Trabalho 2 - Álgebra Linear 2021 2

Q1) T(x,y,z) = (-x+2y+2z, 2x+2y+2z, -3x-6y-6z) A) [-1 2 2 2 2 2 -3 -6 -6] B) | -1-\lambda 2 2 | | 2 2-\lambda 2 | | -3 -6 -6-\lambda | = -\lambda^3 - 5\lambda^2 - 6\lambda => pol. característico = -\lambda^3 - 5\lambda^2 - 6\lambda = P(\lambda) autovalores: P(\lambda) = 0 => P(\lambda) = -\lambda(\lambda+3)(\lambda+2) => \lambda = 0 \lambda = -2 \lambda = -3 D) como os 3 autovalores são diferentes e os autovetores LI -> multiplicidade algébrica = multiplicidade geométrica = 1. E) Sim, pois os 3 autovetores são LI F) (-1 2 2 ( 0 -1 -2 (0 0 0 (-1 -2 -1 2 2 2 = -1 0 0 0 -3 0 ( 1 2 2 -3 -6 -6) 1 1 0) 0 0 ?) -9 -1 -9) M -> matriz formada pelos autovetores. Q2) A) \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \ 1 & -1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda)-1 - (1-\lambda)^2-1 = 0 -> \lambda^2 = 2 => \lambda = ±\sqrt{2}. \lambda = +\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} & 1 \\ 1 & -1-\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} -> \begin{cases} x1 = (1+\sqrt{2})x0 \ x0 = x0 \\ \end{cases} -> \begin{pmatrix} 1+\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} autovetor 𝜆=-\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1+\sqrt{2} & 1 \\ 1 & -1+\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} -> \begin{cases} x1 = (1-\sqrt{2})x0 x0 = x0 \end{cases} -> \begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} autovetor Como \begin{pmatrix} 1+\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} e \begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} são LI -> a matriz é diagonalizável. B) \begin{vmatrix} cos\theta - \lambda & sen\theta & 0 \\ sen\theta & -cos\theta - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & -1-\lambda \end{vmatrix}= = (𝜆+\lambda)(cos^2\theta - \lambda^2) + (𝜆+\lambda)\lambda sen^2\theta = (1+\lambda)(1-\lambda^2) -> \begin{cases} \lambda=1 \, ou \, \lambda=-1 \end{cases} \lambda=1 \begin{pmatrix} cos\theta -1 & \lambda sen \theta & 0 \\ sen \theta & -cos\theta-1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} { x_1 = \frac{-\Delta m \theta}{\cos \theta - 1} x_2 \ x_2 = x_0 \ x_3 = 0 } \ \lambda = -1 \ \begin{pmatrix} \cos \theta + 1 & \sin \theta & 0 \ \sin \theta & -\cos \theta + 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \ { x = \frac{-\sin \theta}{\cos \theta + 1}y \ y = y \ z = z } \ \ \ \text{ao todo, temos 3 autovetores LI:} \begin{pmatrix} \frac{-\sin \theta}{\cos \theta - 1} \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{-\sin \theta}{\cos \theta + 1} \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \ \ \text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a matriz é de fato diagonalizável!} (Q3) \ A) \ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 0 \ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ \rightarrow \ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 0 & 0 \ 2 & 3 - \lambda & 0 \ 3 & 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} \ \rightarrow \ \lambda = 1 \ ou \ 3 \ \lambda = 1 \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 0 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} - I \ \rightarrow \ \begin{pmatrix} \ \end{pmatrix} x = 0 \ \rightarrow \ \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} -1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 0 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} - I \ \begin{pmatrix} -1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \ \lambda = 3 \ { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 0 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} - 3I x = 0 \ \rightarrow \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} } J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} B) \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\lambda & -\lambda \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1.\frac{1}{2} & 1.\frac{1}{2} & -1+\lambda \\ 1.\frac{1}{2} & 1.\frac{1}{2} & 1-\lambda \end{pmatrix} Q4) A) Como A é diagonalizável $ \Rightarrow $ \exists P,D \epsilon \mathbb{M}_{n\times n} \text{tais que } A = PDP^{-1} A^2 = A \cdot A = \big( PDP^{-1} \big) \cdot \big( PDP^{-1} \big) \rightarrow A^2 = PD \cdot DP^{-1} = PD^2P^{-1} De maneira indutiva, A^n = PD^nP^{-1} A^{n+1} = A \cdot A^n = PDP^{-1} PD^nP^{-1} = P \cdot D^{n} \cdot DP^{-1} = P \cdot D^{n+1} \cdot P^{-1} com isso, basta que M = P. B) \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} $$ \begin{pmatrix} a^1 & a^1 & a^1 \\ \end{pmatrix}^{m} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}^{m} \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} $$\therefore \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}^{m} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2$$ \end{pmatrix}^{m} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \therefore \begin{pmatrix} 0 & \cdot 2^{m} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \begin{matrix}\ \frac{1}{2} \end{matrix} \begin{pmatrix} 2^{m-1} \begin{pmatrix} 2^{m-1} \begin{pmatrix} 2^{m-1}\ \cdots \ \end{matrix} Q5) Se A = P D P^{-1} \text{ com D sendo uma matriz diagonal $\Rightarrow$ } D \text{é formada pelos autovalores de A na diagonal principal} \rightarrow \det{A} = \det(PDP^{-1}) = \text{det} P \cdot \det{D} \cdot \text{det}(P^{-1}) = \det{D} = \text{produto dos autovalores de A} \blacksquare Q6) Dada uma matriz A, o polinômio minimal é um polinômio mônico, e tal que suas raízes são os autovalores de A e é o polinômio de menor grau que satisfaz as condições anteriores, o que faz p(A) = 0. Exemplo: A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} => polinômio característico de A = p(\lambda) = λ^2 - 4λ + 4 Veja que p_m(x) = x - 2 é o minimal pois 2 é raiz de p(x) e p(A) = A - 2I = \vec{0}