Lista de Exercícios - Integrais Impróprias e Aplicações - Matemática Aplicada

Métodos de Matemática Aplicada Turma A T1 Lista de Exercícios 0 18102024 Prof Luís Antônio Integrais Impróprias 1 Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente a 1 to 13x12 dx b to 0 12x5 dx c to 1 12w dw d 4 to ey2 dy e to x1x2 dx f 0 to et sen t dt g 0 to t2 11 dt h 0 to t et dt i 0 to t2 et dt j 0 to et cos t dt 2 Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente a 0 to xx3 1 dx b 1 to 2 exx dx c 1 to x 1x4 x dx d 0 to arctg x 2 ex dx e 0 to π sen2 xx dx 3 Calcule a 1 to 1s2 x2 dx s 0 b 2 to 1x2 1 dx c 0 to et sen t dt d 2 to dx x ln2 x 4 Calcule a área das regiões determinadas por a y ex ex1 b y x2 y e2x e x 1 c y 1x4 1 5 Determine k para que se tenha to ekt dt 1 6 Sejam dados um real s 0 e um natural N 0 a Aplicando Integração por Partes verifique que 0 to est tN dt Ns 0 to tN1 est dt b Use Indução Finita para mostrar que 0 to est tN dt NsN1 7 Seja Γx 0 to tx1 et dt esta função é chamada função gama Verifique a Γx1 xΓx x 0 b Se n N então Γn1 n 8 Seja fx 0006x10x se 0 x 10 0 se caso contrário a Verifique que f é uma função densidade de probabilidade b Encontre P4 X 8 9 Verifique que 0 to 2 ex x2n1 dx n2 n N 10 Numa fábrica de circuitos impressos a vida útil desses circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade fx 0002 e0002x se x 0 onde x é medido em horas a Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas b Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas 11 Calcule a média da distribuição exponencial da função densidade de probabilidade abaixo fx 0 se t 0 cect se t 0 12 Suponha que o tempo médio de espera para um cliente ser atendido pelo funcionário da empresa para a qual ele está ligando seja 5 minutos Para tanto considere a função densidade de probabilidade fx 0 se t 0 cect se t 0 a Calcule a probabilidade de a ligação ser atendida no primeiro minuto b Calcule a probabilidade de o consumidor esperar mais de 5 minutos para ser atendido MMA Lista Transformada de Laplace 1 Verificar se as seguintes integrais convergem a 0 to x ex dx b 0 to ex sen x dx c 0 to cost et dt d 1 to t2 et dt 2 Calcule a transformada de Laplace a ft t b ft t2 c ft coshbt ebt ebt2 d ft sinhbt ebt ebt2 e ft teat f ft t2 2t 3 g ft t cosh t h ft sin2 t 3 Integrando por partes prove que a ℒcosat ss2 k2 a ℝ b ℒtn nsn1 n ℕ 0 4 Prove que Γ1 1 5 Encontre a transformada de Laplace de ft 1 0 t 1 3et t 1 6 Calcule a transformada de Laplace inversa a Fs 8s5 7s2 3 b Fs 3s8s21s24 c Fs 2s5ss3s4 d Fs 3s1s24 e Fs 2s1s29 f Fs 8s2 4s 12ss24 MMA Lista PVI 1 Clacule a transformada de Laplace inversa a 1 2s s2 4s 5 b 2s 3 s2 2s 10 c s 3 s2 3s 2 d 2s 3 s2 2s 5 e 2s3 s2 8s 6 s2 1s2 4 f s s2 2s 2s2 1 s 2 s2 2s 2 g 4 s 13 2s 3 s 12 h 1 s2 1s2 2 s2 1 2 Use a transformada de Laplace para encontrar a solução yt do problema dado a y 3y 2y 0 y0 1 y0 0 b y 6y 25y 0 y0 2 y0 3 c y 2y 5y 0 y0 2 y0 1 d y4 y 0 y0 1 y0 0 y0 1 y0 0 e y y sin2t y0 2 y0 1 f y 2y 2y cos t y0 1 y0 0 g y 2y y 4et y0 2 y0 1 h y y t y0 0 y0 2 i y 2y 3y 10 cos t y0 2 y0 7 j y 3y 2y 6et y0 1 y0 1 3 Suponha que gt 0 to t fx dx e que Gs e Fs são as tranformadas de Laplace de g e f respectivamente Mostre que Gs Fs s 4 Encontre a transformada de Laplace inversa de Fs 1 s2 3s MMA Lista Convolução 1 Expresse a transformada inversa de Laplace como uma integral a Fs s s 1s2 4 b Fs 1 s 12 s2 4 c Fs 1 s2 12 d Fs Gs s2 1 2 Encontre a transformada inversa de Laplace a Fs 1 s s 2 b Fs 1 s2 12 3 Encontre a transformada de Laplace a ft 0 to t etτ sin τ dτ b ft 0 to t eτ t τ dτ c ft 0 to t sint τ cos τ dτ d ft 0 to t t τ sin3τ dτ e ft 0 to t eτ t τ3 dτ 4 Use a transformada de Laplace e expresse a solução dos problemas como uma integral a y k2 y gt y0 0 y0 1 b 4y 4y 17y gt y0 0 y0 0 c y k2 y gt y0 0 y0 0 d y 6y 9y gt y0 a y0 b e y 4y 4y gt y0 2 y0 3 f y 4y 4y gt y0 2 y0 3 5 Use que Fns Ltn ft para encontrar a transformada de Laplace a ft tn b ft tn eat c ft t eat sinbt d ft t eat cosbt e ft t2 sinkt 6 Calcule a transformada inversa de Laplace a Fs tan1 1s b Fs lns 2 s 2 c Fs 2s s2 12