Atividade de Cálculo 2 mínimos e Máximos

Exercício 71 Encontre os pontos críticos das seguintes funções 1 fxy 4y² 9x² 24y 36x 7 2 gxy y² 32cos x 3 uxy 13 x³ y² 2xy 6x 3y 4 4 vxy yex ey 5 hxy ey sen3x Resposta 2 3 nπ 0 1 52 3 32 00 não existe Exercício 72 Confira que a origem é ponto crítico de fxy x³ 4xy² mas que ela não é ponto de mínimo nem de máximo local Dica encontre os zeros de f Exercício 72 Confira que a origem é ponto crítico de fxy x³ 4xy² mas que ela não é ponto de mínimo nem de máximo local Dica encontre os zeros de f Questão 73 Dê exemplos de uma função que possua infinitos pontos de máximo absoluto e outra com infinitos pontos de mínimo absoluto Resposta entre muitas possibilidades fxy 1 2x² com máx em 0y para todo y gxy x²y² com mín nos eixos coordenados cosxy satisfaz as duas condições Exercício 74 Use o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos de Exercício 75 Encontre as dimensões de um reservatório de volume 272 metros cúbicos no formado de uma caixa retangular sem tampa que minimize o custo do material empregado Resposta lados iguais a 33 32 Exercício 76 Classifique os pontos críticos de fxy x2 y 13 y3 x2 y2 2 Resposta 00 máx 02 mín 11 11 selas Questão 77 E como fica o caso em que D 0 em algum ponto crítico Por inspeção direta das ações de cada uma das funções que seguem fxy 6 x6 y6 gxy x4 y4 e hxy x4 y4 verifique que os correspondentes pontos críticos sempre a origem são de máximo mínimo e sela respectivamente mas um cálculo leva a D 0 em todos eles Qual a conclusão Questão 78 Critique a seguinte afirmação qualquer teste para verificar a natureza de pontos críticos que usa apenas derivadas de ordem até k no ponto crítico apresentará casos inconclusivos Exercício 79 Encontre os valores máximo e mínimo da função fxy x22 y1 y na região do plano R xy x 0 y 0 x y 4 a qual é mostrada na Figura 71 Exercício 710 Encontre os valores máximo e mínimo da função fxy x3 y3 3x y na região fechada e limitada do plano delimitada pelo triângulo de vértices 00 01 e 10 Exercício 711 Considere a função fxy x2 y2 β x y com o parâmetro β R 1 Verifique que a origem é um ponto crítico dessa função para qualquer valor de β 2 Usando o teste das segundas derivadas conclua que a origem é ponto de sela se β 2 e mínimo local se β 2 72 TESTE DAS SEGUNDAS DERIVADAS DUAS VARIÁVEIS 133 3 O que diz o teste das segundas derivadas se β 2 Resposta inconclusivo mas é ponto de mínimo local Exercício 712 Encontre os pontos de mínimo e máximo da função fxy ex² y² y na região do plano delimitada pelo quadrado x 1 e y 1 um conjunto fechado e limitado Resposta mínimo 0 12 máximo 11 e 11 Exercício 713 Use o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos de 1 fxy 56x² 8y² 16x 31 1 8x 2 fxy xy 2x ln x²y Resposta máx 1670 mín 120 Exercício 714 Considere uma chapa de metal de largura l 0 da qual será construída uma calha Qual a distância x de cada borda que se deve fazer a dobra e qual o ângulo θ de inclinação da dobra que otimizam a vazão Veja a Figura 72 Note que isso corresponde a otimizar a área transversal da calha Qual o ganho porcentual da vazão otimizada em relação à calha em formado de ou seja ao caso com θ π2 Resposta x l3 θ π3 15