Teste 1 - Álgebra Linear 2021 2

mas A^2(v_1) = A^2(v_2) Logo v_1 = v_2 pois N(A^2) = ø por ser isomorfo, disso temos que A é injetora e N(A) = 0 e como Im(A) = K, A é isomorfismo e) T = \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}\) 2) Os dois espaços só serão isomorfos se dim(U) = dim(V) dim U = 2 \(u \in U \quad u = (x,y,x-y)\) U = span \{(1,0,1), (0,1,-1)\} dim V = 2 V = span \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right) Sim, é um isomorfismo. 3) T(i,0) = 1(i,0) + 5(1,-i) = (5+i,-5i) T(1,-i) = 1(i,0) + i(1,-i) = (1+i,-i) T(1,0) = (1-5i;-5) = -iT(i,0) T(0,i) = (6i;5-i) x \rightarrow T(0,i) = (-6;5+i-1) = iT(0,-i) xT(1,0) + yT(0,1) = T(x,y) T(x,y) = ((1-5i)x - 6y;-5x+(5i+1)y) 4) T \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z+t \\ y+z \end{bmatrix} e \begin{bmatrix} e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, e_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} T(e_1) = (1,0) T(e_2) = (0,1) T(e_3) = (0,1) T(e_4) = (1,0) \(\begin{pmatrix} T = \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\)\) b) S(1,0) = 2e_1 + e_2 - e_3 S(0,1) = e_1 - e_2 + e_4 xS(1,0) + yS(0,1) = S(x,y) S(x,y) = \begin{bmatrix} 2x+y & x-y \ -x & y \end{bmatrix} \begin{cases} 2x+y=1 \\ x-y=0 \\ -x=0 \\ y=1 \end{cases} Não é possível x=y, x=0, y=0, e y=1. c) T(s) = T \left(\begin{bmatrix} 2x+y \\ x-y \ -x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x+2y \\ -y \end{bmatrix}\right) S(T) = S(x,t;y+z) = \begin{bmatrix} 2x+2t+u+z & x-t-u-z \ -x-t \end{bmatrix} 5) Assuma V^2 = V Suponha que Im(T) \cap N(T) \neq \varnothing e tome x \in Im(T) \cap N(T) Suponha que Im(T) \cap N(T) \neq \varnothing e tome x \in Im(T) \cap N(T) x \neq 0 Logo Tx = x \, para algum v_0 x = Tv_0 = y_0 \neq 0 \,, o que é um absurdo. Isso faz com que N(T) \subseteq Im(T) = V \quad pois ambos Im(T)eN(T) sub-espaços de V e Im(T) \cap N(T) = \{0\} 6) Involução A = A^{-1} A^2(v) = 0 Isso nos dá que A^2 é bijetor e portanto é um isomorfismo com v \in V, deverá existir x \in V tal que A(w) = x, suponha que existam v_1 e v_2 \in V A(v_1) = A(v_2) = x \implies A(A(v_1)) = A(x) e A(A(v_2)) = A(x)