Notas de Aula de Geometria Analítica - Sistema de Coordenadas

Sistema de coordenadas\nE³\n√3\nUm sistema de coordenadas no espaço E³ é um par (O, B). Sendo O um ponto de E³ e B={e₁,e₂,e₃} uma base ordenada de √3\n\nJogar um síst.e de coord Σ={O, B} temos:\nP ∈ E³\n(x,y,z) são coordenadas de P ⇔ [OP]ᵦ = (x/2)\n\nNot. P = (x,y,z)ᵦ ⇒ [OP]ᵦ = (y/2) ⇒ OP = x·e₁+y·e₂+z·e₃\n\nSe B e {e₁,e₂} ORTO NORMAL dizemos que o sistema de coord. Σ={O,P} é um sistema triortogonal. Algumas propriedades\nSejam Σ = {O,B} um sistema de coordenadas. Se P=(x₁,y₁,z₁) e Q=(x₂,y₂,z₂) ∈ Σ:\n1) P₀ = [x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁]ᵦ\n\n2) P + λ·V = 𝑙{x₁+y₁+λ·b₂,z₁+λ·b₂,x₂}\n\nExemplo:\n1) Sejam Σ = (O,B) um sistema de coord. P=(b₁,b₂,b₃) & Σ = {q₁,q₂,q₃}\n\nDeterminando as coordenadas do ponto matriz n com respeito a Σ: 2) Dado os pontos P=(1,0,3) ∈ Σ, Q=(2,2,-1) ∈ Σ, determinamos o ponto simétrico de P em relação aos pontos Q:\nP' = (x,y,z)ᵦ\n\nx+1/2 = 2 ⇒ x ≠ 3\n\ny-0 = 0 ⇒ y = 4\n\nz+3-1 ⇒ 2 = -5\n\np ≠ (3·y-s)Σ\n\nSejam A = (1,0,1)ₗ, B = (-1,0,2)ₗ\n\nSó Σ é um sistema da coord. ORTOGONAL. Mostre que ABC é um triângulo.\n<CB,CA> = <(-2,1),(1,0)> =\n=(-2).0 + (1).(1) + (1).(7.0) = 0 \n<BC,BA> = <(2,1,-1),(2,0,-1)> = 2.2 + 1.0 + (-1).(1) = 5 ≥ 0.\n<AC,AB> = <(1,0),(1,-2)> = -1.0 + 1.0 + (-2).(1) = 0.\n\n: BAC é um ângulo reto.\n\n4) Dado um sistema de coord. ORTOGONAL Σ= (0,0) o ponto A = (1,2,-1)\nB = (0,4,1)\nC = (2,-1,-1)\n\nMostre que ΔABC é equilátero.\nA = (-1,2,-1)\nB = (-1,-2,1)\nC = (2,-1,-1)\n\n|AB| = √[(0-(-1))² + (2-(-1))² + (-1-(-1))²] = √6\n|A| = √[2 + (-2)² + (-1)²] = √6\n|BC| = √[2² + (-1)² + (-1)²] = √6\n\nΔ ABC é um equilátero e a medida de cada um deles \n\nlado é √6.