Teste 1 - Álgebra Linear 2021-2

1. Considere a aplicação f : R^3 -> R^3 dada por f(x, y, z) = (x, x - y, 2x - y - z) : (a) (0,5) Mostre que f é uma transformação linear. (b) (0,5) Ache o núcleo e imagem de f, calcule a base e dimensão de cada um. (c) (1,0) A aplicação f é um isomorfismo? Justifique. Caso positivo, encontre o isomorfismo inverso de f. (d) (1,0) Sejam α = {(1, 0, -1), (0, 1, -1), (1, 1, 0)} e β = {(0, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3)} bases de R^3, encontre [f]βα. (e) (0,5) Encontre a matriz de f em relação à base canônica. 2. (1,0) Os espaços vetoriais U = {(x, y, z) ∈ R^3; x - y - z = 0} e V = { ( x ) ; x, y ∈ R } ( x + y ) ( x - y ) são isomorfos? Justifique. 3. (1,0) Seja C um espaço vetorial complexo e T : C^2 -> C^2 um operador linear cuja matriz em relação à base β = {(i, 0), (1, -i)} é [T]β = ( 1 1 ) . Determine a matriz de T em ( 5 1 ) relação à base canônica de C^2. 4. Em relação ao que se pede abaixo, considere as bases canônicas de M_2(R) e R^2. (a) (1,0) Se T : M_2(R) -> R^2 é definida por T ( [ x y ] ) = (x + t, y + z), ache a matriz [ z t ] de T. (b) (1,0) Se S : R^2 -> M_2(R) é tal que [S] = ┌ 2 1 ┐ │ 1 -1 │ │-1 0 │ └ 0 1 ┘ . Ache a lei que define S e, se possível, o par (a, b) tal que S(a, b) = I_2. (c) (0,5) Calcule, caso existam, T o S e S o T. 5. (1,0) Sejam V espaço vetorial e T : V -> V um operador linear idempotente. Mostre que V = N(T) ⊕ T(V). 6. (1,0) Seja V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Toda involução T ∈ L(V) é um isomorfismo? Justifique. Bom trabalho! Irmão, tem um impostor entre vocês, duas pessoas me pediram o mesmo trabalho, pra evitar qual quer desentendimento, mude um pouco o que estiver escrito. =) Fé proceis. * Não tô zoando, cuida dó, para não tomar 0 Algebra linear: a) Para que f seja uma tranformação f(x); para que seja linear devemos, para α e β∈IR e v1 e v2 e IR3 T(αv1 + βv2) = αT(v1) + βT(v2) T(αv1+βv2) = (αx1+βx1; αx1+βx2 - αy1 - βy2; 2αx1+2βx2 - αy1 - αy2 - αz1 - αz2) αT(v1) = (αx1; αx1 - αy1; 2αx1 - αy1 - αz1) βT(v2) = (βx2; βx2 - βy2; 2βx2 - βy2 - βz2) Somando, ocorre a igualdade. b) Imf = span { (1, 1, 2); (0, 1, -1); (0, 0, -1) } Nf = { (0, 0, 0) }, basta usar o teorema posto-nulidade como dim Imf = 3, dim Nf = 0 c) Sim, para que seja isomorfismo, basta que f seja Idjetora Injetora; T(a) = T(b) => T(a-b) = 0 , como Nf = 0 a=b. logo f é injetora. Sobrejetora: O Imf possui dim Imf = dim R2 Inversa T^-1 = (x, x - y, -z + y + x) T(x) = (x, x - y, 2x - y - z) T^-1(x, x - y, 2x - y - z) x = x - (x - y); + z + y = 0 = (x, y, z) d) α = { (1, 0, -1), (0, 1, -1), (1, 1, 0) } β = { (0, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) } [f]βα = -f(1, 0, -1) = (1, 1, 3) = a1(0, 0, 1) + b1(0, 1, 2) + c1(1, 2, 3) -f(0, 1, -1) = (0, -1, 0) = a2(0, 0, 1) + b2(0, 1, 2) + c2(1, 2, 3) -f(1, 1, 0) = (1, 0, 1) = a3(0, 0, 1) + b3(0, 1, 2) + c3(1, 2, 3) Equações { a1 + 2b1 + 3c1 = 3 a1 = 1 b1 + 2c1 = 1 └ b1 = -1 c1 = 1 c1 = 1 { a2 + 2b2 + 3c2 = 0 a2 = 2 b2 + 2c2 = -1 └ b2 = -1 c2 = 0 c2 = 0 { a3 + 2b3 + 3c3 = 1 1a3 = 1 b3 + 2c3 = 0 └ b3 = -1 c3 = 1 c3 = 1 [f] = ┌ 2 2 2 ┐ │-1 -1 -2│ └ 0 0 1 ┘ tilibra e) T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} 2) Os dois espaços só serão isomorfos se dim(U) = dim(V) dim U = 2 \quad u \in U \quad u = (x,y,x-y) U = span \left\{ (1,0,1), (0,1,-1) \right\} dim V = 2 \quad V = span \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} Sim, é um isomorfismo. 3) T(i,0) = 1(i,0) + 5(1,-i) = (5+i, -5i) T(1,-i) = 1(i,0) + i(1,-i) = (1+i, j-i) T(1,0) = (1-5i; -5) = -i T(i,0) T(0,i) = (6i; 5-i)* x-> T(0,1) = (-6; 5i+1) = i T(0,-i) x T(1,0) + y T(0,1) = T(x,y) T(x,y) = ((1-j)i)x -6yj -5 zx + (5i+1)y 4) T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} = (z+t, y+z) e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad e_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} T(e_1) = (1,0) \quad T(e_2) = (0,1) \quad T(e_3) = (0,1) \quad T(e_4) = (1,0) \bar{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} b) S(1,0) = 2e_1 + e_2 - e_3 S(0,1) = e_1 - e_2 + e_4 x S(1,0) + y S(0,1) = S(x,y) S(x,y) = \begin{bmatrix} 2x+y & x-y \\ -x & y \end{bmatrix} \begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - y = 0 \\ -x = 0 \\ y = 1 \end{cases} \text{Não é possível} x = y , x = 0 , y = 0 e y = 1 c) T(S) = T\left(\begin{bmatrix} 2x+y & x-y \\ -x & y \end{bmatrix}\right) = (2x + 2y ; -y) S(T) = S(x+t; y+z) = \begin{bmatrix} 2x+2t+y+z & x-t-y-z \\ -x-t & y+z \end{bmatrix} 5) Assuma V^2 = V Suponha que \text{Im}(T) \cap \text{N}(T) \neq \emptyset e \text{tome} x \in \text{Im}(T) \cap \text{N}(T) x \neq 0 \quad \text{Logo} \quad T_{|}\text{N}(T) = x \quad \text{para algum} \quad v. x = Tv = y_{1v2} = 0 \quad \text{o que é um} \quad \text{absurdo} \text{Isso faz com que} \text{N}(T) \subset \text{Im}(T) = V \quad \text{pois ambos} \quad \text{Im}(T) \text{e} \text{N}(T) \text{são subespaços de} \quad V \text{e} \text{Im}(T) \cap \text{N}(T) = \{0\} 6) Involução \quad A = A^{-1} A^2 (v) = v \quad \text{Isso nos dá que A é bijetor} e é um isomorfismo \quad \text{com} \quad v \in V, \text{deverá existir} \quad x \in V \text{tal que} \quad A(x) = x, \text{suponha que existam} \quad v_1 \text{e} v_2 \in V A(x) = A(v_2) = x \quad \text{logo} \quad A(A(v_1)) = A(x) \text{e} \quad A(A(v_2)) = A(x) mas \quad A^2(v_1) = A^2(v_2) \quad \text{Logo} \quad v_1 = v_2 \quad \text{pois} \quad \text{N}(A^2) = \emptyset \quad \text{por ser isomorfo, disso temos que A é injetora e} \text{N}(A) = \emptyset \text{como} \quad \text{Im}(A) = \text{K} , \text{A é isomorfismo}