa o diagrama de blocos. 2. Reduza o diagrama de blocos a um ´unico bloco relacionando entrada e sa´ıda. 2.4 Diagrama de fluxo de sinal O diagrama de fluxo de sinal ´e uma ferramenta visual para representar a rela¸c˜ao causal entre componentes do sistema. O diagrama de fluxo de sinal, al´em do uso para obten¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de transferˆencia equivalente de um sistema, pode ser usado para explicar v´arios conceitos de controle moderno. A Figura 2.8 ilustra um diagrama de fluxo de sinal. 16 Cap´ıtulo 2: Modelagem e representac¸˜ao de sistemas de controle R1 C1 R2 C2 vS V1 i1 i2 vE Figura 2.7: Figura para o Exemplo 2.3.4 g5 g6 g7 1 2 3 4 5 6 g1 g2 g3 g4 g8 Figura 2.8: Diagrama de fluxo de sinal 2.4.1 Elementos e defini¸c˜oes A seguir s˜ao apresentadas algumas defini¸c˜oes relacionadas ao diagrama de fluxo de sinal. 2.4.1.1 N´os Sinais internos como a entrada comum para v´arios blocos ou a sa´ıda de um somador, s˜ao chamados n´os. N´os s˜ao usados para representar vari´aveis. No exemplo da Figura 2.8 tem-se os n´os 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 2.4.1.2 Caminho ´E a seq¨uˆencia de n´os conectados, a rota passando de uma vari´avel a outra, na dire¸c˜ao do fluxo, sem incluir nenhuma vari´avel mais de uma vez. Na Figura 2.8 os caminhos 123 e 2345 s˜ao exemplos de caminhos. 2.4.1.3 Caminho direto Caminho da entrada para a sa´ıda, sem incluir nenhum n´o mais de uma vez. No exemplo da Figura 2.8 tem-se dois caminhos diretos; 1256 e 123456. 2.4.1.4 Malha Caminho que se origina e termina no mesmo n´o. Na Figura 2.8 tem-se duas malhas; 232 e 454. 2.4.1.5 Ganho do caminho Produto dos ganhos dos ramos que formam um caminho. Por exemplo, na Figura 2.8, o ganho do caminho direto 1256 ´e g1 g7 g8. 2.4.1.6 Ganho de malha ´E o ganho do caminho associado com uma malha. Na Figura 2.8 o ganho da malha 232 ´e g2 g5. 2.4.1.7 N´o de entrada (fonte) ´E um n´o que possui somente ramos que se afastam dele. No exemplo da Figura 2.8 o n´o 1 ´e o n´o fonte. 2.4.1.8 N´o de sa´ıda (sorvedouro) ´E um n´o que possui apenas ramos que se dirigem a ele. Na Figura 2.8 o n´o 6 ´e o n´o de sa´ıda. EEL-DAS-UFSC 17 2.4.2 Caminhos que n˜ao se tocam Caminhos n˜ao se tocam se n˜ao existem n´os comuns entre eles. No exemplo da Figura 2.8 as malhas 232 e 454 n˜ao se tocam. J´a os caminhos diretos 1256 e 123456 se tocam com as duas malhas. 2.4.3 ´Algebra de diagramas de fluxo de sinal Algumas regras simples permitem eliminar n´os e simplicar um diagrama de fluxo de sinal. Estas regras s˜ao similares `as regras de ´algebra de blocos. 1. O valor da vari´avel representada por um n´o ´e igual a soma de todos os sinais que entram no n´o. 2. O valor da vari´avel representada por um n´o ´e transmitido por todos os ramos que deixam o n´o. 3. Ramos paralelos na mesma dire¸c˜ao conectando dois n´os podem ser substitu´ıdos por um ´unico ramo com ganho igual `a soma dos ganhos dos ramos em paralelo. 4. Uma conex˜ao em s´erie de ramos unidirecionais pode ser substitu´ıdo por um ´unico ramo com ganho igual ao produto dos ganhos dos ramos. 5. Uma malha com realimenta¸c˜ao pode ser substitu´ıda por um equivalente, como mostrado na Figura a ser apresentada em aula. 2.4.4 Constru¸c˜ao do diagrama de fluxo de sinal O diagrama de fluxo de sinal pode ser constru´ıdo facilmente a partir do diagrama de blocos do sistema. Consideram-se as vari´aveis de entrada e de sa´ıda como sendo n´os fonte e sorvedouro, respectivamente. Al´em disso, as vari´aveis de sa´ıda dos somadores, vari´aveis de entrada de blocos e vari´aveis de entrada comum a v´arios blocos tamb´em s˜ao tomados como n´os. Ao se construir o diagrama de fluxo de sinal a partir do diagrama de blocos deve-se observar que o n´o n˜ao deve ser confundido com um somador. O n´o representa uma vari´avel cujo valor ´e a soma dos sinais que incidem neste n´o. ´E importante notar que o diagrama de fluxo de sinal n˜ao ´e ´unico. Pode-se escolher um n´umero diferente de n´os e ainda se representar o mesmo sistema. Exemplo 2.4.1 Considere o sistema representado pelo diagrama de blocos da Figura 2.9. Vamos construir o diagrama de fluxo de sinal partir deste diagrama. Σ G1 G2 G3 R(s) E(s) M(s) N(s) Y (s) O(s) + − Figura 2.9: Diagrama de blocos para o exemplo 5 O primeiro passo ´e identificar as vari´aveis que ser`ao representadas por n´os no diagrama de fluxo. As variaveis R(s) e Y (s) corresponder˜ao aos n´os de entrada e sa´ıda, respectivamente. Escolhemos ainda as vari´aveis E(s), M(s), N(s) e O(s) para serem representadas por n´os no diagrama de fluxo. Estes n´os podem ent˜ao ser desenhados, conforme a Figura 2.10. R(s) E(s) M(s) N(s) Y (s) O(s) Figura 2.10: N´os representados no diagrama de fluxo de sinal A seguir indentificam-se os ramos que incidem nestes n´os. O valor de cada n´o corresponde a soma dos valores dos sinais incidentes. Para facilitar a explica¸c˜ao, iremos nos referir a cada n´o correspondente a uma vari´avel pelo nome da pr´opria vari´avel. Come¸camos pela vari´avel R(s). Esta vari´avel ´e a entrada e portanto nenhum ramo terminar´a no n´o R(s). A vari´avel E(s) ´e a soma de R(s) e do negativo de N(s). Portanto haver´a um ramo 19 EEL-DAS-UFSC onde: G_i \rightarrow Ganho do i-ésimo caminho direto \Delta = 1 – \sum (todos os ganhos das malhas individuais) + \sum (produto dois a dois dos ganhos das malhas que não se tocam) − \sum (produto três a três dos ganhos das malhas que não se tocam) + \sum (produto quatro a quatro dos ganhos das malhas que não se tocam) − \sum (produto cinco a cinco dos ganhos das malhas que não se tocam).... \Delta_i \rightarrow Valor de \Delta para a parte do diagrama que não toca o i-ésimo caminho direto. Exemplo 2.4.5 Considere o sistema dado pela Figura 2.15 O diagrama de fluxo de sinal correspondente é apresentado em sala de aula. Usando-se a regra de Mason tem-se: Caminho Direto Ganho 1236 G1 = 1 \cdot \frac{1}{s} \cdot b1 \cdot 1 = \frac{b1}{s} 12346 G2 = 1 \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} \cdot b2 \cdot 1 = \frac{b2}{s^2} 123456 G3 = 1 \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} \cdot b3 \cdot 1 = \frac{b3}{s^3} Malha 232 l1 = \frac{1}{s} \cdot (-a1) = -\frac{a1}{s} 2342 l2 = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} \cdot (-a2) = -\frac{a2}{s^2} 23452 l3 = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} \cdot (-a3) = -\frac{a3}{s^3} Determinantes \Delta = 1 – (l1 + l2 + l3) + 0 \Delta_1 = 1 – 0 = 1 \Delta_2 = 1 – 0 = 1 \Delta_3 = 1 – 0 = 1 Aplicando a fórmula temos \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{\Delta} \left( \sum_{i=1}^{3} G_i \Delta_i \right) = \frac{b1 s^2 + b2 s + b3}{s^3 + a1 s^2 + a2 s + a3}. 20 Cap´ıtulo 2: Modelagem e representac¸˜ao de sistemas de controle Exemplo 2.4.6 Apreentado em sala de aula Caminho direto Ganho 12456 G1 = H1H2H3 1236 G2 = H4 Malha 242 l1 = H1H5 N˜ao toca l3 454 l2 = H2H6 565 l3 = H3H7 N˜ao toca l1 236542 l4 = H4H7H6H5 Determinantes ∆ = 1 − (l1 + l2 + l3 + l4) + (l1l3) − 0 = 1 − (l1 + l2 + l3 + l4) + (l1l3) ∆1 = 1 − 0 = 1 ∆2 = 1 − l2 + 0 = 1 − l2 Logo Y (s) U(s) = H1H2H3 + H4(1 − H2H6) 1 − (H1H5 + H2H6 + H3H7 + H4H7H6H5 + H1H5H3H7 (G1∆1 + G2∆2) 2.5 Representa¸c˜ao por variaveis de estado Nesta se¸c˜ao, uma breve introdu¸c˜ao `a representa¸c˜ao por vari´aveis de estado ´e apresentada. No cap´ıtulo final mencionamos a aplica¸c˜ao desta representa¸c˜ao para projeto de controladores. Na representa¸c˜ao de estados o sistema ´e representado por equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem. Portanto, esta representa¸c˜ao ´e no dom´ınio do tempo, ao contr´ario da representa¸c˜ao entrada-sa´ıda no dom´ınio da freq¨uˆencia. 2.5.1 Estado de um sistema Definic¸˜ao: O estado x(t0) de um sistema no instante t0 ´e a quantidade de informa¸c˜ao em t0 que junto com u(t), t ≥ t0 determina de maneira ´unica a sa´ıda y(t) do sistema para todo t ≥ t0. De certa forma, o estado resume a informa¸c˜ao do passado que afeta as sa´ıdas futuras. Conhecendo-se o estado x(t0) e a entrada u(t), t ≥ t0, pode-se determinar a sa´ıda y(t), t ≥ t0. Exemplo 2.5.1 Seja o circuito da Figura 2.16: R1 R2 C1 C2 u2 u1 y x1 x2 x3 L + + + + − − − − Figura 2.16: Estados do circuito el´etrico Conhecendo-se as tens˜oes nos capacitores x1(t0) e x2(t0) e a corrente no indutor x3(t0), para qualquer entrada u(t) aplicada a partir de t0 a sa´ıda y(t) ´e unicamente determinada para t ≥ t0. O estado do circuito no instante t0, ´e dado por: x(t0) =   x1(t0) x2(t0) x3(t0)   onde x ´e o vetor de estados. 22 Cap´ıtulo 2: Modelagem e representac¸˜ao de sistemas de controle 2.5.3 Rela¸c˜ao entre representa¸c˜ao de estado e fun¸c˜ao de transferˆencia Tomando a transformada de Laplace da Eq. (2.5.1), tem-se X(s) = (s I − A)−1x(0) + (s I − A)−1BU(s) Y (s) = C(s I − A)−1x(0) + C(s I − A)−1BU(s) + DU(s) Dados x(0) e U(s), pode-se portanto computar algebricamente X(s) e Y (s). A transformada inversa de Laplace fornece x(t) e y(t). Note as duas parcelas da resposta de um sistema linear: resposta ao estado inicial nulo e resposta `a entrada nula. Se x(0) = 0, e substituindo-se X(s) na equa¸c˜ao da sa´ıda, obtem-se Y (s) = [C(s I − A)−1B + D]U(s) = G(s)U(s) onde G(s) = C(s I − A)−1B + D. Portanto, a fun¸c˜ao de transferˆencia pode ser facilmente calculada. No caso, multivari´avel, com p entradas e q sa´ıdas, tem-se u ∈ ℜp, y ∈ ℜq, e obtem-se uma matriz fun¸c˜ao de transferˆencia, de dimens˜ao q × p: G(s) =   g11(s) g12(s) . . . g1p(s) ... ... ... ... gq1(s) gq2(s) . . . gqp(s)   (2.5.2) onde o elemento gij(s) da matriz representa a fun¸c˜ao de transferˆencia entre a entrada j e a sa´ıda i. Para o caso monovari´avel, u e y s˜ao escalares, e a fun¸c˜ao de transferˆencia ´e escalar. Exemplo 2.5.3 Para o sistema massa-mola do Exemplo 2.5.2, considerando a for¸ca como entrada e a posi¸c˜ao como sa´ıda, calcula-se a fun¸c˜ao de transferˆencia usando G(s) = C(s I − A)−1B + D como sendo Y (s) = 1 ms2 + fs + k U(s) 2.5.4 Rela¸c˜ao entre p´olos da fun¸c˜ao de transferˆencia e autovalores da matriz de estado Vamos considerar o caso monovari´avel. A fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por G(s) = c(s I − A)−1b + d onde b, c e d s˜ao uma matriz coluna, uma matriz linha e um escalar, respectivamente. Desde que (s I − A)−1 = Adj(s I − A) det(s I − A) onde Adj() e det() denotam a adjunta e o determinante de uma matriz, respectivamente, e considerando-se que os autovalores da matriz A s˜ao dados por det(sI − A) = 0 conclui-se que os autovalores de A s˜ao os p´olos da fun¸c˜ao de transferˆencia G(s). No entanto, se um zero e um p´olo da fun¸c˜ao de transferˆencia se cancelarem, o autovalor n˜ao mais ser´a um p´olo de G(s). 2.6 Representa¸c˜ao gen´erica de sistemas de controle por diagramas de blocos Com o conhecimento deste cap´ıtulo sobre a representa¸c˜ao de sistemas por diagramas de bloco e a ´algebra de blocos podemos retornar `a representa¸c˜ao de sistemas de controle por v´arias formas. De forma mais gen´erica, um sistema de controle pode ser representado pelo diagrama de blocos da Figura 2.18. Neste diagrama os seguintes elementos s˜ao definidos Gr(s) Pr´e-filtro da referˆencia; EEL-DAS-UFSC 23 Σ d Gr(s) Σ Gc(s) Σ G(s) Gy(s) H(s) Σ v r a(t) u(t) y b(t) e + − + − + − + + Figura 2.18: Diagrama de blocos t´ıpico de um sistema de controle Gy(s) Pr´e-filtro de sa´ıda; Gc(s) Dinˆamica de controle e do atuador (potˆencia); d(t) Perturba¸c˜ao ou dist´urbio da carga; v(t) Ru´ıdo de medida; G(s) F.T. do sistema a ser controlado (planta); H(s) F.T. do sensor/transdutor. Observe que o sistema tem 3 entradas, a referˆencia r, uma entrada de perturba¸c˜ao d e uma entrada de ru´ıdo v. Estas duas ´ultimas se diferenciam pela faixa de freq¨uˆencias envolvidas. Enquanto a perturba¸c˜ao tem em geral componentes de baixa freq¨uˆencia, o ru´ıdo tem componentes de alta freq¨uˆencia. Em geral o ru´ıdo est´a associado ao medidor, mas diversas fontes de ru´ıdo podem estar presentes no sistema. O ponto onde o ru´ıdo entra no sistema depende da f´ısica do problema. A representa¸c˜ao mostrada na Figura 2.18 deve-se ao fato de que em geral o ru´ıdo est´a associado ao medidor. No entanto, sempre ´e poss´ıvel manipular o diagrama de blocos, usando a ´algebra de blocos, para coloc´a-lo na forma apresentada na Figura 2.18, com a perturba¸c˜ao e o ru´ıdo entrando nos pontos indicados. Isto ser´a mostrado mais adiante. O sistema da Figura 2.18 apresenta 3 controladores: o controlador Gc(s), o controlador Gy, na malha de realimenta¸c˜ao e o controlador Gr na entrada. O controlador Gc(s) ´e o controlador que ser´a objeto de estudo neste texto. O controlador tamb´em pode ser colocado na malha de realimenta¸c˜ao, mas n˜ao consideraremos este caso. Finalmente a fun¸c˜ao de transferˆencia Gr tem em geral a fun¸c˜ao de converter a referˆencia, velocidade, por exemplo, em um sinal el´etrico. Da mesma forma, a fun¸c˜ao de trasferˆencia do medidor transforma um sinal, velocidade em rpm por exemplo, em um sinal el´etrico a ser comparado no somador. Uma observa¸c˜ao importante ´e que o sinal a(t), que sai do somador n˜ao ´e o sinal de erro. O sinal de erro ´e obtido neste diagrama gen´erico atrav´es de um segundo somador que compara a referˆencia com a sa´ıda do sistema. Este somador n˜ao representa a f´ısica do modelo mas simplesmente ´e uma representa¸c˜ao de uma opera¸c˜ao matem´atica para obter o erro. Usando a ´algebra de blocos e supondo Gr ̸= 0 e ainda desconsiderando-se o ru´ıdo, obtem-se o diagrama da Figura 2.19. Vamos considerar a seguir que Gy = 1 e Gr = 1, ou seja, n˜ao consideramos a existˆencia de controlador na malha de realimenta¸c`ao e do pr´e-filtro. Vamos considerar ainda que a perturba¸c˜ao age diretamente na sa´ıda do sistema. Como observado anteriormente, a entrada de perturba¸c˜ao depende da f´ısica do problema. Na Figura 2.19 esta entrada antecede a planta. Usando ´algebra de blocos, pode-se transferir esta entrada de modo que ela atua diretamente na sa´ıda. Note que uma perturba¸c˜ao equivalente, dada por D′ = G(s)D(s), pode ser definida. Mante- remos a mesma nota¸c˜ao D(s) para a perturba¸c˜ao levada `a sa´ıda do sistema, embora a perturba¸c˜ao transferida seja diferente. Com isto, o sistema ´e representado pelo diagrama de blocos da Figura 2.20, onde n˜ao representamos o somador que fornece o erro. ´E importante salientar que isto n˜ao significa perda de generalidade. Poder´ıamos ter redefinido G(s) e H(s) na Figura 2.19 para ainda obter a Figura 2.20. Um caso especial ´e o caso onde a realimenta¸c˜ao ´e unit´aria. A realimenta¸c˜ao unit´aria ´e obtida ou por manipula¸c˜ao do diagrama de blocos ou considerando que em geral a vari´avel de interesse, que ´e a vari´avel acess´ıvel, ´e a sa´ıda do medidor. Assim, em um processo onde a sa´ıda ´e uma vaz˜ao em litros por segundo, a vari´avel de interesse ´e a sa´ıda do medidor, em volts correspondentes a uma determinada vaz˜ao. Pode-se ent˜ao, sem perda de generalidade, 24 Cap´ıtulo 2: Modelagem e representac¸˜ao de sistemas de controle Σ d Σ Gr(s)Gc(s) Σ G(s) H(s)Gy(s) Gr(s) r a(t) u(t) y b(t) e + − + − + − Figura 2.19: Diagrama de blocos simplificado do sistema de controle D(s) Σ Gc(s) G(s) Σ H(s) R(s) E(s) Y (s) + − + − Figura 2.20: Sistema com perturba¸c˜ao levada a sa´ıda D(s) Σ Gc(s) G(s) Σ R(s) E(s) Y (s) + − + − Figura 2.21: Sistema com realimenta¸c˜ao unit´aria e perturba¸c˜ao levada `a sa´ıda considerar em muitos casos o sistema tendo realimenta¸c˜ao unit´aria, como mostrado na Figura 2.21. Neste caso observa-se que o sinal de sa´ıda do somador ´e o sinal do erro. EEL-DAS-UFSC 25 Exerc´ıcios 1. Para o diagrama de blocos da Figura 2.22 determine: a. as fun¸c˜oes de transferˆencia Y (s) R(s), Y (s) D(s) e E(s) R(s), por redu¸c˜ao do diagrama de blocos. b. o diagrama de fluxo de sinal. c. as mesmas fun¸c˜oes de transferˆencia usando a regra de Mason. D(s) Σ G1(s) Σ G2(s) Σ G3(s) H2(s) H1(s) R(s) E(s) Y (s) + − + − + − Figura 2.22: Diagrama de blocos do Exerc´ıcio 1 2. Para o sistema mostrado na Figura 2.23 a. construa o diagrama de blocos. b. determine a fun¸c˜ao de transferˆencia I2(s) Ig(s) por redu¸c˜ao do diagrama de blocos. c. construa o diagrama de fluxo de sinal. d. determine a fun¸c˜ao de transferˆencia I2(s) Ig(s), usando a regra de Mason. Ig R1 L C R2 ig i1 i2 Figura 2.23: Figura para o Exerc´ıcio 2 3. Seja o sistema que consiste de um tubo de comprimento L, onde escoa um fluido com velocidade constante v. A temperatura na entrada do tubo ´e u(t). A temperatura do fluido na sa´ıda ´e y(t). N˜ao existem perdas t´ermicas ao longo do tubo. Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia Y (s) U(s). Defina a constante de tempo T ≜ L v . O que se conclui de um sistema que apresenta retardo puro? Qual o termo que representa este retardo na fun¸c˜ao de transferˆencia? 4. Para o sistema da Figura 2.24 a. Determine as fun¸c˜oes de transferˆencia Y (s) Ri(s) para i = 1 . . . 4 e Y (s) E(s) b. Determine Y (s) usando o princ´ıpio da superposi¸c˜ao. c. Construa o diagrama de fluxo de sinal e determine as mesmas fun¸c˜oes de transferˆencia usando a regra de Mason. 26 Cap´ıtulo 2: Modelagem e representac¸˜ao de sistemas de controle R3(s) Σ G1(s) Σ Σ Σ G1(s) R2(s) H2(s) H1(s) Σ R4(s) R1(s) E(s) Y (s) + − + − + − + + Figura 2.24: Diagrama de blocos do Exerc´ıcio 4 CAP´ITULO 3 Resposta de sistemas de controle 3.1 Introdu¸c˜ao Este cap´ıtulo tem como objetivo estudar a resposta no tempo e na freq¨uˆencia de sistemas dinˆamicos e em particular o uso dos resultados na determina¸c`ao da resposta de sistemas de controle. Estudaremos a resposta no tempo e a resposta no dom´ınio da freq¨uˆencia. Mostraremos ainda a rela¸c˜ao entre as duas respostas. Um sistema dinˆamico invariante no tempo pode ser representado por uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria ou por sua fun¸c˜ao de transferˆencia. Neste cap´ıtulo o interesse maior ´e na determina¸c˜ao da resposta a partir do uso da fun¸c˜ao de transferˆencia. 3.2 Sistemas de primeira e segunda ordem A resposta de sistemas dinˆamicos, a partir da fun¸c˜ao de transferˆencia, ´e determinada pelos p´olos e zeros daquela fun¸c˜ao e pelo sinal de entrada do sistema. Embora sistemas de controle possam ter ordem elevada, muitos sistemas reais apresentam dominˆancia de primeira ou segunda ordem. Ou seja, embora a fun¸c˜ao de transferˆencia que representa o sistema tenha ordem elevada, pode-se usar um modelo de primeira ou segunda ordem para represent´a- lo. Mesmo representando o sistema com o modelo completo, pode-se sempre considerar a resposta como constitu´ıda de uma soma de respostas de sistemas de primeira e segunda ordem ao mesmo sinal de entrada. Para isto basta fazer a decomposi¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia em fra¸c˜oes parciais. Portanto o estudo da resposta de sistemas de primeira e segunda ordem ´e essencial para especificar a resposta de sistemas de ordem mais elevada. Os sinais de entrada podem ter qualquer forma, mas novamente, pode-se considerar alguns sinais padr˜ao como indicando o comportamento do sistema de controle. Tanto a resposta no tempo como a resposta em freq¨uˆencia s˜ao de interesse para o estabelecimento de figuras de m´erito para a an´alise e o projeto de sistemas de controle. Na seq¨uˆencia ser˜ao estudadas as respostas de sistemas de primeira e segunda ordem a alguns sinais padr˜ao, inicialmente no dom´ınio do tempo e depois no dom´ınio da freq¨uˆencia. 3.3 Resposta no tempo A resposta no tempo est´a associada a posi¸c˜ao dos p´olos e zeros da fun¸c˜ao de transferˆencia que representa o sistema. A resposta no tempo fornece algumas figuras de m´erito importantes para a an´alise e projeto. O tempo de resposta ou acomoda¸c˜ao ´e uma destas figuras. Definic¸˜ao 5 O tempo de resposta ou tempo de acomoda¸c˜ao a x% ´e o tempo para a resposta do sistema entrar e permanecer em uma faixa de x% em torno do valor final da resposta. Os valores usuais de x s˜ao 5, 2 e 1. Denotaremos estes tempos de resposta por tr5%, tr2% e tr1%, respectivamente. 28 Cap´ıtulo 3: Resposta de sistemas de controle 3.3.1 Sistemas de primeira ordem Um sistema de primeira ordem, sem zero, tem uma fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = K 1 + sτ (3.3.1) Supondo que a entrada U(s) ´e um degrau de valor E, ou seja U(s) = E s ent˜ao a resposta Y (s) ´e dada por Y (s) = G(s) U(s) = K 1 + sτ E s (3.3.2) ou, determinado a anti-transformada de Laplace, com condi¸c˜oes iniciais nulas, a resposta no tempo ´e dada por y(t) = K E(1 − e− t τ ) (3.3.3) A resposta ´e uma exponencial, tendendo assintoticamente ao valor K E. O p´olo da fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dado por p = − 1 τ . Observa-se que o p´olo da fun¸c˜ao de transferˆencia de G(s) determina a forma da resposta, que pode ser expressa em fun¸c˜ao de ept. O tempo de resposta a 5% pode ser calculado por 0.95 K E = K E(1 − e− tr5% τ ) ou tr5% = 3 τ (3.3.4) O tempo de resposta a 2% pode ser calculado por 0.98 K E = K E(1 − e− tr2% τ ) ou tr2% = 3.9 τ (3.3.5) O tempo de resposta a 1% pode ser calculado por 0.99 K E = K E(1 − e− tr1% τ ) ou tr1% = 4.6 τ (3.3.6) 3.3.2 Sistemas de segunda ordem Para o caso de sistemas de segunda ordem, dois casos ser˜ao considerados: • os dois p´olos s˜ao reais • os dois p´olos s˜ao complexos conjugados 3.3.2.1 Caso de p´olos reais Neste caso a fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por G(s) = K (1 + sτ1)(1 + sτ2) (3.3.7) com τ1 > 0 e τ2 > 0. A resposta do sistema a um degrau U(s) = E s ´e dada por Y (s) = K (1 + sτ1)(1 + sτ2) E s (3.3.8) ou, usando a transformada inversa de Laplace, com condi¸c˜oes iniciais nulas: y(t) = K(E + E τ1 e− t τ1 τ2 − τ1 + E τ2 e− t τ2 τ1 − τ2 ) (3.3.9) Definindo-se c1 = Eτ1 τ2 − τ1 e c2 = Eτ2 τ1 − τ2 , y(t) = K(E + c1e− t τ1 + c2e− t τ2 ) (3.3.10) 30 Cap´ıtulo 3: Resposta de sistemas de controle × −ζωn ωp ωn cos θ = ζ θ Figura 3.1: Rela¸c˜ao entre p´olos e caracter´ısticas da resposta Tempo de resposta ou acomodac¸˜ao : mesma defini¸c˜ao usada anteriormente. O tempo de resposta pode ser dado na forma de ´abacos ou calculado atrav´es de f´ormulas aproximadas. As f´ormulas aproximadas usam a envolt´oria da resposta para determinar o tempo de resposta. Da Equa¸c˜ao (3.3.18) segue que o desvio da resposta final E do sistema deve-se a uma exponencial multiplicada pelo termo em coseno. Podemos considerar, fazendo uma aproxima¸c˜ao, que os tempos de resposta a 1%, 2% e 5%, correspondem ao tempos em que a exponencial passa de seu valor m´aximo em t = 0 para 1%, 2% e 5%, respectivamente. Obtem-se assim os seguintes tempos de resposta: e−ζωntr1% = 0.01 =⇒ tr1% = 4.6 ζωn e−ζωntr2% = 0.02 =⇒ tr2% = 3.9 ζωn e−ζωntr5% = 0.05 =⇒ tr5% = 3.0 ζωn Tempo de subida ´E o tempo que leva para a resposta variar de 10% a 90% do valor final. Este valor ´e dado aproximadamente por ts ≈ 1.8 ωn Sobressinal ou ultrapassagem ´E a diferen¸ca entre o valor do primeiro pico da resposta e o valor final da resposta. Este valor pode ser calculado a partir da resposta do sistema de segunda ordem. Derivando-se a resposta obtem-se Mp = e −π ζ √ 1−ζ2 Tempo do sobressinal ´E o tempo no qual ocorre o valor da primeira ultrapassagem. O tempo da primeira ultrapassagem ou do sobressinal ´e dado por tp = π ωp Estas figuras de m´erito est˜ao ilustradas na Figura 3.2. 3.3.3 Efeito dos zeros Ilustraremos o efeito dos zeros atrav´es da resposta no tempo de fun¸c˜oes de transferˆencia de segunda ordem sem zeros, com um zero no lado esquerdo do plano complexo e com um zero no lado direito. Usaremos o Scilab para determinar as respostas. A entrada ser´a um degrau unit´ario. A fun¸c˜ao de transferˆencia para o caso sem zeros ´e G(s) = 5 s2 + 2s + 5 O programa em Scilab para tra¸car o gr´afico da resposta ´e EEL-DAS-UFSC 31 0.1 0.9 1.0 tp ts tr5% Mp 0.05 Figura 3.2: Figuras de m´erito para sistema de segunda ordem s=%s; g=5/(sˆ2+2*s+5); g=syslin("c",g); t=0:0.1:10; y=csim("step",t,g); plot2d(t,y); onde a fun¸c˜ao de transferˆencia g deve ser modificada para incluir efeito de zeros. Para um zero no semi-plano esquerdo, em −1, a fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por G(s) = 5(s + 1) s2 + 2s + 5 e para um zero no semi-plano direito, em +1, a fun¸c˜ao de transferˆencia ´e G(s) = 5(1 − s) s2 + 2s + 5 A resposta para os trˆe casos ´e mostrada na Figura 3.3. 3.4 Resposta em freq¨uˆencia A resposta em freq¨uˆencia de um sistema tem uma rela¸c˜ao direta com a resposta no dom´ınio do tempo. As abordagens no tempo e freq¨uˆencia se complementam e o dom´ınio da freq¨uˆencia permite vislumbrar informa¸c˜oes adicionais sobre o comportamento do sistema. A resposta no dom´ınio da freq¨uˆencia baseia-se na decomposi¸c˜ao de um sinal como uma soma de sinais exponenciais. No caso de sinais peri´odicos, esta decomposi¸c˜ao baseia-se na s´erie de Fourier, onde o sinal ´e expresso como uma soma de senos e cosenos com freq¨encias discretas. Para 32 Cap´ıtulo 3: Resposta de sistemas de controle 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1.0 −0.6 −0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1.0 −0.6 −0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 + + + + + + + +++ + + + + + + + + + ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1.0 −0.6 −0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 × × × ××× × × × × × × × × × × × ×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××× Sem zero + + + Com zero em −1 × × × Com zero em 1 Figura 3.3: Resposta do sistema com e sem zeros EEL-DAS-UFSC 33 sinais n˜ao peri´odicos, o sinal ´e expresso como uma soma de senos e cosenos com freq¨uˆencia cont´ınua, o que leva `a transformada de Fourier. Para sinais crescentes no tempo tem-se a Transformada de Laplace. Todas estas abordagens s˜ao estudadas em teoria de sistemas lineares e n˜ao ser˜ao repetidas aqui. O ponto principal a ser desenvolvido nesta se¸c˜ao ´e de que a resposta de um sistema a um determinado sinal pode ser estudada em termos do efeito do sistema sobre as componentes de freq¨uˆencia do sinal. Isto pode ser feito usando o diagrama de Bode do sistema. No estudo seguinte, o nosso interesse ser´a em sistemas de segunda ordem, mas as mesmas id´eias se aplicam a sistemas de qualquer ordem. Em geral, sistemas reais tem um par de p´olos dominantes que domina a resposta do sistema. A frequˆencia de corte ´e uma caracter´ıstica importante de um sistema de segunda ordem estando associado tanto `a velocidade de resposta do sistema como `a banda passante ou faixa de passagem, ou seja `as freq¨uˆencias que s˜ao transmitidas pelo sistema. A freq¨uˆencia de corte ´e definida como o valor de freq¨uˆencia para a qual o sistema tem uma redu¸c˜ao de 1 √ 2 ou −3 dB com rela¸c˜ao ao valor em regime. Para uma fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) o valor da freq¨uˆencia de corte correponde ao valor G(0) − 3 dB, ou, em unidades f´ısicas, auma redu¸c˜ao do valor em A Figura 3.4 apresenta a resposta em freq¨uˆencia com a indica¸c˜ao da freq¨uˆencia de corte e a banda ou faixa de passagem, para um sistema. −1 10 0 10 1 10 −60 −50 −40 −30 −20 −10 . Magnitude Hz db 3 dB Banda de passagem Figura 3.4: Resposta em freq¨uˆencia de um sistema Do diagrama da Figura 3.4 pode-se observar que a partir da freq¨uˆencia de corte o ganho dos sistema ´e reduzido. Um sinal de entrada r´apido tem componentes de freq¨uˆencia elevada. Componentes do sinal de entrada com freq¨uˆencias maiores do que a freq¨uˆencia de corte s˜ao filtradas pelo sistema, al´em de sofrerem um atraso maior no tempo, devido `a caracter´ıstica de fase do sistema. Se a freq¨uˆencia de corte for reduzida, o sinal de sa´ıda ter´a componentes de baixa freq¨uˆencia e a resposta do sistema ser´a lenta. Pode-se ent˜ao concluir que quanto menor a freq¨uˆencia de corte, mais componentes de freq¨uˆencia ser˜ao cortadas e mais lento ser´a o sinal. Conclui-se ent˜ao que para se ter um sistema com resposta r´apida a freq¨uˆencia de corte do sistema deve ser elevada. Al´em da banda de passagem, um outro parˆametro de interesse ´e o pico apresentado pelo diagrama de Bode, que depende do amortecimento associado aos p´olos complexos do sistema. Quanto menor o amortecimento, maior ´e o valor do pico. Este pico n˜ao existe para o caso de p´olos reais. Portanto, al´em da informa¸c˜ao sobre o tempo de resposta dado pela freq¨uˆencia de corte, o tamanho do pico no diagrama de Bode d´a uma informa¸c˜ao sobre o amortecimento. Para sistemas de ordem mais elevada, a presen¸ca de um ou mais picos de valor elevado indica a presen¸ca de p´olos pouco amortecidos no sistema. ´E interessante analisar o efeito de zeros na fun¸c˜ao de transferˆencia. Para isto, adicionamos um zero `a fun¸c˜ao de transferˆencia usada na Figura 3.4. A resposta ´e mostrada na Figura 3.5. Zeros aumentam o ganho do sistema a partir da freq¨uˆencia onde eles ocorrem. Assim o efeito da presen¸ca de zeros ´e amplificar a magnitude nas freq¨uˆencia mais altas e portanto tornar a resposta mais r´apida. 34 Cap´ıtulo 3: Resposta de sistemas de controle −1 10 0 10 1 10 −26 −22 −18 −14 −10 −6 −2 2 6 10 . Magnitude Hz db 3 dB Banda de passagem Figura 3.5: Resposta em freq¨uˆencia de um sistema com zero adicionado 3.5 Resposta no tempo e na freq¨uˆencia de sistemas em malha fechada Para o caso de sistemas de controle em malha fechada, os mesmos princ´ıpios anteriores se aplicam. Neste caso a fun¸c˜ao de transferˆencia de interesse ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada. Um aspecto particular no caso de sistemas de malha fechada ´e a rela¸c˜ao que se pode estabelecer entre a banda de passagem da resposta em freq¨uˆencia de malha fechada e a freq¨uˆencia de cruzamento de ganho do sistema em malha aberta. A freq¨uˆencia de cruzamento de ganho, a ser estudada nos pr´oximos cap´ıtulos, corresponde `a freq¨uˆencia onde o ganho do diagrama de Bode do sistema em malha aberta ´e 0 dB. O interesse aqui ´e usar informa¸c˜oes da malha aberta para concluir sobre a resposta no tempo do sistema em malha fechada. A freq¨uˆencia de cruzamento de ganho do sistema em malha aberta pode ser usada como uma estimativa da freq¨uˆencia de corte do sistema em malha fechada. Assim se a freq¨uˆencia de cruzamento de ganho ´e baixa, o sistema de malha fechada ter´a uma resposta lenta. Se esta freq¨uˆencia for elevada o sistema ser´a mais r´apido. No entanto, nem sempre ´e desej´avel aumentar muito a freq¨uˆencia de cruzamento de ganho e portanto a faixa de passagem do sistema de malha fechada. Um fator que limita a faixa de passagem ´e a existˆencia de ru´ıdo, como visto na pr´oxima se¸c˜ao. 3.6 Resposta em freq¨uˆencia e ru´ıdo V´arias fontes de ru´ıdo est˜ao presentes em um sistema de controle. Componentes eletrˆonicos, escovas de motores s˜ao exemplos de geradores de ru´ıdo. Um modelo para o ru´ıdo ´e o chamado ru´ıdo branco. A caracteristica deste ru´ıdo ´e ter um espectro de freq¨uˆencia uniforme para todas as freq¨uˆencias. Um modelo chamado ru´ıdo colorido ´e obtido passando um ru´ıdo branco atrav´es de um filtro linear. Mas a caracter´ıstica do ru´ıdo ´e ter componentes significativas em altas freq¨uˆencias. Um sistema com resposta r´apida tem uma banda de passagem larga e portanto filtra pouco o ru´ıdo. Um sistema com resposta lenta tem uma banda de passagem estreita e portanto tem maior efeito de filtrar o ru´ıdo. No projeto de sistemas de controle, deve-se conciliar os requisitos de rapidez de resposta e filtragem de ru´ıdo. 3.7 Conclus˜oes sobre o efeito de p´olos e zeros A partir do estudo anterior pode-se tirar algumas conclus˜oes sobre o efeito de p´olos e zeros Localizac¸˜ao dos p´olos Quanto mais `a esquerda estiver localizado o p´olo mais r´apida ser´a a componente da resposta no tempo devida a este p´olo. O p´olo mais `a direta tem uma componente de resposta mais lenta e domina a resposta temporal. EEL-DAS-UFSC 35 Zeros pr´oximos de p´olos Os zeros de uma fun¸c˜ao de transferˆencia diminuem o efeito dos p´olos que est˜ao pr´oximos `a ele. Quanto mais pr´oximo maior a diminui¸c˜ao. Variac¸˜oes r´apidas de sinais P´olos filtram varia¸c˜oes bruscas do sinal de entrada e zeros amplificam. 36 Cap´ıtulo 3: Resposta de sistemas de controle Exerc´ıcios 1. Determine o tempo de resposta a 5% dos seguintes sistemas: • F(s) = 2 s + 3 • F(s) = 1 (s + 4)(s + 2) • F(s) = 1 4s2 + 3s + 1 2. Para cada um dos casos abaixos, dizer se o sistema ´e amortecido, sub-amortecido, criticamente amortecido ou super-amortecido. Determine tamb´em o ganho est´atico, a raz˜ao de amortecimento e, onde aplic´avel, a frequˆencia natural. • F(s) = 25 20s2 + 36s + 45 • F(s) = 48 s2 + 10s + 16 • F(s) = 15 25s2 + 16 • F(s) = 100 25s2 + 40s + 16 3. Usando o Scilab trace as curvas de resposta a um degrau de amplitude 2 para cada um dos sistemas do Exerc´ıcio 1. 4. Determine os valores de K e T para que o sistema abaixo se comporte como um sistema de segunda ordem com ξ = 0, 7 e ω = 2 rad/seg. Σ K(1 + τi) τis 2 3s + 1 R(s) Y (s) + − 5. Usando os parˆametros do exemplo anterior, use o Scilab para determinar a resposta no tempo y(t) a um degrau de amplitude 2 em R(t), ou seja R(s) = 2 s. Observe o erro do sistema em regime permanente. Qual a raz˜ao para este valor de erro? 6. A fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta de um processo, levantada experimentalmente, ´e 1 1+0.5s. Um controlador proporcional ´e usado para o sistema em malha fechada. O operador especifica um erro est´atico ao degrau e seleciona o ganho correspondente. Observa-se ent˜ao uma resposta oscilat´oria a uma entrada em degrau, com primeira ultrapassagem de 20% e freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao de 1.91 Hz, em desacordo com o modelo. Determine: • o modelo real do processo • o erro ao degrau esperado e o erro ao degrau observado • o tr5% esperado e o tempo de resposta a 5% observado CAP´ITULO 4 Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados 4.1 Introdu¸c˜ao O objetivo deste cap´ıtulo ´e estudar propriedades b´asicas de um sistema de controle realimentado. Estas pro- priedades est˜ao relacionadas ao comportamento do sistema com rela¸c˜ao a seguimento de uma referˆencia, efeito de perturba¸c˜oes e varia¸c˜oes param´etricas, e comportamento dinˆamico do sistema. O seguimento de uma referˆencia e o efeito de perturba¸c˜oes s˜ao caracterizados principalmente pelos erros do sistema em regime permanente. Va- ria¸c˜oes param´etricas influenciam no comportamento do sistema segundo a sensibilidade do sistema com rela¸c˜ao aos parˆametros. Finalmente uma exigˆencia fundamental para um sistema de controle ´e a estabilidade. Esta ca- racter´ıstica intr´ınseca do sistema assegura que ap´os uma perturba¸c˜ao limitada, a sa´ıda do sistema n˜ao aumentar´a indefinidamente. Neste cap´ıtulo, estas quest˜oes s˜ao inicialmente examinadas atrav´es de um exemplo. A seguir um estudo detalhado de cada aspecto ´e apresentado. 4.2 Propriedades e Fun¸c˜oes de transferˆencia b´asicas Nesta se¸c˜ao analisaremos algumas fun¸c˜oes de transferˆencia relacionadas `as propriedades que queremos estudar, especialmente o seguimento de referˆencias e o efeito de perturba¸c˜oes e ru´ıdo. O diagrama de blocos do sistema ´e representado na Figura 4.1. D(s) Σ C(s) Σ G(s) Σ R(s) E(s) Y (s) N(s) + − + − + + Figura 4.1: Configura¸c˜ao com realimenta¸c˜ao unit´aria Podemos considerar na fun¸c˜ao de transferˆencia da Figura 4.1, as entradas como sendo a referˆencia R(s), a perturba¸c˜ao D(s) e o ru´ıdo N(s). A sa´ıda Y (s) ´e dada por Y (s) = GC(s) 1 + GC(s) R(s) − G(s) 1 + GC(s) D(s) − GC(s) 1 + GC(s) N(s) (4.2.1) Podemos ent˜ao considerar trˆes fun¸c˜oes de transferˆencia de interesse. A fun¸c˜ao de transferˆencia Y (s) R(s) = GC(s) 1 + GC(s) (4.2.2) 38 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados relaciona a sa´ıda com a referˆencia. Esta fun¸c˜ao T = GC(s) 1 + GC(s) (4.2.3) ´e chamada de fun¸c˜ao de sensibilidade complementar. A fun¸c˜ao de transferˆencia Y (s) D(s) = G(s) 1 + GC(s) (4.2.4) relaciona a sa´ıda com a perturba¸c˜ao e ´e chamada de fun¸c˜ao de sensibilidade `a perturba¸c˜ao. A fun¸c˜ao de transferˆencia Y (s) N(s) = GC(s) 1 + GC(s) (4.2.5) relaciona a sa´ıda com o ru´ıdo e ´e chamada de fun¸c˜ao de sensibilidade ao ru´ıdo. Al´em destas trˆes fun¸c˜oes de podemos definir uma quarta fun¸c˜ao de transferˆencia definida como S = 1 1 + GC(s) (4.2.6) Esta fun¸c˜ao de transferˆencia corresponde `a rela¸c˜ao entre o erro e a referˆencia, ou seja, E(s) R(s) = 1 1 + GC(s) (4.2.7) Observa-se que est fun¸c˜ao de transferˆencia relaciona-se `a fun¸c˜ao sensibilidade complementar por S + T = 1 (4.2.8) Propriedades importantes de sistemas de controle em malha fechada podem ser analisadas a partir das propri- edades destas fun¸c˜oes de transferˆencia. A seguir analisaremos algumas delas. 4.2.1 Rastreamento ou seguimento da referˆencia (precis˜ao) Da Equa¸c˜ao 4.2.1, considerando D(s) = N(s) = 0 segue que para obtermos um seguimento da referˆencia, ou seja Y (s) ≈ R(s), deve-se ter GC(s) ≫ 1. Pode-se concluir que elevados valores de ganho na malha direta assegura esta propriedade. Este ganho depende da planta e do controlador e varia com a freq¨uˆencia. No entanto o maior interesse ´e assegurar que em regime permanente a sa´ıda siga a referˆencia, e um elevado ganho do controlador em baixas freq¨uˆencias ´e suficiente para assegurar um bom desempenho do sistema de controle em termos de rastreamento. 4.2.2 Rejei¸c˜ao de perturba¸c˜oes Da fun¸c˜ao de transferˆencia 4.2.1 a perturba¸c˜ao modifica o valor de sa´ıda atrav´es da fun¸c˜ao de sensibilidade `a perturba¸c˜ao definida dada por Y (s) D(s) = G(s) 1 + GC(s) (4.2.9) Neste caso o objetivo ´e minimizar a magnitude desta fun¸c˜ao de sensibilidade assegurando adequada propriedade de rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao. Isto ´e conseguido para elevados valores de |1 + GC(s)|. Note que isto ocorre para elevados valores de magnitude de GC(s), quando a fun¸c˜ao de sensibilidade `a perturba¸c˜ao se reduz a 1 C(s) e com ganhos elevados do controlador, tem-se redu¸c˜ao do efeito da perturba¸c˜ao. Portanto a caracter´ıstica do controlador que assegura rastreamento da referˆencia tamb´em assegura a propriedade desejada de rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao. 4.2.3 Sensibilidade ao ru´ıdo Da fun¸c˜ao de sensibilidade ao ru´ıdo 4.2.5 e de 4.2.1 observa-se que o ru´ıdo afeta pouco a sa´ıda se GC(s) → 0. Este requisito ´e conflitante com os requisitos anteriores de seguimento da referˆencia e rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao. No entanto, o ru´ıdo tem componentes de alta freq¨uˆencia e se a magnitude GC(s) tiver valores baixos em altas freq¨uˆencias e valores elevados em baixas freq¨uˆencias, pode-se conciliar os requisitos de rastreamento de referˆencia, rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao e baixa sensibilidade a ru´ıdos. EEL-DAS-UFSC 39 4.2.4 Sensibilidade param´etrica Na obten¸c˜ao de modelos de sistemas parte-se da hip´otese de que os valores dos parˆametros s˜ao conhecidos e constantes. Na realidade varia¸c˜oes nas condi¸c˜oes de opera¸c˜ao como mudan¸cas de temperatura, desgaste de componentes, etc, provocam mudan¸cas nos valores dos parˆametros. Assim, mesmo que os valores dos parˆametros tenham sido obtidos corretamente, e deve-se assinalar que, al´em de poss´ıveis erros, alguns parˆametros podem ser dif´ıceis de serem determinados, o controlador projetado usando o modelo ir´a operar em um sistema cujos parˆametros reais diferem do modelo. O objetivo aqui ´e estudar o efeito que a varia¸c˜ao param´etrica tem no ganho em regime permanente, ou seja, o ganho entre a entrada e a sa´ıda em regime permanente. Este ganho ser´a representado por T . Na Figura 4.1 o ganho em regime permanente ´e dado por GC(0) 1 + GC(0). Definic¸˜ao 6 A Sensibilidade Param´etrica, do ganho T , em regime permanente, com rela¸c˜ao a um parˆametro P, ´e definida por ST P = ∆T T ∆P P Esta defini¸c˜ao ´e geral e pode ser aplicada com rela¸c˜ao a qualquer parˆametro do sistema. A interpreta¸c˜ao desta defini¸c˜ao ´e que ela indica a varia¸c˜ao percentual do ganho para uma varia¸c˜ao percentual de um parˆametro. A defini¸c˜ao pode ser aplicada tanto para o ganho de malha aberta quanto para a malha fechada, o que ´e mostrado a seguir. Nem sempre ´e poss´ıvel uma aplica¸c˜ao direta desta defini¸c˜ao. Se o ganho T for uma fun¸c˜ao n˜ao-linear do parˆametro em rela¸c˜ao ao qual deve-se calcular a sensibilidade, ent˜ao a expans˜ao em s´erie de Taylor, mantendo-se apenas os termos de primeira ordem, permite o c´alculo da sensibilidade, ou seja: T + ∆T = T + dT dP ∆P + . . . (4.2.10) Considerando-se apenas o termo de primeira ordem, ∆T = dT dP ∆P (4.2.11) ou ainda ∆T T ∆P P = P T dT dP (4.2.12) e portanto a sensibilidade pode ser calculada como ST P = P T dT dP (4.2.13) 4.2.5 Estabilidade Um sistema de controle deve ser est´avel, ou seja, uma entrada limitada n˜ao deve produzir um aumento ilimitado da sa´ıda. A propriedade de estabilidade ser´a estudada neste cap´ıtulo. 4.3 Estudo de Caso: Controle de velocidade Esta se¸c˜ao ilustra as propriedades b´asicas de um sistema de controle usando o sistema de controle de velocidade apresentado no Cap´ıtulo 1. Mas aqui consideraremos a dinˆamica do sistema, ou seja o sistema ´e representado por fun¸c˜oes de transferˆencia que descrevem o comportamento dinˆamico do sistema e n˜ao apenas por simples ganhos. O exemplo compara sistemas em malha aberta e malha fechada, destacando as vantagens do sistema em malha fechada com rela¸c˜ao `as propriedades de rastreamento de referˆencia, rejei¸c˜ao de perturba¸c˜oes, sensibilidade a ru´ıdo, sensibilidade a varia¸c˜ao param´etrica e estabilidade. 4.3.1 Modelo do sistema Os principais componentes do sistema de controle de velocidade descrito no Cap´ıtulo 1 s˜ao o motor de corrente cont´ınua e a carga. O motor de corrente cont´ınua ´e representado por 3 equa¸c˜oes: EEL-DAS-UFSC Figura 4.2: Modelo do sistema de controle de velocidade 4.3.2 Rastreamento e rejeição de perturbações Um dos objetivos do sistema de controle de velocidade é manter a velocidade para uma referência especificada a despeito de perturbações que atuem no sistema. Consideraremos os casos do sistema em malha aberta e em malha fechada. 4.3.2.1 Controle em malha aberta Neste caso o controlador é escolhido de modo que va = Kr, e portanto o controlador é apenas um ganho K. O ganho K é determinado de tal maneira que y(t) = r(t) no regime permanente quando d(t) = 0 Com d(t) = 0 e para assegurar que yrp = r o valor do ganho do controlador deve ser K = 1/Km. A saída em regime permanente é dada por yrp = K Km r0 = 1/Km r0 = r0 (4.3.15) Portanto, sem perturbação é possível fazer a saída seguir a entrada com erro zero no regime permanente. Consideraremos agora o caso que além da referência R(s) = T0/s, tem-se uma perturbação constante (degrau) D(s) = d0/s. Usando-se o teorema do valor final, tem-se que yrp = lim_{s→0} 1/A(s) [KmK T0/s – Kd d0/s] (4.3.16) ou yrp = r0 – Kd d0 (4.3.17) O erro é dado por e(t) = r(t) – y(t). Em regime permanente o erro é erp = Kd d0 (4.3.18) Como não há controle sobre Kd, que depende dos parâmetros do sistema, o erro é proporcional à perturbação, sem que se possa controlá-lo, podendo ser muito grande para valores elevados do distúrbio. 4.3.2.2 Controle em malha fechada Neste caso a tensão de armadura é dada por Va(s) = K [R(s) – Y(s)]. Tem-se então Y(s) = 1/A(s) {KmK [R(s) – Y(s)] – KdD(s)} (4.3.19) Isolando-se Y(s) tem-se Y(s) = KmK/(1+sT1)(1+sT2) R(s) – Kd/(1+sT1)(1+sT2) D(s) (4.3.20) Consideremos o caso sem perturbação, D(s) = 0 e com referência R(s) = r0/s. Usando-se o teorema do valor final tem-se yrp = KmK/(1+KmK) r0 (4.3.21) 42 Capítulo 4: Propriedades Básicas de Sistemas Realimentados Usando-se um ganho elevado para o controlador, tem-se que yrp ≈ r0 (4.3.22) Consideremos agora o caso onde a perturbação é diferente de zero, e é dada por d0/s. Usando-se o teorema do valor final, tem-se que: yrp = KmK/(1+KmK) r0 – Kd/(1+KmK) d0 (4.3.23) Para valores elevados do ganho K do controlador tem-se que KmK/(1+KmK) ≈ 1 e Kd/(1+KmK) ≈ 0, ou seja a perturbação afeta pouco a saída. No regime permanente, tem-se então yrp ≈ r0 (4.3.24) Observa-se que, com um valor elevado do ganho K, o efeito da perturbação é reduzido, ou seja a influência do distúrbio d(t) no erro de regime é bem menor que em malha aberta. Deve-se observar, no entanto, que em geral não é possível aumentar o ganho do controlador a vontade, já que restrições de comportamento dinâmico limitam este valor. Da Equação (4.3.23) observa-se ainda que a mesma ação que diminui o erro à referência, ou seja, o aumento do ganho, é a mesma que diminui o efeito da perturbação. 4.3.3 Sensibilidade O modelo do controle de velocidade foi obtido com a hipótese de que os valores dos parâmetros são conhecidos e constantes. Aqui vamos supor que uma mudança nos valores dos parâmetros mude o valor de Km para Km+ΔKm. Não vamos considerar a perturbação e portanto não consideraremos eventuais mudanças em Kd. Calcularemos a sensibilidade do ganho de malha aberta e do ganho em malha fechada com relação a variações de Km. 4.3.3.1 Sensibilidade do ganho de malha aberta em regime permanente O ganho do controle é o mesmo calculado anteriormente (K = 1/Km), e a entrada é um degrau de valor r0, como anteriormente. yrp/r0 = TMA + ΔTMA = K (Km + ΔKm) = 1/Km + ΔKmKm ΔTMA Então, ΔTMA/TMA = ΔKm/Km Aplicando-se a definição de sensibilidade tem-se S^{TMA}_{Km} = ΔTMA/TMA ΔKm/Km = 1 (4.3.25) No caso da malha aberta, uma variação paramétrica de 10% no parâmetro Km provoca 10% de variação no ganho em regime permanente. 4.3.3.2 Sensibilidade do ganho de malha fechada em regime permanente Para malha fechada no regime permanente TMF = KmK/(1+KmK) e o ganho é uma função não-linear do parâmetro Km. Usaremos então a Equação (4.2.13), para calcular a sensibilidade. EEL-DAS-UFSC 43 Assim para a M.F. temos STMF Km = Km TMF dTMF dKm = Km KmK 1+KmK K(1 + KmK) − K(KmK) (1 + KmK)2 = 1 1 + KmK Comparando-se este resultado com o caso de malha aberta, conclui-se que o sistema em malha fechada ´e menos sens´ıvel a varia¸c˜oes param´etricas. Esta sensibilidade pode ser reduzida aumentando o ganho do controlador. 4.3.4 Rastreamento Dinˆamico Um sistema de controle deve ser capaz n˜ao somente de rastrear um sinal de referˆencia constante ou rejeitar uma perturba¸c˜ao constante, como tamb´em de rastrear ou rejeitar sinais que variam no tempo. Isto est´a relacionado `a resposta dinˆamica do sistema, ou seja, a rapidez de resposta e amortecimento apresentado por esta resposta. Um controlador do tipo ganho constante, para o sistema de controle de velocidade que estamos considerando, em malha aberta, n˜ao tem efeito na dinˆamica do sistema, pois os p´olos s˜ao dados pelo denominador da fun¸c˜ao de transferˆencia 4.3.14, − 1 τ1 e − 1 τ2 e n˜ao dependem do controlador. Para o caso de malha fechada, no entanto, o mesmo controlador modifica a dinˆamica do sistema, j´a que os p´olos s˜ao as ra´ızes do denominador da fun¸c˜ao de transferˆencia 4.3.20. Da mesma maneira, a resposta ao dist´urbio n˜ao depende do controlador, no caso da malha aberta. Por´em o controlador afeta a resposta ao dist´urbio em malha fechada j´a que novamente os p´olos s˜ao as ra´ızes da fun¸c˜ao de transferˆencia 4.3.20. Uma escolha adequada do ganho K do controlador pode fornecer o desempenho transit´orio desejado, assegu- rando a capacidade de rastreamento dinˆamico do sistema. A melhor escolha do ganho K do controlador ´e um compromisso entre v´arios fatores: • Rapidez e pouca oscila¸c˜ao da resposta ao degrau do sinal de referˆencia, o que est´a associado `a posi¸c˜ao dos p´olos de malha fechada. • Pouca influˆencia do sinal de dist´urbio e baixo erro em regime permanente, o que est´a associado a ganhos elevados. Para conciliar estes requisitos, estruturas mais complexas de controladores podem ser necess´arios. No pr´oximo cap´ıtulo os requisitos de projeto e as estruturas de controladores s˜ao abordados em detalhe. 4.4 Rastreamento em regime permanente (precis˜ao) e tipo de sistema 4.4.1 Rastreamento e sinais padr˜ao Rastreamento se refere `a capacidade do sistema de controle de seguir (rastrear) uma referˆencia, ou seja, o erro entre a referˆencia e a sa´ıda do sistema de controle ´e nula ou pequena. O erro em regime permanente ´e definido como limt→∞(r(t) − y(t)). ´E importante observar que o estudo em regime permanente s´o tem sentido se o sistema atinge um regime permanente. Este problema est´a associado ao conceito de estabilidade., que ser´a estudado na pr´oxima se¸c˜ao. Aqui partimos da hip´otese de que o sistema ´e est´avel. O erro em regime permanente ´e em geral estudado para 3 sinais padr˜ao; o degrau, a rampa e a par´abola. A raz˜ao da escolha destes sinais se deve ao requisito que um sistema de controle deve atender em termos de capacidade de rastreamento. Consideremos um uma usina geradora de energia el´etrica. Um sistema de controle presente em todas as plantas geradoras ´e o sistema de controle de tens˜ao. O objetivo ´e simplesmente manter a tens˜ao constante. Neste caso a referˆencia ´e um degrau. Consideremos ainda o exemplo da planta de gera¸c˜ao. Um segundo la¸co de controle presente nestas plantas ´e o controle de freq¨uˆencia. Em determinados hor´arios do dia (por exemplo, de manh˜a cedo e ao final do dia h´a um aumento de carga, que em geral cresce na forma de uma rampa de carga. A gera¸c˜ao deve acompanhar a demanda e a referˆencia neste caso ´e uma rampa. Finalmente, consideremos um radar seguindo um avi˜ao que acelera com acelera¸c˜ao constante. Neste caso, a referˆencia do sistema de controle do radar ´e uma par´abola. 44 Capítulo 4: Propriedades Básicas de Sistemas Realimentados Para o caso mais geral, a entrada de referência é um sinal genérico. A entrada de referência, neste caso, pode ser representada por um polinômio obtido através da série de Taylor. Em muitas aplicações a trajetória de referência não é conhecida a priori e por esse motivo é comum utilizar-se os primeiros termos da série de Taylor como base para o problema de rastreamento. A motivação para isso é que se o erro de rastreamento em regime permanente for pequeno para os primeiros termos da série, ele também será pequeno para uma grande classe de sinais de referência. 4.4.2 Tipos de sistema Sistemas estáveis são classificados em tipos de sistemas conforme o grau do polinômio de entrada para o qual o erro em regime é constante. Assim, sistemas são do tipo 0, 1 e 2, se o erro é constante para polinômios de entrada de graus 0, 1 e 2, respectivamente. O tipo do sistema pode ser definido com respeito às entradas de referência e/ou perturbação. Suponha que a referência seja representada pela série r(t) = ∑_{k=0}^∞ t^k / k! (4.4.1) Usando superposição vamos analisar o erro para cada parcela da soma, isto é, r(t) = t^k/k!1(t), para um dado k, com transformada de Laplace correspondente dada por R(s) = 1/s^(k+1). Aqui 1(t) representa a função degrau unitário1. Vamos limitar o estudo até k = 2, mas tipos de sistema superiores a 2 poderiam ser definidos usando o mesmo princípio. A tabela a seguir resume os sinais padrão a serem usados. | k | r(t) | |---|--------------------------------------| | 0 | degrau unitário | | 1 | rampa unitária (inclinação 1) | | 2 | parábola unitária(derivada segunda com inclinação 1) | As parcelas acima recebem o nome de referência em posição (k = 0), velocidade (k = 1) e aceleração (k = 2). 4.4.2.1 Tipos de sistemas quanto a entrada de referência Para calcular o erro de regime permanente para a entrada de referência devemos obter a função de transferência de r(t) para e(t). O sistema considerado é mostrado na Figura 4.3. Figura 4.3: Sistema para o cálculo do erro em regime A função de transferência T(s), entre entrada e saída, é: Y(s) / R(s) = G(s) / 1+G(s)H(s) (4.4.2) onde T(s) é a função de transferência de malha fechada. Como E(s) = R(s) – Y(s) segue que E(s) = (1 – T(s))R(s) Esta é a equação geral do erro e pode ser usada em regime permanente ou transitório. O interesse aqui é o cálculo do erro em regime permanente. 1 A função degrau unitário é comumente representada por u(t) EEL-DAS-UFSC 45 Supondo-se que todos os p´olos de sE(s) est˜ao no semi-plano esquerdo do plano complexo (parte real negativa), o que ´e verdade desde que o sistema foi suposto est´avel, pode-se aplicar o teorema do valor final para se obter o erro em regime permanente. erp = lim s→0 sE(s) = lim s→0 s1 − T (s) sk+1 = lim s→0 1 − T (s) sk (4.4.3) Se este limite for constante e n˜ao nulo ent˜ao o sistema ´e do tipo k. A Tabela 4.1 a seguir resume o resultado para para k = 0, 1, 2. Note pela express˜ao do limite que um sistema do tipo 1 apresenta erro constante para rampa Tabela 4.1: Caracteriza¸c˜ao do tipo de sistemas k lim s→0 1 − T (s) sk tipo do propriedade sistema 0 constante 0 erro constante para o degrau 1 constante 1 erro constante para a rampa 2 constante 2 erro constante para a par´abola e conseq¨uentemente erro nulo para degrau ( k = 0 ). Um sistema do tipo 2 tem erro constante para a par´abola e erros nulos para o degrau e a rampa. Tipos de sistema no caso de realimentac¸˜ao unit´aria No caso de realimenta¸c˜ao unit´aria a identifica¸c˜ao do tipo de sistema ´e direta. O sistema considerado ´e mostrado na Figura 4.4. D(s) Σ G(s) Σ R(s) E(s) Y (s) + − + − Figura 4.4: Sistema com realimenta¸c˜ao unit´aria Neste caso tem-se que 1 − T (s) = 1 − G(s) 1 + G(s) = 1 1 + G(s) e o erro ´e dado por E(s) = 1 1 + G(s)R(s) Usando-se o teorema do valor final temos erp = lim s→0 sE(s) = lim s→0 s 1 (1 + G(s))sk+1 = lim s→0 1 (1 + G(s))sk (4.4.4) Para um degrau k = 0 e, se o sistema ´e do tipo 0, o erro ´e constante e diferente de zero e dado por: erp = 1 1 + G(0) = 1 1 + Kp (4.4.5) onde KP = lim s→0 G(s) (4.4.6) recebe o nome de ganho est´atico ou constante de erro de posic¸˜ao. Para uma entrada em rampa, k = 1, temos erp = lim s→0 1 (1 + G(s))s = lim s→0 1 s G(s) (4.4.7) EEL-DAS-UFSC 47 O erro de regime permanente para uma entrada degrau unit´ario ´e ent˜ao dado por erp = lim s→0 sE(s) = lim s→0 s1 + (h − 1)G 1 + h G 1 s = h − 1 h Para h ̸= 1 (realimenta¸c˜ao n˜ao unit´aria) o sistema ´e do tipo 0 (embora exista um integrador). Para h = 1, ess = 0 e o sistema ´e do tipo 1. 4.4.2.2 Tipo do Sistema com Relac¸˜ao `a entrada de Perturbac¸˜ao Da mesma forma como definimos tipo de sistema para entrada referˆencia, podemos definir tipo de sistema para entradas de perturba¸c˜ao. No caso da perturba¸c˜ao, ´e importante entender o significado do erro. Para isto, consideramos a referˆencia como zero. O erro ser´a e(t) = r(t) − y(t) = −y(t). Portanto, em regime permanente erp = lim s→0 s E(s) = − lim s→0 s Y (s) Portanto, para calcular o erro `a entrada de perturba¸c˜ao basta obter a fun¸c˜ao de transferˆencia entre perturba¸c˜ao e sa´ıda e aplicar a mesma id´eia anterior, isto ´e, o sistema ´e do tipo 0 se perturba¸c˜oes do tipo degrau resultam um erro constante em regime permanente. Ser´a do tipo 1 se uma perturba¸c˜ao rampa ocasiona um erro constante e assim por diante. A sa´ıda ´e calculada, com R(s) = 0, por Y (s) = Td(s)D(s) (4.4.12) onde Td ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia entre a entrada de perturba¸c˜ao e a sa´ıda. Para o caso especial de realimenta¸c˜ao unit´aria, o tipo do sistema ser´a determinado pelo n´umero de integradores localizados antes do ponto onde a perturba¸c˜ao ´e injetada. Um sistema do tipo 1 implica que a perturba¸c˜ao constante (degrau) n˜ao afeta a sa´ıda em regime permanente. Do mesmo modo, para um sistema do tipo 2, perturba¸c˜oes constantes ou em rampa n˜ao afetam a sa´ıda. Exemplo 4.4.2 Tipo de sistema para um motor CC. Seja o sistema de controle de posi¸c˜ao com motor DC, repre- sentado na Figura 4.6. θ ω − + + + D(s) R(s) Y (s) ✲ ❄ ❄ ✲ ✲ ✲ ✻ ✛ ✲ Kl K 1 s A τs + 1 Figura 4.6: Sistema de controle de posi¸c˜ao com motor CC Os parˆametros s˜ao τ = 1, A = 1, Kl = 1. Determine o tipo do sistema e propriedades com respeito `a: a. referˆencia em degrau; b. perturba¸c˜ao em degrau; c. referˆencia em rampa. 48 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados Solu¸c˜ao: a. F.T. de r para y (d = 0) T (s) = 1 s(s + 1) + k Erro do sistema: E(s) = R(s)[1 − T (s)] = s(s + 1) + k − 1 (s(s + 1) + k R(s) Para entrada em degrau R(s) = 1 s erp = lim s→0 ss(s + 1) + k − 1 s(s + 1) + k .1 s = k − 1 k Para k ̸= 1 temos erp ̸= 0 embora exista um integrador no canal direto e o sistema ´e do tipo 0. Vamos alterar um pouco a estrutura para considerar o caso onde a realimenta¸c˜ao ´e unit´aria, como mostrado na Figura 4.7. W(s) Kl Σ K Σ A s(τs + 1) R(s) Y (s) + − + − 4 Figura 4.7: Configura¸c˜ao com realimenta¸c˜ao unit´aria Neste caso, o integrador no canal direto ´e capaz de eliminar erros da resposta ao degrau. Agora a nova fun¸c˜ao de transferˆencia ´e Y (s) R(s) = T (s) = k s(s + 1) + k e para R(s) = 1 s (degrau unit´ario) temos erp = lim s→0 sE(s) = 0 para qualquer K. b. Para as duas configura¸c˜oes a fun¸c˜ao de transferˆencia do dist´urbio para a sa´ıda Y ´e Y (s) D(s) = Td(s) = 1 s(s + 1) + k e para um dist´urbio constante (degrau unit´ario) temos erp = Yrp = 1 k sistema tipo 0. Logo o sistema ´e incapaz de rejeitar a perturba¸c˜ao completamente. O integrador no canal direto n˜ao ´e capaz de eliminar o erro de regime porque o dist´urbio ´e injetado antes do integrador. Em resumo: A F.T. de r para e, na figura (a) com k = 1 e na figura (b) com k arbitr´ario, ´e E(s) R(s) = s(s + 1) s(s + 1) + k A presen¸ca do zero na origem (”zero bloqueante”) provocou erro nulo para degrau de referˆencia. Como n˜ao existe zero bloqueado na F.T. E(s) w(s) o sistema n˜ao ´e capaz de rejeitar perturba¸c˜oes constantes. EEL-DAS-UFSC Fazendo-se a multiplicação dos fatores, tem-se a(s) = aₙ [sⁿ - (∑pi)sⁿ⁻¹ + (∑ das raízes combinadas duas a duas) sⁿ⁻² (i) - (∑ das raízes combinadas três a três)sⁿ⁻³ + ... + (-1)ⁿ(p₁p₂...pₙ)] Observa-se que uma raiz nula implica no termo independente nulo. No caso de um sistema de controle, se o polinômio denominado da função de transferência tiver o termo independente nulo, isto já implica em sistema instável. Qualquer outro coeficiente nulo só pode ocorrer se existirem raízes com sinais opostos. Também da Equação (4.5.7) segue que, se o sistema for estável, então cada coeficiente do polinômio será positivo. Uma mudança de sinal nos coeficientes do polinômio já indica raízes no lado direito fechado do plano complexo. No entanto, embora as condições de que todos os coeficientes sejam diferentes de zero e não apresentem mudança de sinal sejam necessárias, elas ainda não são suficientes para garantir que todas as raízes estão no lado esquerdo plano complexo. Em 1874 Routh desenvolveu um critério direto de estabilidade, que permite verificar a localização das raízes de um polinômio sem que elas sejam explicitamente calculadas. Este critério usa a tabela ou arranjo mostrado a seguir. sⁿ aₙ aₙ-₂ aₙ-₄ ... sⁿ⁻¹ aₙ-₁ aₙ-₃ aₙ-₅ ... sⁿ⁻² b₁ b₂ b₃ ... sⁿ⁻³ c₁ c₂ c₃ ... : : s² * * s¹ * s⁰ * onde: | aₙ aₙ-₂ | b₁ = | ------------------------- | = aₙaₙ-₂ - aₙaₙ-₃ | aₙ-₁ aₙ-₃ | aₙ-₁ | aₙ aₙ-₄ | b₂ = | ---------------------- | = (aₙaₙ-₄ - aₙaₙ-₅) | aₙ-₁ aₙ-₅ | ------------ aₙ-₁ | aₙ aₙ-₆ | b₃ = | ---------------- | = (aₙaₙ-₆ - aₙaₙ-₇) | aₙ-₁ aₙ-₇ | ------------ aₙ-₁ | aₙ-₁ aₙ-₃ | c₁ = | ----------------------- | = b₁aₙ-₃ - aₙ-₁b₂ | b₁ b₂ | ---------------------- b₁ | aₙ-₁ aₙ-₅ | c₂ = | ------------------ | = (b₁aₙ-₅ - aₙ-₁b₃) | b₁ b₃ | ---------------- b₁ | aₙ-₁ aₙ-₇ | c₃ = | --------------------- | = (b₁aₙ-₇ - aₙ-₁b₄) | b₁ b₄ | -------------------- b₁ Este arranjo é construído seguindo um procedimento sistemático. 1. Na linha correspondente a sⁿ colocam-se os coeficientes do polinômio em ordem decrescente com relação ao grau dos termos, começando com o grau n, e pulando o coeficiente seguinte. Assim, os coeficientes de grau n - 2, n - 4 e assim sucessivamente, são posicionados. 2. Na linha seguinte, correspondente a sⁿ⁻¹, colocam-se os coeficientes do polinômio que foram pulados na primeira linha, em ordem decrescente quanto ao grau. 3. Os coeficientes das linhas seguintes são calculados usando as duas linhas anteriores, como indicado acima. 4. Para as linhas correspondentes aos termos s¹ e s⁰, existe apenas um termo. Critério de Routh O número de raízes no semi-plano direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela. Portanto todas as raízes estão no semi-plano esquerdo se todos os elementos da primeira coluna da tabela tiverem o mesmo sinal (positivos se aₙ > 0). Exemplo 4.5.1 O polinômio a(s) = s⁶ + 4s⁵ + 3s⁴ + 2s³ + s² + 4s + 4 possui todos os coeficientes positivos. Verifique se todas as raízes estão no SPE. Solução: Construímos o arranjo de Routh, s⁶ 1 3 1 4 s⁵ 4 2 4 0 s⁴ b₁ b₂ b₃ s³ c₁ c₂ c₃ s² d₁ d₂ s¹ e₁ e₂ s⁰ f₁ onde os elementos são calculados por | - 1 3| 5 b₁ = |---------------| = ----- | 4 2| 2 4 - | 1 1 | 0 b₂ = |-----------------| = -- | 4 4| 4 | - 1 4| B₃ = |--------------| = 4 | 4 0| ---------- 4 | - 4 2| c₁ = |---------------| = 2 | 2,5 0| c₂ = | - 4 4| = - 12 | 2,5 5| 5 -------------------- 2,5 | - 4 0| c₃ = |--------------| = 0 | 2,5 0| --------------- 2,5 |- 2,5 0 | |---------------| d₁ = |--------------| = 3 | 2 -12/5| |- 2,5 4 | d₂ = |---------------| = 4 | 2 0 | --------------- 2 | - 2 - 12/5 | |----------------| e₁ = |---------------| = - 76/15 | 3 4 | ------------------------------- 3 | - 2 0 | e₂ = |---------------| = 0 | 3 0 | ------------------- 3 | - 3 4 | f₁ = |----------------| = 4 | -76/15 0 | Como existem 2 trocas de sinal nos elementos da primeira coluna, concluímos que existem 2 raízes fora do SPE. 4.5.3.1 Propriedades e casos especiais Existem algumas propriedades que simplificam a aplicação do critério de Routh-Hurwitz ou permitem resolver alguns casos especiais, como o aparecimento de zeros na primeira coluna. Estes resultados são teoremas, mas não apresentaremos demonstrações destes resultados. Teorema 1 (Divisão ou multiplicação de uma linha por um número) Os coeficientes de qualquer linha po- dem ser multiplicados ou divididos por um número positivo. Exemplo 4.5.2 A ser apresentado em aula EEL-DAS-UFSC 53 Teorema 2 (Coeficiente nulo na primeira coluna) Quando o primeiro elemento de uma das linhas for nulo, mas existem elementos diferentes de zero na mesma linha, 3 procedimentos podem ser usados para aplicar o crit´erio de Routh-Hurwitz: 1. Substituir s por 1 x, onde x ´e uma nova vari´avel em fun¸c˜ao da qual o polinˆomio ser´a escrito. A tabela ´e ent˜ao constru´ıda usando o novo polinˆomio. 2. Multiplicar o polinˆomio por (s + a), com a > 0. Por conveniˆencia, escolhe-se a = 1. O procedimento introduz uma raiz no polinˆomio localizada no semi-plano esquerdo e portanto n˜ao altera o resultado do crit´erio de Routh-Hurwitz. 3. Substituir o zero por ε ̸= 0, pequeno e com o mesmo sinal do termo da linha anterior, na primeira coluna, e prosseguir com a aplica¸c˜ao do m´etodo. O sinal dos elementos da primeira coluna ´e determinado considerando que ε → 0. Exemplo 4.5.3 A ser apresentado em aula Teorema 3 (Uma linha nula) Quando todos os elementos de uma linha forem nulos o polinˆomio tem ra´ızes sobre o eixo imagin´ario ou reais sim´etricas em rela¸c˜ao ao eixo imagin´ario. Para o caso de sistemas de controle isto j´a indica instabilidade, mas a aplica¸c˜ao do crit´erio de Routh-Hurwitz produz informa¸c˜oes importantes sobre a natureza das ra´ızes do sistema e ´e interessante prosseguir com a aplica¸c˜ao do crit´erio. Se a i-´esima linha ´e nula, formamos o seguinte polinˆomio auxiliar a1(s) = β1si+1 + β2si−1 + β3si−3 + . . . (4.5.7) onde βi s˜ao os coeficientes da linha anterior (i − 1). Em seguida substitu´ımos a linha nula pela linha formada com os coeficientes da derivada de a1(s) e completamos a tabela. Ao resultado obtido com a tabela deve-se adicionar o fato de que as ra´ızes de a1(s) tamb´em s˜ao ra´ızes de a(s). Exemplo 4.5.4 Dado o polinˆomio a(s) = s5 + 5s4 + 11s3 + 23s2 + 28s + 12 (4.5.8) s5 1 11 28 s4 5 23 12 s3 6, 4 25, 6 s2 3 12 s1 0 0 ←− a1(s) = 3s2 + 12 Nova s1 6 0 ←− da1 ds = 6s s0 12 N˜ao h´a mudan¸ca de sinal na primeira coluna, logo todas as ra´ızes est˜ao no semi-plano esquerdo, exceto aquelas ra´ızes que tamb´em s˜ao ra´ızes de a1(s) e que estiverem sobre o eixo imagin´ario a1(s) = s2 + 4 = 0 e, portanto s = ±2j Uma aplica¸c˜ao importante do crit´erio de Routh-Hurwitz em sistemas de controle ´e a determina¸c˜ao da faixa de valores de um parˆametro para o qual o sistema ´e est´avel. O exemplo a seguir ilustra esta aplica¸c˜ao. Exemplo 4.5.5 Determine a faixa de ganho K para a qual o sistema da Figura ??, ´e est´avel. Σ K s + 1 s(s − 1)(s + 6) R(s) Y (s) + − A equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e 1 + K s + 1 s(s − 1)(s + 6) = 0 54 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados ou s3 + 5s2 + (K − 6)s + K = 0 Aplicando-se o crit´erio de Routh temos s3 1 K − 6 s2 5 K s1 5(K−6)−K 5 0 s0 K Para a estabilidade devemos ter K > 0 e 5K − 30 − K > 0 e portanto K > 30 4 4.5.3.2 Estabilidade relativa Algumas vezes h´a interesse em saber n˜ao somente se o sistema ´e est´avel, mas tamb´em se todas as ra´ızes est˜ao em uma regi˜ao a esquerda de uma linha, por exemplo, a esquerda de s = −σ1, com σ1 > 0. O crit´erio de Routh-Hurwitz pode ainda ser aplicado, com uma transla¸c˜ao de eixos, movendo a origem para s = −σ1. A transla¸c˜ao do eixo ´e dada por s = z − σ1 (4.5.9) Observe que a origem na referˆencia s deve corresponder a σ1 na referˆencia z e portanto a transforma¸c˜ao a ser usada ´e f´acil de ser determinada. Exemplo 4.5.6 Para o sistema com equa¸c˜ao caracter´ıstica s3 + 72 + 25s + 39 = 0 (4.5.10) deseja-se testar se todas as ra´ızes est˜ao a esquerda de −1. Usamos a transforma¸c˜ao s = z − 1, e obtemos a nova equa¸c˜ao caracter´ıstica z3 + 4z2 + 14z + 20 = 0 (4.5.11) Formando-se o arranjo de Routh obt´em-se z3 1 14 z2 4 20 z1 9 z0 20 Portanto, todas as ra´ızes da equa¸c˜ao original est˜ao a esquerda de s = −1 no plano s. 4.5.4 Lugar das ra´ızes A t´ecnica do Lugar Geom´etrico das Ra´ızes (LGR) ou simplesmente Lugar das Ra´ızes (LR) ´e um m´etodo gr´afico para plotar o lugar das ra´ızes no plano s correspondente `a varia¸c˜ao de um parˆametro do sistema. Este m´etodo fornece uma medida da sensibilidade das ra´ızes do sistema a uma varia¸c˜ao do parˆametro em considera¸c˜ao. O m´etodo permite avaliar o ajuste de parˆametros do sistema de forma a se obter uma resposta satisfat´oria no que diz respeito ao lugar geom´etrico das ra´ızes. O princ´ıpio b´asico do m´etodo ´e a rela¸c˜ao existente entre os p´olos da Fun¸c˜ao de Transferˆencia em Malha Fechada (FTMF) e os p´olos e zeros da Fun¸c˜ao de Transferˆencia em Malha Aberta (FTMA) e o seu ganho. As principais vantagens do m´etodo s˜ao as seguintes: • a solu¸c˜ao exata e detalhada dos regimes transit´orios e permanente pode ser obtida facilmente. Isto devido ao fato de os p´olos de malha fechada serem diretamente obtidos do lugar geom´etrico das ra´ızes. • solu¸c˜oes aproximadas podem ser obtidas com uma consider´avel redu¸c˜ao de trabalho, quando solu¸c˜oes exatas n˜ao s˜ao requeridas. O objetivo desta se¸c˜ao ´e a apresenta¸c˜ao do m´etodo de constru¸c˜ao do lugar geom´etrico das ra´ızes e a interpreta¸c˜ao dos resultados. EEL-DAS-UFSC Figura 4.8: Diagrama de blocos do sistema de 2a. ordem Exemplo 4.5.7 Exemplo introdutório Considere o sistema de controle em MF mostrado na Figura 4.8. A FTMF deste sistema de 2a ordem é igual a Y(s) K/(s(s+p)) K ------- = ------------- = ----------- R(s) 1 + K/s(s+p) s² + ps + K onde a equação característica é expressa como a(s) = s² + ps + K = 0 A aplicação do critério de Routh-Hurwitz nesta equação fornece s² | 1 | K s¹ | a | 0 s⁰ | K O sistema é estável se K > 0 e p > 0. Se uma destas (ou as duas simultaneamente) condições não for satisfeita (isto é, K < 0 e/ou p < 0), o sistema será instável. Variação das raízes da equação característica a(s) = 0 As raízes da equação característica mostrada anteriormente são dadas por -p ± √(p² - 4K) s₁,₂ = ------------------------ 2 para as quais são observados os seguintes casos: 4K < p²: raízes reais e diferentes 4K = p²: raízes reais e iguais 4K > p²: raízes complexas conjugadas Vamos estudar a variação da posição dos pólos da função de transferência, ou seja, das raízes da equação característica para dois parâmetros, o ganho K e o parâmetro p, o qual está associado à posição do pólo de malha aberta. 1. Supondo p = 2, observe a variação das raízes para -∞ < K < +∞. As raízes da equação característica são dadas, neste caso, por s₁,₂ = -1 ± √1 - K. Para diferentes faixas de variação do ganho tem-se: -∞ < K < 0: 2 raízes, uma positiva e outra negativa K = 0: s₁ = 0 e s₂ = -2; ou seja, as raízes são os pólos da FTMA 0 < K < 1: s₁ e s₂ são números reais negativos K = 1: s₁ = s₂ = -1 1 < K < +∞: raízes complexas conjugadas com partes reais iguais a -1 O lugar das raízes é apresentado na Figura 4.9. 2. Supondo agora que o ganho K é mantido constante com valor K = 1, vamos determinar o lugar geométrico das raízes para 0 < p < +∞ As raízes da equação característica são dadas por (p )² ( √4K - p²) s₁,₂ = ( ----------)² ± ( ------------)² 2 2 56 Capítulo 4: Propriedades Básicas de Sistemas Realimentados Figura 4.9: LGR para variações −∞ < K < +∞, com p = 2 Para diferentes faixas de variação de p tem-se: p = 0: s1,2 = ±j√K (raízes complexas e iguais) p > 0 4K > p²} duas raízes complexas conjugadas, com parte real igual a -p/2 p² = 4K : duas raízes reais, ambas iguais a -p/2 p² > 4K p > 0 } duas raízes reais, uma positiva e outra negativa O lugar das raízes é mostrado na Figura 4.10. Figura 4.10: LGR para variações 0 < a < +∞ EEL-DAS-UFSC 57 Este exemplo mostra que ´e poss´ıvel plotar o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes com rela¸c˜ao a varia¸c˜ao de qual- quer parˆametro do sistema, embora geralmente seja o ganho o parˆametro vari´avel. Voltaremos a esta quest˜ao posteriormente. 4.5.4.1 Fundamentos Te´oricos do LGR Considere o caso geral do sistema de controle com realimenta¸c˜ao mostrado na Figura 4.11, onde o ganho K foi representado explicitamente. Em todo o desenvolvimento a seguir, vamos considerar o ganho como o parˆametro vari´avel. Σ K G(s) R(s) Y (s) + − Figura 4.11: Sistema de controle com realimenta¸c˜ao A fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por G(s) = sm + b1sm−1 + · · · + bm sn + a1sn−1 + · · · + an = b(s) a(s) (4.5.12) e Y (s) R(s) = KG(s) 1 + KG(s) ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia em malha fechada. O m´etodo do Lugar Geom´etrico das Ra´ızes plota as ra´ızes do denominador da fun¸c˜ao de transferˆencia Y (s) R(s), isto ´e, de a(s) = 1 + KG(s). A determina¸c˜ao dos p´olos da FTMF ´e feita a partir da equa¸c˜ao caracter´ıstica 1 + KG(s) = 0. A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao fornece KG(s) = −1 (4.5.13) Esta equa¸c˜ao pode ser desdobrada em duas outras: |KG(s)| = 1 (4.5.14) chamada condi¸c˜ao de m´odulo e ∠KG(s) = (2l + 1)π, l = 0, ±1, ±2, ±3, · · · (4.5.15) chamada condi¸c˜ao de ˆangulo. Estas equa¸c˜oes, chamadas equa¸c˜oes de pertinˆencia, por indicarem os pontos que pertencem ao lugar das ra´ızes, estabelecem as duas condi¸c˜oes que devem ser satisfeitas para que um ponto st do plano complexo seja um p´olo em malha fechada: 1. O ˆangulo de KG(st) deve corresponder ao semi-eixo real negativo do plano-s, ou seja, deve ser −180◦ ou um m´ultiplo ´ımpar de −180◦ 2. O m´odulo de KG(st) deve ser unit´ario. Observe que a condi¸c˜ao de m´odulo ´e equivalente a |G(s)| = 1 K Como o parˆametro K ´e o parˆametro vari´avel, esta equa¸c˜ao ser´a satisfeita para qualquer ponto s do plano complexo. Portanto a condic¸˜ao de pertinˆencia que realmente decide se um ponto pertence ao lugar das ra´ızes ´e a condic¸˜ao de ˆangulo. A condi¸c˜ao de m´odulo ´e usada apenas para determinar qual o ganho para o qual o ponto ´e um p´olo da malha fechada. 58 Capítulo 4: Propriedades Básicas de Sistemas Realimentados Figura 4.12: Sistema de controle com realimentação Observação 1 No desenvolvimento anterior para chegar às condições de pertinência, consideramos o sistema da Figura 4.11, onde a realimentação é unitária. No entanto, as condições de pertinência podem ser derivadas para o sistema com realimentação não-unitária, como representado na Figura 4.12. Neste caso, as condições de pertinência são |KG(s)H(s)| = 1 ∠KG(s)H(s) = (2l + 1)π, l = 0, ±1, ±2, ±3, ⋯ A regra geral é usar a função de transferência de malha aberta. É interessante interpretar as condições de pertinência em termos geométricos. Para isto basta usar a interpretação de números complexos como vetores no plano complexo. Considerando a função de transferência G(s), com pólos dados por pi, i = 1, … n e zeros zj,j = 1 … m, calculada em um ponto teste do plano complexo st G(s) = \frac{(st - z1)(st - z2) … (st - zm)}{(st - p1)(st - p2) … (st - pn)} Cada termo st − zj corresponde a um vetor do ponto zj ao ponto st, com módulo |st − zj| e ângulo θzj. Do mesmo modo, cada termo st − pi corresponde a um vetor do ponto pi ao ponto st, com módulo |st − pi| e ângulo θpi. Portanto, para que o ponto st pertença ao lugar das raízes, deve-se ter que ∑_{j = 1}^{m} θzj − ∑_{i = 1}^{n} θpi = −180° A construção do lugar geométrico das raízes para um sistema particular é iniciada com a localização dos pólos e zeros de malha aberta no plano complexo. Outros pontos do LGR podem ser obtidos, escolhendo-se vários pontos do teste, e determinando se eles satisfazem ou não a condição de ângulo. O ângulo de G(s) pode ser facilmente obtido em qualquer ponto de teste no plano complexo, através da medição dos ângulos que contribuem a ele (pólos e zeros da FTMA). Por exemplo, considere o sistema de controle por realimentação onde, FTMA = G(s) = \frac{K(s + z1)(s + z2)}{s(s + p2)(s + p3)}, K > 0 e p1 = 0 Num ponto de teste st, G(s) tem o valor: G(st) = \frac{K(st + z1)(st + z2)}{st(st + p2)(st + p3)} O ângulo de G(s) é ∠G(st) = ∑ ângulos(zeros) − ∑ ângulos(pólos) ou seja, ∠G(st) = ∠(st + z1) + ∠(st + z2) − [∠(st) + ∠(st + p2) + ∠(st + p3)] A Figura 4.13 ilustra geometricamente o cálculo do ângulo de G(st). O ponto de teste st pertence ao lugar geométrico das raízes se e somente se (θz1 + θz2) − (θp1 + θp2 + θp3) = ±180°, ±540°, ⋯ • |G(st)| = 1, ou seja, K = \frac{|st| |st + p2| |st + p3|}{|st + z1| |st + z2|} EEL-DAS-UFSC 59 × × × ◦ ◦ z2 θz2 p3 θp3 p2 θp2 z1 θz1 p1 θp1 Figura 4.13: C´alculo do ˆangulo de fase de G(s) Se a soma alg´ebrica dos ˆangulos ´e igual a ±l180◦, l = 1, 3, 5 · · · o ponto st pertence ao LGR. Caso contr´ario, st n˜ao pertence ao LGR e um novo ponto dever´a ser testado. No primeiro caso, as magnitudes dos vetores (st + zi), i = 1, n e (st + pj), j = 1, m s˜ao determinadas e substitu´ıdas na equa¸c˜ao do m´odulo de G(s), para o c´alculo do valor do ganho K no ponto st. Felizmente, a constru¸c˜ao do LGR n˜ao implica numa busca infinita no plano complexo. Desde que os zeros da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas dos coeficientes, o LGR ´e uma curva cont´ınua, e, por conseguinte, deve ter certas formas gerais governadas pelo n´umero e posi¸c˜ao dos p´olos e zeros de malha aberta. Uma vez estabelecidas as regras de constru¸c˜ao, a plotagem do LGR deixar´a de ser tediosa e lenta. A seguir s˜ao apresentadas as regras b´asicas que auxiliam na determina¸c˜ao aproximada do LGR. 4.5.4.2 Regras Para a Construc¸˜ao do LGR (0 ≤ K < ∞) N´umero de ramos O n´umero de lugares geom´etricos separados ´e igual a ordem da equa¸c˜ao caracter´ıstica. Por- tanto, tem-se tantas ra´ızes (ou ramos) do lugar das ra´ızes quanto for a ordem da equa¸c˜ao caracter´ıstica. Cada segmento ou ramo do lugar descreve a varia¸c˜ao de um p´olo particular do sistema em malha fechada, quando o ganho K varia na faixa 0 ≤ K < +∞ Comec¸o e t´ermino do LR Os p´olos de malha aberta definem o come¸co do LGR (K = 0) e os zeros de MA definem o fim do LGR (K → +∞). Isso pode ser facilmente mostrado considerando a equa¸c˜ao |G(st)| = 1 = K|st + z1||st + z2| |st||st + p2||st + p3| • Nos p´olos de malha aberta (st = 0, st = −p2 e st = −p3), K deve ser igual a zero para satisfazer a equa¸c˜ao |G(st)| = 1. • Nos zeros de MA (st = −z1 e st = −z2), K deve tender a +∞ para que |G(st)| = 1. Quando a ordem de denominador da FTMA for maior do que a do numerador, o lugar geom´etrico terminar´a em zeros no infinito. O n´umero de zeros no infinito ´e a diferen¸ca n − m entre o n´umero de p´olos e o n´umero de zeros. Sec¸˜oes do eixo real que fazem parte do LR Se¸c˜oes do eixo real fazem parte do LGR se o n´umero de p´olos e zeros `a direita de um ponto de explora¸c˜ao no eixo ´e ´ımpar. Esta regra ´e conseq¨uˆencia direta da condi¸c˜ao de pertinˆencia angular. P´olos e zeros sobre o eixo real, `a esquerda do ponto teste, contribuem com ˆangulo zero e portanto n˜ao tem influˆencia na condi¸c˜ao angular. Se o n´umero de p´olos e zeros a direita for par, a contribui¸c˜ao total ser´a um m´ultiplo de 360◦ e portanto n˜ao atende `a condi¸c˜ao angular. Ass´ıntotas e zeros no infinito Para K → ∞ a equa¸c˜ao G(s) = − 1 K ser´a satisfeita para valores de s tais que G(s) = 0. A condi¸c˜ao G(s) = (s − z1)...(s − zm) (s − p1)...(s − pn) = 0 60 Capítulo 4: Propriedades Básicas de Sistemas Realimentados Figura 4.14: Pontos de separação do eixo real pode ocorrer em duas situações: 1. s = zi com i = 1,… ,m, quando m = n, ou seja, para o mesmo número de pólos e zeros. 2. s → ∞ no caso onde n > m, ou seja o número de pólos é maior que o número de zeros. Portanto, se m é o número de zeros finitos e n é o número de pólos finitos, n − m seções do LGR terminam no infinito, tendendo para zeros no infinito. Para K → ∞ m pólos convergem para os m zeros {z1, ..., zm} e os n − m pólos restantes convergem para o infinito seguindo assíntotas que podem ser determinadas da seguinte forma. Visto do infinito a equação característica pode ser aproximada por G(s)s→∞ ≈ \frac{1}{(s − α)n−m} = \frac{−1}{K} onde α = \frac{∑Pi − ∑zi}{n − m} é o pôlo médio “visto do infinito” que tem multiplicidade n − m e está sobre o eixo real. Os ângulos das assíntotas ao lugar das raízes são dados por φl = \frac{(1 + 2l)180°}{n − m} onde, l = 0, 1, 2, 3, ⋯ , (n − m − 1). A interseção das assíntotas com o eixo real acontece em σ0, dado por σ0 = \frac{(∑pólos − ∑zeros)}{(n − m)} onde n e m são os mesmos anteriormente definidos. O valor de σ0 é basicamente o centróide da configuração de pólos e zeros em MA. Pontos de separação ou múltiplas raízes O ponto de separação do LGR do eixo real corresponde ao ponto onde um ramo deixa ou entra no eixo real. Este ponto corresponde à existência de raízes múltiplas. O ponto de separação corresponde à saída do eixo real se ocorrer entre dois pólos e à entrada no eixo real se ocorrer entre dois zeros. A Figura 4.14 ilustra estes casos. Para o caso de dois pólos, observa-se que o ganho parte de zero e aumenta até um valor máximo, quando então o ramo deixa o eixo real. Para o caso de dois zeros, o ramo entra no eixo real com um valor mínimo e então aumenta para infinito quando atinge os zeros. Portanto pontos de separação correspondem a pontos de máximo ou mínimo da função K = \frac{−1}{G(s)} (4.5.18) Os pontos de separação podem então ser facilmente obtidos calculando-se a derivada da função K(s) = \frac{−1}{G(s)}, com relação a s e igualando-se a zero. d(\frac{−1}{G(s)}) ds = 0 (4.5.19) EEL-DAS-UFSC 61 Intersec¸˜ao com o eixo imagin´ario A intersec¸c˜ao do LGR com o eixo imagin´ario pode ser determinada atrav´es do crit´erio de Routh-Hurwitz. ˆAngulo de partida (chegada) de p´olos (zeros) complexos Quando existirem p´olos e zeros complexos, ra- mos do lugar das ra´ızes saem ou chegam destes p´olos e zeros, respectivamente. O ˆangulo de sa´ıda de um p´olo (ou chegada a um zero) complexo pode ser calculado aplicando-se a condi¸c˜ao de pertinˆencia angular ∠G(s) = (2n + 1)π, n = 0, ±1, ±2, · · · Como desejamos apenas determinar a dire¸c˜ao na qual o lugar das ra´ızes se afasta do p´olo ou se aproxima do zero, podemos tomar um ponto teste pr´oximo ao p´olo (ou zero). A condi¸c˜ao angular pode ser aplicada a este ponto, que deve pertencer ao lugar das ra´ızes. A interpreta¸c˜ao geom´etrica da condi¸c˜ao angular ´e ´util para entender o m´etodo. Como o ponto ´e pr´oximo ao p´olo (ou zero), mantemos como inc´ognita apenas o ˆangulo do vetor que parte do p´olo (ou zero) cuja dire¸c˜ao do lugar das ra´ızes deseja-se determinar. Os ˆangulos dos vetores que partem dos demais p´olos e zeros do sistema e terminam no ponto teste, s˜ao aproximados pelos ˆangulos dos vetores que partem destes p´olos e zeros e terminam no p´olo (ou zero), cuja dire¸c˜ao do lugar das ra´ızes deseja-se determinar. Para ilustrar este m´etodo, considere o sistema G(s) = K(s + 1) s(s2 + 4s + 8) que, para K = 0 fornece o diagrama inicial mostrado na Figura 4.15, com p1 = 0, p2 = −2−j2 e p3 = −2−j2. × × × ◦ p3 θp3 p2 θp2 z1 θz1 p1 θp1 st Figura 4.15: ˆAngulo de sa´ıda de um p´olo Observe que se o ponto estiver muito pr´oximo da raiz considerada, os ˆangulos θp1, θp3 e thetaz1 ser˜ao aproximadamente iguais a 135◦, 90◦ e 116.6◦, respectivamente. Aplicando-se a condi¸c˜ao de pertinˆencia de ˆangulo, tem-se: θz1 − θp1 − θp2 − θp3) = −180◦ ou usando-se as aproxima¸c˜oes, 116.6◦ − 135◦ − θp2 − 90◦ = −180◦ e segue que a dire¸c˜ao de afastamento do lugar das ra´ızes de p2 ´e θp2 = −71.6◦ Uma vez esbo¸cado o LGR utilizando-se as regras apresentadas, a exatid˜ao gr´afica pode ser aumentada determinado- se a posi¸c˜ao exata de alguns pontos. Isto pode ser facilmente realizado usando-se a equa¸c˜ao do ˆangulo de G(s), isto ´e ∠G(s). O ganho K em qualquer ponto ´e determinado com auxilio da equa¸c˜ao do m´odulo de G(s), isto ´e |G(s)|. 62 Capítulo 4: Propriedades Básicas de Sistemas Realimentados Algumas observações sobre o LR 1. O parâmetro de interesse deve aparecer como fator multiplicativo. Se este parâmetro for o ganho K, a equação característica deve estar na forma 1 + KG(s) = 0 2. A função de transferência G(s) deve estar na forma mônica como mostrado a seguir 1 + KG(s) = 1 + K \frac{\prod_{i=1}^m (s + zi)}{\prod_{j=1}^n (s + pj)} Exemplo 4.5.8 : Dado a planta com função de transferência G(s) = \frac{K}{s(s + 4)(s + 5)} determinar o LGR para o sistema em malha fechada com realimentação unitária. Não há necessidade de seguir rigorosamente a sequência das regras dadas. Mas aqui seguiremos o procedimento na sequência indicada. Número de seções do LGR Como o sistema é de terceira ordem tem-se 3 ramos no lugar das raízes. Pólos e zeros de malha aberta Os pólos e zeros de malha aberta definem o começo e fim do lugar das raízes. O número de pólos da FTMA é 3, p1 = 0, p2 = -4 e p3 = -5. Logo n = 3. O número de zeros finitos da FTMA é zero. Logo m = 0. Posicionamos os pólos no plano complexo, como mostrado na Figura 4.16. Pontos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes Os segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes estão entre os pólos 0 e -4 e entre -5 e -∞. Estes segmentos são indicados na Figura 4.16b Assíntotas Como n = 3 e m = 0, existem 3 - 0 = 3 zeros no infinito. Portanto existirão 3 assíntotas. A intercessão destas assíntotas com o eixo real (centróide) e o ângulo destas assíntotas são dados por: \{ Centróide: \sigma_0 = \frac{0 - 4 - 5}{3 - 0} = -3 Ângulos: \phi_0 = 60º, \phi_1 = 180º, \phi_2 = 300º \} As assíntotas estão representadas na Figura 4.16a. 63 EEL-DAS-UFSC Pontos de separação Estes pontos correspondem a pontos de máximo ou mínimo da função K(s) = - \frac{1}{G(s)}, ou K(s) = -(s^3 + 9s^2 + 20s) Derivando-se com relação a s e igualando-se a zero: K'(s) = -(3s^2 + 18s + 20) = 0 ⇒ s_{1,2} = \frac{-18 ± \sqrt{18^2 - 4 \times 3 \times 20}}{6} A solução fornece duas raízes, ou seja, dois pontos no eixo real: s_{1,2} = \{ -1,5 -4,5 \} No entanto a última raiz está situada num ramo que não faz parte do LGR, e portanto apenas a solução s = 1.5 corresponde a um ponto de separação. Veremos mais adiante o significado da raiz que ficou fora do LR. Interseção com o eixo imaginário O critério de Routh-Hurwitz é aplicado à equação a(s) = s^3 + 9s^2 + 20s + K = 0 \[ \begin{array}{|c|c|} \hline s^3 & 1 & 20 \\ s^2 & 9 & K \\ s^1 & b_1 & 0 \\ s^0 & c_1 \\ \hline \end{array} \] \{ b_1 = \frac{180 - K}{9} c_1 = K c_1 ≥ 0 e b_1 ≥ 0 ⇒ K = 180 \} Equação auxiliar: 9s^2 + K = 0 ⇒ s = ±\sqrt{20}j ⇒ ±4,48j O Lugar das Raízes completo é mostrado na Figura 4.17. 64 Capítulo 4: Propriedades Básicas de Sistemas Realimentados Exemplo 4.5.9 Construa o lugar das raízes para a planta com função de transferência KG(s) = \frac{K}{s(s + 4)(s^2 + 8s + 32)} Número de seções do LGR O sistema é de quarta ordem tendo então o lugar das raízes 4 ramos. Zeros e pólos de malha aberta Tem-se n = 4 (0, -4, -4 + j4, -4 - j4)) e m = 0. Os pólos de malha aberta são localizados no plano complexo como mostrado na Figura 4.18a. Pontos que pertencem ao eixo real O lugar das raízes existe no segmento entre os pólos 0 e -4, como mostrado na Figura 4.18a. Assíntotas Tem-se n - m = 4 zeros no infinito, ou seja, 4 assíntotas, com intercessão com o eixo real e com ângulo das assíntotas dados por: Centróide \sigma_A = \frac{-4 - 4 + 4j - 4 - 4j}{4} = -3 Ângulos: \phi_0 = 45º, \phi_1 = 135º, \phi_2 = 225º, \phi_3 = 315º Pontos de separação Derivando-se a função K(s) = -(4s^3 + 36s^2 + 128s + 128) = 0 obtém-se \{ K'(s) = -(4s^3 + 36s^2 + 128s + 128) = 0 \} \{ -1,58 s_2 = 3.71 + 2.55j s_3 = 3.71 - 2.55j \} Somente a primeira raiz tem significado. As raízes complexas são desconsideradas. Interseção com o eixo imaginário Aplicando-se o critério de Routh-Hurwitz tem-se \[ \begin{array}{|c|c|} \hline s^4 & 1 & 64 & K \\ s^3 & 12 & 128 & 0 \\ s^2 & b_1 & b_2 \\ s^1 & c_1 & c_2 \\ s^0 & d_1 \\ \hline \end{array} \] \{ b_1 = 53,33 b_2 = K ≥ 0 ⇒ K ≥ 0 c_1 = \frac{128 \times 53,33 - 12K}{53,33} ≥ 0 ⇒ K < 570 c_2 = 0 d_1 = K ≥ 0 ⇒ K ≥ 0 \} Equação auxiliar: 53,33s^2 + K = 0 ⇒ s = ±3,25j EEL-DAS-UFSC Ângulo de partida dos pólos complexos Como existem dois pólos complexos, deve-se calcular o ângulo de partida, com o qual o ramo deixa cada pólo complexo. \begin{array}{rr} \theta_{p_{1}} + \theta_{p_{2}} + \theta_{p_{3}} + \theta_{p_{4}} = 180º\} \theta_{3} \approx 135^{0} \\ \theta_{p_{1}} + 90º + \theta_{p_{3}} + 90º = 180º\} \theta_{1} \approx -135º (4.5.20) \theta_{p_{1}} + \theta_{p_{3}} = 0º\} \theta_{2} \approx 225^{0} \end{array} O lugar das raízes completo é mostrado na Figura 4.19 \begin{figure} \centering \includegraphics{LGR1.eps} \caption{Figura 4.19: LGR de $\frac{k}{(s+6)(s^{2}+4s+5+3s^{2})}$} \end{figure} 4.5.4.3 Construção do LGR Para $-\infty < K \le 0$ O lugar das raízes para o caso em que o parâmetro é negativo, é chamado de lugar das raízes complementar. Para valores do parâmetro negativos, as regras de construção do LR são alteradas. A razão é essencialmente o fato de que um valor negativo introduz um ângulo de 180º , o que altera a condição de pertinência. As seguintes regras se aplicam: Origem e término dos ramos Considerando que as raízes da equação característica satisfazem a equação $G(s) = \frac{b(s)}{a(s)} = -\frac{1}{K}$ segue que quando $K \rightarrow -\infty$ tem-se $b(s) = 0$ ou $s \rightarrow \infty$. Quando K = 0 tem-se que $a(s) = 0$. Portanto, para $-\infty < K < 0$, o lugar das raízes parte dos zeros de $G(s)$ para $K \rightarrow -\infty$ e termina nos pólos de $G(s)$. Ramos sobre o eixo real Os pontos do LGR sobre o eixo real estão à esquerda de um número par de pólos mais zeros finitos. Assíntotas O ponto de intercessão com o eixo real é o mesmo que para o caso de parâmetro positivo e dado por: Centro: $\sigma_{0} = \frac{\sum(polos\ em\ MA) - \sum(zeros\ finitos\ em\ MA)}{(n-m)}$ No entanto, devido à contribuição de 180º, do parâmetro negativo, os ângulos das assíntotas são dados por \phi_{l} = \frac{2l180}{(n-m)} , \ l = 0,1,2,\cdots , \ (n-m-1)\} Todas as demais regras se mantem. O exemplo a seguir ilustra a utilidade do lugar das raízes complementar. 66 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados D(s) Σ 1 R 1−s (1+0.1s)(1+0.5s) Σ 1 1+10s Fref(s) F(s) + − + − Figura 4.20: Controle de freq¨uˆencia Exemplo 4.5.10 O diagrama de controle de freq¨uˆencia de uma unidade de gera¸c˜ao hidr´aulica ´e mostrado na Figura 4.20. O objetivo desta malha de controle ´e manter a freq¨uˆencia do sistema em presen¸ca de perturba¸c˜oes. As per- turba¸c˜oes s˜ao as varia¸c˜oes de carga provocadas pelos usu´arios da rede el´etrica. O parˆametro R ´e chamado de estatismo e indica a rela¸c˜ao entre o aumento de gera¸c˜ao da unidade e a queda de freq¨uˆencia. Como o controle ´e proporcional, esta queda de freq¨uˆencia corresponde ao erro em regime permanente ap´os uma varia¸c˜ao de carga. Este parˆametro pode variar teoricamente no intervalo 0 < R < ∞. Quando R = 0 o regulador ´e is´ocrono, ou seja, o erro de freq¨uˆencia ´e zero para qualquer aumento de carga. Em sistemas reais um valor em torno de 0.05 ´e usado para R. O objetivo aqui ´e tra¸car o lugar das ra´ızes para 0 < R < ∞. A fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta ´e dada por G(s) = 1 R 1 − s (1 + 0.1s)(1 + 0.5s)(1 + 10s) Colocando-se esta fun¸c˜ao de transferˆencia na forma mˆonica tem-se G(s) = −1 0.5R s − 1 (s + 10)(s + 2)(s + 0.1) ou ainda G(s) = K s − 1 (s + 10)(s + 2)(s + 0.1) onde K = −1 0.5R. Assim, para 0 < R < ∞ o lugar das ra´ızes corresponde a −∞ < K < 0, ou seja, ´e o lugar das ra´ızes complementar. As regras apresentadas podem ser usadas para contruir o lugar das ra´ızes mostrado na Figura . −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Root Locus Real Axis (seconds−1) Imaginary Axis (seconds−1) O lugar geom´etrico das ra´ızes pode apresentar um comportamento que pode parecer n˜ao seguir as regras dadas. O pr´oximo exemplo mostra uma situa¸c˜ao interessante, mas onde as regras s˜ao realmente seguidas. Exemplo 4.5.11 Determine o lugar das ra´ızes, com −∞ < K < ∞ para o sistema da Figura 4.21a O tra¸cado do lugar das ra´ızes ´e mostrado na Figura 4.21b. Observe que o sistema tem dois p´olos e dois zeros de malha aberta. Portanto n˜ao h´a zeros no infinito. O lugar das ra´ızes, no entanto, mostra para K < 0 um ramo indo para o infinito no semi-eixo real positivo e um ramo vindo do infinito no semi-eixo real negativo, o que pode parecer uma contradi¸c˜ao. EEL-DAS-UFSC 67 Σ K(s2 − 4s + 20) (s + 2)(s + 4) R(s) Y (s) + − (a) Sistema −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Root Locus Real Axis (seconds−1) Imaginary Axis (seconds−1) (b) Lugar das ra´ızes O tra¸cado usando as regras est´a, no entanto, realmente correto. Os p´olos de malha fechada s˜ao dados pela equa¸c˜ao caracter´ıstica que ´e 1 + K(s2 − 4s + 20) (s + 2)(s + 4) ou sejas = −(6 − 4K) ± √ 96K2 + 64K + 68 K + 1 Observa-se que quando K tende para −1, os p´olos s˜ao reais e tendem para o infinito. Portanto o ramo tende para infinito segundo o semi-eixo real positivo quando K tende a −1 com K > −1 e retorna segundo o semi-eixo real negativo para K < −1, terminando no p´olo de malha aberta em −4. Portanto as regras fornecem corretamente o tra¸cado do lugar das ra´ızes, mas ´e necess´ario a interpreta¸c˜ao do que acontece neste caso. 4.5.4.4 Cancelamento de p´olos/zeros No caso de cancelamento de p´olos por zeros, a fun¸c˜ao de transferˆencia pode ainda apresentar o p´olo cancelado, o qual deve aparecer no lugar das ra´ızes. Seja inicialmente o sistema apresentado na Figura 4.22. onde Σ G(s) H(s) R(s) Y (s) + − Figura 4.21: Cancelamento de p´olo-zero G(s) = s + c (s + a)(s + b)k H(s) = s + a s + d Para construir o lugar das ra´ızes devemos usar a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta. Nesta fun¸c˜ao, dada por G(s)H(s), o p´olo em −a cancela com o zero em −a. No entanto, se calcularmos a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada, temos Y (s) R(s) = k(s + c)(s + d) [(s + b)(s + d) + k(s + c)](s + a) Ou seja, o p´olo −a cancelado aparece na fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada. Este p´olo n˜ao aparece no lugar das ra´ızes e ´e um p´olo fixo, ou seja, permanece na mesma localiza¸c˜ao qualquer que seja o valor do parˆametro vari´avel, e portanto nenhum ramo parte deste p´olo. Consideremos agora a configura¸c˜ao mostrada na Figura 4.22. com as mesmas fun¸c˜oes de transferˆencia G(s) e Σ G(s) H(s) R(s) Y (s) + − Figura 4.22: Cancelamento de p´olo-zero 68 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados H(s). Na fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta, usada para construir o LR, o p´olo em −a ´e cancelado. Quando determinamos a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada obtemos s + c (s + b)(s + d) + s + c e portanto o p´olo em s = −a n˜ao ´e mais um p´olo de malha fechada. Conclu´ımos que quando o cancelamento ´e na malha direta, o p´olo ´e realmente cancelado na fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada. 4.5.4.5 Lugar das ra´ızes para um parˆametro diferente do ganho Algumas vezes o parˆametro vari´avel no sistema n˜ao ´e o ganho, e neste caso o lugar das ra´ızes n˜ao pode ser constru´ıdo diretamente. O exemplo a seguir ilustra o procedimento usado. Seja a fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 1 s(s + c) (4.5.21) Deseja-se tra¸car o lugar das ra´ızes para o parˆametro c. A equa¸c˜ao caracter´ıstica do sistema ´e 1 + 1 s(s + c) = 0 ou s2 + cs + 1 = 0 (4.5.22) Dividindo-se por s2 + 1 tem-se 1 + c s s2 + 1 (4.5.23) Observe que esta equa¸c˜ao ´e a equa¸c˜ao caracter´ıstica do sistema da Figura 4.23 Σ c s s2 + 1 R(s) Y (s) + − Figura 4.23: Sistema equivalente com c como ganho Pode-se ent˜ao tra¸car o lugar das ra´ızes para o sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta s s2 + 1 (4.5.24) 4.5.4.6 Efeito de p´olos-zeros no L.R. Uma quest˜ao que pode facilmente ser analisada pelo lugar das ra´ızes ´e o efeito da adi¸c˜ao de p´olos e zeros a um sistema. Adic¸˜ao de p´olos Para ilustrar este efeito, seja o sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta dada por G(s)H(s) = K s(s + 1) (4.5.25) O lugar das ra´ızes deste sistema ´e dada apresentado na Figura 4.24a. Consideremos inicialmente a adi¸c˜ao de um p´olo em s = −3. A fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta ´e ent˜ao G(s)H(s) = K s(s + 1)(s + 3) (4.5.26) o lugar das ra´ızes ´e agora apresentado na Figura 4.24b Consideremos a adi¸c˜ao de mais um p´olo em −4, ou seja, s fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta ´e G(s)H(s) = K s(s + 1)(s + 3)(s + 4) (4.5.27) O lugar das ra´ızes correspondente ´e mostrado na Figura 4.24c Para o caso onde um par de p´olos complexos em −2 ± j2 for adicionado ao sistema original, tem-se o lugar das ra´ızes da Figura 4.24d. Atrav´es destes exemplos pode-se concluir que a adi¸c˜ao de p´olos `a fun¸c˜ao de transferˆencia G(s)H(s) desloca o lugar das ra´ızes para o lado direito do plano complexo, o que tem efeito desestabilizante no sistema. Note que os p´olos tendem a reduzir o valor do ˆangulo das ass´ıntotas, o que ¨entorta¨ os ramos para o lado direito. EEL-DAS-UFSC \begin{figure}[h] \centering \subfigure[Sistema original]{ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{LGR3.eps}} \subfigure[Adição de pólo em -3]{ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{LGR4.eps}} \subfigure[Adição de mais um pólo em -4]{ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{LGR5.eps}} \subfigure[Adição de pólos complexos em -2 \pm j2]{ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{LGR6.eps}} \caption{Figura 4.24: Efeito da adição de pólos} \end{figure} Adição de zeros Consideremos o sistema original, dado por 4.5.25. Um zero é adicionado em -3.5. O LR do sistema é mostrado na Figura 4.25b. Se um par de zeros complexos for adicionado, então o lugar das raízes é dado na Figura 4.25c Seja agora o sistema 4.5.26, com mais um zero real adicionado. O lugar das raízes é mostrado na Figura 4.25d. Observe que as assíntotas que tinham inclinação ±60º , passam a ter inclinação ±90º. Dos exemplos estudados, observamos que a adição de zeros desloca o lugar das raízes para a esquerda e tem, portanto, um efeito estabilizante no sistema. 4.5.5 Estabilidade no domínio da frequência Toda a análise de estabilidade desenvolvida até aqui foi baseada no estudo das raízes da equação característica do sistema. No entanto, a estabilidade também pode ser estudada a partir da resposta em frequência do sistema, como dada, por exemplo, pelo diagrama de Bode e pelo diagrama polar do sistema. A condição de estabilidade é dada pela equação característica $1 + KG = 0$ , ou \begin{cases} |KG(s)| = 1 \\ \angle(G(s)) = -180º \end{cases} Supondo que o lugar das raízes seja o mostrado na Figura, onde o cruzamento do eixo imaginário ocorre para $K = K_{cr}, com \omega = \omega_{cr}, a condição no limiar da instabilidade(pólos sobre o eixo imaginário j\omega), corresponde à \begin{cases} |KG(j\omega_{c})| = 1 \\ \angle(G(j\omega_{c}) = -180º \end{cases} 70 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados −1.3 −1.1 −0.9 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 × × (a) Sistema original −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 ◊ × × (b) Adi¸c˜ao de zero em −3 −3.0 −2.6 −2.2 −1.8 −1.4 −1.0 −0.6 −0.2 0.2 0.6 1.0 −3 −2 −1 0 1 2 3 ◊ ◊ × × (c) Adi¸c˜ao de zeros complexos −2 ± j2 −3.7 −3.3 −2.9 −2.5 −2.1 −1.7 −1.3 −0.9 −0.5 −0.1 0.3 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 ◊ × × × (d) Adi¸c˜ao de p´olo em −3 e de zero em 3.5 Figura 4.25: Efeito da adi¸c˜ao de zeros Do exemplo acima conclu´ımos que o sistema ´e est´avel desde que |K G(jω)| < 1 na freq¨uˆencia onde ∠G(jω) = −180◦. Esta conclus˜ao n˜ao ´e gen´erica pois existem sistemas est´aveis que n˜ao satisfazem essa condi¸c˜ao. Para resolver essa dificuldade devemos utilizar o crit´erio de estabilidade de Nyquist. 4.5.5.1 Crit´erio de Nyquist O crit´erio de estabilidade de Nyquist relaciona a fun¸c˜ao G(jω) com o n´umero de p´olos de M.F. no semi-plano direito (SPD) e est´a baseado no resultado conhecido como Princ´ıpio do argumento. O Princ´ıpio do argumento tem uma deriva¸c˜ao rigorosa na teoria de fun¸c˜oes de vari´aveis complexas, mas a abordagem usada a seguir apenas exp˜oe a base deste princ´ıpio. Consideremos uma fun¸c˜ao de transferˆencia G1(s), com a configura¸c˜ao de p´olos e zeros no plano complexo, mostrada na Figura 4.26. Consideremos ainda um contorno fechado no plano complexo, denotado C1, na mesma figura. Vamos determinar a varia¸c˜ao angular de G1(s) quando s varia sobre o contorno C1, realizando uma volta completa no sentido hor´ario. Este c´alculo n˜ao ´e dif´ıcil se lembrarmos da interpreta¸c˜ao vetorial de n´umeros complexos. Ou seja, estaremos acompanhando a varia¸c˜ao dos ˆangulos dos vetores que come¸cam em cada zero e cada p´olo de G1(s), e terminam em s. Isto est´a representado na Figura 4.26. Para o ponto s0 sobre o contorno, tem-se que, ∠G1(s0) = α = θz1 + θz2 − (θp1 + θp2) O gr´afico de Gs ´e mostrado na Figura 4.27 Observa-se que este gr´afico n˜ao envolve a origem. O envolvimento da origem significaria uma varia¸c˜ao angular de 360◦ da fun¸c˜ao de transferˆencia. Ou seja, o vetor que representa G1(s0), parte da origem e termina em G1(s0), com ˆangulo α. Este vetor n˜ao completa nenhuma volta em torno da origem. EEL-DAS-UFSC 71 Re(s) θz1 θz2 Im(s) C1 s0 θp2 θp1 Figura 4.26: Contorno C1 indicando varia¸c˜ao de s ImG1(s) ReG1(s) φ Figura 4.27: Gr´afico de G1(s) quando s varia sobre o contorno C1 Seja agora G2(s), com p´olos e zeros conforme mostrado na Figura 4.28 e um contorno C2 que contem um p´olo no seu interior. θz1 θz2 θp1 θp2 Im(s) Re(s) s0 Figura 4.28: Contorno C2 indicando varia¸c˜ao de s Devido ao p´olo no interior do contorno C2, o ˆangulo de G2 sofre uma varia¸c˜ao de 360◦ ap´os s0 fazer uma volta sobre C2. Ent˜ao o ˆangulo de G2 tamb´em sofre uma volta de 360◦ (no sentido anti-hor´ario, por ser um p´olo em C2), como mostrado na Figura 4.29. Logo G2 envolve a origem no sentido anti-hor´ario. Com estes resultados, podemos enunciar o princ´ıpio do argumento. Princ´ıpios do argumento: o mapa de contorno de uma fun¸c˜ao complexa envolve a origem se o contorno contem uma singularidade (p´olo ou zero) da fun¸c˜ao. Generalizac¸˜ao: m´ultiplas singularidades podem estar no contorno. O n´umero e o sentido dos envolvimentos da origem ent˜ao mudam. Por exemplo, se o n´umero de p´olos e zeros dentro de C1 ´e o mesmo, ent˜ao n˜ao haver´a envolvimento da origem. Este resultado pode ser aplicado ao problema de estabilidade. Suponha que C1 ´e o contorno que envolve todo o semiplano direito (SPD), como mostrado na Figura 4.30 Ent˜ao G(s) envolve a origem somente se tiver um p´olo ou zero no lado direito. 72 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados Re [G2(s)] Im [G2(s)] α G2(s) ˆs0 Figura 4.29: Gr´afico de G2(s) quando s varia sobre o contorno C2 ∞ C1 Im(s) Re(s) Figura 4.30: Contorno C1 envolvendo todo o lado direito do plano complexo O objetivo agora ´e usar os resultados anteriores para determinar a estabilidade de um sistema de controle em malha fechada. Considere o sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada: Y (s) R(s) = T (s) = KG(s) 1 + K G(s) (4.5.28) com ra´ızes de malha fechada dadas por 1 + K G(s) = 0. Devemos definir o contorno e a fun¸c˜ao cujo mapeamento envolve ou n˜ao a origem, quando a vari´avel s percorre o contorno. Escolheremos o contorno C1 que envolve todo o semi-plano direito. A fun¸c˜ao a ser mapeada ser´a 1 + K G(s). Se o contorno que envolve o SPD contem um zero ou p´olo de 1+K G(s) ent˜ao 1+K G(s) vai envolver a origem. EEL-DAS-UFSC 73 Note que 1 + K G(s) ´e K G(s) deslocado `a direita de uma unidade. Portanto se o gr´afico de 1 + K G(s) envolve a origem, o gr´afico de K G(s) vai envolver o ponto -1 do eixo real. Desta forma −1 ´e o ponto cr´ıtico e o c´alculo de KG(s) ´e o diagrama polar ou de Nyquist (magnitude e ˆangulo de KG(jw)). Para se determinar se um envolvimento ´e devido a um p´olo ou zero, pode-se escrever. 1 + KG(s) = 1 + K b(s) a(s) = a(s) + Kb(s) a(s) Os p´olos de 1 + KG(s) s˜ao os p´olos de G(s), e em geral, sabe-se se existem p´olos de malha fechada no SPD. Se n˜ao existirem p´olos de G(s) no SPD, o envolvimento do ponto −1 por KG(s) indica que um zero de 1+KG(s) est´a no SPD e e portanto um p´olo do sistema em malha fechada. Generalizac¸˜ao: um contorno C1 no sentido hor´ario envolvendo um zero de 1+KG(s), ou seja, um p´olo inst´avel de MF, resulta em KG(s) envolvendo o ponto −1 no sentido hor´ario. Se C1 envolve um p´olo de 1 + KG(s), ou seja, um p´olo inst´avel de MA, haver´a um envolvimento de −1 por KG(s) no sentido anti-hor´ario. O n´umero l´ıquido de envolvimentos, N ´e igual ao n´umero de zeros (p´olos de malha fechada) no SPD, Z, menos o n´umero de p´olos de malha aberta no SPD, P. Chega-se ent˜ao `a rela¸c˜ao: N = Z − P (4.5.29) que relaciona p´olos de malha fechada, de malha aberta e n´umero de envolvimentos do ponto −1. O procedimento para aplicar o crit´erio de Nyquist resume-se nos seguintes passos: Diagrama polar da FTMA Tra¸ca-se o diagrama polar de KG(jw). Devido `a simetria plota-se apenas para w → 0 a ∞. Desde que n < m (n´umero de zeros menor do que o n´umero de p´olos), a parte de C1 correspondente `a s → ∞ ´e mapeada pr´oxima `a origem. Ou seja, deve-se mapear K G(s) para s → −j∞ a j∞, ou de 0 a +j∞ e ent˜ao refletindo-se com rela¸c˜ao ao eixo real. N´umero de p´olos de malha aberta O n´umero de p´olos de malha aberta inst´aveis ´e conhecido da fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta. Portanto P ´e conhecido. N´umero de envolvimentos de -1 Determine o n´umero de envolvimento do ponto −1. Isto pode ser feito tra¸cando um vetor que come¸ca em −1 e termina sobre o diagrama polar. O ponto final do vetor deve se deslocar desde o ponto do diagrama correspondente a ω = −∞ at´e o ponto correspondente a ω = +∞. Verifique quantas voltas completas em torno de −1 foram completadas pelo vetor no sentido hor´ario (posi- tivo) e anti-hor´ario (negativo). Alternativamente, trace uma reta partindo de -1, em qualquer dire¸c˜ao, e veja quantas vezes o gr´afico cruza esta reta da esquerda para a direita (positivo) ou da direita para a esquerda (negativo). A soma alg´ebrica destes valores ´e o n´umero N de envolvimentos. N´umero de p´olos de malha fechada Aplica-se a rela¸c˜ao N = Z − P, determinando-se Z. Em geral, o sistema de malha aberta ´e est´avel e portanto P = 0. Neste caso, o sistema de malha fechada ´e est´avel se N = 0 ou seja, se n˜ao existir envolvimento do ponto −1. Exemplo 4.5.12 Considere o sistema de segunda ordem da Figura 4.31. Determine a estabilidade do sistema Σ K 1 (s + 2)2 R(s) Y (s) + − Figura 4.31: Exemplo do crit´erio de Nyquist para K = 1. A fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta n˜ao tem nenhum p´olo inst´avel. Logo P = 0. O diagrama polar ´e apresentado na Figura 4.32. Contando o n´umero de envolvimentos do ponto −1 tem-se N = 0. Logo, Z = 0, P = 0 ⇒ Z = 0. Logo o sistema ´e est´avel. 74 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 −100 −0.162 −0.076 −0.047 −0.021 0.002 0.025 0.051 0.080 0.119 0.178 Nyquist plot Re(h(2i*pi*f)) Im(h(2i*pi*f)) Figura 4.32: Diagrama polar 4.5.5.2 Crit´erio de Nyquist para uma faixa de ganho Para aplicar o crit´erio de Nyquist, deve-se tra¸car o diagrama polar, o que requer que o ganho seja conhecido a priori. No entanto, `as vezes deseja-se determinar a faixa de ganhos para a qual o sistema ´e inst´avel, sem fixar inicialmente o ganho. Nestes casos testa-se o envolvimento de − 1 K por G(s). Observa-se que isto ´e equivalente a testar o envolvimento de −1 por KG(s). Exemplo 4.5.13 Para o exemplo anterior deseja-se determinar a faixa de ganho para o qual o sistema ´e est´avel. Deve-se ter: − 1 K < 0 ou − 1 K > 1 (para K > 0), logo K > −1 para o sistema ser est´avel. Exemplo 4.5.14 Fun¸c˜ao de malha aberta com p´olo na origem No caso onde a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta tem p´olos na origem, o contorno deve ser modificado, para evitar que o contorno passe sobre os p´olos. Isto ´e feito atrav´es de uma modifica¸c˜ao do contorno, pr´oximo `a origem, atrav´es de um semi-c´ırculo em torno da origem, com raio ǫ tendendo a zero, como mostrado na Figura. Re(s) ∞ Im(s) ǫejθ Figura 4.33: Contorno C1 envolvendo todo o lado direito do plano complexo Deve-se ent˜ao mapear o semi-c´ırculo em torno do p´olo na origem, dado por ǫeθ, com θ variando de − π 2 a π 2 . Este mapeamento ´e determinado pelo p´olo (ou p´olos) na origem da fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta. ´E EEL-DAS-UFSC 75 f´acil de ver, para o caso de um p´olo da fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta na origem, que o p´olo determina o mapeamento, ou seja, supondo a fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 1 sG′, o mapeamento do semi-c´ırculo ´e dado por G(ǫeθ) = 1 ǫeθ G′(ǫeθ), este mapeamento corresponde a 1 ǫ e−θ, e portanto o semi-c´ırculo em torno da origem ´e mapeado em um semi-c´ırculo de raio infinito que vai de pi 2 a − pi 2 , ou seja, um semi-c´ırculo no sentido hor´ario. Para um n´umero qualquer p de p´olos na origem, tem-se p semi-c´ırculos de raio infinito no sentido hor´ario. Exemplo 4.5.15 Fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta com zero na origem Considere o sistema dado na Figura 4.34. O objetivo ´e determinar o n´umero de p´olos de malha fechada no lado direito do plano complexo. Σ K 1 s(s + 2)2 R(s) Y (s) + − Figura 4.34: Fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta com p´olo na origem O diagrama polar para esta fun¸c˜ao, considerando K = 1, ´e mostrado na Figura 4.35 Como existe um p´olo na −2.0 −1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 −3 −2 −1 0 1 2 3 −1000 −0.35 −0.24 −0.17 −0.12 0.1 0.14 Figura 4.35: Diagrama polar para o caso de um p´olo na origem origem, temos um semi-c´ırculo de raio infinito no sentido hor´ario, de ω = 0− a ω = 0+. Podemos agora aplicar o crit´erio de Nyquist. Vamos considerar o ganho vari´avel, e portanto determinaremos o envolvimento do ponto − 1 K . Para −0, 5 < − 1 −K < 0 =⇒ N = 2, P = 0 e Z = 2, ou seja, sistema inst´avel. Se − 1 K < 0 (no eixo real positivo), ent˜ao N = 1, P = 0 e Z = 1. Este ´e o caso de K < 0. Se K for pequeno, ent˜ao − 1 K n˜ao ´e envolvido e N = 0, P = 0 ⇒ 2 = 0, o que resulta em sistema est´avel. Exemplo 4.5.16 Sistema inst´avel em malha aberta. Considere o sistema da Figura 4.36. Σ K s + 1 s(0.1s − 1) R(s) Y (s) + − Figura 4.36: Sistema inst´avel em malha aberta O diagrama polar deste sistema, para K = 1, ´e apresentado na Figura 4.37. Como existe um p´olo na origem, temos que completar o diagrama polar com um semi-c´ırculo no sentido hor´ario, indo de ω = 0− a ω0+. Podemos estudar a estabilidade do sistema, para a varia¸c˜ao de K, usando o crit´erio de Nyquist. 76 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados −1.5 −1.3 −1.1 −0.9 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 −1.7 −1.3 −0.9 −0.5 −0.1 0.3 0.7 1.1 1.5 1.9 −1000 −1.75 −1.03 −0.47 −0.18 −0.1 0.1 0.18 1.71 Figura 4.37: Diagrama polar para sistema inst´avel em malha aberta Para K > 1, tem-se N = −1, P = 1 e portanto Z = 0, o sistema ´e est´avel. Para K < 1, tem-se N = +1, P = 1 e Z = 2. Portanto o sistema ´e inst´avel. Observe que no caso de um p´olo de malha aberta inst´avel, ´e preciso existir envolvimento para o sistema poder ser est´avel. 4.5.5.3 Margens de Estabilidade Muitas vezes ´e desej´avel conhecer n˜ao somente se um sistema ´e est´avel, mas qual a distˆancia da instabilidade, o que permite determinar qual o valor que um parˆametro pode variar para se atingir a condi¸c˜ao de instabilidade. No caso do crit´erio de Nyquist, a distˆancia do diagrama polar ao ponto −1 ´e uma medida da margem de estabilidade. Ao inv´es de medir diretamente este valor, as defini¸c˜oes de margem de ganho e margem de fase fornecem uma indica¸c˜ao daquela distˆancia, sendo ´uteis tanto para a an´alise quanto para o projeto de sistemas de controle. Estas margens podem ser medidas tanto no diagrama de Nyquist quanto no diagrama de Bode. Considerando o diagrama de Nyquist da Figura 4.38 observa-se que se a fun¸c˜ao de transferˆencia for multiplicada por MG, o diagrama passa exatamente em cima do ponto −1. Por outro lado, se o diagrama for girado no sentido hor´ario por um ˆangulo MF, novamente o diagrama passa pelo ponto −1. Nos dois casos o sistema atinge o limiar da instabilidade. Isto leva `as seguintes defini¸c˜oes de margem de ganho e margem de fase. Definic¸˜ao 10 Margem de ganho (MG) Fator pelo qual o ganho deve ser multiplicado para se obter o ganho cr´ıtico. Se o ganho do sistema for K e Kc ´e o ganho cr´ıtico correspondente ao limiar da instabilidade, ent˜ao Kc = K × MG (4.5.30) Se o ganho for em dB, ent˜ao a margem de ganho ´e o valor que somado ao ganho atual leva o sistema ao limiar da instabilidade Kc|dB = K|dB + MG|dB (4.5.31) A margem de ganho pode ser determinada do Diagrama de Bode, do diagrama polar ou ainda L.R. Definic¸˜ao 11 Margem de fase (MF) valor correspondente a quanto ∠G(jω) excede −180◦ As margens de ganho e fase, usando o diagrama de Nyquist, s˜ao mostradas na Figura 4.38. As margens de ganho e fase podem ser determinadas facilmente do DB, como mostrado na Figura 4.39. Observe a correspondˆencia entre estas margens como determinadas pelos dois diagramas. 4.5.5.4 Relac¸˜ao entre MF e amortecimento A margem de fase fornece uma indica¸c˜ao do amortecimento de um sistema em malha fechada. Embora a rela¸c˜ao seja derivada para um sistema de segunda ordem, pode-se generalizar este resultado para sistemas de ordem mais elevada, que tenham um par de p´olos dominantes. Seja o sistema dado na Figura 4.40. EEL-DAS-UFSC 77 −1 1 MG MF Im[KG(jω) Re[KG(jω) Figura 4.38: Margens de ganho e de fase −1 . −1 . Magnitude Fase 0 dB Graus ω(rad/seg) ω(rad/seg) −180◦ (a) Ganho K = Kcrit . . dB Magnitude Fase Graus 0 MF(−) ω(rad/seg) ω(rad/seg) MG(−) −180◦ (b) Ganho K > Kcrit . . MG(+) Magnitude Fase dB Graus ω(rad/seg) ω(rad/seg) MF(−) −180◦ (c) Ganho K < Kcrit Figura 4.39: Margem de ganho e fase a partir do Diagrama de Bode A fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada ´e T (s) = ω2 n s2 + 2ξs + ωn2 (4.5.32) com amortecimento ζ. Vamos calcular a margem de fase deste sistema.Para isto usamos a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta. O Capítulo 4: Propriedades Básicas de Sistemas Realimentados \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{diagrama_sensibilidade.eps} \caption{Figura 4.40: Relação entre amortecimento e margem de fase} \end{figure} seguintes passos nos fornecem aquela margem. Frequência de cruzamento A passagem por 0 $dB$ é dada por \begin{equation} \left| \frac{\omega_{n}^{2}}{(j\omega_{c})(j\omega_{c}+2\zeta\omega_{n})} \right| = 1 \end{equation} (4.5.33) Com isto obtemos a frequência de cruzamento $\omega_{c}$. Cálculo da margem de fase A margem de fase é dada por $MF = 180 + \angle \left| \frac{\omega_{n}^{2}}{(j\omega_{c})(j\omega_{c}+2\zeta\omega_{n})} \right|$. Com o valor calculado na equação anterior tem-se \begin{equation} MF = tg^{-1} \frac{2\zeta}{\sqrt{1+4\zeta^{4}-2\zeta^{2}}} \end{equation} (4.5.34) O gráfico relacionando margem de fase e amortecimento é dado na Figura ??. $\zeta$ \begin{figure}[h!] \centering (\includegraphics[width=0.8\textwidth]{grafico_mf.eps} \end{figure} Observa-se que é possível traçar uma aproximação para esta curva através de uma reta passando pelo par (10º,0.2) e (60º). Com isto, tem-se uma relação importante entre margem de fase e amortecimento $\zeta \approx \frac{MF}{100} \quad ou \quad \zeta \approx 0,01MF$ Limitações do uso da margem de ganho e fase O uso das margens de ganho e fase é limitado em alguns sistemas. Para sistemas de primeira e segunda ordem, o diagrama de fase nunca cruza -180º, e portanto não se pode determinar uma margem de fase. O ganho pode ser aumentado sem limite e o sistema ainda será estável, ou seja, a margem de ganho é infinita. Em alguns sistemas pode-se ter várias passagens por 0 dB ou por -180º, EEL-DAS-UFSC 79 sendo as margens de ganho e fase definidas de maneira n˜ao ´unica. Em outros sistemas ainda, pode-se ter conflito entre a MG e a MF, com, por exemplo, uma MG negativa e uma MF positiva. Neste caso, o crit´erio de Nyquist pode ser aplicado para dirimir qualquer d´uvida e determinar a estabilidade do sistema. A seguir s˜ao apresentados exemplos que ilustram alguns destes casos. Exemplo 4.5.17 Propriedades de estabilidade de um sistema condicionalmente est´avel. Considere o sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta dada por G(S) = K(s + 10)2 s3 . O diagrama polar ´e mostrado na Figura para K = 7. Observe que devido `a presen¸ca de 3 p´olos de malha aberta na origem, tem-se 3 semi-c´ırculos no sentido hor´ario, indo de 0− a 0+, com raio infinito. Observa-se que a MF ´e positiva, mas a MG ´e menor que 1, e portanto negativa em dB. Usando-se o crit´erio de Nyquist, tem-se N = Z − P, com N = 0, P = 0 e portanto Z = 0, e o sistema ´e est´avel. Exemplo 4.5.18 Sistema com m´ultiplas frequˆencias de cruzamento. Considere o sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta dada por G(s) = 85(s + 1)(s2 + 2s + 43.25) s2(s2 + 2s + 82)(s2 + 2s + 101) O diagrama polar deste sistema ´e apresentado em aula. Observa-se que o sistema apresenta 3 pontos de cru- zamento com o c´ırculo unit´ario, e portanto tem freq¨uˆencias de cruzamento correspondentes ao ganho. Com isto pode-se definir 3 margens de fase, A escolha ´e pela proximidade do ponto -1. A menor varia¸c˜ao de fase para chegar a este ponto determina a escolha. Portanto a MF escolhida ´e 37◦. 80 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados Exerc´ıcios 1. Considere o sistema abaixo: Σ 1 + 3s s 2 s(1 + 4s) R(s) Y (s) + − Figura 4.41: Exerc´ıcio 1 Pede-se o erro em regime permanente erp para as entradas a seguir: a. R(t) = 3 + 4t b. R(t) = 5 + 6t + 4t2 c. R(t) = 1 + 2t + t2 + 3t2 + 3t3 2. Para o sistema abaixo, determine o m´ınimo valor do ganho K de modo que: a. Quando C(s)=1, o erro est´atico ao degrau deve ser no m´aximo de 1%; b. Quando C(s) = 3 s, o erro est´atico a R(t) = 6t + 5 deve ser no m´aximo igual a 0.01. Σ C(s) 60 K (s + 3)(s3 + 14s2 + 5s + 4) R(s) Y (s) + − Figura 4.42: Exerc´ıcio 2 3. Considere o sistema de controle em malha fechada abaixo. Os parˆametros do modelo s˜ao os seguintes: τ = 4α = 9; β = 3; K − 1 = 4; K − 2 = 2. Determine o erro est´atico `a entrada r(t) = 5 + 2t + 0, 2t2 Σ K1 1 1 + s τ s + α s3 + βs R(s) Y (s) + − − Figura 4.43: Exerc´ıcio 3 4. Determine o erro est´atico do sistema abaixo `a entrada: R(t) = 2t2 − 9t + 17 Σ s + 1 s3(s + 2) Σ s2 s(s + 6) s2 + s + 1 s(s + 2) 9 s2 R(s) Y (s) + − + − Figura 4.44: Exerc´ıcio 4 5. Esbo¸car o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes (0 ≤ K ≤ ∞) correspondentes aos sistemas cujas configura¸c˜oes de p´olos e zeros de malha aberta est˜ao indicadas na Figura 4.45. EEL-DAS-UFSC 81 ω σ × −2 ◦ −1 × (a) ω σ × −7 × −4 ◦ −3 (b) ω σ × −2 ◦ −1 × (c) ◦ ◦ (d) × −2 ◦ × (e) ◦ ◦ (f) Figura 4.45: Exerc´ıcio 5 6. Determine as propriedades geom´etricas pertinentes e esboce o Lugar Geom´etrico das ra´ızes, com 0 ≤ K ≤ 00, para os sistemas cujas fun¸c˜oes de transferˆencia em malha aberta est˜ao dadas abaixo: a. G(s)H(s) = K (s + 1)(s + 5) b. G(s)H(s) = K (s + 2)(s2 + 8s + 20) c. G(s)H(s) = K(s + 2) (s + 1)(s2 + 6s + 10) 82 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados d. G(s)H(s) = K (1 + 0, 5s)(1 + 0, 2s)(1 + s)2 7. Determine a faixa de valores de K para a qual cada um dos sistemas em malha fechada, cujas fun¸c˜oes de transferˆencia em malha aberta s˜ao dadas no problema anterior, ´e est´avel. 8. Dado o sistema em malha fechada abaixo, determine o lugar geom´etrico das ra´ızes em M.F no plano -s quando a constante de tempo τ varia de 0 a ∞. Σ s s3 + 3s2 + 2s + 1 1 + τs R(s) Y (s) + − Figura 4.46: Exerc´ıcio 8 9. Dadas as fun¸c˜oes de transferˆencia abaixo, calcule a margem de ganho, a margem de fase e estime o amorte- cimento ζ. a. G(s) = 5 (1 + 4s)(1 + 10s) b. G(s) = 3(1 + 10s) (1 + 2s)(1 + 5s) c. G(s) = (1 + 4s) s(1 + 3s)(1 + 10s) d. G(s) = 5 (s + 1)(s + 3) e. G(s) = 8(1 − 2s) (1 + 2s)(1 + 15s) 10. Dadas as fun¸c˜oes de transferˆencia abaixo, determine a estabilidade do sistema em malha fechada, usando o crit´erio de Nyquist. a. G(s) = 4(s + 3) s(s + 2)(s + 5) b. G(s) = 15 (s + 1)(s + 5) c. G(s) = 8(1 + 5s) (1 + 2s) d. G(s) = 10(s − 4) (s + 3)(s + 7) e. G(s) = (s − 3) (s + 5)(s − 1) 11. Considere o sistema dado na Figura 4.47. Σ K s2 + 4s + 8 s(s + 1)2 1 s + 10 R(s) Y (s) + − Figura 4.47: Exerc´ıcio 11 EEL-DAS-UFSC 83 a. Esboce o lugar das ra´ızes, calculando todas as grandezas relevantes, como ass´ıntotas, centr´oide, ˆangulos de partida, pontos de separa¸c˜ao, cruzamento com o eixo imagin´ario, quando aplic´avel. b. Supondo K = 10, determine os erros para: i) referˆencia do tipo degrau unit´ario; ii) referˆencia do tipo rampa unit´aria; iii) perturba¸c˜ao tipo rampa na entrada da planta. 12. Para o sistema da Figura 4.48 D(s) Σ s + 1 s(s + 2) Σ s + 3 s(s + 6) R(s) Y (s) + − + − Figura 4.48: Exerc´ıcio 12 a. Determine, calculando, quando aplic´avel, as constantes de erro correspondentes: i) o erro a uma referˆencia do tipo rampa unit´aria; ii) o erro a uma perturba¸c˜ao do tipo degrau unit´ario. b. Para o mesmo sistema da Figura 4.48, mas com uma realimenta¸c˜ao com ganho 2, determine: – o erro a uma referˆencia do tipo rampa unit´aria; – o erro a uma perturba¸c˜ao do tipo rampa unit´aria. 13. Determine as margens de ganho e de fase e as freq¨uˆencias de cruzamento de ganho e de fase dos sistemas de controle com realimenta¸c˜ao unit´aria negativa, com as seguintes plantas: a. G(s) = e−0.1s s b. Diagrama de Bode dado pela Figura 4.49. Neste caso indique tamb´em graficamente as margens de ganho e fase. 14. Um sistema de controle, tem a planta G(s) = K s − 0.1 (s + 2)(s + 1) O diagrama de Nyquist correspondente, tra¸cado para K = 1 ´e mostrado na Figura 4.50. a. Determine se o sistema ´e est´avel para o ganho K = 10. b. Determine a faixa de ganhos para a qual o sistema ´e est´avel, usando o crit´erio de Nyquist. 15. Um sistema de controle, com uma planta est´avel tendo um p´olo na origem e nenhum p´olo no semi-plano direito aberto, teve o ganho ajustado para atender `a condi¸c˜ao de erro. O diagrama de Nyquist resultante ´e mostrado na Figura 4.51. O sistema nesta condi¸c˜ao ´e inst´avel. a. Confirme que o sistema ´e inst´avel aplicando o crit´erio de estabilidade de Nyquist. b. Esboce o Diagrama de Bode e indique as margens de ganho e fase. c. Deseja-se projetar um controlador que estabilize o sistema e assegure uma margem de fase de 30◦. A fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador ´e 1 + s T1 1 + s T2 . O parˆametro T2 foi fixado em 0.1. Calcule o valor adequado para T1 usando a informa¸c˜ao fornecida pelo diagrama de Nyquist. Use o crit´erio de Routh-Hurwitz para confirmar que o sistema ´e est´avel com o controlador. 84 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados −2 10 −1 10 0 10 1 10 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 Magnitude Hz db −2 10 −1 10 0 10 1 10 −280 −260 −240 −220 −200 −180 −160 −140 −120 −100 −80 Phase Hz degrees Figura 4.49: Exerc´ıcio 13 16. O diagrama de Nyquist da fun¸c˜ao de transferˆencia de uma planta ´e dado na Figura 4.52. A planta tem dois integradores e nenhum p´olo no lado direito aberto do plano complexo. a. Determine a estabilidade do sistema quando a malha de controle ´e fechada atrav´es de uma realimenta¸c˜ao unit´aria. b. Qual o aumento ou diminui¸c˜ao de ganho que torna o sistema est´avel ou inst´avel? 17. Para o sistema mostrado na Figura 4.53 a. Trace o LR, para −∞ < p < ∞, calculando todas as grandezas relevantes, como pontos de separa¸c˜ao, ˆangulos de ass´ıntotas, ˆangulos de partida, passagem pelo eixo im´agin´ario, etc. b. Indique a faixa de valores de p para a qual o sistema ´e est´avel 18. Para o sistema da Figura 4.54 a. Para H(s) = 1, trace o lugar das ra´ızes detalhadamente, para −∞ < K < ∞, calculando todas as grandezas relevantes. b. Para H(s) = s + 1 esboce o lugar da ra´ızes, para −∞ < K < ∞. c. Comente sobre o efeito de adicionar uma a¸c˜ao derivativa na malha de realimenta¸c˜ao. 19. A fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) em malha aberta de um sistema de controle com realimenta¸c˜ao unit´aria tem um diagrama de Bode dado na Figura 4.55. a. Determine o fator Kc pelo qual o ganho de G(s) deve ser multiplicado para o sistema ter uma margem de fase de 40◦. b. Determine o fator Kc pelo qual o ganho de G(s) deve ser multiplicado para o sistema ter uma margem de ganho de 20 dB. EEL-DAS-UFSC 85 1.0E−14 0.02400 0.077 0.112 0.155 0.208 0.277 0.389 0.635 1000 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −2 −1 0 1 2 3 4 Nyquist plot Re(h(2i*pi*f)) Im(h(2i*pi*f)) Figura 4.50: Exerc´ıcio 14 25◦ −1 ∞ ω = 3.364 rad/s 0+ Figura 4.51: Exerc´ıcio 15 20. Esboce o lugar das ra´ızes para K = 1 e 0 < α < ∞ a. Determine os valores de α e K que resultar˜ao em um par de p´olos em malha fechada com amortecimento ζ = 0.01 e uma freq¨uˆencia natural ωn = 100 rad/seg, usando o crit´erio de Routh-Hurwitz. 21. Para a planta com fun¸c˜ao de transferˆencia K(s + 3) (s2 + 2)(s − 2)(s + 5) a. Trace o lugar das ra´ızes para −∞ < K < ∞, calculando toda a informa¸c˜ao relevante, como ˆangulos das ass´ıntotas, pontos de separa¸c˜ao, ˆangulos de partida e passagem pelo eixo imagin´ario, quando esta informa¸c˜ao se aplicar. b. Determine a faixa de valores positivos de K para que existam apenas duas ra´ızes no semi-plano direito. 22. Para o sistema cujo diagrama de Bode ´e mostrado na Figura 4.56, determine as margens de ganho e fase, indicando-as na figura. a. ´E poss´ıvel concluir sobre a estabilidade do sistema a partir destas margens? Por que? b. A partir do diagrama de Bode esboce o diagrama polar e aplique o crit´erio de Nyquist para determinar a estabilidade do sistema. O sistema tem um p´olo na origem. 86 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados −1 −2 −0.5 ω → 0+ Im[G(jω)] Re[G(jω)] ω → +∞ Figura 4.52: Exerc´ıcio 16 Σ s + 4 (s + p)(s + 2) R(s) Y (s) + − Figura 4.53: Exerc´ıcio 17 Σ K s(s2 + 4s + 5) H(s) R(s) Y (s) + − Figura 4.54: Exerc´ıcio 18 23. Um sistema com realimenta¸c˜ao unit´aria e com a planta dada por K(s2 + 3s + 30) sn(s + 5) deve ter um erro de 1/6000 para uma entrada 10 t. Determine K e n para atender `a especifica¸c˜ao. 24. Considere o sistema de controle em malha fechada dado na Figura 4.57. a. Trace o lugar das ra´ızes para −∞ < p < ∞, calculando toda a informa¸c˜ao relevante, como ˆangulos das ass´ıntotas, pontos de separa¸c˜ao e ˆangulos de partida. b. Determine o ganho e as ra´ızes imagin´arias puras correspondentes ao cruzamento com o eixo imagin´ario. 25. Considere o diagrama de Bode de uma planta, dada na Figura 4.58. O diagrama ´e tra¸cado para dois ganhos K1 e K2. a. Determine as margens da fase e ganho e estime o amortecimento para cada um dos ganhos usados. b. Suponha que o engenheiro respons´avel resolva deslocar o medidor para um ambiente menos hostil, mas que introduz um atraso puro de 5 seg, correspondente a uma fun¸c˜ao de transferˆencia e−5s em cascata com a planta. Determine o efeito desta mudan¸ca nas margens de estabilidade calculando a nova margem de fase para o ganho K1. 26. Considere o sistema de controle em malha fechada dado na Figura 4.59. a. Use o crit´erio de Routh-Hurwitz para determinar os valores de p para os quais existem p´olos de malha fechada com parte real igual a −2. b. Trace o lugar das ra´ızes para −∞ < p < ∞, indicando todos os pontos relevantes. EEL-DAS-UFSC 87 −2 10 −1 10 0 10 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 Magnitude Hz db −2 10 −1 10 0 10 −260 −240 −220 −200 −180 −160 −140 −120 −100 Phase Hz degrees Figura 4.55: Exerc´ıcio 19 27. Considere o diagrama de Bode de uma planta de segunda ordem, dada na Figura 4.60. a. Determine a margem da fase e estime o amortecimento, do sistema em malha fechada. b. Qual ´e a margem de ganho? Como este valor pode ser interpretado a partir da defini¸c˜ao de margem de ganho e do lugar das ra´ızes de um sistema de segunda ordem? 28. O diagrama de Nyquist de um sistema de controle ´e apresentado na Figura 4.61. a. Determine as margens de ganho e fase para o sistema. b. O que este diagrama implica em termos de estabilidade para o sistema? Esboce o t´ıpico lugar das ra´ızes para um sistema deste tipo e comente. c. Esboce um t´ıpico diagrama de Bode para este tipo de sistema e indique as margens de ganho e fase. 88 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados −2 10 −1 10 0 10 1 10 −60 −40 −20 0 20 40 60 Magnitude Hz db −2 10 −1 10 0 10 1 10 −260 −240 −220 −200 −180 −160 −140 −120 −100 Phase Hz degrees Figura 4.56: Exerc´ıcio 22 Σ K (s + 1)(s + 2)(s2 + 8s + 32) R(s) Y (s) + − Figura 4.57: Exerc´ıcio 24 EEL-DAS-UFSC 89 −2 10 −1 10 0 10 −70 −50 −30 −10 10 30 50 70 90 Magnitude Hz db . . −2 10 −1 10 0 10 −260 −220 −180 −140 −100 −60 −20 Phase Hz degrees . K1 K2 Figura 4.58: Exerc´ıcio 25 Σ s + 7 s + 5 1 s + p R(s) Y (s) + − Figura 4.59: Exerc´ıcio 26 90 Cap´ıtulo 4: Propriedades B´asicas de Sistemas Realimentados −2 10 −1 10 0 10 1 10 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 Magnitude f (Hz) (dB) . −2 10 −1 10 0 10 1 10 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 f (Hz) . Fase Graus Figura 4.60: Exerc´ıcio 27 ω3 ω2 ω1 Im[G(jω)] Re[G(jω)] a b c −1 Figura 4.61: Exerc´ıcio 28 CAP´ITULO 5 Objetivos do controle e estruturas b´asicas de controladores 5.1 Introdu¸c˜ao Quando o sistema em malha fechada n˜ao atende os requisitos de projeto em termos de desempenho em regime e transit´orio desejados, deve-se modificar a fun¸c˜ao de transferˆencia atrav´es do uso de um controlador ou compensador. Este controlador deve ter as propriedades adequadas para modificar as caracter´ıstcas do sistema, para que os requisitos de projeto sejam atingidos. Embora diversas estruturas de controle possam ser usadas, os controladores s˜ao geralmente escolhidos dentre alguns tipos b´asicos de estrutura, o que facilita a an´alise do seu comportamento e o projeto dos seus parˆametros. N˜ao se justifica, na maior parte das aplica¸c˜oes, a escolha de estruturas diferentes das padronizadas. Em geral, quanto mais complexa a estrutura de um controlador, com maior n´umero de parˆametros, maior ´e a liberdade em atender diversos requisitos de projeto, mas mais complexo ´e o ajuste dos parˆametros. Neste cap´ıtulo discutiremos tanto estes princ´ıpios gerais de projeto e os requisitos sobre os controladores, como as estruturas que atendem `aqueles requisitos. Os controladores apresentados nesta se¸c˜ao ser˜ao usados nos cap´ıtulos seguintes, os quais abordam a quest˜ao do projeto, ou seja, da determina¸c˜ao dos parˆametros dos controladores visando algum desempenho especificado do sistema em malha fechada. O projeto de sistemas de controle visa obter um desempenho do sistema tal que 1. o sistema seja est´avel, 2. a resposta transit´oria do sistema seja ¨aceit´avel¨, 3. o erro em regime permanente que atenda `as especifica¸c˜oes. Para se obter tal desempenho, o primeiro passo consiste no ajuste dos parˆametros do sistema de modo a atender as especifica¸c˜oes (1) a (3) acima. Para tanto, pode-se lan¸car m˜ao dos m´etodos j´a estudados. Por exemplo, usando-se o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes ´e posss´ıvel determinar o valor do ganho est´atico de modo a assegurar um desempenho est´avel, para uma dada raz˜ao de amortecimento dos p´olos dominantes. Ou, alternativamente, os Diagramas de Bode podem ser usados para ajustar parˆametros do sistema de modo a se obter margem de ganho e fase especificadas etc... Contudo, nem sempre ´e poss´ıvel se obter o desempenho desejado atrav´es de simples ajuste de parˆametros. Muitas vezes as especifica¸c˜oes em termos do regime transit´orio e aquelas que dizem respeito ao regime permanente s˜ao conflitantes, de modo que n˜ao ´e poss´ıvel se atender a ambas as especifica¸c˜oes ajustando-se os parˆametros do sistema existente. Nestes casos, faz-se necess´ario partir-se para um re-estudo da estrutura do sistema. Assim, pode-se dizer de maneira ampla que o projeto de sistema de controle diz respeito ao arranjo da estrutura do sistema e `a sele¸c˜ao de parˆametros (e componentes) convenientes. A altera¸c˜ao na estrutura e/ou o ajuste de um sistema de controle de modo que se obtenha o desempenho desejado ´e chamada compensa¸c˜ao. Como o nome indica, a compensa¸c˜ao visa suprir as deficiˆencias do sistema com o fim de se obter o desempenho 92 Capítulo 5: Objetivos do controle e estruturas básicas de controladores desejado. Os métodos de projeto a serem vistos nos capítulos subsequentes para sistemas de 1 e 2ª ordem (através de controladores passa-baixo, PI, PID) são métodos de compensação. Neste capítulo, se re-examinará o problema da compensação de sistemas usando-se como ferramenta os Diagramas de Bode e o Lugar Geométrico das Raízes. 5.2 Compensação Série Este é o tipo de compensação mais comum, e será o único a ser estudado aqui. Seja G(s) a função de transferência do processo e C(s) a FT do controlador (ou compensador). Como C(s) é conectado em cascata com G(s), a função de transferência de malha fechada do sistema composto, supondo-se realimentação unitária, será C(s)G(s). A função de transferência C(s) do compensador tem geralmente uma estrutura fixada (que pode ser alterada no decorrer do projeto) e seu parâmetros são escolhidos de modo a se alterar a forma da resposta em frequência de G(s). No caso mais geral, C(s) tem a forma C(s) = K ∏M (s + z ) ∏N (s + p ) =1 =1 (5.2.1) N i (s + z i ) M i =1 (s + z i )i =1 5.3 Características desejáveis do sistema controlado O sistema em malha fechada, com o controlador projetado, deve apresentar algumas características básicas tanto do ponto de vista de desempenho em regime permanente quanto em regime transitório. O desempenho transitório envolve a estabilidade, amortecimento e tempo de resposta. O desempenho em regime permanente se refere aos erros em regime a diversos sinais padrão. De forma genérica podemos descrever os requisitos de projeto como sendo: Estabilidade Esta é uma característica fundamental para sistemas de controle, que devem ser estáveis para a faixa de variação esperada dos parâmetros. Boa resposta transitória Do ponto de vista de desempenho dinâmico, além da estabilidade o sistema deve apresentar uma adequada resposta transitória, no sentido de que o amortecimento deve ser elevado e o tempo de resposta deve ser reduzido. A determinação precisa dos valores de amortecimento e tempo de resposta dependem dos requisitos de projeto e limitações decorrentes das próprias características do sistema controlado. Respostas do tipo exponencial amortecida (tipo 1ª ordem) ou do tipo oscilatória amortecida (tipo 2ª ordem) com um amortecimento entre 0, 43 e 0, 70, são consideradas como adequadas. Erro nulo ou baixo O sistema deve apresentar um erro nulo ou baixo em regime permanente a sinais padrão como degrau, rampa ou parábola. O sinal a ser usado depende dos objetivos do sistema de controle. No Capítulo 3 foi visto que as características de resposta de um sistema podem ser analisadas do ponto de vista da posição dos pólos no plano complexo ou em termos das características da resposta em frequência do sistema, como dadas, por exemplo, pelo diagrama de Bode. Analisaremos a seguir as características desejáveis do sistema do ponto de vista da posição dos pólos no plano complexo e da resposta em frequência, e a ação esperada do controlador para que aquelas características sejam atingidas. 5.3.1 Posição dos pólos A posição dos pólos dominantes do sistema pode ser relacionada ao amortecimento e tempo de resposta do sistema, como vimos no Capítulo 2. Do ponto de vista de desempenho transitório, quanto mais afastados os pólos dominantes do eixo imaginário, mais rápido é o sistema. O amortecimento também aumenta com a proximidade dos pólos do eixo real. Se o sistema em malha fechada não tem o desempenho transitório esperado, então o controlador deve modificar o lugar das raízes assegurando que os pólos dominantes estejam localizados de tal forma a atender alguns requisitos. Do ponto de vista do desempenho em regime permanente, o ganho correspondente à posição dos pólos domi nantes deve ser alto o suficiente para garantir que o erro esteja dentro da faixa fixada. Novamente o controlador deve atuar no sentido de atender a este requisito, mas sem alterar o lugar das raízes significantemente em torno da posição dos pólos dominantes. EEL-DAS-UFSC 93 5.3.2 Resposta em freq¨uˆencia Pode-se resumir as caracter´ısticas desej´aveis do sistema de controle em termos da resposta em freq¨uˆencia, dizendo que o diagrama de Bode da fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta deve apresentar altos ganhos em baixas freq¨uˆencias e baixos ganhos em altas freq¨uˆencias. Altos ganhos em baixas freq¨uˆencias est˜ao diretamente relacionados `a altas constantes de erro (ou seja, altos ganhos est´aticos, de velocidade, etc). Por outro lado, baixos ganhos em altas freq¨uˆencias, assegura maiores margens de ganho ou de fase. Portanto, do ponto de vista do desempenho em regime permanente, o controlador deve permitir o aumento de ganho nas baixas freq¨uˆencias, impedindo que a margem de fase seja deteriorada. Do ponto de vista da resposta transit´oria o controlador deve aumentar a margem de fase e a banda de passagem do sistema, para assegurar que os requisitos de amortecimento e de tempo de resposta sejam atendidos. 5.4 Estrutura de controladores Nesta se¸c˜ao as estruturas de controle usadas para atender os requisitos de projeto discutidos na se¸c˜ao anterior, ser˜ao apresentados. 5.4.1 Controlador Proporcional Neste caso o controlador ´e simplesmente um ganho. A fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por C(s) = K (5.4.1) O sinal de controle ´e dado por u = Ke. Como apenas um parˆametro pode ser ajustado, o atendimento de requisitos de projeto ´e limitado. 5.4.2 Controle proporcional-derivativo (PD) O controlador puramente derivativo tem uma a¸c˜ao de controle dada por u(t) = KTD d e dt , ou seja, proporcional a derivada do erro. A constante TD ´e a constante de deriva¸c˜ao. A fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador ´e dada por C(s) = K TD s (5.4.2) Observa-se que, se e(t) ´e constante, a sa´ıda do controlador ´e zero. No controle derivativo a corre¸c˜ao depende da taxa de varia¸c˜ao do erro. Um controlador derivativo exibe uma resposta antecipat´oria, estando adiantado de TD segundos com rela¸c˜ao ao controlador proporcional. Este comportamento indica que o controlador derivativo ´e adequado para melhorar o comportamento transit´orio do sistema. Em geral usa-se um controlador proporcional-derivativo, onde o sinal de controle ´e proporcional ao erro e `a derivada do erro. A a¸c˜ao de controle ´e dada por u(t) = Ke(t)+KTD de(t) dt e a fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador ´e C(s) = K(1 + s TD) (5.4.3) Neste caso a posi¸c˜ao do zero e o ganho podem ser ajustadoss, atrav´es do ajuste dos dois parˆametros K e TD. Deve-se observar que um controlador com a estrutura apresentada n˜ao ´e realiz´avel fisicamente. Sempre existir´a um p´olo na implementa¸c˜ao real do controlador. No entanto pode-se considerar que o p´olo est´a suficientemente distante no lado esquerdo do plano complexo para que o modelo possa ser usado. Um problema com o controlador proporcional-derivativo ´e o alto ganho que ele apresenta em altas freq¨uˆencias. Como resultado o ru´ıdo, que tem componentes de altas freq¨uˆencia ser´a amplificado. Esta quest˜ao ser´a discutida na abordagem de projeto no dom´ınio da freq¨uˆencia. 5.4.2.1 Configurac¸˜ao p´olo-zero A configura¸c˜ao zero-p´olo do controlador proporcional-derivativo ´e apresentada na Figura 5.1. O controlador apresenta um zero pr´oximo do eixo imagin´ario e um p´olo, que n˜ao aparece no modelo, distante `a esquerda no eixo real. 5.4.2.2 Resposta em freq¨uˆencia O diagrama de Bode do controlador PD ´e apresentado na Figura 5.2. 94 Capítulo 5: Objetivos do controle e estruturas básicas de controladores Jw Figura 5.1: Configuração pólo-zero do controlador PD 1 TD σ ω 1 = TD ω /rad/seg . Face 20logK 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Grau Magnitude dB Figura 5.2: Diagrama de Bode do controlador proporcional-derivativo 5.4.3 Controlador Proporcional-Integral (PI) O controlador integral puro tem uma ação de controle u(t) proporcional a integral do erro. u(t) = K [∫ ()] 5.4.4 Usando a transformada de Laplace a função de transferência do controlador é: U (s) = C(s) = K E(s) TIs Este controlador permite obter um erro nulo à entrada degrau (e P = 0) , devido a uma integração. Prefere-se, no entanto usar um controlador proporcional-integral, que mantem as propriedades quanto ao erro, mas apresenta mais mais graus de liberdade para o ajuste. A ação de controle u(t) do proporcional-integral é proporcional ao erro e(t) e à integral do erro u(t) = K e(t) + K [∫ ()] 0 dt TI 0 ou u(t) = K [e(t) + ∫ () 0 η dη] 0 5.4.3.1 Configuração pólo-zero É interessante analisar a configuração pólo-zero do controlador PI (Figura 5.3). O pólo do controlador está fixo na origem. O zero pode ser posicionado através da escolha de T I e está à esquerda do pólo. O ganho pode ser ajustado. Portanto tem-se dois parâmetros ajustáveis do controlador K e T I . Jω σ Figura 5.3: Configuração pólo-zero do controlador PI 5.4.3.2 Resposta em frequência O diagrama de Bode de um controlador proporcional-integral está mostrado na Figura 5.4. 5.4.4 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) O controlador PID consiste em se elaborar um controle que é a soma de três termos: um termo proporcional ao erro, um termo proporcional a integral do erro e um termo proporcional a derivada do erro. Este tipo de controle é muito usado na indústria, pois permite regular o amortecimento e o tempo de resposta do controle de um processo modelado por um sistema de 2ª ordem. 5.4.4.1 Estruturas do controlador PID Duas formas principais podem representar este tipo de controlador, a primeira das quais sendo expressa por u(t) = Ae(t) + B ∫ e(t)dt + C () = A [ e(t) + ) ∫ e(t)dt + 0 0 ] dt C d de(t) B A dt A 96 \ Capítulo 5: Objetivos do controle e estruturas básicas de controladores Magnitude \omega = \frac{1}{T_1}\omega(rad/seg) 20logK Fase \omega(rad/seg) 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 Figura 5.4: Diagrama de Bode do controlador proporcional-integral Por razão de homogeneidade, os coeficientes (B/A) e (C/A) são necessariamente do tipo (1/T_1) e T_2, onde T_1 e T_2 são constantes de tempo. Aplicando-se a transformada de Laplace obtém-se uma primeira forma para o controle PID. C(s) = A \left[1 + \frac{1}{sT_1} + sT_2\right] ou, de outra forma, C(s) = \frac{A}{sT_1}[T_1T_2s^2 + T_1s + 1] Em geral, uma segunda forma é preferida, na qual representa-se o regulador PID como resultado da colocação em série de um controlador PI seguido de um controlador PD. (Fisicamente, no caso de um controlador analógico, isto corresponde a uma placa eletrônica (PI) cuja saída alimenta uma segunda placa (PD)). Escreve-se então C(s) = K \left(1 + \frac{1}{sT_1}\right)\left(1 + sT_D\right) A comparação das equações anteriores fornece, \frac{K}{T_I} = \frac{A}{T_1}, \ T_I + T_D = T_1 \ e \ T_I T_D = T_1 T_2 5.4.4.2 Configuração pólo-zero A configuração pólo-zero do controlador PID é apresentada na Figura 5.5. 5.4.4.3 Resposta em frequência do controlador PID A resposta em frequência do controlador PID é apresentada na Figura 5.6. 5.4.5 Compensador de Avanço de Fase O controlador de avanço de fase tem a seguinte função de transferência: C(s) = K\frac{Ts + 1}{\alpha Ts + 1} \quad \text{com} \quad \alpha < 1 \quad (5.4.5) EEL-DAS-UFSC 97 ω σ × ◦ − 1 TI ◦ − 1 TD Figura 5.5: Configura¸c˜ao p´olos-zero do controlador PID . −110 −70 −30 10 50 90 130 . ω = 1 TD ω = 1 TI ω(rad/seg) ω(rad/seg) Magnitude Fase dB Graus 20logK Figura 5.6: Diagrama de Bode do controlador proporcional-integral-Derivativo O controlador de avan¸co de fase aproxima a a¸c˜ao de um controlador proporcional-derivativo. Este compendador tamb´em ´e apresentado na forma C(s) = K s + z s + p (5.4.6) com |z| < |p|. 5.4.5.1 Configurac¸˜ao p´olo-zero A compara¸c˜ao da configura¸c˜ao p´olos-zeros deste controlador (Figura 5.7) com a do PD, dado na Figura 5.1, mostra que o primeiro aproxima a a¸c˜ao do segundo. 5.4.5.2 Resposta em freq¨uˆencia A resposta em freq¨uˆencia do compensador de avan¸co de fase ´e mostrada na Figura 5.8. ´E interessante comparar esta figura com a Figura 5.2. Embora o controlador de avan¸co aproxime a a¸c˜ao do controlador PD, ele n˜ao apresenta um alto ganho nas altas freq¨uˆencias. Observa-se nos diagramas de Bode que, nas baixas freq¨uˆencias (ω < 1 T ) se introduz uma atenua¸c˜ao igual a 20 log α. Assim a estrutura do avan¸co de fase ´e fundamentalmente um filtro ¨passa-altas¨: as altas freq¨uˆencias passam enquanto que as baixas freq¨uˆencias s˜ao atenuadas. Al´em disso, introduz-se um ˆangulo de avan¸co de fase apreci´avel na faixa ω = 1 T a ω = 1 αT C´alculo do ˆangulo de m´axima fase 98 \ Capítulo 5: Objetivos do controle e estruturas básicas de controladores Jω × -\frac{1}{\alpha T} -\frac{1}{T} σ Figura 5.7: Configuração pólo-zero do controlador de avanço de fase dB Magnitude \omega = \frac{1}{\alpha T} \omega = \frac{1}{T} \omega(rad/seg) 20logK Graus Fase \omega(rad/seg) 0 10 20 30 40 50 60 Figura 5.8: Diagrama de Bode do controlador de avanço de fase Este é o ângulo onde ocorre o máximo avanço de fase do compensador. A fase é dada por: \varphi(\omega) = \arctan(\omega T) - \arctan(\omega \alpha T) \frac{d\varphi}{d\omega} = \frac{T(1 + \omega^2 \alpha^2 T^2) - T(1 + \omega^2 T^2)}{(1 + \omega^2 T^2 \alpha^2)(1 + \omega^2 T^2)} Para \frac{d\varphi}{d\omega} = 0 \quad segue \, que \quad \omega_{max} = \frac{1}{T \sqrt{\alpha}} onde \omega_{max} é a frequência em que ocorre a fase máxima. Este resultado mostra que \omega_{max} é a média geométrica das frequências do zero e do pôlo. A fase máxima é obtida de \varphi_{max} = \varphi(\omega_{max}) = \arctan\left(\frac{T}{T\sqrt{\alpha}}\right) - \arctan\left(\frac{\alpha T}{T\sqrt{\alpha}}\right) o que, após simplificações resulta em \tan\varphi_{max} = \frac{1 - \alpha}{2\sqrt{\alpha}} o que leva à \sen\varphi_{max} = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} EEL-DAS-UFSC O módulo na fase máxima é obtido a partir de \omega_{max} = \frac{1}{T \sqrt{\alpha}} e |C(j\omega_{max})| = K \frac{\sqrt{1 + (\omega_{max}T)^2}}{\sqrt{1 + (\omega_{max}\alpha T)^2}} = K \frac{1}{\sqrt{\alpha}} e portanto, em dB 20 \times \log [C(j\omega_{max})] = 20\log K + 10 \log \frac{1}{\alpha} A curva de \varphi_{max} em função de \alpha é mostrada na figura 5.9. 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Figura 5.9: Curva \varphi_{max} \times \frac{1}{\alpha} O ângulo de fase que pode ser obtido usando-se este compensador não pode, portanto, passar muito de 70 graus. Ângulos maiores requereriam valores muito grandes de \alpha, devido à tendência de saturar o valor do ângulo de avanço. Assim, se for desejado um \varphi_{max} > 70 \ graus deve-se usar dois circuitos de avanço de fase em cascata. O compensador de avanço de fase é usado para melhorar a margem de fase do sistema através da adição de um ângulo de fase positivo. No lugar geométrico das raízes, este compensador permite a reconfiguração do LGR de modo a fornecer o posicionamento desejado dos pólos em malha fechada. 5.4.5.3 Realização de uma Função de Transferência de Avanço de Fase A função de transferência do compensador de atraso de fase pode ser obtida com o circuito mostrado na figura 5.10. v_i(t) C R_1 R_2 R_F v_o(t) Figura 5.10: Realização do compensador de avanço de fase EEL-DAS-UFSC 101 ω σ ◦ − 1 T × − 1 α T Figura 5.11: Configura¸c˜ao p´olo-zero do controlador de atraso de fase 5.4.6.2 Resposta em freq¨uˆencia A resposta em freq¨uˆencia do controlador de atraso de fase ´e mostrada na Figura 5.12 . −50 −40 −30 −20 −10 0 . ω = 1 T ω = 1 αT Magnitude Fase dB Graus ω(rad/seg) ω(rad/seg) Figura 5.12: Diagrama de Bode do controlador de atraso de fase O m´aximo atraso de fase ocorre, analogamente ao caso do compensador de avan¸co de fase, na freq¨uˆencia ωmin = 1 T √α e ´e igual a ϕmin = arcsin 1 − α 1 + α No entanto, neste caso n˜ao h´a interesse nestes valores. Do diagrama de Bode da amplitude pode-se constatar que o compensador de atraso de fase ´e um filtro passa- baixas: passam as baixas freq¨uˆencias enquanto que as altas s˜ao atenuadas. 102 Cap´ıtulo 5: Objetivos do controle e estruturas b´asicas de controladores Ri C R2 RF − + ∞ ve(t) vs(t) 1 Figura 5.13: Realiza¸c˜ao do compensador de atraso de fase 5.4.6.3 Realizac¸˜ao de uma Func¸˜ao de Transferˆencia de Atraso de Fase A fun¸c˜ao de transferˆencia do compensador de atraso de fase pode ser obtida com o circuito mostrado na figura 5.13. A fun¸c˜ao de transferˆencia deste circuito ´e obtida somando-se a corrente no n´o 1. ve − v1 Ri + vs − v1 R2 + R1 1+sR1C Para altos valores do ganho do amplitude tem-se v1 → 0 e portanto vs ve = −R1 + R2 Ri 1 + s R1R2 R1R2 C 1 + sR1C Definindo-se Kc = R1 + R2 Ri T = R1R2 R1 + R2 C α = R1 + R2 R2 obt´em-se C(s) = (1 + sT ) (1 + sαT , α > 1 EEL-DAS-UFSC 103 Exerc´ıcios 1. A partir dos requisitos usuais para um sistema de controle de malha, em termos de desempenho em regime permanenente, analise e comente a adequa¸c˜ao de um controlador proporcional-integral para atender `aqueles requisitos. Use o lugar das ra´ızes e a resposta em freq¨uˆencia de alguns exemplos e as caracter´ısticas do controlador, para fazer aquela an´alise. 2. Repita o Exerc´ıcio 1 para o caso de um controlador proporcional-derivativo, mas considerando o desempenho transit´orio. 104 Cap´ıtulo 5: Objetivos do controle e estruturas b´asicas de controladores CAP´ITULO 6 M´etodos diretos de projeto 6.1 Introdu¸c˜ao Neste cap´ıtulo ser˜ao introduzidos m´etodos diretos que permitem o projeto de controladores sem a necessidade de m´etodos mais sofisticados, a serem vistos nos cap´ıtulos seguintes. Para sistemas com dominˆancia de primeira e segunda ordem o projeto pode ser feito de forma direta, como ser´a mostrado neste cap´ıtulo. O m´etodo de Ziegler-Nichols tamb´em ´e um m´etodo direto para o projeto de controladores e ser´a apresentado na parte final do cap´ıtulo. 6.2 Controle de Processos de 1a ou 2a Ordem Nesta se¸c˜ao s˜ao considerados o projeto de controladores para sistemas de primeira e segunda ordem. Como a ordem da planta ´e baixa, o projeto pode ser realizado usando uma abordagem simples. O processo pode realmente ser de primeira ou segunda ordem ou uma aproxima¸c˜ao de primeira ou segunda ordem de um processo de ordem mais elevada. 6.2.1 Controle de Processos de 1a Ordem Seja o processo mostrado na figura 6.1. Σ C(s) g 1 + sτ R(s) Y (s) + − Figura 6.1: Processo de 1a ordem Neste caso, consideramos processos para os quais o ganho g e a constante de tempo τ podem ser determinados experimentalmente (pela resposta ao degrau, por exemplo) ou teoricamente, tendo eventualmente sido desprezada uma segunda constante de tempo, muito pequena com rela¸c˜ao a τ. ´E necess´ario notar que a realidade ´e representada pelo modelo g/(1 + sτ), mas pode acontecer que esta seja apenas uma representa¸c˜ao aproximada relativa a uma certa escala de amplitude e de tempo. Ser´a necess´ario, por conseguinte, ao fixar um tempo de resposta desejado para o sistema em malha fechada (MF), lembrar que este tempo de resposta (controlado) deve ser comparado com aquele do sistema n˜ao-controlado, e que suas escalas de tempo devem ser compat´ıveis com a precis˜ao das medidas do modelo dinˆamico em malha aberta. Por exemplo, se um processo fosse modelado por um ganho e uma constante de tempo de 2 seg, e se as condi¸c˜oes experimentais para a determina¸c˜ao do modelo foram tais que uma 108 Cap´ıtulo 6: M´etodos diretos de projeto u(∞) = K 1 + Kg satura¸c˜ao u(0) t u(t) ✻ ✲ Figura 6.4: Forma do sinal de controle Σ K g (1 + sτ)(1 + sǫτ) R(s) E(s) U(s) Y (s) + − Figura 6.5: Processo de 2a ordem com C(s) = K ou, em forma mais compacta, Y (s) R(s) = Kg 1 + Kg 1 [ǫτ2/(1 + Kg)]s2 + [(1 + ǫ)τ/(1 + Kg)]s + 1 Se Kg for elevado, o sistema de 2a ordem pode ser oscilat´orio. Adota-se, portanto, a forma normalizada dos sistemas de 2a ordem. Y (s) R(s) = Kg 1 + Kg × 1 (1/ω2n)s2 + (2ζ/ωn)s + 1 onde, 1 ω2n = ǫτ2 (1 + Kg) = ǫe∞τ 2 desde que e∞ = 1 1+Kg, e 2ζ ωn = (1 + ǫ)τ 1 + Kg = (1 + ǫ)e∞τ e portanto, ωn = 1 τ 1 √ǫe∞ e ζ = 1 2 × 1 + ǫ √ǫ √e∞ A express˜ao de ζ mostra que quando esperava-se uma resposta de 1a ordem obteve-se na realidade uma resposta de 2a ordem cujo amortecimento ´e tanto menor quanto menor for o erro desejado em regime permanente (e∞); al´em disso, este amortecimento ´e fun¸c˜ao da rela¸c˜ao ǫ entre as constantes de tempo. Considerando que qualitativamente a resposta de um sistema de 2a ordem assemelha-se a de 1a ordem quando ζ ≥ 1, 0, podemos considerar que o modelo de 1a ordem ´e qualitativamente bom se a resposta obtida ´e pr´oxima daquela prevista no estudo te´orico. ζ ≥ 1, 0 ⇒ 1 2 × 1 + ǫ √ǫ × √e∞ ≥ 1, 0 onde, admitindo-se (1 + ǫ) ≈ 1, 0 obt´em-se √e∞ ≥ 2√ǫ ⇒ e∞ ≥ 4ǫ, ou tamb´em ǫ ≤ e∞ 4 EEL-DAS-UFSC 109 A rela¸c˜ao precedente mostra que quando se deseja usar um modelo de 1a ordem para se calcular um controle proporcional, tal que o erro e∞ seja fixado e que a resposta do sistema controlado seja semelhante `aquela prevista a partir do modelo, ´e necess´ario que as constantes de tempo desprezadas sejam suficientemente pequenas. Por exemplo, para e∞ = 10% = 0, 1 a constante de tempo que pode ser desprezada deve ser tal que ǫ ≤ (0, 1/4) = (1/40); isto ´e, ela deve ser pelo menos 40 vezes menor do que a constante de tempo retida. Para facilitar a regulagem para um controle de um processo de 1a ordem ´e desej´avel poder regular separadamente o erro e o tempo de resposta do sistema controlado. Conforme o que foi visto anteriormente, um controlador proporcional isolado (a¸c˜ao u(t) = Ke(t)) imp˜oe uma rela¸c˜ao entre o tempo de resposta e o erro. ´E necess´ario, portanto, usar um esquema de controle mais eleborado para obter a regula¸c˜ao separada de ambas vari´aveis. Dois tipos de controladores simples permitem obter essse resultado : o controlador de atraso de fase e o controlador proporcional − integral (PI). 6.2.1.2 Controlador de atraso de fase Considere o sistema mostrado na Figura 6.6 com o controlador dado por Σ K 1 + sT 1 + sαT g (1 + sτ) R(s) E(s) U(s) Y (s) + − Figura 6.6: Sistema com controlador de atraso de fase C(s) = K (1 + s T ) (1 + s α T ) onde, K ´e um ganho regul´avel, T ´e uma constante de tempo regul´avel, e α ´e um ganho regul´avel com α > 1. Podemos realizar um estudo por lugar das ra´ızes para escolher o projeto mais simples. A regulagem mais simples consiste em se fazer T = τ, o que permite simplificar o zero do controlador com o p´olo da planta. Obt´em- se, portanto, Y (s) R(s) = Kg/(1 + sαT ) 1 + Kg(1 + sαT ) = Kg 1 + Kg 1 1 + s[ατ/(1 + Kg)] que ´e do tipo 1a ordem Y (s) R(s) = Kg 1 + Kg × 1 1 + sτa , τa = ατ 1 + Kg O erro est´atico erp ´e igual ao do caso precedente, ou seja erp = 1 1 + Kg, regul´avel por K. A resposta ao degrau de referˆencia ser´a do tipo 1a ordem, com uma constante de tempo aparente τa, tal que τa = ατ 1 + Kg = αerpτ regul´avel por K, para um erp especificado. O tempo de resposta ser´a tMF r5% = 3τa = 3ατerp = αerptMA r5% onde tMF r5% e tMA r5% denotam os tempos de resposta a 5% em malha fechada e malha aberta, respectivamente. Este esquema permite obter uma boa precis˜ao erp e um tempo de resposta regul´avel. Em particular poder-se-´a ter sistemas cuja gama de tempo de resposta sob controle seja compat´ıvel com aquela do tempo de resposta em malha aberta. Exemplo 6.2.2 Para um erro erp = 1 tem-se um tempo de resposta a 5% tMF r = 0, 1tMA r com α = 10, 0 EEL-DAS-UFSC 113 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 y(t) t K aumenta Figura 6.11: Curva y(t) × t parametrizadas por K Selecionando Td = τ1 e TI = τ2, C(s)G(s) reduz-se `a C(s)G(s) = Kg sτ2 de forma que Y (s) R(s) = (Kg/sτ2) 1 + (Kg/sτ2) = 1 1 + sτa onde τa = (τ2/Kg). O sistema em malha fechada se comportar´a como um sistema de 1a ordem, apresentando uma evolu¸c˜ao do tipo exponencial, com uma constante de tempo aparente τa, regul´avel por K. O tempo de resposta a 5% ser´a, tMF r5% = 3τa = 3τ2 Kg = tMA r5% Kg Se o tempo de resposta ´e demais reduzido, pode aparecer uma oscila¸c˜ao na resposta, devido a uma terceira constante de tempo desprezada (a resposta ser´a de 2a ordem). Esta resposta oscilat´oria, obtida desta forma permite, se necess´ario, calcular a terceira constante de tempo. (Ver figura 6.11). Regulagem de um Controlador PID Para um Sistema de 3a Ordem Seja o sistema, G(s) = g (1 + sτ1)(1 + sτ2)(1 + sǫτ1) com τ2 ≥ τ1 ≥ ǫτ1 e ǫ ≤ 1, 0. O controle mais simples ´e obtido selecionando-se TI = τ2 e Td = τ1; o que resulta em P(s) R(s) = 1 (ǫτ1τ2/Kg)s2 + (τ 2/Kg)s + 1 O sistema em malha fechada se comportar´a ent˜ao como um sistema de 2a ordem, para o qual pode-se regular o ganho K para atender a especifica¸c˜ao do amortecimento. 6.2.2.3 Amortecimento Por Realimentac¸˜ao Derivada do Sinal de Sa´ıda O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que um processo de segunda ordem cujo amortecimento n˜ao seja adequado pode ser transformado num sistema a amortecimento regul´avel por realimenta¸c˜ao da derivada da sa´ıda. Assim, considere os sistemas mostrados na figura 6.12. 116 Cap´ıtulo 6: M´etodos diretos de projeto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Figura 6.14: Efeito da realimenta¸c˜ao derivativa no amortecimento Figura 6.15: Resposta da planta para o primeiro m´etodo de Ziegler-Nichols 6.3.1 Projeto baseado na resposta da planta Este m´etodo sup˜oe que a resposta da planta a uma entrada do tipo degrau unit´ario tem a forma dada na Figura 6.15 O modelo ´e Y (s) U(s) = ke−tds τs + 1 Define-se R = k τ e L = td. Os parˆametros do controlador s˜ao ajustados para obter-se uma raz˜ao de decaimento de 0.25. A raz˜ao de um quarto corresponde a ζ = 0.21. Ou seja, o transit´orio dominante decai um quarto do seu valor ap´os um per´ıodo de oscila¸c˜ao. Os valores propostos s˜ao dados na Tabela 6.1 6.3.2 Projeto baseado na resposta em malha fechada As regras de ajuste de parˆametros de controladores descritas nesta se¸c˜ao foram desenvolvidas `a partir das experiˆencias de Ziegler realizadas em diversos processos e tamb´em dos m´etodos de an´alise de Nichols. Os ajustes propostos s˜ao dados em termos do ganho de um controlador proporcional que leva o sistema ao limite de estabilidade, Kosc, e do per´ıodo de oscila¸c˜ao Posc. Assim, considere o processo mostrado na figura 6.16. EEL-DAS-UFSC 119 Exerc´ıcios 1. Dado o processo G(s) = 1 (s + 2)(s + 5) projete um controlador que assegure: • Erro ao degrau nulo em regime permanente. • Resposta tipo primeira ordem, com tempo de resposta a 5% tr5% = 1 seg. 2. Dado o processo G(s) = 20 (s+2)(s+4) projete um controlador que assegure, em malha fechada: • Erro ao degrau nulo em regime permanente. • Resposta tipo segunda ordem, com amortecimento ζ = 0.7. 3. Seja a fun¸c˜ao de transferˆencia de um processo, a ser controlado em malha fechada, dada por G(s) = 1 s(1 + 0.1s) (6.3.1) Deseja-se projetar um controlador a estrutura C(s) = K 1 + τ1s 1 + τ2s (6.3.2) para o projeto dado, de modo que, em malha fechada, o sistema resultante apresente as seguintes carac- ter´ısticas: • Erro em regime nulo para entrada em degrau • Resposta tipo segunda ordem, com raz˜ao de amortecimento ζ ≈ 0.5 • tempo de resposta a 5% tr5% ≈ 0.3 s 4. Para o processo com fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 5 1+0.5s projete um controlador que assegure em malha fechada: • resposta tipo 1a ordem • erro ao degrau em regime permanente de 1% • tempo de resposta a 5% de 0.1 seg. 5. Supondo que o processo do exerc´ıcio anterior possua uma dinˆamica n˜ao modelada, consistindo de um p´olo em s = −20, ou seja, G(s) = 5 (1+0.5s)(1+0.05s): • determine o tempo de resposta do sistema em malha fechada, com o compensador projetado (sistema compensado) • determine o erro em regime permanente do sistema compensado para uma entrada em degrau • determine o amortecimento e a frequencia natural do sistema compensado • simule a resposta em malha fechada a uma entrada em degrau 6. Dado o processo com fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 4 (s + 1)(s + 3)(s + 4) projete um controlador que assegure erro zero ao degrau e uma resposta de segunda ordem, com tempo de resposta a 5% tr5% = 1.5 seg e amortecimento ζ = 0.7. 7. Para o sistema do Exerc´ıcio 6, usando o m´etodo de Ziegler-Nichols, projete um controlador PI. A estrutura do controlador ´e: Gc = Kc(1 + 1 TIs) onde Kc = 0.45 Kosc e TI = 0.83 Posc. 120 Cap´ıtulo 6: M´etodos diretos de projeto 8. Um sistema de controle com realimenta¸c˜ao negativa unit´aria tem um processo com a seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 400 s(s + 40) e deseja-se usar um controlador em cascata do tipo proporcional-integral C(s) = K1 + K2 s Determine valores adequados de K1 de tal maneira que a primeira ultrapassagem seja de aproximadamente 20% e o tempo de resposta a 2% seja de 1.5 segundos. Use as condi¸c˜oes de pertinˆencia ao lugar das ra´ızes. 9. Dado o processo cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´e G(s) = 3 (5s + 1)(6s + 1) • Escolha o controlador e determine seus parˆametros para que o sistema em MF cumpra as especifica¸c˜oes: – erro ao degrau em regime permanente e(∞) = 0 – resposta tipo segunda ordem com raz˜ao de amortecimento ζ = 0, 43 • Calcule os tempos de resposta a 5% em malha aberta e malha fechada. 10. Para o processo do Exerc´ıcio 9, escolha um controlador e determine os seus parˆametros para obter para o sistema em malha fechada, erro em regime permanente ao degrau e(∞) = 0 e resposta tipo primeira ordem com tempo de resposta tr5% = 1, 0 seg. 11. Se a fun¸c˜ao de transferˆencia do processo do Exerc´ıco 9, for G(s) = 3 (5s + 1)(6s + 1)(0, 5s + 1), e se for aplicado o controlador calculado no Exerc´ıcio 10, • Qual ser´a o comportamento do sistema em MF? Simule a resposta temporal ao degrau unit´ario. • Qual o m´aximo valor do ganho do controlador compat´ıvel com uma resposta sem oscila¸c˜oes? 12. Seja o processo cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´e G(s) = 3 (1 + 10s)(1 + 0, 5s) • Desprezando a constante de tempo igual a 0,5seg, determine o controlador para o qual a resposta em MF ´e caracterizada por e (∞) = 0 e tMF − r5% = 1seg. • Considere agora as duas constantes de tempo e o controlador obtido anteriormente. Determine ζ e ωn da resposta em MF, o tMF r5% e o maior valor do ganho do controlador para que a resposta n˜ao seja oscilat´oria. 13. Usando os crit´erios de Ziegler-Nichols, determine os parˆametros de controladores P,PI e PID para os sistemas cujas fun¸c˜oes de transferˆencia s˜ao dadas abaixo: a. G(s) = 10(1 + 5s) s(1 + 0, 5s)3 b. G(s) = 1 (1 + 2s)(1 + 2s + 3s2) c. G(s) = (1 + s) (s2 + 5 s + 1)(1 + 2s)2 14. Seja o processo cuja FT em malha aberta ´e G(s)H(s) = K s(1 + 0, 2s)2 • suponha K=1, calcule as margens de ganho e fase do sistema. • Qual o valor de K que produzir´a uma margem de ganho de 6 dB? • A partir dos resultados dos itens anteriores e dos ajustes de Ziegler-Nichols, determine os parˆametros de um controlador para o processo considerado. 15. Para o sistema G(s) = 10 (s + 2)(s + 5)(s + 1) deve-se projetar um controlador. Para o projeto pode-se desprezar a menor constante de tempo EEL-DAS-UFSC 121 a. Projete para o sistema aproximado um controlador que garanta, simultaneamente: i) Resposta do tipo primeira ordem para o sistema aproximado; ii) Tempo de resposta a 5% de 0.1 seg; iii) Erro nulo ao degrau. b. Com o controlador projetado e usando o lugar das ra´ızes, estude o efeito da constante de tempo despre- zada. 16. Para o sistema da Figura 6.18a, onde G(s) = 4 (s + 2)(s + 4) a. Projete um controlador que assegure: – Erro zero a uma perturba¸c˜ao do tipo degrau. – Resposta a uma referˆencia do tipo degrau de primeira ordem com tempo de resposta a 5% de 0.1seg. b. Suponha agora que a perturba¸c˜ao atue no sistema de acordo com a Figura 6.18b. O controlador ainda rejeita a perturba¸c˜ao em degrau? Porque? Explique em que condi¸c˜oes gerais isto n˜ao acontece. D(s) Σ C(s) G(s) Σ R(s) Y (s) + − + − (a) Figura para o item 16a. D(s) Σ C(s) Σ G(s) R(s) Y (s) + − + − (b) Figura para o item 16b. Figura 6.18: Problema 16 17. Uma planta de segunda ordem ´e dada por G(s) = 4 (s + 2)(s + 4) a. Projete um controlador que assegure erro nulo a uma referˆencia em degrau e resposta de primeira ordem com tempo de resposta a 5% de 0.3 seg. b. Determine os erros ao degrau, `a rampa e `a par´abola de referˆencia do sistema compensado. Comente as propriedades do controlador com rela¸c˜ao ao erro aos diferentes sinais de referˆencia. 18. Dado o processo com fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 8 (s + 1)(s + 2)(s + 4) projete um controlador que assegure para o sistema em malha fechada • um erro em regime permanente nulo ao degrau • resposta tipo segunda ordem com primeira ultrapassagem de 20% ´E desej´avel que a escolha de parˆametros do controlador seja feita assegurando um baixo tempo de resposta. Calcule este tempo de resposta a 5% do sistema em malha fechada. 122 Cap´ıtulo 6: M´etodos diretos de projeto CAP´ITULO 7 Projeto usando o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes 7.1 Introdu¸c˜ao Os objetivos do projeto de sistemas de controle foram discutidos no Cap´ıtulo 5. No Cap´ıtulo 6 foram apresenta- dos m´etodos r´apidos de projeto, aplic´aveis a sistemas com caracter´ısticas particulares. Neste cap´ıtulo abordaremos um m´etodo mais geral de projeto baseado no lugar geom´etrico das ra´ızes. Este m´etodo baseia-se na especifica¸c˜ao da dinˆamica dominante do sistema atrav´es do posicionamento de um par de p´olos complexos conjugados que do- minar˜ao a resposta em malha fechada. Os parˆametros do controlador dever˜ao ser tais que assegurem que o lugar das ra´ızes passe pelos p´olos especificados A vantagem do uso do lugar geom´etrico das ra´ızes ´e a possibilidade de especificar a resposta transit´oria dominante, j´a que se posicionam as ra´ızes dominantes. Por outro lado o uso do lugar geom´etrico das ra´ızes apresenta a desvantagem de n˜ao se poder especificar diretamente as constantes de erro e portanto a precis˜ao. Se esta no final n˜ao for satisfat´oria, a posi¸c˜ao das ra´ızes dominantes e do p´olo e zero do compensador deve ser alterada. Compensadores de avan¸co de fase e de atraso de fase podem ser projetados usando o lugar geom´etrico das ra´ızes. Como visto anteriormente, o compensador de avan¸co de fase permite melhorar o desempenho transit´orio. O compensador de atraso de fase permite reduzir o erro em regime permanente. Existem diversas variantes de projeto, mas um procedimento mais ou menos sistem´atico, como apresentado por alguns autores, leva a um projeto adequado na maior parte dos casos. O projeto ´e em geral iterativo, ou seja, precisa ser refeito se alguns dos objetivos n˜ao foram atentidos. A verifica¸c˜ao se os objetivos foram ou n˜ao atendidos pode ser realizada atrav´es de simula¸c˜ao ou mesmo em testes na planta real. No caso de simula¸c˜ao, modelos detalhados, incluindo inclusive n˜ao-linearidades, pode ser usado. O projeto ´e realizado com um modelo linear e frequentemente um modelo simplificado de ordem baixa. Assim, o uso de modelos detalhados permite levar em conta aspectos do sistema real n˜ao considerados no projeto, como ´e o caso de n˜ao linearidades. Testes na planta real permitem refinar os parˆametros do controlador. Por exemplo, um ganho pode ser reduzido em fun¸c˜ao do n´ıvel de ruido. Ensaios permitem ent˜ao verificar se o desempenho do controlador ´e satisfat´orio. 7.2 Projeto do compensador de Avan¸co de Fase O controlador de avan¸co de fase ´e dado por C(s) = K s + z s + p com |z| < |p| As posi¸c˜oes do p´olo e do zero devem ser escolhidas de modo a produzir um lugar geom´etrico das ra´ızes satisfat´orio para o sistema compensado. 124 Cap´ıtulo 7: Projeto usando o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes A id´eia b´asica ´e traduzir os requisitos de projeto na posi¸c˜ao de um par de p´olos dominantes que dariam, idealmente no caso de um sistema de segunda ordem, a caracter´ısitica de resposta do sistema de malha fechada especificada pelo projetista, em termos de figuras de m´erito como tempo de resposta e amortecimento. O sistema em malha fechada ter´a assim um par de p´olos especificados, que devem ser dominantes. N˜ao h´a controle da posi¸c˜ao dos demais p´olos e zeros, que sabemos tamb´em influenciam a resposta. O erro em regime permanente deve ser verificado a posteriori. Ou seja, para se ter os p´olos desejados, o ganho, e portanto as constantes de erro, est˜ao determinadas. Se o erro for superior ao especificado, ou o projeto ´e modificado ou usa-se um compensador de atraso de fase, como ser´a discutido mais adiante. Um procedimento sistem´atico para a compensa¸c˜ao por avan¸co de fase via lugar geom´etrico das ra´ızes segue os passos seguintes: 1. Listar as especifica¸c˜oes do sistema e traduzi-las em posi¸c˜oes desejadas para as ra´ızes dominantes. 2. Esbo¸car o lugar geom´etrico das ra´ızes do sistema n˜ao compensado e verificar se as ra´ızes desejadas podem ser obtidas com o sistema n˜ao compensado, ou seja, apenas variando o ganho. Se este for o caso, um controlador proporcional seria suficiente para se obter os p´olos dominantes desejados e apenas o atendimento dos requisitos de erro em regime permanente deveriam ser considerados. 3. Se o compensador dinˆamico for necess´ario, posiciona-se o zero do controlador. Para isto pode-se seguir pelo menos dois procedimentos • localizar o zero do compensador de avan¸co de fase diretamente abaixo da posi¸c˜ao desejada para as ra´ızes, ou seja, o zero corresponde a parte real dos p´olos dominantes, ou `a esquerda desta posi¸c˜ao. Esta escolha tende a fazer com que o zero n˜ao altere a dominˆancia das ra´ızes desejadas. Se o zero for posicionado mais a direita, h´a a possibilidade de que haja um p´olo dominante mais a direita do que os p´olos dominantes especificados, no ramo do lugar das ra´ızes que termina no zero. • o zero ´e usado para cancelar um dos p´olos da planta. O p´olo cancelado depende do tipo do sistema. Para um sistema Tipo 1 ou mais elevado, o maior p´olo real (excluindo-se p´olos na origem), deve ser cancelado. Para um sistema Tipo 0, o segundo maior p´olo deve ser cancelado. Estas diretrizes visam assegurar que os p´olos especificados sejam os dominantes. Para clarificar este ponto, seja o sistema com trˆes p´olos reais de malha aberta como mostrado na Figura 7.1a, com o lugar geom´etrico das ra´ızes associado. Na mesma figura ´e mostrado o p´olo de malha fechado desejado, sd. Este p´olo especi- ficado foi obtido a partir das especifica¸c˜oes em termos do par ζ, ωn, otidos por sua vez de especifica¸c˜oes de amortecimento e tempo de resposta do sistema em malha fechada, conforme mostrado na Figura 7.1b ζ = cosθ ζωn ωn θ sd σ jω ✻ ✲ (a) P´olos dominantes especificados ✛ ✲ ✛ sd σ jω ✻ ✲ (b) Lugar das ra´ızes sem compensa¸c˜ao Figura 7.1: Compensa¸c˜ao via lugar geom´etrico das ra´ızes Para o lugar geom´etrico das ra´ızes do sistema n˜ao compensado mostrado na Figura 7.1b, o zero ´e acrescentado de modo a fornecer um avan¸co de fase de 90 graus. Para tanto, ele ´e colocado diretamente abaixo da posi¸c˜ao desejada dos p´olos. Mas ele n˜ao deve alterar a denominˆancia das ra´ızes desejadas, e por isso n˜ao deve ser colocado mais pr´oximo da origem do que o segundo p´olo sobre o eixo real, pois isso originaria uma raiz real pr´oxima `a origem que dominaria a resposta do sistema. EEL-DAS-UFSC 125 No caso, por exemplo, o segundo p´olo est´a diretamente abaixo da posi¸c˜ao desejada para as ra´ızes; logo, o zero deve ser posicionado um pouco a esquerda do segundo p´olo (outra possibilidade seria usar o zero para cancelar este p´olo), conforme mostra a Figura 7.2a. −z ✛ ✲ ✛ sd σ jω ✻ ✲ (a) Posicionamneto do zero θp −z ✛ ✲ ✛ sd σ jω ✻ ✲ (b) Lugar das ra´ızes com compensador Figura 7.2: Compensa¸c˜ao via lugar geom´etrico das ra´ızes Com o zero posicionado como acima, o efeito da raiz real resultante ser´a praticamente desprez´ıvel, pois o coeficiente deste termo na expans˜ao em fra¸c˜oes parciais ser´a muito pequeno. Para tornar as posi¸c˜oes desejadas para as ra´ızes pontos do LGR, o p´olo do compensador ´e posicionado de tal modo que o seu ˆangulo θp far´a com que a contribui¸c˜ao angular l´ıquida nas posi¸c˜oes desejadas seja −180 graus. (Ver figura 7.2b). ´E importante ressaltar que as diretrizes dadas acima geralmente conduzem a bons resultados, mas n˜ao asseguram que o desempenho do sistema vai ser aquele dado pelas p´olos de malha fechada especificados. Outros p´olos e zeros do sistema de malha fechada podem afetar consideravelmente o desempenho. A simula¸c˜ao do controlador projetado ´e importante para assegurar que os requisitos de desempenho transit´orio foram realmente satifeitos. 4. Determinar a posi¸c˜ao do p´olo para que o ˆangulo total na posi¸c˜ao desejada das ra´ızes seja 180◦ e portanto estes pontos estejam sobre o LGR. Este passo ´e portanto o uso da condi¸c˜ao de pertinˆencia angular. 5. Calcular o ganho total do sistema na posi¸c˜ao desejada das ra´ızes e calcular a constante de erro correspondete, ou seja, ganhos est´atico, de velocidade ou acelera¸c˜ao, e o erro est´atico. 6. Repetir o processo se o erro est´atico n˜ao for satisfat´orio. Isto significa modificar a posi¸c˜ao especificada dos p´olos desejados, movendo-os na dire¸c˜ao onde o ganho tende a aumentar. Eventualmente o desempenho transit´orio pode ser um pouco modificado no processo. Este passo s´o ´e realizado se o aumento de ganho desejado for pequeno. Caso contr´ario tem-se que projetar, al´em do compensador de avan¸co de fase, um compensador de atraso de fase para atingir o ganho desejado. Exemplo 7.2.1 Considere o processo com fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta dada por G(s)H(s) = K/s2. Deseja-se obter em malha fechada as seguintes caracter´ısticas: • ultrapassagem ao degrau ≤ 20% • tr5% ≤ 3.0 seg. Uma ultrapassagem leq20% implica em ζ ≥ 0.45. o tempo de resposta pode ser dado aproximadamente por 3 ζωn Escolhendo-se o valor de 3 seg para o tempo de resposta, 3 ζωn = 3 128 Cap´ıtulo 7: Projeto usando o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes O compensador de atraso de fase pode ser escrito como C(s) = K s + z s + p com |z| > |p| O objetivo do compensador ´e aumentar as constantes de erro nos p´olos correspondentes ao desempenho tran- sit´orio desejado. Isto implica que o compensador deve introduzir um aumento da constante de erro do sistema nos p´olos dominantes sd. Sem o compensador, a constante de erro, por exemplo o ganho est´atico, ´e dado por Kp = G(0) Com o compensador de atraso, a constante de erro ´e dada por Kcomp p = C(0) G(s) O aumento da constante de erro ´e dado por C(0), pois ´e esta a contribui¸c˜ao do compensador. Portanto o aumento de ganho intoduzido pelo compensador ´e C(0) = z p. Como, para o compensador de atraso de fase, |z| > |p|, segue que a constante de erro ´e aumentada. Para as constantes de erro de velocidade e acelera¸c˜ao o mesmo fator de multipli9ca¸c˜ao se aplica. Por outro lado o compensador de atraso deveria assegurar que o lugar das ra´ızes continua passando pelos p´olos dominantes sd especificados, j´a que o desempenho transit´orio dado por estes p´olos ´e satisfat´orio. Tem-se assim dois requisitos, a princ´ıpio conflitantes: • deve-se ter que z p igual ao aumento de ganho desejado. • deve-se ter que sd + z sd + p ≈ 1 A solu¸c˜ao para satisfazer simultaneamente os dois requisitos ´e fazer o p´olo e o zero muito pequenos, mas mantendo a rela¸c˜ao entre eles igual ao aumento de ganho desejado. Sendo α o aumento desejado do ganho, escolhe-se z p = α, mas com z e p pequenos tal que sd + z sd + p ≈ 1. Para que os efeitos do p´olo e do zero do compensador sobre as ra´ızes desejadas n˜ao seja marcante, ´e importante que eles apare¸cam relativamente pr´oximos `a origem. Obviamente α tem um limite superior (tipicamente 100). O procedimento para a compensa¸c˜ao via LGR utilizando um compensador de atraso de fase ´e sumarizado nos passos descritos a seguir. 1. Obter o LGR do sistema n˜ao compensado. 2. `A partir das especifica¸c˜oes para o desepenho transit´orio, posicionar as ra´ızes dominantes no LGR n˜ao com- pensado. 3. Calcular o ganho em malha aberta na posi¸c˜ao desejada das ra´ızes. 4. Se o ganho n˜ao fornecer a precis˜ao desejada, calcular o fator pelo qual ele deve ser aumentado, o qual ´e o parˆametro do compensador. 5. Conhecida a rela¸c˜ao entre o p´olo e o zero do compensador, determinar a posi¸c˜ao conveniente do p´olo e do zero de modo que o LGR compensado passe na posi¸c˜ao desejada para a ra´ızes. (Isto implica em que as magnitudes do p´olo e do zero sejam menores do que 1, 0 e que suas contribui¸c˜oes angulares para as ra´ızes desejadas sejam essencialmente as mesmas). Exemplo 7.3.1 Para a planta com fun¸c˜ao de transferˆencia G(s)H(s) = K s(s + 2) = Kv s(0, 5s + 1) projetar um controlador que assegure os seguintes requisitos de projeto • amortecimento ζ = 0, 45. • erro a uma rampa unit´aria ≤ 0.05. 130 Cap´ıtulo 7: Projeto usando o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes Σ s + 0.1 s + 0.0125 5 s(s + 2) R(s) Y (s) + − Figura 7.7: Sistema compensado Exerc´ıcios 1. Considere o processo G(s) = K (1 + 0.1s)(1 + 2s) com realimenta¸c˜ao unit´aria. Projete um controlador de modo que o erro ao degrau seja igual a 5%, e o amortecimento seja de ζ = 0.45. 2. Seja a fun¸c˜ao de transferˆencia de um processo, a ser controlado em malha fechada, dada por G(s) = 1 s(1 + 0.1s) (7.3.1) Deseja-se projetar um controlador com estrutura Gc(s) = K 1 + τ1s 1 + τ2s para o projeto dado, de modo que, em malha fechada, o sistema resultante apresente as seguintes carac- ter´ısticas: • Erro em regime nulo para entrada em degrau • Resposta tipo segunda ordem, com raz˜ao de amortecimento ζ ≈ 0.5 • tr5% ≈ 0.3 s a. Realize o projeto acima usando o m´etodo do Lugar das Ra´ızes, de modo tal que τ1 = 0.077 s. Para isso: – Determine a posi¸c˜ao desejada para os polos dominantes do sistema compensado – Determine τ2 para que a condi¸c˜ao do ´ıtem anterior seja verificada – Determine o ganho K do compensador – Qual o tipo de compensador obtido? b. Refa¸ca o projeto acima a partir do cancelamento do polo do processo que n˜ao est´a localizado na origem com o zero do compensador, de modo que as mesmas especifica¸c˜oes sejam cumpridas. Forne¸ca como resultados os parˆametros K, τ1 e τ2 do compensador. 3. Um projeto de um sistema de controle de posi¸c˜ao em uma linha de produ¸c˜ao exige o posicionamento de um bra¸co de robot com precis˜ao de pelo menos 1%, um tempo de resposta de 2 seg e um amortecimento ζ = 0.7. A fun¸c˜ao de transferˆencia do servomecanismo ´e K (s + 1)(s + 4) Projete um controlador que atenda aos requisitos de projeto. 4. Dado o processo com fun¸c˜ao de trasferˆencia G(s) = 1 s3 projete um controlador, usando o lugar das ra´ızes, que assegure um erro `a rampa de 5% e um amortecimento ζ = 0.5. 5. Dado o processo com fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 8 (s + 1)(s + 2)(s + 4) projete um controlador, usando o lugar das ra´ızes, que assegure para o sistema em malha fechada EEL-DAS-UFSC 131 • um erro em regime permanente nulo ao degrau • resposta de segunda ordem com primeira ultrapassagem de 20% (ζ = 0.43) • um tempo de resposta de 2.0 seg. Sugest˜ao: use um zero do controlador para cancelar a constante de tempo mais lenta do processo. 6. Dado o sistema de controle com fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta G(s) = 1 s(s + 2)(s + 4) projete um controlador, usando o lugar das ra´ızes, de modo a se reduzir em dez vezes o erro a rampa. O comportamento transit´orio inicial do sistema, com amortecimento ζ = 0.43, correspondente `as ra´ızes −0.637 ± j1.323, ´e satisfat´orio. 7. Para o sistem dado na Figura 7.8, deseja-se um amortecimento ζ = 0.45 e um erro `a par´abola de 1%. Projete um controlador que atenda aos requisitos de projeto usando o lugar das ra´ızes. Σ K s + 4 s2 R(s) Y (s) + − Figura 7.8: Problema 7 132 Cap´ıtulo 7: Projeto usando o Lugar Geom´etrico das Ra´ızes CAP´ITULO 8 Projeto no Dom´ınio da Freq¨uˆencia 8.1 Introdu¸c˜ao Nste cap´ıtulo ´e abordado o projeto de controladores usando o dom´ınio da freq¨uˆencia. As caracter´ısticas de resposta em freq¨uˆencia dos diversos controladores, como apresentados no Cap´ıtulo 5, s˜ao usadas para atingir os objetivos do controle, como discutidos naquele mesmo cap´ıtulo. A abordagem no dom´ınio da freq¨uˆencia usa os diagramas de Bode do processo e do controlador. Uma caracter´ıstica deste m´etodo de projeto ´e que o ganho ´e fixado a priori, para atender a especifica¸c˜ao do erro do projeto. 8.1.1 Compensa¸c˜ao via Compensador de Avan¸co de Fase No projeto por avan¸co de fase usa-se a caracter´ıstica do compensador de produzir um avan¸co de fase, o que permite aumentar a margem de fase do sistema. Al´em disso, devido aos altos ganhos em altas freq¨uˆencias, a freq¨uˆencia de cruzamento de ganho do sistema compensado ´e deslocada para a direita, o que aumenta a faixa de passagem e portanto a rapidez de resposta. Este comportamento, de melhorar o desempenho transit´orio, ´e o esperado do compensador de avan¸co de fase. Deve-se, no entanto, considerar que o uso de avan¸co de fase ´e limitado, desde que uma faixa de passagem mais larga n˜ao somente aumenta a rapidez de resposta, mas tamb´em reduz a filtragem do ru´ıdo. Sistema que exigem uma adi¸c˜ao de fase muito grande, exigem v´arios est´agios de avan¸co de fase, o que significa ganhos elevados em altas freq¨uˆencias e portanto, amplifica¸c˜ao de ru´ıdos. Alguns sistemas tem acentuada queda de fase com a freq¨uˆencia, limitando o uso de compensadores por avan¸co de fase, que n˜ao conseguem compensar a queda de fase a medida que a freq¨uˆencia de cruzamento se desloca para a direita. Neste caso, um compensador de atraso de fase deve ser considerado. As etapas para a compensa¸c˜ao atrav´es dos diagramas de Bode usando o compensador de avan¸co de fase s˜ao descritas a seguir. 1. Tra¸car os diagramas de Bode do sistema n˜ao compensado, com o valor do ganho que forne¸ca um erro est´atico aceit´avel. 2. Se a margem de fase MF n˜ao for suficiente, adicionar avan¸co de fase ajustando C(jω) convenientemente. O avan¸co de fase a ser adicionado φmax ´e dado por φmax = MF desejada − MF atual + folga. A folga deve ser deixada para levar em conta que a nova freq¨uˆencia de cruzamento se desloca para a direita, sendo a margem de fase geralmente menor do que a margem de fase inicial. Os valores para a folga variam entre 5◦ e 15◦. Para obter m´aximo avan¸co de fase, a freq¨uˆencia ωmax do compensador deve ser igual a freq¨uˆencia de cruzamento de ganho do sistema compensado. 3. Determinar α, a partir do valor de fase a ser adicionada, usando a f´ormula φmax = sen−1 1 − α 1 + α. EEL-DAS-UFSC 135 4. Posicionar o zero do compensador uma d´ecada abaixo de ωc, assegurando assim apenas 5◦ de atraso de fase em ωc. Ou seja, uma d´ecada acima da freq¨uˆencia do zero, o controlador tem um atraso de fase de aproximadamente −5◦, o que explica a folga de 5◦ deixada no projeto. 5. Medir a atenua¸c˜ao necess´aria em ωc para assegurar que a curva de magnitude cruze 0 dB nesta freq¨uˆencia. 6. Calcular α, usando o fato de que a atenua¸c˜ao ´e igual a −20 log α. 7. Calcular o p´olo como ωp = 1/ατ = ωz/α. Observac¸˜ao 4 Alternativamente, pode-se deixar uma folga de valor diferente de 5◦, por exemplo, φ, o que exige resolver a equa¸c˜ao C(jωc) = −φ, para determinar a freq¨uˆencia do zero. O procedimento dado acima permite a determina¸c ˜Ao direta do zero do compensador. Exemplo: Considere a fun¸c˜ao de transferˆencia complexa G(jω) = K jω(jω + 2) = Kv jω(j0, 5ω + 1); Kv = K 2 Determinar um compensador de atraso de fase tal que o sistema compensado atenda `as especifica¸c˜oes. (Ver exemplo de compensa¸c˜ao via diagramas de Bode usando compensador de avan¸co de fase). Neste exemplo, verificou-se que K deve ser igual a 20, e que necessita-se de uma margem de fase Mϕ = 45 graus. A margem de fase do sistema n˜ao compensado ´e Mϕ ≈ 20 graus (18 graus). 136 Cap´ıtulo 8: Projeto no Dom´ınio da Freq¨uˆencia Exerc´ıcios 1. Um processo tem fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta dada por G(s)H(s) = K s(1 + 0.15)2 e deve ser projetado de modo que, quando a entrada for uma rampa com inclina¸c˜ao igual a 2 π rad/seg o erro est´atico de posi¸c˜ao deve ser igual a 2 π/10 rad; a margem de fase deve ser de aproximadamente igual 50◦. a. Calcule o ganho K para que a especifica¸c˜ao de precis˜ao seja satisfeita. b. Verifique analiticamente que a frequˆencia de cruzamento de ganho do sistema n˜ao-compensado ´e igual a 10 rad/seg. c. Calcule a margem de fase do sistema n˜ao compensado e verifique que sem compensa¸c˜ao o sistema n˜ao atende `as especifica¸c˜oes. d. Projete um compensador de atraso de fase para o sistema de modo a atender as especifica¸c˜oes. Permita um atraso de 5◦ para o compensador na nova frequˆencia de cruzamento de ganho. e. Calcule a margem de fase do sistema compensado. 2. A fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta de um processo ´e G(s) = 80 s(1 + 0.02s)(1 + 0.05s) a. Se a freq¨uˆencia de cruzamento de ganho ´e ωc = 33, 8 rad/seg e a freq¨uˆencia de cruzamento de fase ´e ωφ = 31, 62 rad/seg, determine as margens de ganho e fase do sistema. O sistema n˜ao compensado ´e est´avel? b. Projete um compensador de atraso de fase tal que o sistema compensado apresenta uma margem de fase de 30◦ para o ganho de velocidade dado. c. Projete um controlador PI usando os ajustes de Ziegler-Nichols. 3. A fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema ´e dada por G(s) = K/s2, onde o ganho K ´e feito igual a 8 para que a resposta apresente a rapidez desejada. Projete um compensador de avan¸co de fase tal que o sistema compensado apresente uma ultrapassagem ao degrau ≤ 20%. 4. Um sistema de controle em malha fechada tem uma planta com a fun¸c˜ao de transferˆencia 1 s3 . a. Determine a margem de fase do sistema. b. Projete um controlador cont´ınuo, no dom´ınio da freq¨uˆencia, que assegure que o sistema tenha um amortecimento ζ = 0.3. c. Justifique a escolha do controlador 5. A resposta em freq¨uˆencia de uma planta ´e dada na Figura 12.25. Para o ganho K usado para obter esta resposta, o erro ´e muito elevado, exigindo que este ganho seja 4 K para atender `a condi¸c˜ao de erro. Como o desempenho transit´orio ´e satisfat´orio, deseja-se manter a mesma margem de fase e uma freq¨uˆencia de cruzamento de ganho que n˜ao seja superior ao do caso antes do aumento de ganho do sistema. Projete um compensador que atenda a estes requisitos. Obs: A freq¨uˆencia est´a em Hz. 6. Uma planta com fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 1 (1 + 2s)(1 + 0.25s) deve ser controlada por um controlador cont´ınuo em cascata, com realimenta¸c˜ao unit´aria. O sistema em malha fechada deve ter um erro ao degrau de 0.99% e um amortecimento ζ = 1 √ 2. O ´unico controlador dispon´ıvel tem uma fun¸c˜ao de transferˆencia C(s) = K 1 + sT1 1 + sT2 . a. Determine os valores de K, T1 e T2, usando o dom´ınio da freq¨uˆencia, para atender aos requisitos de projeto. b. Qual o tipo de controlador usado (avan¸co ou atraso)? Justifique. F´ormula auxiliar: tg(α + β) = tg α + tg β 1 − tg α tg β EEL-DAS-UFSC 137 −2 10 −1 10 0 10 1 10 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 Magnitude Hz db −2 10 −1 10 0 10 1 10 −200 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 −0 Phase Hz degrees Figura 8.1: Diagrama de Bode para o Problema 5 Σ e−Tas s2 R(s) Y (s) + − Figura 8.2: Sistema para o Problema 7 7. Para o sistema da Figura 8.2, projete um controlador cont´ınuo que assegure um amortecimento aproximado ζ = 0.4. O atraso do processo ´e Ta = 0.2 seg. 8. Uma planta tem uma fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = K (s + 1)3 a. Determine o valor do ganho para que a margem de fase do sistema seja 60◦. b. Projete um compensador que aumente a constante de erro est´atico por um fator de 5, mantendo a mesma margem de fase do sistema. c. Comente sobre as caracter´ısticas do sistema em malha fechada (amortecimento, tempo de resposta, ru´ıdo). 138 Cap´ıtulo 8: Projeto no Dom´ınio da Freq¨uˆencia CAP´ITULO 9 Introdu¸c˜ao ao Controle Discreto 9.1 Introdu¸c˜ao Os sistemas de controle estudados at´e este ponto envolvem controladores anal´ogicos, que produzem sinais de controle cont´ınuos no tempo a partir de sinais da entrada tamb´em cont´ınuos no tempo, como mostrado na Figura 9.1 Estes controladores apresentam pouca flexibilidade e modifica¸c˜oes na lei de controle implicam na modifica¸c˜ao do ”hardware”. Al´em disto, ´e dif´ıcil implementar leis de controle mais complexas. ✲ ✻ . y(t) Planta D(s) - y u e + Medidor r Figura 9.1: Controlador Anal´ogico Com o desenvolvimento e redu¸c˜ao de custos do hardware, o controle digital passou a ser uma solu¸c˜ao cada vez mais usada. O controle digital caracteriza-se pelo uso de um computador espec´ıfico ou geral, que gera a lei de controle e exerce a fun¸c˜ao de controlador. Controladores digitais s˜ao flex´ıveis e as fun¸c˜oes de controle podem ser facilmente modificadas. Leis de controle mais complexas tamb´em podem ser implementadas sem dificuldade. O esquema do sistema de controle ´e mostrado na Figura 9.2 abaixo: e(kT) D/A ZHO Medidor Planta D(z) r(t) y(kT) + r(kT) A/D u(t) y(t) y(t) − T T Figura 9.2: Controlador Digital Neste esquema o erro ´e amostrado e convertido em uma seq¨uˆencia de pulsos expressos em um c´odigo num´erico (c´odigo bin´ario, por exemplo). A fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador ´e convertida em uma equa¸c˜ao diferen¸ca implementada como um programa no computador. A sa´ıda do computador por sua vez, que ´e expressa tamb´em no mesmo c´odigo bin´ario, ´e convertida para um sinal cont´ınuo. Esta sa´ıda ´e a a¸c˜ao de controle. 142 Cap´ıtulo 9: Introduc¸˜ao ao Controle Discreto Sistemas de controle amostrados s˜ao usados quando um elevado grau de precis˜ao ´e requerido. Tamb´em no caso onde transmiss˜ao de dados `a longa distˆancia ´e necess´ario, o uso de modula¸c˜ao de amplitude de pulso permite que um ´unico meio de transmiss˜ao seja usado para v´arios canais de informa¸c˜ao sem estar sujeito a distor¸c˜oes encontradas em transmiss˜ao anal´ogica. Para alguns sistemas a amostragem ´e inerente aos mesmos. Por exemplo, no caso de um sistema de rastreamento por radar, tanto o sinal enviado quanto o sinal recebido s˜ao na forma de trem de pulsos. Resumidamente, o uso de sistemas de controle amostrados ocorre: 1. Quando um computador digital (ou microprocessador) ´e parte do la¸co de controle. 2. Para compartilhamento no tempo de componentes de controle. 3. Quando canais de transmiss˜ao formam parte do la¸co de controle. 4. Quando a sa´ıda de um componente de controle ´e essencialmente na forma discreta. As vantagens com rela¸c˜ao ao controle anal´ogico s˜ao: 1. Implementa¸c˜ao simples de controles complexos. 2. Flexibilidade no caso de mudan¸ca de leis de controle. 3. Superioridade com rela¸c˜ao a controladores anal´ogicos do ponto de vista de ru´ıdos internos e efeitos de ”drift”. Por outro lado algumas desvantagens tamb´em se apresentam: 1. Erros s˜ao introduzidos pelos processos de amostragem e quantiza¸c˜ao, e podem degradar o desempenho do sistema. 2. O projeto pode se tornar mais complexo para compensar esta degrada¸c˜ao. 9.2 Defini¸c˜oes b´asicas V´arios termos usados com rela¸c˜ao a sinais usados em controle discreto s˜ao definidos a seguir. 9.2.1 Tipos de sinais Definic¸˜ao 12 Sinal anal´ogico ´e um sinal que toma um conjunto cont´ınuo de valores em uma faixa cont´ınua de tempo. Definic¸˜ao 13 Sinal discreto no tempo ´e o sinal definido apenas em instantes discretos do tempo (apenas a vari´avel independente t ´e quantizada). Definic¸˜ao 14 Sinal amostrado se o sinal discreto no tempo tem amplitude que pode assumir uma faixa de valores cont´ınuos ent˜ao o sinal ´e chamado amostrado. Definic¸˜ao 15 Sinal digital se o sinal discreto no tempo tem amplitude quantizada (ou seja, pode ser representado por uma seq¨uˆencia de n´umeros) ent˜ao o sinal ´e chamado digital. 9.3 Amostragem e reconstru¸c˜ao do sinal O controle digital envolve a medi¸c˜ao do sinal de sa´ıda da planta, que em geral ´e cont´ınuo. Como este sinal deve ser processado pelo computador, ele deve ser discretizado. Este ´e o chamado processo de amostragem. Por outro lado o sinal de controle gerado pelo computador deve ser aplicado na planta. Como este sinal ´e discreto, ele deve ent˜ao ser transformado em um sinal cont´ınuo. Este ´e o processo de reconstru¸c˜ao do sinal. Estes dois processos s˜ao analisados a seguir. EEL-DAS-UFSC 143 9.3.1 Amostragem O processo de amostragem transforma um sinal cont´ınuo em um sinal discreto. V´arios tipos de opera¸c˜oes de amostragem podem ser usados: Amostragem peri´odica na qual os instantes de amostragem s˜ao igualmente espa¸cados e dados por tk = kT, k = 0, 1, 2, . . .. Amostragem de ordem m´ultipla neste caso tk+r − tk ´e constante para todo tk. Ou seja, um certo padr˜ao de amostragem ´e repetido periodicamente. Amostragem com m´ultiplas taxas em casos onde o sistema de controle possui v´arios la¸cos envolvendo dife- rentes constantes de tempo ´e conveniente `a amostragem em alta freq¨uˆencia para os la¸cos com pequenas constantes de tempo e amostragem em baixa freq¨uˆencia para la¸cos que envolvem constantes de tempo lentas. Amostragem aleat´oria os instantes de amostragem s˜ao aleat´orios. Na grande maioria das aplica¸c˜oes consideram-se apenas amostragem peri´odica. Do ponto de vista do controle ´e interessante analisar o efeito que a amostragem tem sobre o sinal a ser amostrado e as conseq¨uˆencias para o desempenho do sistema. O desenvolvimento a seguir apresenta os fatos b´asicos. Seja o processo de amostragem mostrado na Figura 9.3. e(t) t T ea(t) t Figura 9.3: Processo de amostragem O amostrador converte o sinal cont´ınuo em um trem de pulsos que ocorrem nos instantes t = 0, T, 2T, . . . onde T ´e o per´ıodo de amostragem. O processo de amostragem ´e equivalente a multiplicar o sinal e(t) por um trem de pulsos peri´odicos, ou seja: ea(t) = e(t) ∗ p∆ (9.3.1) onde p∆(t) ´e o trem de pulsos peri´odicos dado na Figura 9.4a. T t ∆ p∆(t) (a) Trem de pulsos δT(t) t T (b) Trem de impulsos Figura 9.4: Trem de pulsos EEL-DAS-UFSC 147 9.3.2.2 Sustentadores de ordem mais elevada Um sustentador de ordem zero pode ser considerado como uma extrapola¸c˜ao usando um polinˆomio de ordem zero. Polinˆomios de ordem mais elevada podem ser usados para diminuir o erro de reconstru¸c˜ao. Se um polinˆomio de primeira ordem for usado tem-se, por exemplo, um sustentador de primeira ordem, dado por: f(t) = f(tk) + t − tk tk − tk−1 [f(tk) − f(tk−1)] , tk ≤ t < tk+1 Sustentadores de ordem mais elevada podem ser constru´ıdos mas s˜ao mais dif´ıceis de implementar e portanto pouco usados. 148 Cap´ıtulo 9: Introduc¸˜ao ao Controle Discreto CAP´ITULO 10 Modelagem e resposta de sistemas discretos 10.1 Introdu¸c˜ao Os sistemas discretos podem ser representados, do mesmo modo que os sistemas cont´ınuos, no dom´ınio do tempo ou atrav´es de uma transforma¸c˜ao, neste caso a transformada Z. No caso do dom´ınio no tempo, a representa¸c˜ao ´e feita por equa¸c˜oes diferen¸ca, tamb´em chamadas de equa¸c˜oes recursivas. No caso da representa¸c˜ao por uma transforma¸c˜ao, usam-se fun¸c˜oes de transferˆencia discretas, obtidas pela aplica¸c˜ao da transformada Z. Este assunto ´e abordado na teoria de sistemas lineares e nas se¸c˜oes iniciais deste cap´ıtulo faremos uma breve revis˜ao daqueles conceitos antes de estudarmos a ´algebra de diagramas de blocos. 10.2 Equa¸c˜oes diferen¸ca Seja um sistema discreto com uma entrada u(k) e uma sa´ıda y(k), onde k = 0, . . . , ∞, e kT representa o tempo no k-´esimo instante de amostragem. A rela¸c˜ao entre a entrada e a sa´ıda, no dom´ınio do tempo, ´e dada por uma equa¸c˜ao a diferen¸cas y(k) + a1 y(k − 1) + · · · + an y(k − n) = b0 u(k) + b1 u(k − 1) + · · · + bn u(k − n) (10.2.1) A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao pode ser feita no dom´ınio do tempo, atrav´es de recursividade, ou usando a transformada Z. 10.3 Fun¸c˜ao de transferˆencia discreta Seja o sistema descrito pela Equa¸c˜ao 10.2.1. A fun¸c˜ao de transferˆencia discreta ou fun¸c˜ao de transferˆencia pulsada G(z) ´e definida como a rela¸c˜ao entre a transformada Z da sa´ıda, Y (z), e a transformada Z da entrada, U(z). Portanto G(z) = Y (z) U(z) A fun¸c˜ao de transferˆencia amostrada pode ser calculada, tomando-se a transformada Z nos dois lados da Equa¸c˜ao 10.2.1. Tem-se ent˜ao Y (z) + a1 z−1 Y (z) + · · · + an z−n Y (z) = b0 U(z) + b1 z−1 U(z) + · · · + bn z−n U(z) ou (1 + a1 z−1 + · · · + an z−n) Y (z) = (b0 + b1 z−1 + · · · + bn z−n) U(z) 150 Cap´ıtulo 10: Modelagem e resposta de sistemas discretos Portanto G(z) = Y (z) U(z) = b0 + b1z−1 + · · · + bnz−n 1 + a1z−1 + · · · + anz−n Usaremos a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta para representar tanto a planta quanto o controlador na maior parte do estudo neste e nos cap´ıtulos seguintes. A partir da fun¸c˜ao de transferˆencia pode-se determinar a equa¸c˜ao recursiva correspondente. Formalmente, deve-se primeiro escrever a fun¸c˜ao de transferˆencia na forma de potˆencias negativas de z. Pode-se ent˜ao substituir zi por q−i, onde q−1 representa o operador de atraso, no dom´ınio do tempo, ou seja, q−1y(k) = y(k − 1) e q−iy(k) = y(k − i) . O operador q corresponde ao operador p = d dt no caso cont´ınuo. ´E usual, no entanto, passar diretamente da fun¸c˜ao de transferˆencia discreta para o dom´ınio do tempo, usando o operador z−1 como o operador produzindo o atraso no tempo. 10.3.1 Obten¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia discreta Para a obten¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia discreta em sistemas de controle, deve-se levar em conta que muitas vezes sinais discretos e cont´ınuos est˜ao simultaneamente presentes nestes sistemas. Al´em disto, um sustentador de ordem zero est´a presente. Antes de estudarmos cada um destes casos, vamos lembrar alguns fatos b´asicos sobre a transformada Z. 10.3.1.1 Relac¸˜ao entre a transformada Z e a transformada de Laplace A transformada de Laplace de um sinal discreto y(k) tamb´em pode ser determinada. Seja Y ∗(s) esta trans- formada, que alguns autores chamam de transformada estrela. Se a rela¸c˜ao entre a vari´avel complexa z e a transformada complexa s for z = esT , onde T ´e o per´ıodo de amostragem, tem-se que Y (z) = Y ∗(s)|s= lnz T ou seja, a transformada Z coincide com a transformada estrela se a rela¸c˜ao s = lnz T for usada. 10.3.1.2 Combinac¸˜ao de sinais discretos e cont´ınuos A fun¸c˜ao de transferˆencia discreta relaciona um seq¨uˆencia de amostras da entrada com uma seq¨uˆencia de amostras na sa´ıda. Esta fun¸c˜ao muda dependendo da existˆencia ou n˜ao de um amostrador antes de cada bloco que comp˜oe o diagrama de blocos do sistema. Se o amostrador existe, a entrada do sistema ´e amostrada e a resposta ´e diferente do caso onde o amostrador n˜ao existe e a entrada ´e o pr´oprio sinal cont´ınuo. Por outro lado, a existˆencia de um amostrador na sa´ıda de um bloco ´e irrelevante em termos da determina¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia discreta, pois ela relaciona as amostras da entrada e da sa´ıda. Se o amostrador n˜ao existe, podemos supor a existˆencia de um amostrador fict´ıcio. Se a sa´ıda desta fun¸c˜ao de transferˆencia ´e a entrada de uma outra fun¸c˜ao de transferˆencia, a existˆencia ou n˜ao do amostrador ter´a importˆancia na determina¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia seguinte. A presen¸ca ou n˜ao do amostrador na entrada de um bloco pode ser considerada de forma autom´atica atrav´es de uma propriedade da transformada estrela. Quando toma-se a transformada estrela de um produto de fun¸c˜oes na forma de transformada de Laplace, termos que j´a forem transformada estrela podem ser fatorados. Para a Figura 10.1a, a sa´ıda do sistema pode ser escrita como Y (s) = G(s)E∗(s) G(s) Y (s) E(s) E∗(s) Y ∗(s) (a) Amostrador antes do bloco G(s) Y (z) E(s) Y (s) (b) Sem amostrador antes do bloco Figura 10.1: Efeito do amostrador na entrada do bloco Tomando-se a transformada Z nos dois lados da equa¸c˜ao tem-se Y ∗(s) = [G(s)E∗(s)]∗ = G∗(s)E∗(s) 152 Cap´ıtulo 10: Modelagem e resposta de sistemas discretos G1(s) G2(s) E(s) E∗(s) Y1(s) Y ∗ 1 (s) Y (s) Y ast(s) (a) Com amostrador antes do segundo bloco G1(s) G2(s) E(s) East(s) Y1(s) Y (s) Y ∗(s) (b) Sem amostrador antes do segundo bloco Figura 10.3: Associa¸c˜ao em cascata Do mesmo modo, calculando-se a sa´ıda Y (s) = G2(s) Y ∗ 1 (s) ou Y ∗(s) = G∗ 2(s) Y ∗ 1 (s) Ent˜ao Y ∗(s) = G∗ 2(s) Y ∗ 1 (s) = G∗ 2(s) G∗ 1(s)E∗(s) ou Y ∗(s) E∗(s) = G∗ 1(s) G∗ 2(s) Usando-se a rela¸c˜ao entre a tranformada estrela e a transformada Z tem-se Y (z) E(z) = G1(z) G2(z) Quando n˜ao existe o amostrador intermedi´ario, como mostrado na Figura 10.3b, tem-se: Z [G1(s)G2(s)] = G1G2(z) = G2G1(z) ou seja, a transformada Z deve ser a transformada do produto das fun¸c˜oes de transferˆencia e: Y ∗(s) E∗(s) = G1 G2 ∗(s) ou Y (z) G(z) = G1 G2 (z) 10.4.2 Associa¸c˜ao em paralelo Seja o sistema dado na Figura 10.4a. O amostrador existe antes dos dois blocos. G1(s) Σ G2(s) E(s) E∗(s) Y (s) Y ∗(s) (a) Com amostrador antes do bloco na realimenta¸c˜ao G1(s) Σ G2(s) E(s) E∗(s) Y (s) Y ∗(s) (b) Sem amostrador antes do bloco na realimenta¸c˜ao Figura 10.4: Associa¸c˜ao em paralelo Neste caso tem-se : Y ∗(s) = G∗ 1(s)E∗(s) + G∗ 2(s)E∗(s) = [G∗ 1(s) + G∗ 2(s)]E∗(s) Logo Y ∗(s) E ∗ (s) = G∗ 1(s) + G∗ 2(s) EEL-DAS-UFSC 153 ou Y (z) G(z) = G1(z) + G2(z) Seja agora o sistema mostrado na Figura 10.4b, onde o amostrador existe somente antes de um dos blocos. Neste caso tem-se Y ∗(s) = G∗ 1(s) E∗(s) + G2 E∗(s) ou Y (z) = G1(z) E(z) + G2 E(z) 10.4.3 Malha fechada Seja o sistema apresentado na Figura 10.5a. Neste caso existem amostradores antes dos blocos correspondentes a G(s) e H(s). Σ G(s) H(s) R(s) E(s) E∗(s) Y ∗(s) + − (a) Com amostrador antes do bloco na realimenta¸c˜ao Σ G(s) H(s) Y ∗(s) R(s) E(s) E∗(s) Y (s) + − (b) Sem amostrador antes do bloco na realimenta¸c˜ao Figura 10.5: Malha fechada Tem-se ent˜ao: Y (s) = G(s)E∗(s) (10.4.1) E(s) = R(s) − H(s) Y ∗(s) (10.4.2) Das Equa¸c˜oes (10.4.1) e (10.4.2) obtem-se Y (z) = G(z)E(z) (10.4.3) E(z) = R(z) − H(z)Y (z) (10.4.4) Usando-se (10.4.4) em (10.4.3) obtem-se Y (z) = G(z)R(z) + G(z)H(z)Y (z) ou Y (z) R(z) = G(z) 1 + G(z)H(z) Seja agora o sistema mostrado na Figura 10.5b. Na malha de realimenta¸c˜ao, n˜ao existe amostrador antes do bloco correspondente a H(s). Ou seja, a sa´ıda cont´ınua e n˜ao a amostrada, ´e que ´e realimentada. As equa¸c˜oes correspondentes a este diagrama s˜ao dadas por: Y (s) = G(s)E∗(s) (10.4.5) E(s) = R(s) − H(s)Y (s) (10.4.6) Da Equa¸c˜ao 10.4.5 segue que Y ∗(s) = G∗(s)E∗(s) (10.4.7) Substituindo-se Y (s), de (10.4.5) em (10.4.6) obtem-se E(s) = R(s) − H(s)G(s)E∗(s) (10.4.8) 154 Cap´ıtulo 10: Modelagem e resposta de sistemas discretos ou, tomando-se a transformada estrela nos dois lados da equa¸c˜ao, E∗(s) = 1 1 + GH∗(s)R∗(s) (10.4.9) Substituindo-se (10.4.9) em (10.4.7) segue que Y ∗(s) = G∗(s) 1 + GH∗(s)R∗(s) (10.4.10) ou ainda, usando-se a rela¸c˜ao entre a transformada estrela e a transformada Z: Y (z) = G(z) 1 + GH(z)R(z) (10.4.11) Do desenvolvimento anterior verifica-se que para a determina¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia amostrada ´e impor- tante o conhecimento da posi¸c˜ao dos amostradores na malha. Devido ao uso da transformada Z e de um amostrador fict´ıcio na sa´ıda, os resultados da anti-transformada d˜ao os valores da sa´ıda nos instantes da amostragem, nada podendo-se afirmar quanto ao comportamento entre as amostragens. 10.5 Mapeamento entre o plano s e o plano z As vari´aveis complexas z e s relacionam-se por z = eT s (10.5.1) onde T ´e o per´ıodo de amostragem. Atrav´es desta rela¸c˜ao, p´olos e zeros no plano z, que s˜ao os p´olos e zeros da fun¸c˜ao de transferˆencia pulsada, podem ser relacionados a posi¸c˜oes no plano s. Do mesmo modo que em um sistema de controle cont´ınuo a estabilidade ´e determinada pela localiza¸c˜ao dos p´olos da fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada no plano s, a estabilidade do sistema discreto pode ser determinada pela localiza¸c˜ao dos p´olos em z. ´E importante observar que a localiza¸c˜ao de zeros e p´olos no plano z depende do per´ıodo de amostragem. A seguir consideraremos o mapeamento de cada regi˜ao do plano s no plano Z. Al´em disto, alguns lugares geom´etricos importantes para a an´alise de sistemas e s´ıntese de controladores ser˜ao tamb´em mapeados no plano Z. 10.5.1 Mapeamento do semi-plano esquerdo Desde que z = esT e s = σ + jω segue que, z = e(σ+jω)T = eσT ejωT = eσT ej(ωT +2π)n) onde ´e inteiro Seja ωa a freq¨uˆencia de amostragem. Ent˜ao z = eσT ejT (ω+ 2π T n) = ejT (ω+ωan e conclui-se que os p´olos e zeros no plano S, cujas freq¨uˆencias diferem um n´umero inteiro de vezes da freq¨uˆencia de amostragem s˜ao mapeados na mesma localiza¸c˜ao no plano Z. Exemplo 10.5.1 s = σ + jω, σ + j(ω + ωa) e s = σ + j(ω + 2ωa) s˜ao mapeados no mesmo ponto do plano Z. No semi-plano esquerdo (aberto) do plano s tem-se σ > 0. Ent˜ao |z| = eσT < 1. Sobre o eixo jω tem-se σ = 0. Ent˜ao |z| = eσT = 1. Conclui-se portanto que o eixo imagin´ario no plano s ´e mapeado sobre o circulo unit´ario e o semi-plano esquerdo (aberto) ´e mapeado no interior deste circulo unit´ario. Como um sistema cont´ınuo ´e est´avel se todos os p´olos est˜ao no semi-plano esquerdo do plano complexo, ent˜ao no plano Z o sistema ´e est´avel se todos os p´olos da fun¸c˜ao de transferˆencia amostrada estiverem no interior do c´ırculo unit´ario centrado na origem. EEL-DAS-UFSC 155 10.5.2 Faixa prim´aria e faixas complementares Seja z = esT = e(σ+jω)T = eσT ejωT . Ent˜ao ∠z = ωT . Seja um ponto sobre o eixo jω no plano s que se move de −j ωa 2 a + jωa 2 . No plano Z tem-se: Para s = −j ωa 2 , z = e−j ωa 2 T = e−j ωs 2 2π ωa = e−jπ. Para s = j ωa 2 , z = ej ωs 2 2π ωa = ejπ. Observa-se que |z| = 1 e ∠z varia de −π a π, no sentido anti- hor´ario. Isto corresponde a uma volta completa sobre o c´ırculo unit´ario no plano Z. Seja agora a varia¸c˜ao sobre jw no plano s de jwa/2 a j3wa/2. No plano Z tem-se : Para s = j ωa 2 , z = ejπ Para s = j 3 2ωa, z = ej 3ωa 2 2π ωa = ej3π. Portanto, novamente |z| = 1 e ∠z varia de π a 3π, o que corresponde a uma volta completa sobre a circunferˆencia de raio unit´ario do plano Z. A an´alise acima mostra que um ponto que se move de −∞ a +∞ no plano s sobre o eixo jw, ´e mapeado um infinito n´umero de vezes sobre o c´ırculo unit´ario. Pode-se ainda concluir que cada faixa correspondente a uma varia¸c˜ao de freq¨uˆencia wa ´e mapeada no interior do circulo unit´ario. O n´umero de faixas ´e infinito e define-se a faixa prim´aria como a faixa com jw variando de −j wa 2 a jw = j wa 2 . As faixas complementares se estendem de j wa 2 a j 3 2ωa, e assim por diante para valores positivos e de −j ωa 2 a −j 3 2ωa e assim por diante para valores negativos. Desde que cada faixa complementar ´e mapeada no mesmo c´ırculo unit´ario no plano Z, segue que a corres- pondˆencia entre o plano s e o plano Z n˜ao ´e ´unica. Um ponto no plano Z corresponde a infinitos pontos no plano s. Por outro lado um ponto no plano s corresponde a um ´unico ponto no plano Z. Desde que a faixa prim´aria ´e limitada por ±j ωa 2 , segue que se todas as freq¨uˆencias correspondentes do sistema s˜ao tais que ωmax ≤ ωa 2 ou wa ≥ 2ωmax, onde ωmax ´e o maior freq¨uˆencia presente, ent˜ao os pontos no c´ırculo unit´ario representam apenas pontos na faixa prim´aria. Este seria o um caso ideal onde a faixa de freq¨uˆencias do sinal estaria totalmente contida entre 0 e ωa 2 . O filtro anti-aliasing concentra o espectro do sinal nesta faixa, mas sempre existir˜ao componentes com freq¨uˆencias superiores a ωa 2 . A seguir alguns contornos usados no plano s ser˜ao mapeados no plano Z. Estes contornos s˜ao: 1. Atenua¸c˜ao constante, ou seja, σ constante. 2. Freq¨uˆencia pr´opria constante, ou seja, ω constante. 3. Rela¸c˜ao de amortecimento constante, ou seja, zeta constante. 10.5.2.1 Atenuac¸˜ao constante Para atenua¸c˜ao constante no plano s tem-se σ constante. Ent˜ao z = eσT ejωT , ou seja |z| ´e constante. Portanto a reta com σ constante ´e mapeada num c´ırculo de raio |z| = eσT . 10.5.2.2 Freq¨uˆencia pr´opria constante Se s = σ + jω1 com ω1 constante, ent˜ao z = e(σ+jω1)T = eσT ejω1T , que corresponde a uma linha radial no plano Z com inclina¸c˜ao ω1T . Para s = σ + j ωa 2 tem-se z = eσT ej ωa 2 T = eσT ejπ. Para σ − j ωa 2 tem-se z = eσT e−j ωa 2 T = eσT e−jπ. Portanto, para jω = ± ωa 2 , o mapeamento corresponde ao eixo real negativo no plano Z. Se σ > 0, o mapeamento corresponde ao eixo real no plano Z entre −1 e +∞. Se σ < 0 ent˜ao o mapeamento leva ao eixo real do plano Z entre 0 e −1. O eixo real do plano s ´e dado por s = σ. Ent˜ao z = eσT e ∠z = 0◦. Para σ > 0 (semi-eixo real positivo no plano s) o mapeamento correspondente no plano Z ´e o eixo real positivo entre +1 e +∞. Para σ < 0 (semi-plano real negativo no plano s) tem-se no plano Z o eixo real positivo entre 0 e 1. Deve-se observar ainda que qualquer reta com freq¨uˆencia constante ω = ±nωa, n = 0, 1, . . . , no lado direito do plano complexo (σ > 0)) ´e mapeado em z = eσT e±jnωaT = eσT e±jn2π, portanto no eixo real positivo no plano Z entre 1 e ∞. Para as mesmas freq¨uˆencias, mas com σ < 0 a imagem no plano Z ´e o eixo real positivo entre 0 e 1. EEL-DAS-UFSC 157 Exerc´ıcios 1. Seja o sistema da Figura 10.7. Obtenha a fun¸c˜ao de transferˆencia Y (z) R(z). Tamb´em obtenha a express˜ao para Y (s). Σ G1(s) G2(s) H(s) R(s) E(s) E∗(s) M(s) M ∗(s) Y (s) + − Figura 10.7: Exerc´ıcio 1 2. Seja o sistema da Figura 10.8. Obtenha a seq¨uˆencia de sa´ıda y(kT ) quando a entrada do sistema for um degrau unit´ario. O per´ıodo de amostragem ´e T = 1 seg. Obtenha tamb´em a sa´ıda cont´ınua y(t). Σ 1 − e−T s s K s Y (s) R(s) + − Figura 10.8: Exerc´ıcio 2 3. Seja o sistema da Figura 10.9. Se T = 0.2 seg e K = 1, determine y(kT ) para k = 0, 1, 2, 3 e 4 quando r(t) for um degrau unit´ario. Determine tamb´em o valor final yrp. Σ K s + 1 1 − e−T s s R(s) E(s) Y1(s) Y (s) + − Figura 10.9: Exerc´ıcio 3 4. Para o sistema da Figura 10.10, obtenha y(kT ) (em forma fechada) se r(k) for um impulso unit´ario. Considere T = 1 seg. Σ 1 − e−T s s 1 s(s + 1) Y (s) R(s) + − Figura 10.10: Exerc´ıcio 4 158 Cap´ıtulo 10: Modelagem e resposta de sistemas discretos EEL-DAS-UFSC 165 =⇒ |p´olos| = 1. que mostra que os p´olos em cima do eixo imagin´ario no plano w correspondem a p´olos em cima da circunferˆencia do c´ırculo unit´ario, no plano z. 11.4.3 Lugar das ra´ızes A constru¸c˜ao do lugar das ra´ızes para sistemas discretos segue as mesmas regras usadas para o caso cont´ınuo. Para ilustrar a aplica¸c˜ao do lugar das ra´ızes para a an´alise de sistemas discretos vamos considerar um primeiro exemplo. Exemplo 11.4.2 O diagrama de blocos da Figura 11.3 representa um sistema de controle com um controlador discreto do tipo integral dado por C(z) = K 1 − z−1 Σ C∗(s) 1 − e−T s s 1 s + 1 R(s) Y (s) + − Figura 11.3: Sistema para o Exemplo 11.4.2 Deseja-se analisar o comportamento do sistema para o ganho K vari´avel do controlador e para trˆes diferentes valores do tempo de amostragem T ; 0.5 seg, 1 seg e 2 seg. Inicialmente vamos obter a fun¸c˜ao de transferˆencia amostrada correspondente ao sustentador de ordem zero e a planta. Esta fun¸c˜ao pode ser obtida usando uma tabela ou simplesmente um programa como o Scilab. A fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta ´e dada por G(z) = Kz z − 1 1 − e−T z − e−T (11.4.1) A seguir vamos considerar cada um dos valores do per´ıodo de amostragem, como mostrado em aula. O exemplo seguinte tamb´em ilustra o efeito da amostragem na estabilidade de um sistema de controle discreto. Exemplo 11.4.3 Com o aux´ılio do lugar das ra´ızes, verifique a estabilidade do sistema da Figura 11.4. e(kT) r(t) y(kT) + r(kT) u(t) y(t) y(t) − T T G(s) C(z) SOZ Figura 11.4: C(z) = k G(s) a s + a Solu¸c˜ao: Afim de estabelecer uma compara¸c˜ao vamos primeiro relembrar o caso cont´ınuo (sem amostragem) Para construir o lugar das ra´ızes para o sistema discreto, usamos o sistema dado na Figura 11.5 − + r(kT) G(z) e(kT) u(kT) y(kT) C(z) Figura 11.5: Sistema Discreto com C(z) = k EEL-DAS-UFSC 167 Exerc´ıcios 1. Determine a estabilidade do sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia Y (z) X(z) = z−3 1 + 0.5z−1 − 1.34z−2 + 0.24z−3 a. usando o crit´erio de Jury. b. usando a transforma¸c˜ao bilinear e o m´etodo de Routh-Hurwitz. 2. Seja o sistema descrito por y(k) − 0.6 y(k − 1) − 0.81 y(k − 2) + 0, 67 y(k − 3) − 0.12 y(k − 4) = x(k) onde x(k) ´e a entrada e y(k) ´e a saida do sistema. Determine se o sistema ´e est´avel usando o crit´erio de Jury. 3. Dado o sistema da Figura 11.6, determine os valores de K para os quais o sistema ´e est´avel, usando o crit´erio de Jury. − δT + C(s) R(s) ✲ ✲ ✯ ✲ ✻ ✲ ✲ 1 s + 1 1 − e−T s s K Figura 11.6: Exerc´ıcio 3 4. Trace o lugar das ra´ızes no plano Z para o sistema da Figura 11.7, para trˆes per´ıodos de amostragem: T = 1 seg, T = 2 seg e T = 4 seg. Discuta a influˆencia do per´ıodo de amostragem na estabilidade do sistema. R(s) Y (s) δT − + ✯ ✻ ✲ ✲ ✲ ✲ K s(s + 1) 1 − e−T s s Figura 11.7: Exerc´ıcio 4 5. Dado o sistema da Figura 12.18, onde G(z) = K(z + 0.8) (z − 1)(z − 0.6) determine a faixa de ganho de K para a estabilidade do sistema, usando o crit´erio de Jury. Y (z) R(z) − + ✻ ✲ ✲ ✲ G(z) Figura 11.8: Exerc´ıcio 5 6. Considere o sistema descrito pela equa¸c˜ao: y(k) − 0.6 y(k − 1) − 0.81 y(k − 2) + 0.67 y(k − 3) − 0.12 y(k − 4) = u(k) onde u(k) ´e a entrada e y(k) ´e a sa´ıda. Determine a estabilidade deste sistema, usando o crit´erio de Jury. Teste todas as n + 1 condi¸c˜oes de estabilidade. 168 Cap´ıtulo 11: Precis˜ao e estabilidade CAP´ITULO 12 Projeto de controladores discretos 12.1 Introdu¸c˜ao O projeto de controladores discretos pode ser realizado por emula¸c`ao, onde um controlador cont´ınuo ´e projetado, usando as mesmas t´ecnicas vistas nos capitulos 6 e 7, e ent˜ao discretizados, ou diretamente no plano Z. A primeira abordagem apresenta a vantagem de utlizar os resultados de projeto para controladores anal´ogicos e dispensar a necessidade de um estudo mais detalhado de t´ecnicas discretas. A desvantagem desta abordagem ´e o fato de que o sustentador de ordem zero n˜ao ´e considerado no projeto e portanto, deve-se esperar uma degrada¸c˜ao do desempenho. As t´ecnicas baseadas no projeto do controlador usando diretamente o plano Z s˜ao mais precisas, mas ao custo de uma maior complexidade. Na seq¨uˆencia apresentaremos as estruturas b´asicas dos controladores discretos e ent˜ao algumas t´ecnicas de projeto. Duas abordagens para o projeto ser˜ao consideradas: o projeto por emula¸c˜ao e o projeto diretamente do controlador discreto. 12.2 Estruturas de controladores As estruturas dos controladores discretos s˜ao os equivalentes discretos das estruturas de controladores anal´ogicos apresentados no Cap´ıtulo 5. Assim, podemos ter controladores do tipo proporcional, proporcional-integral, proporcional- derivativo, proporcional-integral-derivativo e de avan¸co e atraso de fase. A Tabela abaixo resume as estruturas dos controladores. Tanto a equa¸c˜ao diferen¸ca quanto a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta de cada controlador s˜ao apresentadas. Tipos de Controladores e(k) −→ C(z) u(k) −→ 170 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos Proporcional u(k) = Ke(k), C(z) = K Derivativo u(k) = KP TD(e(k) − e(k − 1)) C(z) = KP TD(1 − z−1) = KP TD z − 1 z Integral u(k) = u(k − 1) + KP TI e(k) C(z) = KP TI 1 1 − z−1 = KP TI z z − 1 Avan¸co/Atraso u(k + 1) = βu(k) + k(e(k − 1) − αe(k)) C(z) = K 1 − αz−1 1 − βz−1 12.3 Controle Digital por Emula¸c˜ao Esta abordagem considera que o projeto de um controlador anal´ogico j´a tenha sido realizado. Este projeto segue exatamente o procedimento estudado em outros cap´ıtulos e todo o processo de amostragem e reconstru¸c˜ao do sinal n˜ao ´e, portanto, considerado. O controlador anal´ogico ´e ent˜ao discretizado usando-se algum m´etodo de discretiza¸c˜ao. V´arios m´etodos de discretiza¸c˜ao podem ser usados e aqui abordaremos o m´etodo de Euler, o m´etodo de Tustin, o m´etodo da transforma¸c˜ao casada de p´olos-zeros e o m´etodo da transforma¸c˜ao casada de p´olos-zeros modificado. 12.3.1 Controle por emula¸c˜ao via Euler Esta t´ecnica consiste em fazer o projeto do controlador anal´ogico, como vimos nos cap´ıtulos precedentes, e em seguida aproximar o sinal de controle obtido com C(s) atrav´es do m´etodo de Euler, usando ˙X ∼= X(kT + 1) − X(kT ) T (12.3.1) T 2T ... T/2 u(t) u(t) com ZOH u(t) u(t) medio com interpolaçao kT Figura 12.1: Aproxima¸c˜ao de Euler Exemplo 12.3.1 Encontre a equa¸c˜ao recursiva correspondente `a digitaliza¸c˜ao do controlador anal´ogico C(s) = K0(s + a) s + b . Solu¸c˜ao: Seja e(t) o sinal de entrada do controlador e u(t) o sinal de sa´ıda. Logo U(s) E(s) = K0(s + a) s + b ⇒ (s + b)U = K0(s + a)E ⇒ ˙u + bu = K0(˙e + ae) 172 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos Area do trapezoide e(t) e(kT) e(kT−T) kT−T kT t Figura 12.3: Integral Trapezoidal ( ´Area= e(kT − T ) + e(kT ) 2 .T ) onde e(t) ´e o sinal cuja ´area queremos calcular e u(t) ´e a ´area desejada. Tomando-se a transformada Z da equa¸c˜ao recursiva temos U(z) = z−1U(z) + z−1E(z) + E(z) 2 T E(z) −→ F(z) U(z) −→ U(s) E(s) = F(z) = T 2 1 + z−1 1 − z−1 = 1 2 T 1 − z−1 1 + z−1 Para o sistema abaixo ter´ıamos a rela¸c˜ao e(t) −→ a s + a u(t) −→ e(k) −→ a 2 T 1−z−1 1+z−1 + a u(k) −→ C(s) C(z) Nota-se ent˜ao, dos dois exemplos acima que a rela¸c˜ao entre C(s) e C(z) com a aproxima¸c˜ao bilinear ´e dada por C(s) = C(z) com s = 2 T 1 − z−1 1 + z−1 (Tustin) que expressa uma transforma¸c˜ao bilinear de s para z. Exemplo 12.3.2 Obtenha um controle digital para que o sistema da Figura ?? tenha em malha fechada uma freq´uencia natural ωn = 0, 3 rad/seg e um amortecimento ξ = 0, 7 ✲ ✲ ✻- + r e C(s) 1 s2 u y Figura 12.4: Sistema d0 exemplo 12.3.2 Solu¸c˜ao: Primeiro determinaremos um controlador anal´ogico C(s) que atende as especifica¸c˜oes. Em seguida escolhemos um m´etodo de emula¸c˜ao para implementar digitalmente o sinal de controle. Com os m´etodos de projeto de controladores de avan¸co de fase encontramos C(s) = Kc s + a s + b a = 0, 2, b = 2, e Kc = 0, 81 174 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos r(k) y(k) u(k) u(t) y(t) 1 s2 e(k)=r(k)−y(k) A/D T y(k) Eq. Recursiva SOZ Figura 12.6: Sistema Discreto y(t) t 1,4 1,2 1,0 Figura 12.7: Resposta ao Degrau ω varia de jω = 0 para jωa/2, que ´e a m´axima freq¨uˆencia poss´ıvel no plano Z, tem-se z variando de z = e0 = 1 a z = e ωa 2 T = ejπ = −1. Como C(s) tem zeros no infinito, que correspondem a ω → ∞, segue que C(s) tende para zero quando ω cresce. Para que o mesmo ocorra com H(z), deve-se ter zeros em z = −1. Exemplo 12.3.4 Seja um controlador anal´ogico dado por C(s) = 10s + 1 s + 2 e seja T = 0.1 seg o per´ıodo de amostragem. Usando-se o mapeamento z = esT , o zero em −1 e o p´olo em −2 s˜ao mapeados em e−1×0.1 = 0.905 e e−2×0.1 = 0.819, respectivamente. A fun¸c˜ao de transferˆencia amostrada ´e ent˜ao C(z) = Kd z − 0.905 z − 0.819 onde Kd ´e o valor do ganho a ser determinado. Para que os ganhos em baixa freq¨uˆencia sejam iguais, deve-se ter C(s = 0) = C(z = 1) e portanto Kd 1 − 0.905 1 − 0.819 = 10 2 e segue que Kd = 9.53. A fun¸c˜ao de transferˆencia amostrada ´e portanto C(z) = 9.53z − 0.905 z − 0.819 No exemplo anterior a fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador cont´ınuo tinha o mesmo n´umero de p´olos e zeros. No exemplo seguinte o controlador cont´ınuo apresenta dois p´olos e um zero. Exemplo 12.3.5 Seja a fun¸c˜ao de transferˆencia C(s) = 10 s + 1 s(s + 2) Neste caso tem-se dois p´olos e um zero e deve-se ent˜ao acrescentar um zero em z = −1. A fun¸c˜ao de trans- ferˆencia discreta ´e ent˜ao C(z) = Kd (z + 1)(z − 0.905) (z − 1)(z − 0.819) EEL-DAS-UFSC 175 Calculando-se o ganho da fun¸c˜ao de transferˆencia discreta da mesma forma como anteriormente, tem-se Kd = 7.025 e a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta ´e C(z) = 7.025(z + 1)(z − 0.905) (z − 1)(z − 0.819) 12.3.3.1 M´etodo de transformac¸˜ao casada de p´olos-zeros modificada Quando a fun¸c˜ao de transforma¸c˜ao discreta tem o mesmo n´umero de p´olos e zeros, a equa¸c˜ao diferen¸ca cor- respondente ´e tal que a sa´ıda em um instante de amostragem depende da entrada no mesmo instante. Seja, por exemplo, um controlador dado por Y (z) U(z) = K z + a z + b A equa¸c˜ao diferen¸ca correspondente ´e dada por y(k) = −by(k − 1) + Ku(k) + au(k − 1) e a sa´ıda y(k) depende de u(k). Se o tempo de c´alculo for tal que a entrada atual n˜ao possa ser usada para gerar a sa´ıda atual, deve-se manter o n´umero de p´olos maior do que o de zeros, modificando-se o m´etodo da transforma¸c˜ao casada, o qual consiste em introduzir zeros em −1, de tal modo que se tenha pelo menos um p´olo a mais do que um zero. No caso da fun¸c˜ao de transferˆencia C(s) = 10 s + 1 s(s + 2) por exemplo, n˜ao seria acrescentado nenhum zero em z = −1. 12.4 Projeto por m´etodos discretos Nos m´etodos de emula¸c˜ao as opera¸c˜oes de derivada e/ou integral executadas pelo controlador s˜ao aproximadas por opera¸c˜oes alg´ebricas com as amostras dos sinais de entrada/sa´ıda do controlador anal´ogico projetado a partir do modelo anal´ogico da planta. Nesta se¸c˜ao veremos como projetar um controlador discreto a partir do modelo discreto da planta. Este modelo inclui o sustentador de ordem zero, e antes da aplica¸c˜ao do m´etodo de projeto, deve-se obter a fun¸c˜ao de transferˆencia da planta. A Figura 12.8 mostra o modelo discreto e a Figura 12.9 mostra o modelo discreto equivalente. e(kT) r(t) + r(kT) u(t) y(t) − T T y(kT) G(s) Modelo Analogico Controle Digital C(z) D/A SOZ Figura 12.8: Modelo Discreto ✲ ✻ ✲ - r(kT) + G(z) e(kT) u(kT) y(kT) C(z) Figura 12.9: Modelo Discreto Equivalente 178 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos −1 1 Re(z) Im(z) Figura 12.12: Lugar das ra´ızes com controlador proporcional No plano z os p´olos desejados s˜ao dados por z = esT com s sendo os p´olos no plano s o que resulta em: zd = e−0,21±0,21j = e−0,21(cos 1±sen 1j) = 0, 79 ± 0, 17j Com as condi¸c˜oes de m´odulo e fase do lugar das ra´ızes temos ∠C(z0d) + ∠G(zd) = ±π =⇒ 0, 17 0, 79 − α = −3, 03 ⇒ α = 0, 85 1 = |C(zd)||G(zd)| =⇒ K = 1 2, 77 = 0, 36. Com isso temos C(z) = 0, 36z − 0, 85 z = 0, 36(1 − 0, 85z−1) que resulta em la lei de controle u(k) = 0, 36e(k) − 0, 348e(k − 1) que ´e similar `a encontrada num exemplo anterior de projeto via emula¸c˜ao. Normalmente n˜ao ´e necess´ario que os p´olos desejados de malha fechada sejam exatamente aqueles especificados, mas sim estejam dentro de uma regi˜ao do plano z associada a um fator de amortecimento maior que o especificado (menor oscila¸c˜oes). r(t) u(t) T y(t) 1 s(s+2) + − C(z) SOZ Figura 12.13: Sistema do Exemplo 12.4.2 Exemplo 12.4.2 (Ogata, Discrete-time Control Systems, p. 384) Para o sistema mostrado na Figura 12.13 projetar um controlador discreto para atender aos seguintes requisitos de projeto: amortecimentoe ξ = 0, 5 e tempo de resposta tr2% = 2 seg. O per´ıodo de amostragem ´e T = 0, 2 seg. Pede-se ainda o c´alculo da resposta ao degrau e o erro `a rampa. Solu¸c˜ao: tr2% = 4 ξωn = 2 =⇒ ωn = 4 Os p´olos desejados s˜ao sd = 2±3, 464j. Tipicamente o per´ıodo de amostragem ´e escolhido de tal forma que existam 184 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos Exerc´ıcios 1. Considere o sistema de controle digital da Figura 4, onde a planta ´e de primeira ordem e tem um tempo morto de 2 seg. O per´ıodo de amostragem ´e T = 1 seg. Projete um controlador PI digital, tal que os p´olos dominantes de malha fechada tenham um amortecimento ζ = 0.5 e o n´umero de amostras por ciclo de oscila¸c˜ao senoidal amortecida seja 10. Determine o erro a uma entrada tipo rampa unit´aria. Obtenha a resposta do sistema a uma entrada do tipo degrau unit´ario. Y (z) R(z) − + δT ✯ ✻ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ e−2s s + 1 1 − e−T s s D(z) Figura 12.15: Exerc´ıcio 1 2. Seja o sistema da Figura 5. Projete um controlador digital tal que os p´olos dominantes do sistema tenham um amortecimento ζ = 0.5 e o n´umero de amostras por ciclo de oscila¸c˜ao senoidal amortecida seja 8. O per´ıodo de amostragem ´e T = 0.2 seg. Obtenha a resposta a uma entrada do tipo degrau unit´ario. Determine a constante de velocidade Kv. − + Digital Contr. δT R(z) Y (z) ✲ ✻ ✯ ✲ ✲ ✲ ✲ 1 s(s + 1) ZOH Figura 12.16: Exerc´ıcio 2 3. Considere o diagrama de blocos de um sistema de controle de uma antena, mostrado na Figura 6. O per´ıodo ´e T = 0.05 seg. a. Determine a margem de fase com K = 1 e D(z) = 1. b. Para reduzir o erro em regime permanente, K ´e aumentado para 5. Projete um controlador de atraso de fase de tal modo que a margem de fase do sistema seja 45o. c. Projete um controlador de avan¸co de fase, com K = 5, para que a margem de fase do sistema seja 45o. d. Use o Scilab para para determinar a resposta no tempo do sistema nos itens b. e c. Compare os tempos de subida e a ultrapassagem para os dois sistemas. e engrenagens Motor amplificador digital Controlador Y (z) R(z) ✲ ✻ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ 20 s2 + 6s K ZOH D(z) Figura 12.17: Exerc´ıcio 3 4. A fun¸c˜ao de transferˆencia seguinte ´e um compensador de avan¸co projetado para fornecer cerca de 60O de avan¸co em ω1 = 3 rad/s C(s) = s + 1 0.1s + 1 Supondo que o per´ıodo de amostragem seja T = 0.25 seg, calcule e plote no plano z as localiza¸c˜oes do p´olo e zero da implementa¸c˜ao digital de C(s) obtida: 186 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 −0.12 −0.08 −0.04 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 open loop zeroes ◊ × × open loop poles × Evans root locus Real axis Imag. axis 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 −0.12 −0.08 −0.04 0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 Lugar das raizes ζ = 0.5 Figura 12.20: Lugar das ra´ızes para o Exerc´ıcio 6 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 . Magnitude Hz db −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 −250 −230 −210 −190 −170 −150 −130 −110 −90 . Phase Hz degrees Figura 12.21: Diagrama de Bode para o Exerc´ıcio 7 Σ C⋆(s) 1 − e−T s s 10 (s + 1)(s + 2) R(s) Y (s) + − Figura 12.22: Sistema para a Quest˜ao 1 a. Mostre que o a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta da planta e do sustentador de ordem zero ´e dada por G(z) = 0.04528 (z + 0.9048) (z − 0.8187)(z − 0.9048) b. Estude a estabilidade do sistema n˜ao compensado, usando o crit´erio de Jury. 188 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos b. Projete um ou mais controladores discretos, usando o lugar das ra´ızes, tal que os seguintes requisitos sejam atendidos simultaneamente: – Amortecimento ζ = 0.5 – Tempo de resposta a 5% de 1 seg. – Erro a uma rampa unit´aria de 20%. Sugest˜ao: P´olos da planta podem ser cancelados para facilitar o projeto. 11. A resposta em freq¨uˆencia de uma planta no plano w ´e dada na Figura 12.25 (freq¨uˆencia em Hz). O ganho j´a −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 Magnitude Hz db −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 −250 −200 −150 −100 −50 Phase Hz degrees Figura 12.25: Diagrama de Bode para a Quest˜ao 3 foi ajustado para atender `a condi¸c˜ao de erro. Verificou-se, no entanto, que o sistema ´e sujeito a ru´ıdo e que a margem de fase especificada de 60◦ n˜ao ´e atendida. a. Projete um controlador discreto que atenda aos objetivos do projeto. b. Justifique a escolha do controlador. c. Determine a equa¸c˜ao recursiva do controlador. 12. Para a planta G(s) = K s(s + 2) deseja-se implementar um controlador digital em cascata, com um sustentador de ordem zero, que assegure para o sistema em malha fechada, com realimenta¸c˜ao unit´aria, os seguintes requisitos: • amortecimento ζ = 0.45 • erro `a rampa de 5% a. Projete o controlador, usando o lugar das ra´ızes. b. Determine a equa¸c˜ao recursiva do controlador. 190 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos b. Com o sistema j´a com o controlador projetado acima verificou-se que o erro em regime permanente a uma rampa ´e muito elevado. Projete um controlador de atraso de fase que garanta que este erro ´e reduzido pela metade. c. Calcule o erro `a rampa final do sistema com os dois controladores. 15. Um sistema deve ser controlado por um controlador digital. Deseja-se uma margem de fase de cerca de 40◦. O diagrama de Bode deste sistema, no plano w, ´e dado na Figura 12.28: a. Um controlador de atraso de fase poderia ser usado para este projeto? Justifique. b. Fa¸ca o projeto usando um compensador de avan¸co de fase. c. Determine o controlador discreto e a equa¸c˜ao recursiva do controlador, supondo que o per´ıodo de amos- tragem ´e T = 2 seg. Obs: A freq¨uˆencia est´a em Hz. −1 10 0 10 1 10 −70 −50 −30 −10 10 30 50 70 . Magnitude Hz db −1 10 0 10 1 10 −260 −250 −240 −230 −220 −210 −200 −190 −180 . Phase Hz degrees Figura 12.28: Diagrama de Bode para a Quest˜ao 3 16. Para o sistema mostrado na Figura 12.29 deve-se projetar um controlador com a estrutura mais simples poss´ıvel (ver estrutura de controladores no final da prova) que assegure que o sistema rejeita uma perturba¸c˜ao tipo degrau e apresente um amortecimento ζ = 0.4, com tempo de resposta a 5% dado por tr5% = 2.5 seg. a. Determine a estrutura e parˆametros do controlador. b. O controlador projetado deve ser implementado digitalmente, com per´ıodo de amostragem T = 0.5 seg. Use o m´etodo da transforma¸c˜ao casada p´olos-zeros para encontrar o controlador. Determine a equa¸c˜ao recursiva do controlador. 17. A fun¸c˜ao de transferˆencia de uma planta ´e G(s) = 1 (s + 0.1)(s + 3) que deve ser controlada por um controlador digital, com per´ıodo de amostragem T = 0.1 seg, como mostrado na Figura ??. 192 Cap´ıtulo 12: Projeto de controladores discretos Σ C∗(s) 1 − e−sT s 1 s2 R(s) Y (s) + − Figura 12.31: Sistema da Quest˜ao 3 b. Projete um controlador discreto no dom´ınio da freq¨uˆencia que assegure uma margem de fase de 700. O diagrama de Bode da fun¸c˜ao de transferˆencia G(jν) = 1 − 0.05jν (jν)2 , com w = jν ´e dado na Figura 12.32. c. Os erros do sistema controlado a um degrau, a uma rampa e a uma par´abola. d. Obtenha a equa¸c˜ao recursiva do controlador. −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 −110 −90 −70 −50 −30 −10 10 30 50 70 . Magnitude Hz db −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 −270 −260 −250 −240 −230 −220 −210 −200 −190 −180 . Phase Hz degrees Figura 12.32: DB para a Quest˜ao 3 Referˆencias Bibliogr´aficas [1] J.J. D’Azzo and C.H. Houpis. Feedback Control System Analysis & Synthesis. McGraw Hill Inc., USA, 3rd ed. edition, 1988. [2] J. C. Maxwell. On governors. Proceedings of the Royal Society of London, 1868. [3] S. Skogestad and I. Postlethwaite. Multivariable Feedback Control. Wiley, 2005.