Cálculo em Variáveis Complexas - Capítulo 1: Números Complexos

Calculo em variaveis complexas REDE MTM 310 Prof Anderson L Maciel CCNE UFSM 14 de setembro de 2022 Capıtulo 1 Numeros complexos Sabemos resolver a equac ao x2 1 0 Sua soluc ao e dada pelo numero real x 1 ou pelo numero x 1 E a equac ao x2 1 0 qua a sua soluc ao no conjunto dos numeros reais Para resolver essa equac ao precisaremos do numero 1 Porem nao existe um numero real dado por 1 uma vez que a raiz quadrada e valida somente para numeros positivos Assim a soluc ao dessa equac ao e um elemento novo na matematica que denotaremos por i e que satisfaz i2 1 Nosso objetivo e estudar a teoria matematica que tem como base a existˆencia desse elemento Essa teoria chamamos de calculo em variavel complexa Informac oes i Capıtulo 1 Numeros complexos ii Capıtulo 2 Func oes complexas iii Capıtulo 3 Teoria diferencial das func oes complexas iv Capıtulo 4 Func oes elementares complexas v Capıtulo 5 Series complexas vi Capıtulo 6 Teoria da integrac ao das func oes complexas vii Capıtulo 7 Teoria dos resıduos e aplicac oes Capıtulo 1 Numeros complexos Um numero complexo e escrito como z x yi onde x y sao numeros reais e i2 1 O conjunto de todos os numeros complexos sera denotado por C Dado o numero complexo z x yi temos que x e a sua parte real denotada por ℜz x e y e a sua parte imaginaria denotada por ℑz y A unidade imaginaria e dada por i Se ℜz 0 entao z yi e chamado de numero imaginario puro Dizemos que dois numeros complexos z x yi e w a bi sao iguais se e somente se x a e y b simultaneamente A soma e o produto de dois numeros complexos z x yi e w a bi sao dadas respectivamente por z w x a iy b z y xa ybxb yai Capıtulo 1 Numeros complexos Antes de continuarmos com um estudo dos numeros complexos e suas propriedades vamos apresentar outros modos de definir numeros complexos O primeiro esta relacionado ao plano real R2 Associamos o numero complexo z x yi ao ponto z xy do plano ou ainda ao vetor que inicia na origem do plano e termina no ponto xy Nessa nova escrita temos que x0 e a notac ao para o numero real x ao passo que 0y a notac ao para o numero complexo puro yi Ou seja i 01 As operac oes de soma e multiplicac ao ficam entao dadas por se z xy e w ab entao z w x ay b z y xa ybxb ya O segundo modo de definir um número complexo é através de matrizes reais de ordem 2 2 O número z x yi é escrito como z x y A unidade imaginária é i 0 1 Assim o número z é escrito como z x 1 0 y 0 1 xl yi onde I é a matriz identidade de ordem 2 2 A soma e o produto nessa forma ficam z w x a y b y b x a z y xa yb xb ya xb ya xa yb O número i 0 1 é a rotação de π2 ao redor da origem de pontos do plano no sentido antihorário Para ver isso vamos considerar por exemplo o ponto x x 0 para x 0 Multiplicando i por x temos então que ix 0 x que é um ponto puramente imaginário Interpretando esse resultado no plano complexo temos então que um ponto no eixo real positivo é levado por i em um ponto no eixoy positivo ou seja o ponto x 0 é levado em 0 x indicando o movimento de rotação de π2 Capıtulo 1 Numeros complexos Agora voltamos as propriedades dos numeros complexos Sejam z1 x1 y1i z2 x2 y2i e z3 x3 y3i numeros complexos quaisquer entao sao validas i z1 z2 z2 z1 ou seja a ordem da soma nao altera o resultado ii z1 z2 z3 z1z2 z1z3 entao e valida a lei distributiva iii z1 0 0 z1 0 z1 iv Para cada z1 x1 y1i temos que z1 x1 y1i e tal que z1 z1 z1 z1 0 v z1 1 z1 vi z1 z2 z3 z1 z2 z3 vii se z1 0 entao existe z1 1 tal que z1z1 1 1 viii z1 z2 z2 z1 z1 x1 iy1 w a ib z w 1 x1 iy1a ib 1 x1a y1b i x1b y1a 1 0i x1a y1b 1 x1b y1a 0 a x1 y1 b y1 x12 y12 x1 x2 y1 y2 b 1 x2 y12 b 1 x12 y12 y1 l y1 x12 y12 Capıtulo 1 Numeros complexos Exercıcio Se z1 1 i z2 35 z3 2 3i expresse na forma matricial os numeros complexos a z1 z2 z3 b z1z2z3 c 1 z1 z2 d z2 z3 O número complexo conjugado de z x yi é z x yi Considerando no plano complexo se z x y então z x y indicando que o conjugado de z é o ponto no plano que é simétrico a z com relação ao eixox Em forma matricial o conjugado do número complexo z x y é dado por z x y y x Capıtulo 1 Numeros complexos A operac ao de conjugac ao e util para escrever um numero complexo que dependa de frac oes na forma x iy Por exemplo seja z 1i 12i A ideia e multiplicar e dividir z pelo conjugado do seu denominador e simplificar z 1 i 1 2i 1 2i 1 2i 1 i1 2i 1 2i1 2i 1 2i i 2i2 1 2i 2i 4i2 1 3i 5 1 5 3 5i Outro exemplo simples e z 1 i nesse caso vemos que z i Seja z x iy 0 um número complexo portanto seu número inverso é z¹ 1z 1xiy Multiplicando e dividindo pelo seu conjugado e fazendo algumas simplificações obtemos que z¹ x iy x² y² xx² y² iyx² y² Em forma matricial se z x y y x indicando que x² y² detz 0 Logo essa matriz possui uma inversa dada por z¹ 1detz x y 1detz y x Da última igualdade temos que se z x y y x w a b 0 então zw zw¹ z 1detw zwdetw 1a² b² ax by bx ay bx ax by Na forma clássica temos que se z x iy w a ib 0 então zw zw zww zw ww x iya ib a iba ib que representa o mesmo número complexo que obtivemos em 1 Exercício 1 Escreva na forma x iy os seguintes números complexos a 1 i b 2 i c a ib a ib d i2 1i 17i e zw onde z x y y x w a b para x y a b 0 2 Quais números complexos z são iguais ao seu conjugado 3 Qual número complexo z que satisfaz a equação z 3z 1 i 4 Sabendo que z² z z ache números complexos z tais que z² z Algumas propriedades de conjugação são i z z ii z w z w iii z w z w iv zw zw para w 0 vi z z é sempre um número real dado por 2ℜz vii z z é sempre um número complexo imaginário puro dado por 2iℑz viii z z é sempre um número real dado por ℜz² ℑz² Conjugado de um numero complexo Vamos verificar a propriedade iii acima Para isso sejam z x iy w a ib dois numeros complexos quaisquer Para verificar essa propriedade vamos substituir os numeros complexos do lado esquerdo manipular algebricamente para entao obter o lado direito z w x iya ib xa yb ixb ya xa yb ixb ya xa ixb yb iya xa ib yb ia xa ib iya ib x iya ib z w As propriedades acima sao facilmente verificadas pela forma matricial de um numero complexo ou diretamente pela expressao classica Modulo de um numero complexo Uma observac ao a ser feita sobre os numeros complexos e que nao podemos comparar diretamente um numero complexo z com outro w ou seja por exemplo se z 1 i e w 1 i qual e maior z ou w Isso nao e possıvel afirmar pois o conjunto dos numeros complexos nao e ordenado Entao como fazemos para comparar dois numeros complexos Ao inves de tentar a comparac ao direta entre dois numeros complexos z e w vamos olhar para o tamanho dos segmentos de reta que se iniciam na origem do plano e terminam nos pontos que queremos comparar Dado um número complexo z seu tamanho ou módulo ou norma será denotado por z Se z x y o comprimento de z é dado pelo comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo formado por 0 z e x 0 Utilizando o teorema de Pitágoras temos então que z² x² y² onde x e y são os comprimentos dos catetos desse retângulo Portanto o módulo de z x y é dado por z x² y² Módulo de um número complexo Note que da propriedade viii de conjugação de números complexos z Rez² Imz² z z Ou ainda z² z z Se z x y y x então z det x y y x x² y² Uma observação é que se z é um número real então da expressão do módulo temos que o módulo de z é simplesmente o valor absoluto desse número real Módulo de um número complexo Exercício 5 Calcule o módulo dos seguintes números complexos a z i b z 12 c z 11 14 4 5i d z 2 6i e z 11 23 f z 1 3 3 1 Modulo de um numero complexo Algumas propriedades do modulo de numeros complexos i zw zw Para verificar essa igualdade vamos precisar da propriedade do produto de numeros conjugados ou seja sabemos que zw z w Pois zw2 zwzw zwz w zzww z2w2 como estamos trabalhando com numeros reais positivos segue que zw zw A propriedade acima na forma matricial e garantida pela formula de Cauchy para determinantes ou seja se A B sao matrizes entao detAB detAdetB Módulo de um número complexo ii z w z w desde que w 0 Sejam z w números complexos com w 0 Então utilizando a propriedade anterior temos que z w z w¹ Como w 0 temos que ww¹ 1 e tirando o módulo dos dois lados dessa igualdade e utilizando a propriedade anterior temos ww¹ w w¹ 1 E isso implica que w¹ 1 w Portanto temos que z w z 1 w z w Como exercício tente garantir essa propriedade utilizando a forma matricial dos números complexos envolvidos Modulo de um numero complexo iii e valida a desigualdade triangular z w zw Na figura seguinte temos a comprovac ao da desigualdade triangular que afirma que o comprimento de um dos lados de um triˆangulo e menor que a soma do comprimento dos outros dois lados desse triangulo x y z w z w Modulo de um numero complexo iv z z Basta notar que z z z zz z v Rez Rez z Imz Imz z A verificac ao deste item fica como exercıcio Exercícios 6 Verifique que z w2 z2 w2 2Rez w Ache uma expressão para z w2 e uma para z w2 z w2 7 Se z frac1 sqrt3i2 e w frac1 sqrt3i2 verifique que left fracz w1 overlinezw right 1 Capıtulo 1 Numeros complexos Iniciamos essa aula com o plano complexo Iremos denotar o eixox por eixo real e o eixoy por eixo imaginario ℜz ℑz 4 3 2 1 1 2 3 4 0 4i 3i 2i 1i 1i 2i Vamos considerar um ponto z xy no plano Como vimos z é um número complexo Vamos considerar o triângulo formado pelos vértices 0 z x0 Do teorema de Pitágoras segue então que r2 x2 y2 ou ainda r sqrtx2 y2 Como vimos anteriormente temos que z sqrtx2 y2 e isso implica que z é o comprimento da hipotenusa desse triângulo Podemos interpretar isso como sendo a distância entre a origem do plano e o ponto z xy Note a semelhança com o valor absoluto de um número real Mais geralmente se z x1y1 e w x2y2 são dois pontos do plano a distância entre esses pontos é dada por z w sqrtx1 x22 y1 y22 Portanto o módulo z w nos dá o comprimento do segmento que tem como extremos z w Desta modo da geometria do plano temos que a igualdade z w r indica o círculo centrado em w com raio r Por exemplo a igualdade z 1 se refere aos pontos do plano cuja distância à origem vale exatamente 1 Sabemos da geometria do plano que o conjunto de todos os pontos cuja distância até a origem vale 1 ou seja é o círculo centrado na origem de raio 1 Um modo analítico de verificar este fato é o seguinte da igualdade z 1 temos que z sqrtx2 y2 1 e esta última igualdade é a expressão do círculo centrado na origem e de raio 1 Numeros complexos Vale lembrar que a equac ao de um cırculo centrado em x0y0 de raio r 0 e dada por x x02 y y02 r 2 A figura abaixo e do cırculo centrado em 11 com raio 3 A equac ao desse cırculo e dada por x 12 y 12 3 ou x 12 y 12 3 Essa equac ao e escrita na forma de modulo como z 1 i 3 ℜz ℑz 4 3 2 1 1 2 3 4 4i 3i 2i 1i 1i 2i Exemplo Descreva o conjunto no plano dado pela igualdade z i 4 Essa igualdade se refere ao conjunto dos z cuja distância até i vale 4 ou seja é o círculo centrado em i de raio 4 Vamos verificar essa resposta analiticamente temos que z i 4 pode ser escrito como z i x yi i x y 1i x² y 1² 4 implicando que x² y 1² 4² e esta é a equação de um círculo centrado em 0 1 i de raio 4 Exemplo Descreva o conjunto no plano dado pela igualdade z 1 i 0 Neste exemplo procuramos pelo conjunto dos z cuja distância até 1 i vale zero ou seja é o próprio ponto 1 i Numeros complexos Obs No exemplo anterior se consideramos z i 4 entao esta desigualdade se refere ao cırculo centrado em i e de raio 4 e em todos os pontos do seu interior1 Por outro lado a desigualdade z i 4 se refere a somente os pontos que estao no interior do cırculo Obs Note que no segundo exemplo anterior se tivessemos z 1 i 0 entao como resultado terıamos o conjunto vazio pois nao existem pontos do plano cuja distˆancia ate 1 i seja negativa A distˆancia deve sempre ser positiva 1Entenda como interior o conjunto dos pontos que contem o centro do cırculo e que sao limitados pelo proprio cırculo Numeros complexos ℜz ℑz 4 3 2 1 1 2 3 4 4i 3i 2i 1i 1i 2i z 1 i 3 Pode ser que uma equação nos dê um conjunto que não seja tão fácil de identificar Vamos ver alguns exemplos Exemplo Descreva o conjunto no plano dado pela igualdade z z 2 Em palavras queremos saber qual é o conjunto dos pontos z cuja distância até a origem é igual à distância de z até o ponto 2 0 Para descrever esse conjunto vamos utilizar que z x yi Assim a igualdade z z 2 pode ser escrita como x yi x yi 2 ou então x² y² x 2² y² elevando ao quadrado ambos os lados dessa igualdade obtemos x² y² x 2² y² Agora simplificando os termos iguais chegamos a 4x 4 0 ou seja x 1 Interpretamos esse resultado do seguinte modo o conjunto que estamos procurando é formado pelos pontos z x yi de modo que x 1 ou seja é a reta vertical que passa por x 1 Capıtulo 1 Numeros complexos ℜz ℑz 4 3 2 1 1 2 3 4 0 4i 3i 2i 1i 1i 2i 3i Exemplo Descreva o conjunto no plano dado pela igualdade z z 2 4 Em palavras queremos saber qual é o conjunto dos pontos z cuja distância até a origem somado à distância de z até o ponto 2 0 vale 4 Vamos resolver analiticamente esse exemplo Substituindo z por x yi temos z 2 z 4 x 2² y² 4 x² y² elevando ao quadrado x 2² y² 16 8x² y² x² y² simplificando x 3 2x² y² elevando ao quadrado x² 6x 9 4x² 4y² 3x² 6x 4y² 9 Numeros complexos Agora completando quadrado nessa ultima igualdade obtemos 3x 12 4y2 12 e por fim dividindo por 12 temos x 12 4 y2 3 1 que e a equac ao geral de uma elipse Portanto o conjunto dos pontos que satisfazem zz 2 4 e uma elipse Numeros complexos Lembramos que a equac ao de uma elipse centrada em x0y0 com eixo maior a e eixo menor b e dada por x x02 a2 y y02 b2 1 Por outro lado a equac ao de uma hiperbole centrada em x0y0 e dada por x x02 a2 y y02 b2 1 Numeros complexos Exemplo Descreva o conjunto no plano dado por z2 2ℑz2 0 Se z x iy entao a igualdade fica x2 y2 2y2 0 ou ainda x2 y2 0 Essa igualdade e equivalente a seguinte x yx y 0 temos entao que x y 0 ou x y 0 Portanto temos a validade das retas x y e x y Portanto os numeros complexos z que satisfazem a igualdade inicial sao da forma z xx ou z xx para qualquer valor de x R Numeros complexos Exercıcios Descreva o conjunto no plano dado por a z 1 z 1 b zz 1 c zz 1 d zz 3i 4 e z 3 z 1 f z2 2ℜz2 0 g z2 2ℑz2 a para a 0 Agora vamos considerar outro modo de escrever um número complexo ainda por dois outros números reais Vamos descrever a forma polar de um número complexo Vamos utilizar a notação z r θ Utilizando o triângulo de vértices 0 z x 0 para o ponto z x y no plano pela trigonometria temos que x r cosθ y r senθ Forma polar Assim se z x yi e um numero complexo naonulo temos que z rcosθ i senθ essa e a chamada representac ao polar ou forma polar do numero complexo z Outro modo de escrever a forma polar de z e z rθ Em primeiro lugar temos r z O ˆangulo θ e o argumento do numero complexo z calculado em radianos e vamos denotalo por θ argz O valor do argumento pode ser qualquer numero real por exemplo o ponto z 11 1 i faz um ˆangulo π 4 com o eixo real positivo ou ainda π 4 2π ou ainda π 4 40π Na verdade qualquer valor da forma π 4 2kπ para k Z representa o ˆangulo do segmento que contem o ponto 11 Portanto note que associado a um numero complexo temos infinitos valores para o seu ˆangulo Em notac ao argz θ 2kπ k Z A forma polar de z 1 i é dada por z 2 cos π4 i sen π4 ou mais geralmente z 2 cos π4 2kπ i sen π4 2kπ para k Z Um modo de obter um único valor para θ é se restringirmos os seus valores para por exemplo θ 0 2π ou ainda θ π π A escolha de um desses intervalos faz com que tenhamos um único valor de θ associado a um número complexo e esse valor é chamado de argumento principal do número complexo e denotado por Argz Por exemplo considerando que 0 θ 2π temos Arg1 i π4 Lembramos que a função arcotangente é definida como sendo a função inversa da função tangente Assim fixado o intervalo π2 π2 temos que tgx é crescente nesse intervalo logo possui uma inversa que chamamos de arcotangente arctgx A função arcotangente tem domínio em R e sua imagem é o intervalo aberto π2 π2 Além disso ela satisfaz as identidades arctgtgu u tgarctgv v Outra propriedade útil da função arcotangente é que ela é uma função ímpar ou seja para todo x vale arctgx arctgx Vamos voltar ao exemplo z 1 i Calculando θ diretamente temos que θ arctg y x arctg1 Utilizando uma calculadora percebemos que arctg1 π4 Porém o mesmo se dá para o ponto w 1 i ou seja nesse caso arctg y x arctg1 π4 Porém esse não é o ângulo correto desse ponto uma vez que ele se encontra no terceiro quadrante do plano Seu ângulo em radianos é 5π4 Levando isto em consideração temos então que se x 0 y 0 então θ arctg y x se x 0 y 0 então θ arctg y x π se x 0 y 0 então θ π arctg y x se x 0 y 0 então θ arctg y x Uma notação útil que envolve a forma polar é a seguinte vamos considerar a expressão eiθ cosθ isinθ Essa é a conhecida Fórmula de Euler Desta modo a forma polar de um número complexo é escrita por z r cosθ isinθ re iθ As propriedades das formas polares irão nos fornecer propriedades para eiθ Se z₁ r₁ cosθ₁ i senθ₁ e z₂ r₂ cosθ₂ i senθ₂ então valem as propriedades seguintes Propriedade 1 z₁ z₂ r₁ r₂ cosθ₁ θ₂ i senθ₁ θ₂ Essa propriedade segue do seguinte z₁ z₂ r₁ cosθ₁ i senθ₁ r₂ cosθ₂ i senθ₂ r₁ r₂ cosθ₁ cosθ₂ senθ₁ senθ₂ i cosθ₁ senθ₂ senθ₁ cosθ₂ r₁ r₂ cosθ₁ θ₂ i senθ₁ θ₂ Obs i Desta propriedade obtemos que eiθ₁ eiθ₂ eiθ₁θ₂ ii No produto de dois números complexos os argumentos são somados e os módulos multiplicados Propriedades da forma polar ℜz ℑz 4 3 2 1 1 2 3 4 0 4i 3i 2i 1i 1i 2i 3i Propriedade ii z₁z₂ r₁r₂ cosθ₁ θ₂ i senθ₁ θ₂ A verificação desta propriedade fica como exercício Obs i Desta propriedade temos então que na razão de dois números complexos os argumentos são subtraídos e os módulos divididos ii eiθ₁eiθ₂ eiθ₁θ₂ Propriedades da forma polar Vamos considerar um numero complexo z eiθ Multiplicando z por z obtemos pela propriedade i que z2 z z eiθ eiθ eiθθ ei2θ Por outro lado z2 eiθ2 Portanto eiθ2 ei2θ Em outras palavras cosθ i senθ2 cos2θ i sen2θ Propriedades da forma polar Vamos considerar um numero complexo z eiθ Multiplicando z por z por z obtemos pela propriedade i que z3 z z z eiθ eiθ eiθ eiθθθ ei3θ Por outro lado z3 eiθ3 Portanto eiθ3 ei3θ Em outras palavras cosθ i senθ3 cos3θ i sen3θ Fazendo outro produto de z obtemos entao pelo padrao formado acima que eiθ4 ei4θ ou ainda cosθ i senθ4 cos4θ i sen4θ Mais geralmente para n um inteiro positivo e z eiθ temos a Fórmula de De Moivre dada por cos θ i sen θⁿ cosnθ i sennθ Exemplo Utilize a fórmula de De Moivre para deduzir que cos3θ cos³θ 3 cosθ sen²θ e que sen3θ 3 cos²θ senθ sen³θ Vamos utilizar a fórmula de De Moivre para n 3 e z rcosθ i senθ Temos então z³ r³ cosθ i senθ³ r³ cos3θ i sen3θ cancelando o termo r³ na última igualdade e expandindo o lado esquerdo obtemos cosθ i senθ³ cos³θ 3 cos²θ senθ i³ sen³θ cos³θ 3 cosθ sen²θ i sen³θ Formula de De Moivre Agora note que esse numero complexo deve ser igual pela formula de De Moivre a cos3θ i sen3θ Porem vimos que dois numeros complexos sao iguais se e somente se eles tem a mesma parte real e mesma parte imaginaria Note que as duas partes reais iguais nos dao a identidade cos3θ cos3θ 3cosθsen2θ ao passo que a igualdade entre as partes imaginarias nos dao a outra identidade sen3θ 3cos2θsenθ sen3θ Forma polar de números complexos Exercícios 1 Se z r cosθ i sinθ dê a forma polar do número z 2 Calcule o argumento principal de a z 1 i b z 1 3i c z 3 3i d z 1 3i e z 2 3i f z 2 3i 3 Dê a forma polar considerando todos os argumentos possíveis dos números complexos do item anterior 4 Se z 1 i calcule a forma polar de 1z 5 Calcule 1i3i utilizando formas polares 6 Obtenha uma expressão para cos4θ e uma para sen4θ em função de senθ cosθ e suas potências até ordem 4 Resposta cos4θ cos⁴θ 6cos²θsen²θ sen⁴θ sen4θ 4cos³θsenθ 4cosθsen³θ Potˆencias Antes de continuarmos com as potˆencias racionais de numeros complexos vamos analisar como fica a igualdade entre dois numeros complexos escritos na forma polar Se z1 r1eiθ1 z2 r2eiθ2 sao numeros complexos dizemos que z1 z2 se e somente se ℜz1 ℜz2 r1 cosθ1 r2 cosθ2 ℑz1 ℑz2 r1 senθ1 r2 senθ2 dessas igualdades tiramos que r1 r2 ou seja o modulo dos numeros complexos devem ser iguais e θ1 θ2 2kπ k Z ou seja deve existir um numero inteiro de modo que os ˆangulos sao multiplos entre si por um fator de 2π Lembre que este valor 2π vem de quantas voltas damos a partir de um determinado ˆangulo ou ainda vem do fato das func oes seno e cosseno serem periodicas de perıodo 2π Exemplo Ex 1 Se z 1 i existe um valor y R de modo que w 2 iy seja igual a z R Não existe pois por exemplo os módulos devem ser iguais mas z 2 ao passo que w 4 y² Logo não existe um número real y tal que 2 4 y² uma vez que y² 0 Ex 2 Refação o exemplo anterior para w 12 yi R Novamente pelo módulo temos que z 2 w 14 y² implicando que y 72 Note que o valor negativo para y não nos interessa pois deste modo o ponto w estaria no quarto quadrante e não no primeiro como z Logo o candidato a w é w 12 i72 Com relação ao argumento temos que Argz π4 07854 rad ao passo que Argw 12094 rad Logo novamente não existe w com parte real 12 que seja igual a z Potências inteiras de números complexos Sejam z₁ r₁eiθ₁ z₂ r₂eiθ₂ dois números complexos Então pela fórmula de De Moivre se n é um inteiro positivo então z₁n r₁eiθ₁n r₁n einθ Utilizando a propriedade de divisão da forma polar temos que 1z₁ 1z₁ⁿ 1r₁ eiθn 1r₁n einθ Por último temos que se n m são inteiros positivos então z₁nz₂m z₁n 1z₂ r₁n eiθ₁r₂m eimθ₂ r₁nr₂m einθ₁ mθ₂ Raiz nésima de um número complexo Agora que vimos potências inteiras de números complexos vamos um passo além e estudar as raízes nésimas de um número complexo ou seja um número complexo elevado a uma potência racional Seja w ρeiϕ queremos saber qual a forma polar da raiz nésima desse número complexo n w para um n 2 inteiro Para isso seja z reiθ igual a essa raiz ou seja z n w Nosso objetivo é calcular os valores de r θ em função de ρ φ Mas resolver a igualdade acima é equivalente a resolver zn w E sabemos que zn rneinθ Portanto temos a igualdade rneiθ ρeiφ que nos dá o sistema rn ρ nθ φ 2kπ k ℤ implicando que r ρ θ φ n 2kπ n Assim o número procurado é z ρei φ n 2kπ n ρ cos φ n 2kπ n i sen φ n 2kπ n para k ℤ Exemplo Dê a forma polar das seguintes raízes a i b 32i c 51 Resolução a A forma polar de i é i e iπ2 implicando que ρ 1 φ π2 Assim substituindo esses valores na fórmula acima com n 2 obtemos i 1 cos π2 2 2kπ 2 i sen π2 2 2kπ 2 cos π4 kπ i sen π4 kπ para k ℤ b A forma polar do número no radicando é 2i 2e3iπ2 Logo temos que ρ 2 φ 3π2 Substituindo esses valores na expressão da raiz com n 3 temos 32i 2 cos 3π2 3 2kπ 3 i sen 3π2 3 2kπ 3 2 cos π2 2kπ 3 i sen π2 2kπ 3 para k ℤ c A forma polar do número é 1 e iπ Com ρ 1 φ π n 5 temos 51 1 cos π5 2kπ 5 i sen π5 2kπ 5 cos π5 2kπ 5 i sen π5 2kπ 5 para k ℤ É comum denominarmos as raízes nésimas do número complexo w ρeiφ do seguinte modo zk ρ cosφn 2kπn i senφn 2kπn para k ℤ Vamos calcular diretamente essas raízes substituindo valores para k z0 ρ cosφn i senφn z1 ρ cosφn 2πn i senφn 2πn z2 ρ cosφn 22πn i senφn 22πn zn1 ρ cosφn n 12πn i senφn n 12πn Raiz nesima de um numero complexo Note que o argumento de z0 e ϕ n ao passo que o do proximo numero e ϕ n 2π n do proximo e ϕ n 2 2π n e assim por diante ate o n 1esimo numero que tem argumento ϕ n n 1 2π n ou seja a cada zk aumentamos o seu argumento em 2π n para chegar no proximo numero zk1 E portanto quando somamos n desses ˆangulos damos uma volta inteira e voltamos ao ponto z0 ou seja zn z0 e depois iniciamos o processo para obter zn1 z1 zn2 z2 e assim por diante Outro modo de perceber que por exemplo zn z0 pode ser obtido diretamente utilizando a fórmula da raiz nésima zn ρ cosφ 2mπn i senφ 2mπn ρ cosφn 2π i senφn 2π ρ cosφn i senφn z0 isto pois as funções seno e cosseno são periódicas de período 2π Do mesmo modo podemos obter zn1 z1 e assim por diante As raízes nésimas de w são dadas por z0 z1 zn1 calculadas a partir da expressão geral da raiz nésima Exemplo Calcule 51 i Sol A forma polar de 1 i é dada por 2 cos7π4 i sen7π4 Da equação da raiz nésima e do que foi exposto acima temos então que as raízes quintas são z0 z1 z2 z3 e z4 dadas por z0 102 cos7π20 i sen7π20 z1 102 cos7π20 2π5 i sen7π20 2π5 102 cos7π20 π2 i sen7π20 π2 z2 102 cos7π20 4π5 i sen7π20 4π5 102 cos23π20 i sen23π20 z₃ 102cos7π20 6π5 i sen7π20 6π5 102cos31π20 i sen31π20 z₄ 102cos7π20 8π5 i sen7π20 8π5 102cos39π20 i sen39π20 Raiz nesima de um numero complexo Uma pergunta interessante e Qual a posic ao no plano complexo das raızes nesimas de um numero complexo Em primeiro lugar note que a formula das raızes complexas nos da a forma polar das raızes nesimas e cada uma dessas raızes tem o mesmo modulo dado por nρ Isto quer dizer entao que todas as raızes teem a mesma distˆancia da origem do plano ou ainda que estao todas em cima de um cırculo centrado na origem e de raio nρ Portanto as raızes sao pontos de um cırculo de raio determinado e cujos argumentos de pontos consecutivos e o mesmo Como exemplo temos abaixo a figura das 5 raızes obtidas no exemplo anterior Note ainda que obtivemos um polıgono de 5 lados tendo essas raızes como vertices Rez Imz 1 i n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 Vamos estudar agora as raízes nésimas do número complexo w 1 Também chamado de raízes nésimas da unidade A forma polar de 1 é dada por ρ 1 e φ 0 Portanto as raízes nésimas de 1 são z₀ cos0 i sen0 1 z₁ cos2πn i sen2πn z₂ cos22πn i sen22πn zₙ₁ cosn12πn i senn12πn Uma observação sobre os pontos que acabamos de calcular é a seguinte utilizando a fórmula de De Moivre é fácil perceber que z₁² z₂ z₃ z₃ zₙ₁ zₙ₁ Portanto as raízes da unidade podem ser escritas como 1 z₁ z₂ zₙ₁ onde z₁ cos2πn i sen2πn Se quisermos saber quais são coordenadas de um eneágono centrado na origem e com um vértice em 1 0 basta calcularmos as 9 raízes da unidade que são dadas por 1 z₁ z₂ zₙ₁ onde z₁ cos2π9 i sen2π9 A figura seguinte contém esse polígono de 9 lados Raiz nesima de um numero complexo Rez Imz 1 i n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 Exercícios Topologia do plano complexo O primeiro tipo de conjunto que definimos e o de vizinhanca Uma vizinhanca de um ponto z0 e o conjunto de todos os pontos do plano complexo que distam de no maximo um valor r 0 de z0 A expressao para uma vizinhanca e z z0 r Note que uma vez que z0 tem uma vizinhanca ao seu redor entao existe um r 0 tal que z z0 r Alem disso existem outras infinitas vizinhancas ao redor de z0 basta considerar z z0 r1 para qualquer valor real r1 r Uma vizinhanca perfurada de z0 e uma vizinhanca de z0 sem o ponto z0 incluıdo nesse conjunto Sua expressao e dada por 0 z z0 r Um conjunto aberto e formado por todos os pontos z0 tais que pelo menos uma vizinhaca de z0 esta inteiramente contida no conjunto Topologia do plano complexo Exemplos a O conjunto dado pela desigualdade z 1 e aberto pois todo ponto dentro do cırculo unitario possui uma vizinhanca por mais pequena que seja contida dentro do cırculo unitario b O conjunto A z C Rez 1 e formado por todos os pontos que no plano complexo estao a direita da reta vertical x 1 excetuando os pontos dessa reta Esse conjunto e aberto c O conjunto A z C Imz 0 e formado por todos os pontos que no plano complexo estao acima do eixo real excetuando os pontos desse eixo Esse conjunto e aberto d O conjunto dado pela desigualdade z 1 nao e aberto pois qualquer vizinhanca de um ponto z0 desse conjunto possui pontos que nao pertencem a esse conjunto Topologia do plano complexo Um conjunto e fechado se o seu complementar em relac ao ao plano complexo e um conjunto aberto O conjunto dado por z 1 e fechado outro exemplo de conjunto fechado e dado por A z C Imz 0 A fronteira ou bordo de um conjunto A e formado pelos pontos z0 tais que qualquer vizinhanca de z0 tenha pontos de A e do seu complementar Por exemplo o bordo de z 1 e o conjunto z 1 O bordo de A z C Imz 0 e o eixo real Um conjunto e conexo se dados dois pontos quaisquer desse conjunto eles podem ser conectados por segmentos de retas todos contidos no conjunto Todos os exemplos dados acima sao conjuntos conexos Um exemplo de conjunto que nao e conexo chamado de desconexo e o de dois cırculos desiguais Por exemplo o conjunto C C1 C2 onde C1 z C z 1 C2 z C z 3i 1 e desconexo Isto pois qualquer ponto de C1 nao pode ser conectado por exemplo por uma segmento de reta a um ponto qualquer de C2 de modo que esse segmento so tenha pontos de C Topologia do plano complexo Um domınio ou regiao e um conjunto aberto e conexo do plano complexo Um exemplo de regiao e dado pelos exemplos a b e c anteriores Exercıcios Dˆe dois exemplos distintos de conjuntos que sao a abertos b fechados c Conexos d desconexo e domınios Func oes complexas Uma func ao complexa a valores complexos e uma regra que associa a cada z C um unico numero complexo w fz Podemos definir de modo geral uma func ao complexa como f A B onde A B sao subconjunto de C e uma func ao complexa se para cada z A existe um unico w fz B O conjunto A e chamado de domınio da func ao f e B de contradomınio de f Na unidade anterior ja trabalhamos com algumas func oes basicas Vamos listar algumas delas Exemplo Uma das primeiras func oes que trabalhamos foi a func ao conjugado Nesse caso temos que fz z e note que o domınio dessa func ao e todo o conjunto C pois e possıvel calcular o conjugado de qualquer numero complexo O contradomınio tambem e C Exemplo Outra func ao e o modulo fx z Nesse caso note que f C R isto pois o modulo e sempre um numero real positivo sendo zero apenas para z 0 Exemplo A raiz nésima de um número complexo z r cosθ i senθ foi dada pela expressão Func oes complexas Exercıcio Ache o domınio das seguintes func oes complexas a fz 1 z b fz az b cz d c fz z z Algumas func oes sao dadas so em func ao de z ao passo que outras em func ao de x e y tratadas como a parte real e imaginaria respectivamente de z Por exemplo a func ao fxy x iy e simplemente a func ao fz z Por outro lado fz z2 pode ser escrita como fz fx iy x2 y2 i2xy Exemplo Escreva na forma a ib as func oes dadas em func ao de z a fz z2 2z 1 z b fz 2z z 2z 1 3z 1 Sol a Simplificando e depois substituindo z por x iy obtemos z2 2z 1 z z2 2z z z2 x iy2 2x iy x iy x2 y2 fx iy x2 2x y2x2 y2 x x2 y2 i 2xy 2yx2 y2 y x2 y2 b Substituindo diretamente z por x iy obtemos Exemplo Ache a parte real e imaginária da função fz fracz22overlinez 3i Sol Basta fazermos a substituição z x iy na expressão da função fx iy fracx iy22x iy 3i fracx2 y2 2ixy2x iy cdot fracx iyx iy 3i fracx3 3xy22x2 y2 ileftfrac3x2y y3 6x2 6y22x2 y2right Assim a parte real de f é uxy fracx3 3xy22x2 y2 e a parte imaginária é vxy frac3x2y y3 6x2 6y22x2 y2 Exercício Ache a parte real e a imaginária de a fz z2 b fz frac1z c fx iy fracsinx 2i3y2 5i 2yi d fx iy fracsqrt33x 2iylnx i Dada uma função complexa fz substituindo z por sua forma polar rcos heta isin heta obtemos então a forma polar da função fz ou seja obtemos fr heta Se fz estiver escrito em função das coordenadas x y basta utilizar as relações x rcos heta y rsin heta para obter a forma polar de fz Exemplo Ache a forma polar das seguintes funções a fz z4 b fz frac1z c fz z2 1 d fz 3x 2iy2 Sol a Usando z rcos heta isin heta na expressão de fz e a fórmula de De Moivre obtemos a forma polar de fz fr heta r4cos heta isin heta4 r4cos4 heta isin4 heta b Note que fz fracoverlinezz2 portanto fr heta fracrcos heta isin hetarcos heta isin heta2 frac1rcos heta isin heta c Substituindo e usando a fórmula de De Moivre temos fr heta r2cos heta isin heta2 1 sqrtr2cos2 heta 12 r4sin22 heta d fr heta 3rcos heta 2ir2sin2 heta As operações básicas das funções reais se estendem para as funções complexas Assim se f1 e f2 são funções complexas também o são f1 f2 cf1 onde c é uma constante complexa qualquer f1 cdot f2 fracf1f2 onde f2 não se anula e também a composição f1 circ f2 Como uma função complexa tem a forma fz uxy ivxy faz sentido definirmos a função complexa conjugada de f que é dada por overlinefz overlineuxy ioverlinevxy uxy ivxy Note que overlinefz em geral é diferente de foverlinez Por exemplo se fz z i então fz z i x iy 1 e foverlinez overlinez i x iy 1 Que são valores distintos Funções complexas Limite e continuidade O limite de uma func ao real g R R quando x tende a x0 vale l em sımbolos lim xx0 gx l se e somente se para todo ε 0 existe um numero δ 0 tal que gx l ε sempre que x x0 δ e x x0 Como essa definic ao depende do modulo de uma func ao real e sendo que a noc ao de modulo e a mesma para uma func ao complexa podemos utilizar essa mesma definic ao para func oes complexas Assim o limite de uma func ao complexa f C C quando z tende a z0 vale L em sımbolos lim zz0 fz L se e somente se para todo ε 0 existe um numero δ 0 tal que fz L ε sempre que z z0 δ e z z0 Limite e continuidade Sejam fz ux y i vx y uma func ao complexa e os numeros complexos z0 x0 y0 e L Da definic ao acima temos que lim zz0 fz L se lim zz0 Re fz Re L lim zz0 Im fz Im L Portanto uma tecnica util e calcular o limite de uma func ao complexa pelo limite das parte real e imaginaria dessa func ao Em sımbolos temos que lim zz0 fz lim zz0 Re fz i lim zz0 Im fz Para obter esses limites utilizamos as regras e tecnicas de limite conhecidas do calculo de func oes reais Se um desses limites nao existir temos entao que o limite da func ao complexa nao existe Limite e continuidade Exemplo Calcule lim z1i z2 2z Sol Vamos calcular esse limite utilizando a parte real e imaginaria da func ao fz z2 2z x iy2 2x iy x2 y2 2x i2xy 2y Temos entao os limites lim z1i Re fz lim z1i x2 y2 2x lim xy11x2 y2 2x 1 1 2 2 lim z1i Im fz lim z1i 2xy 2y lim xy112xy 2y 2 2 0 Portanto lim z1i z2 2z 2 i 0 2 Exemplo Calcule lim z0 z z Sol Vamos calcular esse limite utilizando a parte real e imaginaria da func ao fz z z z z z2 z2 x2 y2 x2 y2 i 2xy x2 y2 Limite e continuidade Temos entao o limite lim z0Re fz lim z0 x2 y2 x2 y2 lim xy00 x2 y2 x2 y2 Esse e um exemplo classico de um limite de uma func ao real a duas variaveis que nao existe3 Portanto lim z0 z z nao existe Exercıcio Calcule os limites seguintes a lim z12i z2 z 3 b lim zi 2 z c lim z0z d lim z1i 1 z 3 z 3Para verificar isto basta calcular o limite considerando pontos proximos da origem em cima do eixo real depois calcule o mesmo limite com pontos proximos da origem sobre o eixo imaginario Chegase entao a dois valores distintos indicando que o limite nao existe na origem Limite e continuidade As propriedades seguintes de limite de func oes complexas sao consequˆencias das respectivas propriedades de limite de func oes reais L1 O limite quando existe e unico L2 Sejam fz e gz func oes complexas com lim zz0 fz L lim zz0 gz M Entao sao validas lim zz0 fz gz L M lim zz0 fz gz L M lim zz0 fz gz L M desde que M 0 Uma func ao complexa fz e contınua em z0 se e somente se lim zz0 fz fz0 Dizemos que fz e contınua se ela for contınua em todos os pontos do seu domınio Caso a func ao fz nao seja contınua em z0 dizemos que ela e descontınua nesse ponto Limite e continuidade A soma e o produto de duas func oes contınuas sao contınuas O quociente de duas func oes contınuas sera contınua em z0 se e somente se a func ao do denominador nao se anular em z0 A composic ao de duas func oes contınuas e uma contınua Se fz e contınua entao Re fz Im fz e fz tambem sao func oes contınuas Exemplo Seja fz um polinˆomio complexo Calcule lim zz0 fz Sol Seja fz a0 a1 z an zn um polinˆomio complexo de grau n em z Utilizando as regras de func oes contınuas obtemos que todo polinˆomio complexo e uma func ao contınua Assim da definic ao de continuidade temos que lim zz0 fz fz0 a0 a1 z0 an zn 0 Do exemplo anterior e da propriedade de continuidade temos que qualquer func ao racional complexa ou seja fz pz qz onde pz e qz sao polinˆomios complexos e qz 0 e uma func ao contınua Portanto lim zz0 pz qz pz0 qz0 Limite e continuidade Exercıcio 1 Calcule lim z15i z2 2z 1 3z 1 2 Verifique se a func ao fz z2 1 z i se z i 3i se z i e contınua em z i 3 Verifique se a func ao fz z i z2 3iz 2 se z i i se z i e contınua em z i 4 Sabendo que a func ao fz z2 e contınua como vocˆe explicaria que a func ao gx y xy e contınua Derivadas A derivada de uma func ao real fx no ponto x0 e definida atraves do limite f x0 lim xx0 fx fx0 x x0 quando esse limite existe Como temos a definic ao de limite de func ao complexa seguimos a definic ao de derivada real para definir o conceito de derivada complexa A derivada da func ao f A C no ponto z0 A onde A e um subconjunto naovazio aberto4 de C e dada por f z0 lim zz0 fz fz0 z z0 quando esse limite existe O limite acima e equivalente a f z0 lim h0 fz0 h fz0 h 4Nao fazemos restric ao com relac ao ao tamanho de A ou seja este pode ser todo o plano complexo Derivadas No segundo limite acima fizemos a substituic ao h z z0 ou seja devemos ter em mente que h e um numero complexo que tende a 0 Outra notac ao usada para a derivada de fz em z0 e df dz z0 Quando uma func ao fz possui derivada em z0 dizemos que f e derivavel em z0 Vamos calcular a derivada de algumas func oes complexas Nos exemplos abaixo usamos qualquer um dos dois limites apresentados uma vez que sao equivalentes nao faz diferenca qual usar Exemplo Se fz c onde c e uma constante complexa verifique se f e derivavel e calcule sua derivada Sol A derivada dessa func ao em um ponto z0 qualquer de C vale f z0 lim h0 fz0 h fz0 h lim h0 c c h lim h00 0 Exemplo Se fz z verifique se f e derivavel e calcule sua derivada Sol A derivada dessa func ao em um ponto z0 qualquer de C vale f z0 lim zz0 fz fz0 z z0 lim zz0 z z0 z z0 lim z01 1 Derivadas Derivadas II Regra da cadeia Sejam f1 A C e f2 B C com f1A B e onde A e B sao conjuntos abertos de C Se f1 e derivavel em z0 e f2 derivavel em f1z0 entao a func ao f2 f1 e derivavel em z0 e vale f2 f1z0 f 2f1z0f 1z0 Exercıcio Verifique as regras acima para func oes complexas Exemplo Se fz a0 a1 z an zn verifique se f e derivavel e calcule sua derivada Sol Pelas regras acima fz e derivavel em z0 e sua derivada vale f z0 a1 2a2 z0 nan zn1 0 Exemplo Se fz 2z² 3z 2i5iz 1 12i calcule fz₀ para z₀ i depois para z₁ 125 15i Sol A função fz 2z² 3z 2i5iz 1 12i não é derivável nos pontos onde o denominador se anula ou seja em z 1 12i5i 125 15i Para qualquer outro ponto diferente deste a função é derivável Primeiro vamos calcular a derivada de fz em um ponto qualquer z utilizando a regra da derivada da divisão fz ddz2z² 3z 2i5iz 1 12i 4z 35iz 1 12i 5i2z² 3z 2i5iz 1 12i² 10iz² 48iz 4z² 13 36i5iz 1 12i² Derivadas Agora que sabemos a expressao para f z substituimos z por i e obtemos que f z0 f i 61 180 1 90i Por outro lado temos que f z1 nao existe No comeco desse capıtulo vimos que um modo de construirmos func oes complexas e atraves de duas func oes reais pois a soma delas com a unidade imaginaria multiplicando uma dessas func oes e uma func ao complexa E como fica a derivada desse tipo de func ao complexa Seja a func ao f I C dada por exemplo por ft xt i yt onde xt yt sao func oes derivaveis com domınio no intervalo I e imagem em R Entao a sua derivada em t0 vale f t0 lim tt0 ft ft0 t t0 lim tt0 xt i yt xt0 i yt0 t t0 lim tt0 xt xt0 t t0 i lim tt0 yt yt0 t t0 xt0 i yt0 Portanto nesse caso f t0 se resume as derivadas das func oes reais x e y em t0 Exemplo Calcule a derivada de ft no ponto t0 para a ft lnt i cosπt t0 1 b ft cost i sent t0 π4 c ft e2tcost i e2tsent t0 π Sol a Como xt lnt e yt cosπt são funções deriváveis em R e sendo que t0 1 está no domínio dessas funções segue que ft0 ddt lnt i cosπtt01 1t πi senπtt01 1 b As funções reais xt cost yt sent são claramente deriváveis em toda reta real Logo ft0 sent i costt0π4 22 i22 c As funções reais xt e2tcost yt e2tsent são claramente deriváveis em toda reta real Logo ft0 2e2tcost e2tsent i 2e2tsent e2tcostt0π 2e2π ie2π É possível calcular a derivada de uma função complexa substituindo z por x iy na expressão da derivada Assim a derivada de fz em z0 x0 iy0 é dada por fz0 limzz0 fzfz0zz0 limxx0 yy0 fxiyfx0iy0xiyx0iy0 O último limite à direita deve ser considerado como um limite de uma função de duas variáveis Exemplo Seja fz z calcule fz0 onde z0 ℂ é qualquer Sol Utilizando a expressão acima temos que fz0 limxx0 yy0 fxiyfx0iy0xiyx0iy0 limxx0 yy0 xiyx0iy0xiyx0iy0 limxx0 yy0 xx0² yy0² 2ix0yy0xx0² yy0² Derivadas Para calcular esse limite vamos considerar o seguinte metodo do calculo real O limite de uma func ao real de duas variaveis em p0 existe se e somente se existe o limite considerando pontos sobre quaisquer curvas que passam pelo ponto p0 Esse metodo e util para verificar que o limite na verdade nao existe no ponto especificado Para isto basta exibir duas curvas que passam pelo ponto e chegar a valores distintos do limite nesse ponto Isso indica que o limite no ponto nao existe Vamos fazer isso no nosso exemplovamos considerar duas curvas no plano complexo que passam por z0 x0 y0 e calcular os limites nessas curvas A primeira curva sera x0 y y R que e uma reta vertical no plano complexo que passa por z0 Para considerar essa curva na nossa expressao da derivada basta substituir x por x0 e y deixamos variar para pontos proximos de y0 Temos entao que o limite em duas variaveis se resume a um limite em uma variavel uma vez que x sera x0 ou seja f z0 lim yy0 x0 x02 y y02 2ix0 x0y y0 x0 x02 y y02 lim yy0 y y02 y y02 lim yy0 1 1 Derivadas A segunda curva que vamos considerar e uma reta horizontal no plano complexo que passa por z0 ou seja x y0 x R Substituindo y por y0 na expressao da derivada obtemos o limite na variavel x dado por f z0 lim xx0 x x02 y0 y02 2ix x0y0 y0 x x02 y0 y02 lim xx0 x x02 x x02 lim xx0 1 1 Assim como obtivemos dois valores distintos para a mesma expressao do limite de duas variaveis segue que esse limite nao existe Portanto a func ao fz z nao e derivavel qualquer que seja z0 Exercıcios Investigue onde existe a derivada de a fz z2 b fz ℜz c fz 1 z Equac oes de CauchyRiemann Dada uma func ao complexa fz e verdadeiro afirmar que essa func ao e derivavel se e somente se uxy e vxy sao func oes derivaveis Note que temos dois tipos distintos de func oes na pergunta acima A propria func ao fz e uma func ao complexa e a ela esta associada sua derivada complexa Por outro lado as func oes uxy e vxy nao sao complexas caso elas sejam derivaveis o serao considerando suas derivadas parciais Assim dizemos que uxy e vxy sao func oes derivaveis se existem suas derivadas parciais de primeira ordem u x x y u y x y v x x y v y x y e essas derivadas sao func oes contınuas5 5Lembrese que se gx y e uma func ao real entao suas derivadas parciais de primeira ordem nas variaveis x e y no ponto x0 y0 sao dadas respectivamente pelos limites g x x0 y0 lim h0 gx0 h y0 gx0 y0 h g y x0 y0 lim h0 gx0 y0 h gx0 y0 h quando esses limites existem Equac oes de CauchyRiemann Note que se fz 1 i ou seja se f e uma func ao complexa constante entao ux y 1 e vx y 1 e sabemos que ambas as func oes possuem derivadas parciais de primeira ordem e sao contınuas ao passo que a propria fz tambem e derivavel no sentido complexo Portanto nesse caso simples temos uma resposta afirmativa para a pergunta inicial ou seja tanto f quanto suas partes real e imaginaria sao derivaveis Mas sera que isso vale para todas as func oes A resposta e nao Por exemplo vimos que a func ao complexa fz z nao e derivavel em nenhum ponto Por outro lado fz fx iy x iy x iy implicando que uxy x e vxy y que sao func oes derivaveis Portanto nesse exemplo a parte real e imaginaria de f sao derivaveis mas a propria func ao f nao e Equac oes de CauchyRiemann Assim apresentamos um exemplo onde a diferenciabilidade de uxy e vxy nao e suficiente para que a func ao fz uxy ivxy seja diferenciavel Mas sera que se fz uxy ivxy e diferenciavel entao uxy e vxy serao diferenciaveis Vamos investigar essa questao Sendo fz diferenciavel em z0 x0 i y0 temos entao que existe o limite f z0 lim h0 fz0 h fz0 h onde h h1 ih2 e um numero complexo proximo de zero Reescrevendo esse limite com f u i v obtemos f z0 lim h0 u ivz0 hu ivz0 h lim h10 h20 ux0 h1y0 h2 i vx0 h1y0 h2 ux0y0 i vx0y0 h1 ih2 lim h10 h20 ux0 h1y0 h2 ux0y0 h1 ih2 i lim h10 h20 vx0 h1y0 h2 vx0y0 h1 ih2 3 Equac oes de CauchyRiemann Isto nos leva a considerar dois casos I Se h1 0 e h2 0 entao de 3 obtemos f z0 lim h20 ux0y0 h2 ux0y0 ih2 i lim h20 vx0y0 h2 vx0y0 ih2 1 i u y v y i u y v y 4 II Se h1 0 e h2 0 entao de 3 obtemos f z0 lim h10 ux0 h1y0 ux0y0 h1 i lim h10 vx0 h1y0 vx0y0 h1 u x i v x 5 Assim como f z0 existe de 4 e 5 temos que as derivadas parciais de primeira ordem de u e v em x0y0 existem Equac oes de CauchyRiemann Agora que respondemos parcialmente a nossa pergunta inicial notamos que as equac oes 4 e 5 sao ambas iguais a f z0 Disto tiramos duas conclusoes A primeira nos leva as equac oes de CauchyRiemann Temos que v y i u y u x i v x que e uma igualdade entre dois numeros complexos Como dois numeros complexos sao iguais se e somente se suas parte real e imaginaria sao iguais obtemos as igualdades u x v y v x u y 6 Essas equac oes sao chamadas de Equac oes de CauchyRiemann Equac oes de CauchyRiemann A segunda conclusao e que temos agora uma expressao para o calculo de f z0 dado por f z0 u x x0 y0 i v x x0 y0 7 ou qualquer outra obtida utilizando as equac oes de CauchyRiemann Por exemplo f z0 v y x0 y0 i v x x0 y0 O resultado que responde definitivamente nossa questao inicial e dado por Teorema A func ao fz ux y i vx y sera diferenciavel em z0 x0 y0 se e somente se ux y e vx y sao func oes diferenciaveis em x0 y0 e satisfazem as duas equac oes de CauchyRiemann em x0 y0 Exemplo Utilize o teorema anterior para verificar onde as seguintes funções são deriváveis Além disso no caso afirmativo utilize a expressão 7 para calcular sua derivada a fz z b fz 1z c fz ziz1 d fz Rez²iImz² Sol a A parte real e imaginária de f são dadas por uxy x vxy y Temos que ux x0y0 1 uy x0y0 0 vx x0y0 0 vy x0y0 1 implicando que a primeira equação de CauchyRiemann não é satisfeita para nenhum ponto do plano Logo essa função não é diferenciável b Temos que fz 1z z xx²y² iyx²y² ou seja uxy xx²y² vxy yx²y² Equac oes de CauchyRiemann Suas derivadas parciais sao u x xy y x2 y232 u y xy xy x2 y232 v x xy xy x2 y232 v y xy x2 x2 y232 Agora que temos as derivadas parciais vamos verificar para quais pontos as equac oes de CauchyRiemann sao satisfeitas Para isso substituimos essas expressoes na primeira equac ao de 6 u x v y y x2 y232 x2 x2 y232 y x2 Isso nos indica que as func oes u e v satisfazem a primeira equac ao de CauchyRiemann nos pontos do plano complexo da forma x x2 x R Equac oes de CauchyRiemann Agora vamos analisar a segunda equacao de 6 v x u y xy x2 y232 xy x2 y232 xy xy implicando que a segunda equac ao e satisfeita para quaisquer pontos do plano Portanto a func ao fz 1 z e diferenciavel nos pontos em cima da parabola y x2 no plano complexo exceto na origem onde a func ao nao esta definida Se z0 e um ponto onde existe a derivada entao pela equac ao 7 temos que f z0 u x x0 y0 i v x x0 y0 y0 x2 0 y2 032 i x0y0 x2 0 y2 032 Equac oes de CauchyRiemann Agora vimos que os pontos onde a derivada existe sao da forma x0 x2 0 Substitiuindo esse tipo de ponto na derivada acima obtemos entao que f z0 x2 0 x2 0 x2 0232 i x0x2 0 x2 0 x2 0232 x2 01 ix0 x3 01 x2 032 1 ix0 x01 x2 032 Dizemos que uma func ao complexa e analıtica em z0 ou holomorfa se f z existe para qualquer ponto de uma vizinhanca de z0 A func ao complexa f sera analıtica em uma regiao R do plano complexo se ela e analıtica em todo ponto dessa regiao Uma func ao e chamada de inteira se ela for analıtica em todo o plano complexo Exercıcio Verifique onde sao analıticas e ache sua derivada no caso afirmativo em um ponto generico z0 x0 i y0 a fz excosy i seny b fz z2Rez c fz 2z3 3z2 1 i d fz 3 e3xcos2x i sen2x 1 Verifique se a função seguinte é contínua em z0 i fz z2 1 z i 3i z i 2 Verifique a continuidade em z0 i z1 2 3i z2 13e3iπ2 da função fz z i z2 3i 2 3 Seja fz z2 2z 3 z2 9 para z 3 Para qual valor de f3 a função será contínua nesse ponto 4 Seja fz z4 10z2 9 definida para z 3i z i Quais os valores de f3i fi para que f seja contínuas nesses pontos 5 Calcule pela definição as derivadas de a fz z 3 4i em z0 1 i b fz z2 1 em z0 i c fz z2 z i em z0 1 6 Obtenha uma expressão para fz2 7 Ache os valores de a b para os quais as seguintes funções são inteiras a fz x ay ibx cy b fz ax2 by2 icy 8 Verifique se satisfazem as equações de CauchyRiemann e no caso positivo explicite sua derivada a fz x2 y2 2ixy b fz x3 3y2 2x i3x2y y3 2y c fz x2 y2 ixy d fz 12 logx2 y2 i arctgyx Func oes Harmˆonicas Dizemos que uma func ao gx y de R2 em R e harmˆonica se satisfaz a equac ao de Laplace ou seja se satisfaz g 2g x2 2g y2 0 Do calculo vetorial temos que se g R2 R possui suas derivadas de segunda ordem entao divgradg g Teorema Se fz e uma func ao analıtica e se f u i v onde u e v sao func oes que possuem derivadas parciais de segunda ordem contınuas Entao u e v sao func oes harmˆonicas De fato como f é analítica pelo teorema anterior são válidas as equações de CauchyRiemann Assim utilizando as equações de CauchyRiemann obtemos para a função u que Δu ²ux² ²uy² x vy y ux 0 Func oes Harmˆonicas Notamos que a ultima igualdade e satisfeita pois as func oes u e v possuem derivadas de primeira ordem contınuas O resultado que utilizamos para justificar essa igualdade e chamado de Lema de Schwarz e afirma que se uma func ao g de R2 em R tem suas derivadas de segunda ordem contınuas entao vale a igualdade 2g xy 2g yx Do mesmo modo obtemos que a func ao v e harmˆonica Se as func oes harmˆonicas u e v satisfazem as equac oes de CauchyRiemann entao dizemos que v e a func ao harmˆonica conjugada de u Do mesmo modo temos que u e a func ao harmˆonica conjugada de v A func ao harmˆonica conjugada pode ser obtida por integrac ao em casos onde essa conta possa ser efetuada A tecnica para achar a func ao harmˆonica conjugada e a mesma que utilizamos para obter as func oes potenciais de um campo vetorial conservativo Func oes Harmˆonicas Exemplo Verifique que a func ao ux y 2xy 3y e harmˆonica Sol Temos que u 2u x2 2u y2 x 2y y 2x 3 0 implicando que u e uma func ao harmˆonica Exemplo Se u e v sao func oes harmˆonicas que satisfazem as equac oes de CauchyRiemann e ux y 2x 3y ache sua func ao harmˆonica conjugada Sol Como u e v satisfazem as equac oes de CauchyRiemann temos a validade de u x v y v x u y Vamos considerar a primeira equac ao e substituir u por sua expressao Assim obtemos v y x 2x 3y 2 Obtemos assim uma equação diferencial parcial simples que pode ser resolvida integrando dos dois lados da equação em função de y Temos então utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo que vy dy 2 dy vx y 2y kx onde kx é uma função que só depende de x e que devemos encontrar Portanto até agora obtivemos uma resposta parcial da função que procuramos Sabemos que vx y 2y kx onde kx é a parte da função que ainda temos que obter Para obter essa parte final de v utilizamos a segunda equação de CauchyRiemann Essa equação afirma que vx uy Substituindo a expressão de u no lado direito e de v no lado esquerdo obtemos a igualdade kx 3 Esta é uma equação diferencial ordinária e para resolvêla basta integrar em função de x Assim novamente aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo obtemos kx dx 3 dx kx 3x C onde C é uma constante arbitrária Assim a função harmônica conjugada de u é vx y 2y 3x C Exercícios 1 Seja ux y a função dada a seguir verifique que essa função é harmônica e ache sua função harmônica conjugada a ux y x2 y2 b ux y 3x2 x 3y2 4 c ux y exy cosy xseny 2 Se u1 e u2 são funções harmônicas verifique que a u1 u2 também é uma função harmônica b se K C é uma constante então ku1 também é uma função harmônica Função Exponencial Complexa Sabemos do cálculo real que a função exponencial real é definida para todo número real x por ex limn 1 xnn Nossa ideia é definir uma função complexa que tenha as mesmas propriedades que a função exponencial real e que quando restrita ao conjunto dos números reais seja exatamente a função exponencial real Essa função será a exponencial complexa Vamos fazer uma substituição de variáveis ou seja vamos considerar z C ao invés de x R no limite do lado direito de 8 Assim obtemos o limite lim n 1 zn ⁿ 9 Isto nos leva à definição da função exponencial complexa sendo dada por eᶻ lim n 1 zn ⁿ Se z x iy temos então que eᶻ eˣⁱʸ eˣ cosy i seny 10 Vamos apresentar algumas propriedades da função exponencial complexa a Como no caso real a função exponencial complexa é sempre diferente de zero Isto pois eᶻ eˣ 0 b Se z₁ x₁ iy₁ z₂ x₂ iy₂ então eᶻ¹ᶻ₂ eᶻ¹ eᶻ₂ Para verificar essa igualdade vamos utilizar a expressão da exponencial Assim eᶻ¹ᶻ₂ ex₁x₂iy₁y₂ ex₁x₂cosy₁y₂ i seny₁y₂ ex₁x₂cosy₁cosy₂ seny₁seny₂ iseny₁cosy₂ cosy₁seny₂ ex₁x₂cosy₁cosy₂ i seny₂ eˣ¹cosy₁ iseny₁ecosy₂ i seny₂ eᶻ¹ eᶻ₂ c e0 1 De fato pois e0 e0i0 e0 cos0 i sen0 1 d ez 1ez Para verificar essa igualdade basta notar que para todo z C 1 e0 ez ez ez implicando então que ez 1ez e ez1z2 ez1ez2 f Para um n inteiro positivo temos que enz ezn g eiπ 1 h A função exponencial complexa é periódica de período 2πi ou seja para todo z C vale que ez ez2πi i Escreva ez na forma matricial Recorde que cosy seny seny cosy é a matriz rotação de ângulo y no sentido antihorário Propriedades da func ao exponencial Exercıcio 1 Verifique as propriedades e f g h da func ao exponencial 2 Expresse na forma fz uxy i vxy as func oes a fz ez b fz e3z c fz ez2 A potˆencia de um numero complexo z ρeiθ por um inteiro n pode ser escrita de forma simplificada como zn ρneinθ A raiz nesima do numero complexo z ρeiθ e n z nρei θ n 2kπ n para k 012n 1 Exemplo Se z 2 eiπ4 descreva z nas coordenadas cartesianas e utilize a fórmula de Euler para escrever z Sol Da expressão de z temos que seu módulo vale 2 e seu argumento vale π4 Portanto x 2 cosπ4 22 1 y 2 senπ4 22 1 Assim z 1 1 A raiz quinta de z é dada por 5 z 5 2 ei π4 5 2kπ5 para k 0 1 2 3 4 Propriedades da func ao exponencial Exercıcio 3 Represente os numeros 5 8i 3 3i 2 2i na forma ρeiθ 4 Descreva e faca um desenho das seguintes regioes do plano complexo a ρeiθ 1 ρ 2 θ 02π b ρeiθ ρ 2 θ 02π c ρeiθ ρ 0 θ 0π d ρeiθ ρ 2 θ 0π2 5 Da formula de Euler para iy iy obtemos as seguintes expressoes para as func oes trigonometricas reais cosy Reeiy eiy eiy 2 seny Imeiy eiy eiy 2i Utilize essas expressoes para verificar as formulas do seno e cosseno da soma de dois ˆangulos 6 Verifique que a expressao seguinte e verdadeira ez ez Propriedades da func ao exponencial Uma propriedade peculiar da func ao exponencial real e que a sua derivada e a propria func ao ou seja d dx ex ex para todo x R Sera que essa propriedade permanece valida para a func ao exponencial complexa Vamos verificar esse fato utilizando as equac oes de CauchyRiemann Se z x iy entao ez excosy i seny Assim temos que uxy ex cosy vxy exseny e suas derivadas parciais sao u x ex cosy u y exseny v x exseny v y ex cosy Disto tiramos que sao validas as equac oes de CauchyRiemann para todos os valores de xy ou seja a func ao ez e inteira Alem disso sua derivada vale d dz ez u x i v x ex cosy iexseny exeiy ez Portanto a função ez tem derivadas de todas as ordens em z para qualquer z C e cada uma dessas derivadas vale ez A derivada de ordem n de uma função complexa fz denotada por dndzn fz é dada por ddz dn1dzn1 fz Exercício 7 Calcule as derivadas seguintes a ddz e2z2i b d2dz2 e3iz c d2020dz2020 eiz d d2dz2 eizez2 2z Func oes trigonometricas Se y R temos que eiy cosy i seny Assim as func oes seno e cosseno podem ser representadas utilizando a func ao exponencial complexa ou seja se y R entao cosy ℜeiy eiy eiy 2 seny ℑeiy eiy eiy 2i Substituindo y por z temos entao que o cosseno e seno do numero complexo z sao dados respectivamente por cosz eiz eiz 2 senz eiz eiz 2i Func oes trigonometricas Note que se z x 0i ou seja se z e um numero real entao senz eix eix 2i senx Em outras palavras a func ao seno complexa se identifica com a func ao seno real para pontos no eixo real O mesmo se da para a func ao cosseno Exemplo Calcule senz cosz para z 0 π 1 i i Sol Calculando diretamente das expressoes temos que sen0 e0 e0 2i 0 cos0 e0 e0 2 1 Para z π vamos precisar dos valores seguintes eiπ cosπ i senπ 1 eiπ cosπ isenπ 1 Func oes trigonometricas Portanto temos senπ eiπ eiπ 2i 1 1 2i 0 cosπ eiπ eiπ 2 1 1 2 1 Calculando a exponencial temos ei1i e1i e1cos1 i sen1 ei1i e1i ecos1 i sen1 substituindo nas expressoes do seno e cosseno vemos que nao conseguimos uma expressao simples para o seno e cosseno de 1 i sen1 i ei1i ei1i 2i e1i e1i 2i cos1 i ei1i ei1i 2 e1i e1i 2 Func oes trigonometricas Calculando diretamente temos que seni eii eii 2i e e1 2i cosi eii eii 2 e e1 2 Exercıcio Calcule senz cosz para z π 4 i 3π 2 5i π i Propriedades das func oes seno e cosseno complexas a Substituindo z por z nas expressoes do seno e cosseno obtemos senz eiz eiz 2i eiz eiz 2i eiz eiz 2i senz cosz eiz eiz 2 eiz eiz 2 cosz Funções trigonométricas senz1 cosz2 cosz1 senz2 fraceiz1 eiz12i fraceiz2 eiz22 Func oes trigonometricas d As func oes senz cosz sao periodicas de perıodo 2π A func ao senz sera periodica de perıodo 2π se para qualquer z C satisfizer senz 2π senz Utilizando o item anterior temos que senz 2π senzcos2πcoszsen2π senz pois sen2π 0 cos2π 1 Logo senz e periodica de perıodo 2π Exercıcio Verifique que cosz e periodica de perıodo 2π Exercıcio Se z x iy entao ez ew se e somente se w x iy 2kπ para k Z Ache os valores de z para os quais valem a igualdade ez 1 e Valem as seguintes relac oes senz 0 se e somente se z kπ k Z cosz 0 se e somente se z 2k 1π 2 k Z Vamos verificar a primeira sentenca a segunda fica como exercıcio Func oes trigonometricas Se z x iy entao senz 0 se e somente se eiz eiz 2i 0 E esta igualdade e equivalente a eiz eiz que pode ser escrita como e2iz 1 Portanto pelo exercıcio anterior segue que x 0 y kπ k Z Logo z kπ para k Z Para a proxima propriedade vamos precisar do seguinte exercıcio Exercıcio Verifique que se z C entao eiz eiz eiz eiz f Se z C entao valem as igualdades senz senz cosz cosz Vamos fazer a verificac ao para a func ao seno a func ao cosseno sera deixada como exercıcio Se z x iy vamos utilizar as igualdades iz ix iy y ix iz ix iy y ix Assim da expressão da função seno temos que fraceiz eiz2i fraceiz eiz2i senbarz Agora lembramos que as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico de um número real y são dadas respectivamente por sinhy ey ey2 coshy ey ey2 Assim obtemos que senz senx coshy i cosx sinhy exercício Para as funções reais seno e cosseno hiperbólicos verifique que sinh2y cosh2y 1 h Se z x iy então valem as identidades senz sen2x sinh2y cosz cos2x sinh2y Vamos verificar a igualdade para o módulo da função senz com um argumento análogo obtemos uma expressão para o módulo da função cosz e fica como exercício Calculando diretamente e utilizando o exercício anterior temos que senz senx coshy i cosx sinhy sen2x cosh2y cos2x sinh2y sen2x sen2x sinh2y cos2x sinh2y sen2x sinh2y Exercício 1 Verifique que senz2 cosz2 sinh2y cosh2y 2 Reveja as propriedades das funções trigonométricas hiperbólicas reais e conclua que as funções senz cosz não são limitadas 3 Calcule a parte real e parte imaginária das funções senz cosz Func oes trigonometricas Exercıcio Se z x iy entao ez ew se e somente se w x iy 2kπ para k Z Ache os valores de z para os quais valem a igualdade ez 1 e Valem as seguintes relac oes senz 0 se e somente se z kπ k Z cosz 0 se e somente se z 2k 1π 2 k Z Vamos verificar a primeira sentenca a segunda fica como exercıcio Se z x iy entao senz 0 se e somente se eiz eiz 2i 0 E esta igualdade e equivalente a eiz eiz que pode ser escrita como e2iz 1 Portanto pelo exercıcio anterior segue que x 0 y kπ k Z Logo z kπ para k Z Para a proxima propriedade vamos precisar do seguinte exercıcio Exercıcio Verifique que se z C entao eiz eiz eiz eiz f Se z C então valem as igualdades senz senz cosz cosz Vamos fazer a verificação para a função seno a função cosseno será deixada como exercício Se z x iy vamos utilizar as igualdades iz ix iy y ix iz ix iy y ix Assim da expressão da função seno temos que senz eiz eiz2i eiz eiz2i eiz eiz2i senz g Se z x iy então valem as igualdades senz senx coshy i cosx sinhy cosz cosx coshy i senx sinhy Vamos verificar a primeira identidade a segunda é feita de modo análogo e fica como exercício Vamos precisar dos fatos cosx cosx senx senx Assim senz fraceixiy eixiy2i fraceycosx i senx eycosx i senx2i cosx left fracey ey2i right senx left fracey ey2 right senx left fracey ey2 right i cosx left fracey ey2 right Agora lembramos que as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico de um número real são dadas respectivamente por senhy fracey ey2 coshy fracey ey2 Func oes trigonometricas Exercıcio 1 Resolva a equac ao cosz i 2 Resolva a equac ao cosz i senz i As func oes trigonometricas complexas seno e cosseno sao inteiras Vamos utilizar as equac oes de CauchyRiemann As partes real e imaginaria da func ao seno sao dadas respectivamente por ux y senxcoshy vx y cosxsenhy Suas derivadas parciais sao dadas por u x cosxcoshy u y senxsenhy v x senxsenhy v y cosxcoshy As equac oes de CauchyRiemann sao validas para todos os valores de z Portanto a func ao senz e inteira e sua derivada vale d dz senz u x i v x cosxcoshy i senxsenhy cosz Func oes trigonometricas Exercıcio Verifique a propriedade i para a func ao cosz e verifique que sua derivada vale senz As derivadas de ordem n de senz sao dadas pela seguinte tabela senz cosz senz cosz fz f z f z f z f 4z f 5z f 6z f 7z f 8z f 9z f 10z f 11z f 4kz f 4k1z f 4k2z f 4k3z Quanto vale a derivada f 2020z para fz senz Note que 2020 505 4 implicando que esta na primeira coluna da tabela acima Logo d2020 dz2020 senz senz Func oes trigonometricas Outras func oes trigonometricas sao definidas analogamente ao caso real Assim temos as func oes tangente complexa de z dada por tgz senz cosz cossecante complexa de z dada por cossecz 1 senz secante complexa de z dada por secz 1 cosz cotangente complexa de z dada por cotgz 1 tgz cosz senz Func oes trigonometricas Exercıcio 1 Qual o domınio das 4 func oes trigonometrica acima 2 Reescreva as 4 func oes trigonometricas dadas acima em func ao das func oes eiz eiz 3 Calcule os valores seguintes a tg0 tgπ b cossecπ2 cossecπ 4 Ache a parte real e imaginaria de tgz cotgz 5 Verifique se as 4 func oes trigonometricas acima sao analıticas Calcule suas derivadas 6 A func ao tgz e periodica Se sim qual o seu perıodo 7 Verifique as identidades a tg2z 1 sec2z b tgz w tgz tgw 1 tgztgw Func oes trigonometricas hiperbolicas As func oes trigonometricas hiperbolicas reais sao dadas por senhx ex ex 2 coshx ex ex 2 onde x R Agora como ja definimos a func ao exponencial complexa faz sentido substituirmos a variavel real x por uma variavel complexa z x iy Temos entao as func oes trigonometricas hiperbolicas complexas dadas por senhz ez ez 2 coshz ez ez 2 que sao respectivamente a func ao senho hiperbolico complexa e cosseno hiperbolico complexa Ambas as func oes sao definidas para todos os numeros complexos Func oes trigonometricas hiperbolicas Exemplo Calcule senhz coshz para z 0 e z 2πi Sol Temos que senh0 e0 e0 2 0 cosh0 e0 e0 2 1 Tambem temos que senh2πi e2πi e2πi 2 e2eπi e2eπi 2 senh2 cosh2πi e2πi e2πi 2 e2eπi e2eπi 2 cosh2 Exercıcio 1 Calcule coshiz senhiz A func ao seno hiperbolico complexa assim como a func ao seno complexa e uma func ao ımpar ao passo que a func ao cosseno hiperbolico complexa e uma func ao par Func oes trigonometricas hiperbolicas Vamos verificar que a func ao senhz e ımpar para isto basta obtermos a igualdade senhz senhz Seja z C qualquer entao senhz ez ez 2 ez ez 2 senhz Exercıcio 2 Verifique que a func ao coshz e par Vimos no estudo das func oes trigonometricas complexas que a parte real e imaginaria das func oes seno e cosseno sao obtidas a partir das seguintes identidades senz senxcoshy i cosxsenhy cosz cosxcoshy i senxsenhy onde z x iy Func oes trigonometricas hiperbolicas Exercıcio 3 Quais func oes obtemos para as seguintes somas a coshxseny i coshxseny b cosxsenhy i senxcoshy c coshxseny i coshxseny d cosxcoshy i senxsenhy e cosxsenhy i senxcoshy f senhxcosy i coshxseny Como as func oes coshz e senhz sao somas de func oes exponenciais complexas e sendo que ambas sao func oes inteiras segue que essas func oes tambem sao inteiras Temos que d dz senhz coshz d dz coshz senhz Func oes trigonometricas hiperbolicas Exercıcio 4 Verifique que as derivadas acima estao corretas 5 Calcule d3 dz3 cosh5z d1992 dz1992 senhz 6 Para quais valores de z temos que coshz 0 E para quais valores de z temos que senhz 0 7 As func oes trigonometricas hiperbolicas complexas sao periodicas Se sim qual o seu perıodo Se z e w sao numeros complexos distintos entao vale a identidade seguinte senhz w senhzcoshwcoshzsenhw Func oes trigonometricas hiperbolicas Outras func oes trigonometricas hiperbolicas sao tangente hiperbolica complexa de z dada por tghz senhz coshz cossecante hiperbolica complexa de z dada por cossechz 1 senhz secante hiperbolica complexa de z dada por sechz 1 coshz cotangente hiperbolica complexa de z dada por cotghz 1 tghz coshz senhz Logaritmo Por exemplo D0 Ceixo real negativo ou Dπ4 Creta saindo da origem de ˆangulo π4 ou D3π4 Creta saindo da origem de ˆangulo 3π4 ou no caso geral Dφ Creta saindo da origem de ˆangulo φ Logaritmo Assim considerando o caso geral acima para todo z temos um unico valor para o argumento de z dado por argz φ φ 2π Portanto temos a definic ao da func ao chamada de um ramo do logaritmo dada por log Dφ C logz lnz i argz Sempre que tivermos um ramo do logaritmo devemos ter a informac ao do seu domınio e da regra que o define Quando φ π temos o chamado ramo principal do logaritmo8 que denotaremos por Logz Nesse ramos os argumentos satisfazem π argz π Assim o ramo principal do logaritmo e a func ao dada por Log Dπ C Logz lnz i argz 8Alguns livros utilizam o nome valor principal do logaritmo Logaritmo Exemplo Calcule os seguinte logaritmos considerando o ramo do logaritmo dado a log1 onde o ramo e logz D0 C logz lnz i argz b Log1 i c Logi d logi onde o ramo e logz Dπ2 C logz lnz i argz Sol a Nesse ramos temos que 1 1 e o seu argumento vale arg1 π implicando que log1 ln 1 i arg1 iπ b Como queremos calcular Log1 i ja sabemos que este e o ramo principal do logaritmo Assim 1 i 2 e arg1 i π4 implicando que Log1 i ln 2 iπ4 c Temos que i 1 e o seu argumento considerando o intervalo ππ e π2 Assim Logi ln i i argi iπ2 Logaritmo d Note que o ponto z i pertence exatamente a reta que sai da origem e faz um ˆangulo π2 com o eixo real positivo Isto quer dizer que esse ponto nao esta no domınio do ramo da func ao logaritmo que estamos considerando Logo nao existe o logaritmo de i nesse ramo Exercıcio 3 Calcule os seguinte logaritmos considerando o ramo do logaritmo dado a logi log10 log3i log2 3i onde o ramo e logz D0 C logz lnz i argz b Log1 i Log2 2i Log3 3i c log3i log3i log1 2i onde o ramo e logz Dπ2 C logz lnz i argz d Verifique que para qualquer x real positivo vale que Logx lnx Logaritmo Qualquer ramo do logaritmo definido em Dφ e analıtico e sua derivada vale logz0 1 z0 para todo z0 Dφ Exercıcio 4 Calcule as derivadas de a fz z Logz b fz Logz2 1 5 Seja fz logz para um ramo fixo do logaritmo e seja gz ez Sabemos que gfz elogz z Utilize essa igualdade para calcular f z Potˆencias complexas Exercıcio 1 Se z w sao numeros complexos nao nulos calcule a a parte real e a parte imaginaria de zw b zw zw zw 2 Use o ramo principal do logaritmo de zw para calcular a ii b 2i 1i c 3 3i4 Se z w1 w2 sao numeros complexos e z 0 entao sao validas as seguintes propriedades i zw1w2 zw1zw2 ii zw1w2 zw1zw2 iii z0 e0logz e0 1 iv zw1 1 zw1 Sequˆencia de numeros complexos Dada uma sequˆencia numeria real xn estamos interessados no comportamento dessa sequˆencia no seguinte sentido Sera que ao passo que avancamos nos termos da sequˆencia os numeros reais que a representam tendem a um valor real fixado Ou nao tendem a nenhum valor fixado como no primeiro exemplo de sequˆencia acima Quando a sequˆencia tende a um valor real distinto de dizemos que a sequˆencia converge e que esse valor e o seu limite A notac ao lim nxn x quer dizer que a sequˆencia xn tende a x quando n vai a infinito Em outras palavras a medida que avancamos nos termos da sequˆencia xn nos aproximamos cada vez mais do valor x Por exemplo lim n 1 n 0 ou ainda lim n1 1 n 1 e assim por diante Series de numeros complexos Seja zn uma sequˆencia de numeros complexos qual o valor da soma de todos os seus termos Essa soma e chamada de serie de numeros complexos Em outras palavras uma serie numerica complexa e uma soma de infinitos9 termos complexos Vamos denotar uma serie complexa com termo geral zj xj i yj por j1 zj z1 z2 z3 zn x1 iy1x2 iy2x3 iy3xn iyn 9A soma pode ser finita mas estamos interessados somente nas somas infinitas Series de numeros complexos Ou seja Sn z1 z1 r z1 n 1r Sn z1 n 1r z1 n 2r z1 2Sn 2z1 n 1r 2z1 n 1r 2z1 n 1r portanto temos que Sn n2z1 n 1r 2 Como zn z1 n 1r temos por fim que a soma dos n primeiros termos de uma PA vale Sn z1 znn 2 Agora note que a medida que aumentamos o valor de n aumentamos a quantidade de termos da sequˆencia nessa soma Assim para considerar a soma de todos os termos dessa sequˆencia que denotaremos por S devemos aplicar o limite de Sn quando n tende a infinito Series de numeros complexos Portanto se fizermos a suposic ao de que q 1 entao podemos simplificar o valor dessa soma e obtemos a expressao da soma dos n primeiros termos da PG Sn z11 qn 1 q Essa expressao ira nos auxiliar a chegar no valor da soma dos termos dessa PG Como no caso anterior o valor final da soma que denotaremos por S sera dado no limite de n indo a infinito ou seja S lim n z11 qn 1 q z1 1 q z1 1 q lim nqn Assim o valor de S depende do limite lim nqn que pode ser analisado utilizando qn enlnq Agora temos dois casos a considerar Se lnq 0 ou seja se 0 q 1 entao temos que lim nqn lim nenlnq lim n 1 enlnq 0 Series de numeros complexos Se lnq 0 ou seja se q 1 entao temos que lim nqn lim nenlnq Portanto conseguimos achar o valor de S somente quando 0 q 1 e vale S z1 1 q Os casos que faltaram sao os seguintes Se q 1 entao os termos da PG sao todos iguais a z1 e isso implica que a soma de todos os termos dessa PG vale S z1 z1 z1 z11 1 1 z1 Se q 0 entao somente o primeiro termo da PG e nao nulo e portanto S z1 Series de numeros complexos Exercicio 1 Refaca o exemplo acima utilizando q 1 2Refaca o exemplo acima utilizando q como sendo um numero complexo Dada uma serie numerica complexa n1 zn em geral nao e possıvel calcular o seu valor diretamente por se tratar de uma soma infinita de termos A ideia entao e utilizar a tecnica associada aos exemplos de PA e PG que resolvemos anteriormente Ou seja somamos finitos termos da serie e chegamos a uma expressao que depende dessa quantidade de termos isto nos da uma sequˆencia Logo apos consideramos o limite dessa sequˆencia e a convergˆencia ou nao da serie esta associada a convergˆencia desse limite Series de numeros complexos Exemplo Ache o termo geral da sequˆencia das somas parcias das seguintes series e decida sobre sua convergˆencia a j1 i jj 1 b j1 i 1 j2 1 j Sol a Reescrevendo a serie temos que j1 i jj 1 i j1 1 jj 1 A serie e chamada de telescopica isto pois os termos da sequˆencia das somas parciais se cancelam facilmente e portanto sao faceis de se obter Para isso utilizamos a decomposic ao em frac oes parciais dada por 1 jj 1 1 j 1 j 1 Assim a serie se resume a j1 1 jj 1 j1 1 j 1 j 1 Vamos calcular os termos da sequˆencia das somas parciais Series de numeros complexos implicando que a serie converge e que j1 i jj 1 i b Simplificando obtemos 1 j2 1 j 1 j1 j 1 j 1 j Portanto a serie se resume a j1 1 j Logo S1 1 1 0 S2 1 11 2 1 S3 1 11 21 3 12 3 S4 1 11 21 31 4 1 2 3 6 Sn 1 11 21 n 1 2n 1 1 2n 1 nn 1 2 Series de numeros complexos Como lim nSn lim n nn 1 2 segue que a serie j1 i 1 j2 1 j diverge Apresentaremos agora algumas operac oes e propriedades basicas de series de termos complexos Sejam n1 zn n1 wn duas series numericas complexas convergentes Entao i A soma entre essas series gera uma nova serie convergente dada por n1 zn n1 wn n1 zn wn ii O produto por escalar entre uma dessas series e uma constante z C gera uma nova serie convergente dada por n1 z zn z n1 zn Series de numeros complexos iii Podemos incluir uma quantidade finita qualquer de numeros complexos a uma serie convergente de modo que a serie resultante ainda seja convergente Por outro lado uma quantidade finita de termos incluıdas em uma serie divergente mantem a serie divergente Com relac ao aos metodos ou criterios de convergˆencia para series complexas valem os seguintes i Criterio da parte real e imaginaria A serie n1 zn converge para z x iy se e somente se n1 Rezn x e n1 Imzn y ii Criterio do termo geral Se a serie n1 zn converge entao lim nzn 0 Deste criterio temos que se lim nzn ou nao existe entao a serie com esse termo geral nao converge Series de potˆencias Outro tipo de serie complexa e dada por n0 anz z0n 12 onde os an e z0 sao numeros complexos e z e chamado de variavel Esta e uma serie de potˆencias ao redor de z0 O que terıamos como resultado dessa soma Qual e o conceito de convergˆencia para esse caso O valor de z influencia na convergˆencia da serie Como verificamos a convergˆencia desse tipo de serie Os criterios apresentados na sec ao anterior continuam validos para este tipo de serie Quando ocorre a convergˆencia de uma serie do tipo 12 quer dizer que o resultado e uma func ao que depende de z Da sua definic ao uma serie de potˆencias ao redor de um ponto z0 e a seguinte soma infinita n0 anz z0n a0 a1z z0 a2z z02 a3z z03 Series de potˆencias Se z0 0 entao a serie de potˆencias se resume a n0 anzn a0 a1z a2z2 a3z3 isso nos indica que as series de potˆencias sao na verdade polinˆomios em z ao redor de z0 com grauinfinito Exemplo Verifique se sao series de potˆencias a n0 2nz 1 in1 b n3 2n n 3senz 2 3i c n0 2nz 2in d n1 inz2n Sol a E uma serie de potˆencias com an 2n e z0 1 i ou seja e uma serie de potˆencias ao redor de z0 1 i O fato de termos z 1 in1 para n variando de 0 a infinito nos da os termos z 1 i z 1 i2 z 1 i3 que sao os mesmos termos de z 1 in para n variando de 1 a infinito Series de potˆencias b Nao e uma serie de potˆencias pois nao temos os termos z z0n e sim senz z0 para z0 2 3i c Nao e serie de potˆencias pois os termos onde aparecem z sao da forma 1 z 2in e nao z 2in como pede a definic ao d E uma serie de potˆencia ao redor de z0 0 Alem disso an in sao os coeficientes dessa serie Series de potˆencias O limite da sequˆencia das somas parciais quando existe e uma func ao fz e dizemos neste caso que fz tem uma representac ao em series de potˆencias10 Uma das series de potˆencias mais simples existentes esta baseada na serie geometrica que vimos no inıcio do estudo de series numericas Se q 1 entao temos a convergˆencia da serie geometrica n0 qn 1 1 q Agora se substituirmos diretamente q por z teremos a serie de potˆencias dada por n0 zn 1 1 z se z 1 13 Portanto note que a convergˆencia da serie de potˆencias se da somente quando z pertence ao interior do cırculo centrado na origem de raio 1 10Outra denominac ao e que fz e escrita ou desenvolvida como uma serie de potˆencias Series de potˆencias Se z esta na circunferˆencia deste disco ou fora dele entao a serie diverge Isto quer dizer que quando z 1 a func ao fz 1 1 z tem um desenvolvimento em serie de potˆencias dado por 13 Assim ao inves de utilizar fz 1 1 z quando z 1 podemos utilizar a serie de potˆencias n0 zn para obter propriedades sobre essa func ao Seja a serie de potˆencias complexas n0 anz z0n Entao existe um cırculo onde a serie converge e diverge fora desse cırculo O raio desse cırculo e chamado de raio de convergˆencia da serie de potˆencias Nada podese afirmar em cima da circunferncia do cırculo Series de potˆencias O resultado acima e um teorema devido a Niels Abel e seu enunciado e Teorema Para toda serie de potˆencias do tipo n0 anzn existe um numero real r 0 r chamado de raio de convergˆencia com as propriedades seguintes i A serie converge absolutamente para qualquer z com z r ii Se z r os termos da serie sao ilimitados e a serie diverge iii Em z r a soma da serie e uma func ao analıtica A derivada dessa func ao pode ser obtida diferenciando termo a termo da serie e a serie das derivadas tem o mesmo raio de convergˆencia da serie inicial Series de potˆencias Exemplo Nos itens seguintes utilize a serie geometrica para obter a func ao descrita como uma serie ao redor do ponto z0 0 para os itens a b c para z0 1 i no item d e z0 5 6 1 2i no ultimo item Alem disso dˆe o raio de convergˆencia de cada serie a n0 3zn b n0 1nz2n c n0 3n 2n1 zn d n0 z 1 in e n0 6z 5 3in Sol a A serie pode ser escrita como n0 3zn 3 n0 zn Essa ultima serie da direita e a serie geometrica se z 1 Assim fz 3 1 z z0 0 e o raio de convergˆencia e r 1 Series de potˆencias Exercicio 1 Ache as func oes dadas pelas seguintes series onde z0 0 para os itens A b c d z0 3i para o item e z0 i no ultimo item Alem disso obtenha em cada caso o raio de convergˆencia a n0 11 5 zn1 b n0 3n2zn c n0 2nzn d n0 3n1 2n2 zn e n0 5z 3in f n0 z2 2iz 1n Series de potˆencias Exemplo Faca o desenvolvimento em series de potˆencias e dˆe o raio de convergˆencia das seguintes func oes ao redor do ponto z0 especificado a fz 5z z i z0 0 b fz 1 3i z2 1 z0 i c fz 2z4 3z i 2z i z0 0 d fz 2z 1 6z2 3 5iz 1 i z0 0 Sol a Em primeiro lugar como queremos o desenvolvimento em series de potˆencias ao redor do ponto z0 0 entao queremos que a serie de potˆencias resultante tenha a forma n0 anzn Vamos manipular algebricamente a expressao da func ao para chegarmos em uma frac ao do tipo 1 1 w e entao poderemos utilizar que essa frac ao e equivalente a serie geometrica n0 wn para numeros complexos que satisfazem w 1 Series de potˆencias para 2iz 1 ou seja z 1 2 indicando que o raio de convergˆencia e r 1 2 Como chegamos em uma soma de trˆes somatorios distintos podemos deixar a expressao de fz dependendo de apenas um somatorio para isto vamos utilizar substituic oes nos ındices dos dois primeiros somatorios Vamos fazer a substituic ao m n 4 no primeiro somatorio e k n 1 no segundo entao obtemos fz m4 2m3im5zm 3 k1 2k1ik2zk n0 2ninzn 14 Como temos trˆes somatorios iniciando com ındices distintos que sao 4 1 0 vamos fixar o maior desses trˆes ındices e deixar todos os somatorios iniciando por esse ındice que e 4 Assim tirando os trˆes primeiros termos do segundo somatorio obtemos Series de potˆencias 3 k1 2k1ik2zk 3i1z 3 2z2 3 22iz3 3 k4 2k1ik2zk 3iz 6z2 12iz3 3 k4 2k1ik2zk 15 Vamos retirar do terceiro somatorio os quatro primeiros termos n0 2ninzn 1 2iz 22i2z2 23i3z3 n4 2ninzn 1 2iz 4z2 8iz3 n4 2ninzn 16 Substituindo 15 e 16 em 14 e escrevendo todas as series sob o mesmo ındice n obtemos Series de potˆencias Este e outro modo de escrever a serie de potˆencias da func ao fz Observe que este nao e o unico modo de obter a serie de potˆencias de fz por exemplo podese fazer inicialmente a divisao polinomial e entao obter a serie de potˆencias d Nesse item a serie de potˆencias que procuramos e da forma n0 anzn A tecnica aqui e utilizar a decomposic ao em frac oes parciais Comecamos fatorando o denominador ou seja se z1 e z2 sao raızes de 6z2 3 5iz 1 i 0 escrevemos 6z2 3 5iz 1 i 6z z1z z2 Utilizando a formula para achar raızes de um polinˆomio quadratico obtemos z12 3 5i 8 6i 12 Series de potˆencias Exercicio 2 Refaca o exercıcio anterior para os seguintes casos a fz z3 2z 3i 5z2 z i z0 0 b fz az b cz d z0 0 c fz 5z 3i z0 i d fz 1 3 7z z0 i e fz 1 z 1z i z0 1 f fz 1 z 1z i z0 i O metodo acima so vale para as series do tipo geometrica por exemplo para a serie n0 zn n temos que utilizar outro metodo para garantir sua convergˆencia e calcular o raio de convergˆencia A convergˆencia de uma serie de potˆencias e definida de mesmo modo que a convergˆencia para series numericas Portanto faz sentido utilizarmos os metodos ja estudados para verificar a convergˆencia de series de potˆencias Series de potˆencias Indicando que a serie e absolutamente convergente para os valores de z dentro do cırculo centrado na origem de raio r 3 Exercıcio 3 Ache o raio de convergˆencia de a n0 n 5 nzn b n0 2nzn c n0 2nzn d n0 1 lnnzn e n0 n3 3nzn f n0 1cos2πn 3n zn Series de Taylor As func oes complexas que sao dadas por series de potˆencias tem propriedades importantes Seja fz uma func ao complexa definida pela serie de potˆencias n0 anz z0n no seu cırculo de convergˆencia ao redor de z0 com raio de convergˆencia r Algumas propriedades de fz sao dadas por i fz e contınua em z z0 r ii A func ao fz possui derivada de todas as ordens no seu intervalo de convergˆencia para calcular sua derivada basta derivar termo a termo a sua serie de potˆencias Assim temos que f z n1 nanz z0n1 f z n2 nn 1anz z0n2 f kz nk nn 1n kanz z0nk Series de Taylor Alem disso o raio de convergˆencia da serie nk nn 1n kanz z0nk e r Considerando z z0 nas igualdades acima obtemos fz0 a0 f z0 a1 f z0 2a2 f z0 3a3f kz0 kak Disto tiramos que o termos geral dos coeficientes da serie de potˆencias e an f nz0 n para n 012 Isso indica que a representac ao em serie de potˆencias da func ao fz e dada por fz n0 f nz0 n z z0n 18 Series de Taylor Essa e a expansao em serie de Taylor de fz ao redor de z0 Os numeros complexos an f nz0 n sao chamados de coeficientes da serie de Taylor de fz Quando z0 0 temos a conhecida serie de Maclaurin de fz dada por fz n0 f n0 n xn f0 f 0z f 0 2 z2 f 0 3 z3 O polinˆomio de Taylor de fz em z0 de grau k que da uma aproximac ao da func ao f em z0 e dado por k n0 f nz0 n z z0n fz0 f z0z z0 f z0 2 z z02 f kz0 k z z0k Series de Taylor Para garantir a convergˆencia da serie de Taylor de uma func ao complexa utilizamos o seguinte resultado Teorema Teorema de Taylor Seja fz uma func ao analıtica em z0 Entao a expansao em serie de Taylor de fz ao redor de z0 e dada por fz n0 f nz0 n z z0n onde a serie converge uniformemente em todos os pontos de z z0 r onde r e o maior raio ao redor de z0 onde fz e analıtica Uma observac ao e que a serie de Taylor de fz e unica no ponto z0 onde a func ao e analıtica Series de Taylor Exemplo Ache a serie de Maclaurin de fz para os seguintes casos a fz ez b fz cosz c fz senz Sol a Como se trata da func ao exponencial entao as derivadas de f em z0 sao ez0 e0 1 f z0 f z0 f kz0 Assim a serie de Taylor em 0 e dada por ez n0 e0 n z 0n n0 1 nzn Essa escrita de ez como uma serie de potˆencias e valida para qualquer z C pois a func ao e analıtica em todo o plano complexo Assim o raio de convergˆencia dessa serie e infinito Series de Taylor b As derivadas da func ao cosz em z0 sao dadas pela seguinte tabela cosz0 senz0 cosz0 senz0 fz0 f z0 f z0 f z0 f 4z0 f 5z0 f 6z0 f 7z0 f 8z0 f 9z0 f 10z0 f 11z0 Para z0 0 vale a seguinte expansao em serie de cosz para qualquer z C cosz n0 f n0 n zn cos0 sen0z cos0 2 z2 sen0 3 z3 1 1 2z2 1 4z4 1 6z6 1 8z8 1 10z10 n0 1n 2n z2n A expansao e valida para qualquer valor de z C pois a func ao cosseno e inteira Series de Taylor c As derivadas da func ao senz em z0 sao dadas pela seguinte tabela senz0 cosz0 senz0 cosz0 fz0 f z0 f z0 f z0 f 4z0 f 5z0 f 6z0 f 7z0 f 8z0 f 9z0 f 10z0 f 11z0 Como no item anterior a func ao senz tem como expansao em serie de potˆencias para qualquer valor de z C dada por senz n0 f n0 n zn sen0cos0z sen0 2 z2 cos0 3 z3 z 1 3z3 1 5z5 1 7z7 1 9z9 1 11z11 n0 1n 2n 1z2n1 Series de Taylor Exemplo Ache a serie de Maclaurin de fz para os seguintes casos a fz e3z b fz cos2z Sol a Do exemplo anterior temos que para qualquer valor de z ez n0 1 nzn Substituindo z por 3z nessa serie temos entao que para todo z C e3z n0 3n n zn b Como cosz n0 1n 2n z2n substituindo z por 2z segue que cosz n0 1n22n 2n z2n Series de Taylor Exercicio Ache a serie de Taylor de fz para os seguintes casos a fz z2ez z0 0 b fz senhz z0 0 c fz sen5z2 z0 0 d fz coshz z0 0 e fz ez z0 a f fz 1 z 1 z0 i Integrais Um caminho no plano complexo e uma curva γ dada por uma func ao contınua zt xt i yt com domınio ab R nao reduzido a um ponto Se zt for uma func ao diferenciavel ou seja se xt e yt sao ambas func oes reais diferenciaveis dizemos que γ e uma curva suave ou diferenciavel Dizemos que za e a extremidade inicial e zb a extremidade final da curva γ Se za zb dizemos que a curva e fechada Figura Caminho suave Integrais A proxima figura apresenta uma curva γ1 que e dada por um segmento de reta que une dois pontos no plano e uma curva γ2 que inicia em 01 finaliza em 10 sobre o cırculo centrado na origem de raio 1 Figura Exemplos de curvas Integrais Mais geralmente dada uma curva γ com expressao zt com t ab a expressao da curva com orientac ao oposta a de γ e dada por za b t com t ab Dada γt com uma orientac ao dita positiva a curva γt tem orientac ao oposta a γ chamada de negativa Exercicio 3 Dˆe a expressao da curva que inicia em z0 11 e finaliza em z1 00 e esta sobre a curva de equac ao polar r tgθsecθ Exercicio 4 Dˆe a expressao da curva fechada que se inicia e finaliza em 10 esta sobre o cırculo unitario centrado na origem e tem orientac ao horaria Exercicio 5 Dˆe a expressao de uma curva que se inicia em z0 10 e finaliza em z1 30 estando no primeiro quadranto do plano e sobre o cırculo centrado em 20 de raio 1 Exercicio 6 Dˆe a expressao da curva que se inicia em z0 00 finaliza em z1 11 e esta sobre a curva y x3 Eexercicio 7 Sejam z0 z1 z2 as trˆes raızes cubicas de 3 3i Ache a expressao do segmento de reta que se inicia em z0 e termina em z1 e do segmento de reta que se inicia em z1 e termina em z2 Qual a expressao do segmento que se inicia em z2 e finaliza em z1 Integrais Um modo de formar uma curva no plano complexo e fazendo a uniao de duas curvas que possuem uma extremidade em comum Por exemplo se uma curva γ0 vai de z0 a z1 e uma outra curva γ1 vai de z1 a z2 temos entao uma curva γ que vai de z0 a z2 Mais geralmente dizemos que um caminho suave por partes no plano complexo e uma colec ao finita de caminhos suaves γ1 a1b1 C γn anbn C tais que γjbj γj1aj1 para todo 1 j n 1 Nesse caso denotaremos a curva γ formada por todas as curvas acima como γ γ1 γ2 γn A proxima figura apresenta uma curva suave por partes contendo 5 curvas suaves iniciando em z0 e finalizando em z5 Figura Curva suave por partes Integrais Exemplo Seja a curva suave por partes γ γ1 γ2 onde γ1 e γ2 sao dadas respectivamente por z1t eit 0 t π z2t t 0 1 t 1 Note que z1π z21 indicando que o final de γ1 e o inıcio de γ2 A proxima figura apresenta a curva γ ela e uma curva suave por partes e fechada Figura Curva suave por partes Integrais Um caminho suave por partes e fechado γ e chamado de simples se ele nao tiver autointersec oes ou seja se a func ao zt que define γ for injetiva Isto quer dizer que se z ab C entao zt1 zt2 com t1 t2 implicar que t1 a t2 b Por exemplo qualquer cırculo e uma curva suave por partes fechada e simples a curva do exemplo anterior tambem e desse tipo Esse tipo de curva divide o plano em duas partes uma parte limitada que fica no interior da curva e outra parte ilimitada que fica fora da curva Esse resultado e chamado de Teorema da curva de Jordan Integrais Corolario Se fz n0 anz z0n onde R 0 e o seu raio de convergˆencia entao a primitiva de f e dada por Fz n0 an n 1z z0n1 tendo R como raio de convergˆencia Corolario Seja F uma func ao holomorfa definida em uma regiao R do plano complexo Se F 0 em R entao F e localmente constante em R Teorema de Cauchy Do ultimo Corolario temos que as integrais sobre curvas fechadas de func oes que possuem primitivas e sempre igual a zero Isso indica que aqui finaliza nosso estudo de integrac ao das func oes complexas A resposta e nao Pois existem as func oes que nao sao integraveis em todo o conjunto considerado Por exemplo a func ao fz 1 2z 1 nao e integravel em todo o plano pois tem uma indefinic ao em z0 12 E quanto vale a integral dessa func ao ao redor desse ponto z0 A teoria de integrac ao para esse tipo de func ao e outras mais elaboradas e conhecida como Teoria de Cauchy para func oes complexas Teorema de Cauchy Um conjunto R nao vazio do plano complexo que seja aberto e conexo e simplesmente conexo se ele nao possui nenhum buraco Por exemplo o interior de uma circunferˆencia e um conjunto simplesmente conexo Por outro lado o exterior dessa mesma circunferˆencia nao e simplesmente conexo uma vez que existe um buraco dado exatamente pelo interior da circunferˆencia O interior de qualquer curva fechada sem auto intersec oes e simplesmente conexo Se essa curva possui autointersec oes entao o seu interior tem grande chance de nao ser simplesmente conexo o estudo do complementar da curva pode nos auxiliar nessa decisao Teorema de Cauchy Figura Conjuntos que nao sao simplesmente conexos Na figura acima vamos considerar R como sendo o conjunto dos pontos na parte hachurada Assim os dois exemplos para R nao sao simplesmente conexos isto pois no primeiro existem 6 buracos e no segundo 1 buraco Vamos chamar esse tipo de conjunto de multiplamente conexo Teorema de Cauchy Figura As curvas e pontos do exemplo O que vamos fazer e decompor fz como uma soma de frac oes parciais Temos entao que obter os valores de A B C tais que fz 4z2 3 iz 1 i z2 1z 1 A Bi z i C Di z i E Fi z 1 Teorema de Cauchy Figura Conjunto multiplamente conexo com 3 furos Teorema de Cauchy Sol Percebemos que a func ao fz nao e analıtica nos pontos onde o seu denominador se anula ou seja em z0 i z1 i z2 2 A curva γ dada pelo cırculo z 3 tem todos esses pontos no seu interior portanto nao podemos aplicar diretamente o Teorema de Cauchy uma vez que a func ao nao e analıtica no interior dessa curva Assim devemos usar outra tecnica para calcular essa integral O primeiro passo e decompor fz como uma soma de frac oes parciais Assim devemos achar os numeros complexos A B C que satisfazem z2 10 iz 4 2i z2 1z 2 A Bi z i C Di z i E Fi z 2 Manipulando essa igualdade obtemos que A Bi 2 C Di 3 E Fi 4 Teorema de Cauchy Figura Conjunto multiplamente conexo do exemplo Vamos supor que os 3 pontos onde a func ao fz nao e analıtica nao fazem parte da regiao limitada por γ Assim existem trˆes curvas uma ao redor de cada um desses pontos fazendo com que a regiao em questao seja multiplamente conexa Substituindo as curvas pelos contornos circulares γ1 γ2 γ3 e utilizando o Teorema de Cauchy para Regioes multiplamente conexas obtemos que Teorema de Cauchy iii fz 3 z2 4 e γ e o cırculo z 2 1 orientado positivamente iv fz 2 3iz 4 9i z2 z 6 e γ e o cırculo z 2 1 orientado positivamente v fz 2 3iz 4 9i z2 z 6 e γ e o cırculo z 3 2 orientado positivamente Aplicac oes do Teorema de Cauchy Portanto pelo Teorema de Liouville existe uma constante z0 C tal que gz z0 para qualquer z C Assim segue que gz 1 fz z0 implica que fz 1 z0 para todo z0 C Portanto fz e constante Exercicio 13 A func ao real senx e analıtica para todo x e e limitada por 1 Porem senx nao e uma funcao constante Porque esse exemplo nao contradiz o Teorema de Liouville Uma das principais aplicac oes do Teorema de Liouville e o Teorema Fundamental da Algebra cujo enunciado e o seguinte Todo polinˆomio de grau n em z tem pelo menos uma raiz Aplicac oes do Teorema de Cauchy TC5 Princıpio do Modulo Maximo Teorema Seja fz uma func ao analıtica que nao seja constante em uma regiao R entao fz nao tem valor maximo em R O resultado seguinte depende do Princıpio do Modulo Maximo e e util no estudo do modulo de func oes definidas em conjuntos fechados Corolario Seja fz uma func ao definida em contınua em um conjunto fechado e limitado D ainda supomos que fz e analıtica no interior de D Entao o maximo de fz ocorre no bordo de D e nunca no seu interior Aplicac oes do Teorema de Cauchy Exemplo Determine o valor maximo de fz no cırculo unitario onde fz z2 3z 2 Sol Como a func ao e contınua e analıtica no cırculo unitario e nao e uma func ao constante pelo Corolario do Princıio do Modulo Maximo temos que o maior valor do seu modulo ira ocorrer exatamente em algum ponto da circunferˆencia do cırculo unitario ou seja quando z 1 Vamos analisar o modulo de fz fz z2 3z 2 z 1z 2 z 1z 2 Mas pela desigualdade triangular z 1 z1 1 1 2 por outro lado z 2 z2 1 2 3 Portanto fz 2 3 6 indicando que o maior valor que o modulo de fz pode atingir no cırculo unitario e 6 Aplicac oes do Teorema de Cauchy Exercicio 14 Determine o valor maximo de fz no cırculo unitario onde a fz z4 z2 1 b fz 2z 1 2z 1 15 Seja fz z 12 e considere a regiao retangular R com vertices nos pontos 0 2 2 i i Ache o ponto onde fz atinge seu valor maximo e tambem qual sera esse valor 16 Refaca o exercıcio anterior para a func ao fz z 22 sendo R a regiao triangular fechada de vertices i 2i 3i Series de Laurent Lembramos que se z0 e um ponto qualquer do plano complexo e r1 r2 0 entao a regiao anular centrada em z0 com raio menor r1 e raio maior r2 e dada pelo conjunto Az0r1r2 z C r1 z z0 r2 Figura Anel ao redor de z0 Series de Laurent Exemplo Ache a serie de Laurent de fz 1 1 z e1z ao redor de z0 0 e calcule o resıduo nesse ponto Sol Para que a func ao seja analıtica em um anel ao redor da origem vamos consierar r1 r2 numeros positivos quaisquer pois deste modo estaremos excluindo o unico ponto de a func ao nao e analıtica a origem Pelo Teorema da serie de Laurent a serie de Laurent de fz como z0 0 deve ter a seguinte forma fz n0 anzn n1 bn zn Sabemos que a serie de potˆencias da func ao ew na origem e dada por ew n0 1 nwn Series de Laurent Assim substituindo w por 1 z e considerando o anel A0r1r2 temos que e1z n0 1 n 1 zn Portanto a serie de Laurent de fz em A0r1r2 onde r1 r2 podem ser numeros quaisquer e dada por fz 1 1 z n0 1 n 1 zn 1 1 z 1 1 z 1 2 1 z2 1 3 1 z3 1 2 1 z2 1 3 1 z3 n2 1 n 1 zn Portanto o resıduo de fz em z0 0 e dado por Resf0 0 Series de Laurent Exercicio 1 Ache a serie de Laurent o anel de convergˆencia dessa serie o resıduo e a integral sobre uma curva γ definida como no Teorema da serie de Laurent para a fz 2 z 13 z z0 0 b fz 1 z2z 1 z0 1 2 c fz z3 z 1 z0 1 Singularidades Um ponto z0 C onde a func ao fz nao e analıtica e chamado de singularidade Por exemplo a origem e uma singularidade para a func ao fz 1 z pois e o unico ponto do plano onde a func ao nao e analıtica Series de Laurent Nosso objetivo e considerar func oes que tenha uma quantidade finita de singularidades que chamaremos de singularidades isoladas Classificac ao das singularidades Sejam f uma func ao analıtica no anel Az00r2 e z0 uma singularidade isolada de f A serie de Laurent de f no anel ao redor de z0 e fz n0 anz z0n n1 bn z z0n Assim temos que i z0 e uma singularidade removıvel de f se bn 0 para todo n 1 ii z0 e um polo de ordem k se bk 0 e bn 0 para todo n k iii z0 e uma singularidade essencial se bn 0 para uma quantidade infinita de ındices n Series de Laurent Teste para singularidade removıvel Se z0 e uma singularidade isolada de fz entao essa singularidade e removıvel se e somente se existe o limite lim zz0 fz Exemplo A func ao fz 1cosz 1 z 12 tem uma singularidade removıvel em z0 1 Sol Em primeiro lugar notamos que z0 1 e uma singularidade dessa func ao Calculando o limite temos lim zz0 fz lim z1 1cosz 1 z 12 lim z1 senz 1 2z 1 1 2 Portanto a singularidade e removıvel Series de Laurent Se fz tem um polo de ordem k entao a serie de Laurent dessa func ao tem a forma fz n0 anz z0n k n1 bn z z0n bk z z0k b1 z z0 a0 a1z z0 a2z z02 Nesse caso e facil ver que o limite lim zz0z z0kfz existe e e naonulo Basta utilizar a serie de Laurent dada acima e verificar a existˆencia do limite Na verdade este e o resultado que nos garante que z0 e um polo de ordem k Um polo de ordem 1 e tambem chamado de polo simples Series de Laurent Teste para polo de ordem k Se z0 e uma singularidade isolada de fz entao essa singularidade e um polo de ordem k se e somente se lim zz0z z0kfz C onde C 0 Exemplo Classifique a singularidade de fz ez z3 Sol A singularidade dessa func ao e z0 0 Note que lim z0z3fz lim z0z3 ez z3 lim z0ez 1 Portanto z0 0 e um polo de ordem 3 para f Series de Laurent O ultimo tipo de singularidade e a essencial Se fz tem uma singularidade essencial z0 entao a serie de Laurent dessa func ao fica fz n0 anz z0n n1 bn z z0n Para a classificac ao desse tipo de singularidade devemos calcular a serie de Laurent e verificar que ela tem infinitos coeficientes bn nao nulos Exercicio Classifique as singularidades das seguintes func oes a fz cosz z2 z0 0 b fz ez 1 z2 z0 0 c fz z 1 z 1 z0 0 d fz senz z z0 0 e fz ez 3 z z0 3 Teorema dos Resıduos Calculo dos resıduos Seja f analıtica no anel Az00r Entao valem as seguintes regras a se z0 e uma singularidade removıvel entao Resfz0 0 b Se z0 e um polo de ordem 1 entao Resfz0 lim zz0z z0fz c se z0 e um polo de ordem k 1 e gz z z0kfz entao Resfz0 gk1z0 k 1 onde gk1z0 e a k 1esima derivada de g aplicada em z0 d se z0 e uma singularidade essencial devemos calcular a serie de Laurent para entao obter o resıduo como sendo o coeficiente b1 dessa serie