Trabalho 2 - Álgebra Linear 2021-2

Q1) T(x,y,z) = (-x+2y+z, 2x+2y+z, 3x-6y-6z) A) -1 2 2 2 2 2 -3 -6 -6 B) |-1-λ 2 2| | 2 2-λ 2| |-3 -6 -6-λ| = -λ³ -5λ² -6λ = P(λ) pol. característico = -λ³ -5λ² -6λ = P(λ) autovalores: P(λ)=0 -> P(λ)=-λ(λ+3)(λ+2) => {λ = 0 λ = -2 λ = -3 D) como os 3 autovalores são diferentes e os autovetores LI -> multiplicidade algébrica = multiplicidade geométrica = 1. E) Sim, pois os 3 autovetores são LI F) (-1 2 2) ( 0 -1 -2) ( 0 0 0) (-1 -2 -1) ( 2 2 2) = (-1 0 0) ( 0 -3 0) ( 1 2 2) (-3 -6 -6) ( 1 1 0) ( 0 0 7) (-9 -1 -9) M = matriz formada pelos autovetores. (2) A) | λ-λ 1 | 1 -1-λ | = (λ-λ)(-λ-λ) - 1 = -(1-λ²) -1 = 0 -> λ² = 2 => λ = ±√2 λ=+√2 ( 1-√2) 1 (x (0 -> { x1 = (1+√2) x2 1 -1-√2 )(y) = 0) x2 = x2 -> (1+√2 autovetor) λ=−√2 ( 1+√2) 1 (x (0 -> { x1 = (1−√2) x2 1 -1+√2 )(y) = 0) x2 = x2 -> (1−√2 autovetor) Como (1+√2 ) e (1-√2 ) são LI -> a matriz é diagonalizável. B) |cosθ -λ senθ 0 | |senθ 0 -cosθ-λ 0 | | 0 0 -1-λ | = = (λ+λ)(cos²θ - λ²) + (λ+λ)λsin²θ = (1+λ)(1-λ²) => { λ=1 ou λ=-1 λ=1 (cosθ -1 λsenθ 0) (senθ -cosθ-1 0) ( 0 0 -1) (x (0 = (0 z) 0) ⇒ J = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) B) \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -\lambda \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 + i \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & -1+i/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1-i/2 \\ \end{array}\right) Q4) A) Como \(A\) é diagonalizável \(\rightarrow \exists P, D \in M_{n \times n}\) tais que \(A = P D P^{-1}\) \(A^2 = A \cdot A = (P D P^{-1}) (P D P^{-1}) = P D \cancel{P^{-1} P} D P^{-1}\) \(A^2 = P D D P^{-1} = P D^2 P^{-1}\) Q6) Dada uma matriz A, o polinômio minimal é um polinômio monico, é tal que suas raízes são os autovalores de A e é o polinômio de menor grau que satisfaz as condições anteriores, o que faz p(A) = 0. Exemplo: A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} => polinômio característico de A = p(λ) = λ^2 - 4λ + 4 veja que p_m(x) = X - 2 é o minimal pois 2 é raiz de p(x) e p(A) = A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}