Material de Geometria Analítica Completo - Notas de Aulas e Exercícios Resolvidos

Geometria Analítica - 08.111-6\nTurma G\nwww.dmm.ufpa.br\nCorp. docente\nTomas E. Buriss GA\n\nAnalógicos\nP1: 05-04-2016\nP2: 17-05-2016\nP3: 23-06-2016\nSala: 30-06-2016\nAtendimento: sex 8-20\nSala 222 (DM)\n\ndm.ufpa.br\n\nMatriz:\nA = a11 a12 ... a1n\n a21 a22 ... a2n\n ...\n am1 am2 ... amn\n\n\nsoma do matriz:\nA = (aij)m*n\nB = (bij)m*n\n\nA+B = (cij)m*n Cij = aij + bij\n\nMultiplicação de números por matriz:\n c in K (K = R ou K = C)\nA = aij mn\nby = c.dij\n\nMultiplicação de Matriz:\nA = (aij)m*p\nB = (bij)p*n\n\nCij = ∑(k=1) akbg = a11b1g + a12b2g + a21bztajg + ... + a21bp\n\nRepetição:\n1) A+B+C = matriz dos incógnitas inteiros.\n(A + B) + C = A + (B + C)\n\n2) A + matriz 0n x m composta somente dezeros tem propriedade:\nA + O = A \nA x mn\n\n31 Dados A m x n e B m x n estão:\nA + B = B + A\n\n41 Dado A = (aij)m*n denotamos A = (0ij)m*n Teorema: Os sistemas lineares AX = B. 2A Y = B', dois equivalentes, os podem exatamente as mesmas soluções. Definindo matriz Am x m em B m x m. Distinguem A e B sob linhas - Equivalente, entre a forma de A. Digamos que uma matriz quadrada Am x m. Invertendo se existe uma matriz B m x n tal que A x B = B x A' então se tal B existe, ela é única e é denotada por B = A'. Sistema linear: A1x1 + A2x2 + ... + Anxn = b1{ A2x1 + A22x2 + ... + A2mn = b2 Amx1 + Amx2 + ... + amnxn = bmn A11 A12 A1m b1 A21 A22 A2m b2 Am1 Am2 Amn = bm A é mais A m bem paramétrico. Operações elementares: 1) Troca de duas linhas: L1 <-> L2. 2) Multiplicação de uma linha por uma constante não nula: L1 <-> kL1. 3) Substituição: A linha a pela linha b, somada com c pela linha: (L1 -> Ld + cL1). Matriz linha reduzida à forma escada. Uma matriz R = LRE. 1) Se o primeiro elemento não é nulo de uma linha, não nula e igual a 1. 2) Se o primeiro elemento não nulo da linha j, for na coluna y, então todos os restantes dos elementos da coluna são zeros. 3) Os espaços das linhas não ocorrem abaixo do menor. 4) Se o link 2j, para 2j, e ligado aos links j para. Se o primeiro elemento não nulo da linha j, então na coluna temos +k1z1 ... +k1. Atuação de uma sequência, fruto de operações elementos sobre os números. A: Dados da matriz B: B = A x B' em pares colchetes e na transição. Cada um tem. Esses voltam então equivalentes <=> aos matrizes que podem ser um linha - Equivalente. Matriz linha reduzida à forma escada (LRE). Teorema: Toda Matriz Am x n, linha equivalente a uma única matriz R numa (LRE). Definição: Dado uma matriz Am x n, definimos o expoente de A como o único ou número de linhas necessárias de R, sendo R a (única) matriz que é linha equivalente a A. Teorema (Rouché - Capelli): Seja A x = b um sistema linear com m equações e n incógnitas. 1° Plote da A. 9° Plote da matriz ampliada do sistema. 1) SP ≠ 0 então o sistema é impossível. 2) SP = 0 em nitido solução, podemos imaginar várias. 3) Se SP = 0 em outros sistemas, possíveis infinitos soluções. Exemplo: 1 { 3x - 7y + z = -1\n5: y + 2zu = 0\n { y - z + u = 2\n\nMatriz dos coef. A =\n\n3 -7 1 0\n0 1 -2 0\n1 1 -1 1\n\nMatriz ampliada M = 3 -7 1 0 | 1 | 2 | 1\n0 0 0 | 0 | 0 | 0\n0 0 0 | 0 | 0 | 0\n\n0 1 2 | 0 | -1 | -1 | 2\n0 0 2 | 3 - 0 | 3 - 7\n0 -2 | 0 0 -1 0\n0 -4 -2 | 0\n x = 4 + 4u\ny = 2u\nz = -7 + 22u\n\nx + 4y + 2z + 0 = 0\nx + y + 2 - 4u = 4\nx + y + 2 + 7u = 2\n-x + y + 2hu = 2\n\n1 1 1 | 0\n1 1 1 | 1\n1 1 1 | 0\n-1 1 1 | 2\n-1 -1 | -4\n0 -2 0 | 2\n0 0 -2 | 0\n\n0 -2 | 1\n0 0 -2 | 1\n0 0 -2 | 0\n0 0 1 | -2\n0 0 1 | -2\n0 0 1 | -2\n\n0 0 1 | -2\n 5x + y + z = 4\n2x + y - 2z = 3\n\n1 1 1 | 4\n2 5 -2 | 3\n\n1 1 1 | 4 | 0 | 0 | 1 | 3\n2 5 -2 | 3 | 10 | 4 | 0\n\nx = 5/7 \n\ny = -5/7 \n\n3x + 2y - 4z = 1\nx - y + z = 3\nx - 3z = -3\n3x + 3y - 5z = 0\nx + y + z = 1\n\n1 1 1 | 3\n3 + 2 - 4 = 7 | 1 - 7 | 21\n 1 0 -2 5 7 5\n0 1 -7 5 -8 13\n0 0 1 3/2 0 0\n0 0 0 0 0 0\n\nA ≃ C1(A)\nA ≃ C2(A)\nA ≃ C3(A)\n\ng1\n(a1 a2 a3)\n(b1 b2 b3)\n(c1 c2 c3)\n\n= (g1 g2 g3)\n(b2 b2 b3)\n(da a2 c3)\n\ng1\n(1 0 0)\n(0 1 0)\n(0 0 1)\n\ng2\n(1 0 0)\n(0 0 1)\n(0 0 0)\n\nA = B1 + B2 + E1 + E2 + E1 * A\n\nMatrix of inversible is determinant ≠ 0.\n\nSo A is inversible if and only if the matrix LRF of A is a matrix de\n\nMAXIMA