Notas de Aula de Geometria Analítica - Sistemas Lineares

Matri, linha reduzida à forma escada. Uma matriz R é LRE.\n1) Os primeiros elementos não nulos de uma linha estão na esquerda 1\n2) Se o primeiro elemento não nulo da linha i i igual a 1 e os outros elementos da coluna i são zeros.\n3) Se as linhas nulas ocupam sempre últimos lugares.\n4) Se os linha 2i, 2j, ... ,200 os link não nulos de o primeiro elemento não nulo da linha i está na coluna de r. \n\n1/ 0 0 0 0 2\n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\n\nOperações Elementares das linhas de uma Matriz\n1) Li <-> Lj.\n2) Li = cLj, c∈R.\n3) Li = Li + cLj.\n\nDado dois sistemas lineares AX = B, A'Y = B'. Se forem equivalentes x possuindo exatamente as mesmas soluções.\nDado múltiplas Axn = Bmx... A e B são livres - Elementos re B podem ser lidos de A. Etapas de uma definição feita de operações elementares sobre os links:\nA: Dados sistemicos B e A: X = B, que são equivalentes e invariante.\nCada um deles... \nEssas sistemas são equivalentes <=> suas matriz são\n\nMatri, linha reduzida à forma escada (LRE).\n\nTeorema: Toda Matriz Amx,n é linha equivalente a uma única matriz Roma LRE.\n\nDefinição: Dada uma matriz A mxn referimos o posto de A como sendo o número de links não nulos der, sendo Ro a última matriz que é linha equivalente a A.\n\nTeorema (Rouché - Capelli):\nSeja A.X = B um sistema linear com m equações e n incógnitas.\nP: Posto de A.\nq: Posto da matriz ampliada do sistema.\n1) SP ≠ q, então o sistema é impossível.\n2) SP = q = n, então o sistema possui soluções múltiplas.\n3) Se p = q < n, então o sistema possui infinitas soluções. Dizemos que uma matriz quadrada A é m.\n\nInvertido se existe uma matriz B mxn tal que A.B = B.A = In.\nE se tal B existe, dela é única e é denotada por B^(-1).\n\nSistema Linear\n\nA1x1 + A2x2 + ... + Anxn = b1\nA21x1 + A22x2 + ... + A2nxn = b2\n...\nAm1x1 + Am2x2 + ... + Amnxn = bm\n\nOperações elementares:\n1) Troca de duas linhas - Li <-> Lj.\n2) Multiplicação de uma linha por uma constante não nula: cLi -> Li. E)\n3) Somando à linha i pela linha j, com a pela b:\n(L1 -> L1 + cL2). Ejercicio 1:\n{ 3x - 7y + z = -1\n y - 2z = 0\n z + 2u = 7 }\n\nMatriz de coef A =\n [ 3 - 7 1 ]\n [ 0 1 - 2 ]\n [ 1 - 1 1 ]\n\nMatriz ampliada M =\n [ 3 - 7 1 | -1 ]\n [ 0 0 2 | 0 ]\n [ 1 - 1 1 | 1 ]\n\nRealizando:\n [ 3 0 0 . | 40 - 1 - 1 2 ]\n [ 1 1 -1 . | 0 - 0 . 0 3 ]\n\nSolución: \n{ 1 0 0 }\n{ 0 - 0 0 } \n{ 0 - 2 7 } \n{ -2 - - 7 } Ejercicio 2:\n{ x + y + z + 4u = 0\n x + y + 2z - 4u = 4\n x + y + z + 2u = 4 }\n\nMatriz de coef:\n [ 1 1 1 0 ]\n [ 1 1 - 1 -4 ]\n [ 1 1 1 2 ]\n\nMatriz ampliada:\n [ 1 1 1 0 | 0 ]\n [ 1 1 -1 - 4 | 4 ]\n [ 1 1 2 4 | 4 ]\n\nSolucion:\n \n x = 4 + \n y = 2u\n z = 4 - 2u Ejercicio 3:\n{ 5x + y + z = 4\n 2x + y - 2z = 3 }\n\nMatriz:\n [ 1 1 1 | 4 ]\n [ 2 1 -2 | 3 ]\n\nRealizando:\n [ 1 1 1 | 4 ]\n [ 2 1 - 2 | 3 ]\n\nSistema:\n x = 3/4 - z/2 \n y = -5/3 - z/4 \n z = 3 - y/4\n\nSolucion: \n x = 1\n y = -1\n z = 2 1 0 -2 5 7 5\n0 1 -5 3 -5\n0 0 1 3/2\n0 0 0 1\n0 0 0 0\nA \\rightarrow C_1(A)\nA \\rightarrow C_2(A)\nA \\rightarrow C_3(A)\n\\left(\\begin{array}{ccc}\na_1 & a_2 & a_3 \\\nb_1 & b_2 & b_3 \\\n\\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{ccc}\n\\epsilon_1 & C_2 & C_3 \\\nb_2 & b_2 & b_3 \\\na_1 & a_2 & a_3 \\\n\\end{array}\\right)\ng_1 =\\left(\\begin{array}{cc}\n1 & 0 \\\n0 & 1\n\\end{array}\\right)\n\\left(\\begin{array}{cc}\n0 & 0 \\\n1 & 0\n\\end{array}\\right)\n\\left(\\begin{array}{cc}\n6 & 0 \\\n0 & 1\n\\end{array}\\right)\n\\begin{pmatrix} z (t) = E_i \\end{pmatrix} \nA = B\\to E_i, E_{i2}, E_{i3} \\cdot A\nMatriz es inversible si determinante \\neq 0.\nSe A es invertible, esta es la matriz LREF de 4x3 matriz identidad. Si A es una m.x matriz invertible, entonces la matriz LREF de B está equivalente a la matriz A, y A es una matriz diagonalizadora similar a A.\nIm \\infty = \\{ E_k, E_i \\to E_j \\}.\nEjemplo:\nA = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\n4 & -1 & 0 \\\n1 & 1 & 1 \\end{pmatrix}\\rightarrow A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\n4 & -1 & 0 \\\n1 & 1 & 1 \\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\n0 & -1 & -1 \\\n0 & 8 & -1 \\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\0 & -0.2 & 0 \\0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix} 0.2 & 1 & 0.2 \\0.0 & 0.0 & 1.0 \\0.2 & 1 & 0.2 \\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ \\cdots \\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\n0 & 1 & 0 \\\n0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}. A_{11} = (-1)^{1 + 1} \\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\\n a_{32} & a_{33} \\end{pmatrix}\nA_{12} = (-1)^{1 + 2} \\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\\n a_{31} & a_{33} \\end{pmatrix} \n\\det(A) = 1 \\cdots (6) A = A_1\n\\begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{12} \\ \\cdots \\end{pmatrix} \n\\text{Vector}\n\\bullet Segmento orientado (AB): \\; (A)(B) son meras direcciones.\n\\bullet Relación de equivalencia:\nDado el segmento orientado (AB) y (CD) son equivalentes si (A,B) y (C,D) poseen:\n\\; 1. Misma dirección.\n\\; 2. Misma Sentido.\n\\; 3. Mismo compendio.\nUn vector es una clase de equivalencia de segmentos orientados A \\sim B \\text{ si } (X,Y) \\in C,A,B \\equiv (A,B) \\iff AB = CD.