Notas de Aula de Geometria Analítica - Mudança de Base e Produto Escalar exercícios Resolvidos

||v1+v2||=√9^2+4+1^2=√18 Mudança de base E={e1,e2,e3} F={e1’,e2’,e3’} |V|E=[v] Existem aij ∈ R tais que: F1=a11e1+a12e2+a13e3 F2=a21e1+a22e2+a32e3 F3=a31e1+a23e2+a33e3 V=[x]F → [x]E V=xe1+ye2+ze3= xi (a11e1+a12e2+a13e3) + yi (a21e1+a22e2+a32e3)+zi (a31e1+a32e2+a33e3) V=(a11x+a21y+a31z)e1+(a12x+a22y+a33z)e2+(a13x+a23y+a33z)e3 = [V]E=\[ (a11x+a12y+a13z) (a21x+a22y+a23z) (a31x+a32y+a33z) \]=\( |a11 a12 a13||x| |a21 a22 a23||y| |a31 a32 a33||z| \) = A.[V]F LV [V]E = A[V]F = matriz de mudança de base (de base e para f) MÁXIMA Notação: A=MEF (M^E_F) MEF=\( |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |a31 a32 a33| \) MEFx[1]E = [1]F MEF=I2,[V]E V∈V^3 Exemplo: Sejam E={e1,e2,e3} base e F={f1,f2,f3} tal que: F1=e2-e3 F2=e3-e1 F3=e3-e1-e2 |E é base? det\( |0 3 1| |-1 1 0| |0 0 1| \)=-3-1+3=-1≠0 ∴ F é base. MEF=\( |0 3 1| |-1 1 0| |0 0 1| \) MÁXIMA 21 Sejam F = 1f1-3f2+5f3 Calculo [v]F [v]E=MEF[v]F [v]E=\( |0 3 1| | 1 | | -7 -9| |-4 | |0 1 5| |-9| | 6| \) v=-4e1-7e2+6e3 E é base de V^3 MEF MEF MEF^-1[v]E=[v]F=MEF (MEF.[v]F) = [MEF.MEF^{−1}v] V∈V^3 Em particular: (MEF.MEF)[]([0]) [MEF.MEF]\( \) A primeira coluna de MEF,MEF é\( \) MÁXIMA ||\vec{u}-\vec{v}|| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 - 2.||u_1||||v_1||\cos{Θ}} (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2 = \dots = x_1^2+y_1^2+z_1^2+x_2^2+y_2^2+z_2^2 - 2(x_1y_1+x_2y_2+x_3z_3)\dots \text{Exemplo 1: Sejam } \vec{u} = \left( \frac{1}{2}, 1 \right) \vec{v} = \left( 2, 0 \right) \text{Sendo } E \text{ o espaço normal} \text{Calculo do Ângulo Intruso} Se Θ = \cos^{-1}\bigg\{-1.24 + 2.0 \cdot 0 \bigg\} \|\vec{u}\|\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \frac{-1}{{\sqrt{70}}}, Θ = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{80}}\right) \text{Propriedades:} 1) u(v + u) = ∀u, ∀v, u ∈ V^2 2) u + v = v + u, ∀v, v ∈ V^3 3) (λu) * u = a(v + u) +ι(z) \forall λ∈ R, ∀v, ∀z, v ∈ V^3 MAXIMA