Calculo 2 - Primeira Prova

Calculo II Exercicios Funções 4 Seja f R2 R uma função linear Sabendo que f10 2 e f01 3 calcule fx y 5 Verifique se a função é homogênea Em caso afirmativo determine o grau de homogeneidade a fx y x³ 2xy²x³ y³ b fx y x⁴ y⁴ c fx y 5x³y x⁴ 3 d fx y 2x² y² 2 Descreva as curvas de nível e determine a imagem a fx y x 2y b z yx 2 c fx y x yx y d z xy 1 e z xy f fx y x² y² g z 4x² y² h z 3x² 4xy y² i z x²x² y² j z xyx² y² 3 Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função fx y x 1² y² x 1² y² 2 Desenhe a superfície de nível correspondente a c 1 a fx y z x b fx y z z c fx y z x² y² d fx y z x² 4y² z² 3 Duas superfícies de nível de uma função f podem interceptarse Justifique Cálculo I Limites e continuidad Professor Joel Coacalle UFSCar Professor Joel Coacalle Cálculo I 1 8 Conteúdo 1 Límites Propriedades dos limites 2 Continuidade Professor Joel Coacalle Cálculo I 2 8 Propriedades dos limites Sejam f g e h funções reais definidas em R2 1 Teorema do Confronto Se fx y gx y hx y para 0 x y x0 y0 r e se lim xyx0y0 fx y L lim xyx0y0 hx y então lim xyx0y0 gx y L Propriedades dos limites Sejam f g e h funções reais definidas em R2 1 Teorema do Confronto Se fx y gx y hx y para 0 x y x0 y0 r e se lim xyx0y0 fx y L lim xyx0y0 hx y então lim xyx0y0 gx y L 2 Se limxyx0y0 fx y 0 e se gx y M para 0 x y x0 y0 r onde r 0 e M 0 são reais fixos então lim xyx0y0 fx ygx y 0 3 lim xyx0y0 fx y 0 lim xyx0y0 fx y 0 4 lim xyx0y0 fx y L lim xyx0y0fx y L 0 5 lim xyx0y0 fx y L lim hk00 fx0 h y0 k L Professor Joel Coacalle Cálculo I 4 8 2 Se limxyx0y0 fx y 0 e se gx y M para 0 x y x0 y0 r onde r 0 e M 0 são reais fixos então lim xyx0y0 fx ygx y 0 3 lim xyx0y0 fx y 0 lim xyx0y0 fx y 0 4 lim xyx0y0 fx y L lim xyx0y0fx y L 0 5 lim xyx0y0 fx y L lim hk00 fx0 h y0 k L Professor Joel Coacalle Cálculo I 4 8 6 Se lim xyx0y0 fx y L1 e lim xyx0y0 gx y L2 então 6a lim xyx0y0fx y gx y L1 L2 6b lim xyx0y0 kfx y kL1 k constante 6c lim xyx0y0 fx ygx y L1L2 6d lim xyx0y0 fx y gx y L1 L2 desde que L2 0 Professor Joel Coacalle Cálculo I 5 8 7 Conservação do sinal Se lim xyx0y0 fx y L L 0 então existirá δ 0 tal que para todo x y Df 0 x y x0 y0 δ fx y 0 Professor Joel Coacalle Cálculo I 6 8 Definição 21 Seja f uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja x0 y0 Df com x0 y0 ponto de acumulação de Df Definimos f contínua em x0 y0 lim xyx0y0 fx y fx0 y0 Se f for contínua em todos os pontos de um subconjunto A de Df diremos que f é contínua em A Diremos simplesmente que f é contínua se o for em todos os pontos de seu domínio Professor Joel Coacalle Cálculo I 7 8 Teorema 21 A composta de duas funções continuas é continua Sejam f A R2 R e g B R R duas funções tais que Im f Dg Se f for contínua em x0 y0 e g contínua em fx0 y0 então a composta hx y gfx y será contínua em x0 y0 Teorema 22 Sejam f A R2 R uma função e γ I R2 uma curva tais que γt A para todo t I Se γ for contínua em t0 I e f contínua em γt0 então a composta gt fγt será contínua em t0 Sejam fx y e gx y contínuas em x0 y0 e seja k uma constante Segue das propriedades dos limites que f g k f e f g são também contínuas em x0 y0 Além disso se gx y 0 então f g será também contínua em x0 y0 Professor Joel Coacalle Cálculo I 8 8 Teorema 21 A composta de duas funções continuas é continua Sejam f A R2 R e g B R R duas funções tais que Im f Dg Se f for contínua em x0 y0 e g contínua em fx0 y0 então a composta hx y gfx y será contínua em x0 y0 Teorema 22 Sejam f A R2 R uma função e γ I R2 uma curva tais que γt A para todo t I Se γ for contínua em t0 I e f contínua em γt0 então a composta gt fγt será contínua em t0 Sejam fx y e gx y contínuas em x0 y0 e seja k uma constante Segue das propriedades dos limites que f g k f e f g são também contínuas em x0 y0 Além disso se gx y 0 então f g será também contínua em x0 y0 Professor Joel Coacalle Cálculo I 8 8 Teorema 21 A composta de duas funções continuas é continua Sejam f A R2 R e g B R R duas funções tais que Im f Dg Se f for contínua em x0 y0 e g contínua em fx0 y0 então a composta hx y gfx y será contínua em x0 y0 Teorema 22 Sejam f A R2 R uma função e γ I R2 uma curva tais que γt A para todo t I Se γ for contínua em t0 I e f contínua em γt0 então a composta gt fγt será contínua em t0 Sejam fx y e gx y contínuas em x0 y0 e seja k uma constante Segue das propriedades dos limites que f g k f e f g são também contínuas em x0 y0 Além disso se gx y 0 então f g será também contínua em x0 y0 Professor Joel Coacalle Cálculo I 8 8 Calculo II Exercicios Limites 1 Calcule caso exista a lim xy00 x sin1x² y² b lim xy00 xx² y² c lim xy00 x²x² y² d lim xy00 xyx² y² e lim xy00 xyx yx⁴ y⁴ f lim xy00 x yx y g lim xy00 xyy x³ h lim xy00 xy²x² y² 7 Calcule lim xy00 sinx² y²x² y² 8 Seja fx y e1x² y² 1 se x² y² 1 0 se x² y² 1 Calcule lim xy22 22 fx yx² y² 1 Exercicios Continuidade 1 Determine o conjunto dos pontos de continuidade Justifique a resposta a fxy 3x²y² 5xy 6 b fxy 6 2x² 3y² c fx y lnx yx² y² d fx y x y1 x² y² e fx y x 3yx² y² se x y 00 0 se x y 00 f fxy sinx² y²x² y² se x y 00 1 se x y 00 g fxy 1r² 1 se r 1 onde r x y 0 se r 1 2 A função fxy sinx² y²x² y² se x y 00 1 se x y 00 é contínua em 00 Justifique Calculo II Exercicios Derivadas Parciais 2 Considere a função z xy²x² y² Verifique que x zx y zy z 3 Seja ϕ R R uma função de uma variável real diferenciável e tal que ϕ1 4 Seja gx y ϕxy Calcule a gx 11 b gy 11 4 Seja gx y ϕxy a função do exercício anterior Verifique que x gx y gy x y 0 para todo x y R² com y 0 8 Seja ϕ R R uma função diferenciável de uma variável real e seja fx y x² y² ϕxy Mostre que x fx y fy 2f 9 Sejam z ex² y² x ρ cos θ e y ρ sin θ Verifique que zρ ex² y²2x cos θ 2y sin θ Conclua que zρ zx cos θ zy sin θ 16 Seja fx y x²y² et² dt Calcule fx x y e fy x y 17 Seja ϕ R R uma função diferenciável e seja gx y fy f Verifique que x gx y gy y fy 18 Seja fx y x³y² 6xy ϕy Determine uma função ϕ de modo que fy 2x³y 6x yy² 1 19 Determine uma função fx y tal que fx 3x²y² 6y 1 fy 2x³y 6x yy² 1 2 26 Seja fx y 2xy²x² y⁴ se x y 00 0 se x y 00 e seja γt t t zt t R uma curva cuja imagem está no gráfico de f Seja T a reta tangente a γ no ponto γ0 Mostre que T não está contida no plano de equação z f00 fx 00x 0 fy 00y 0 29 Dizemos que x0 y0 e um ponto crıtico ou estacionario de z fx y se f xx0 y0 0 e f y x0 y0 0 Determine caso existam os pontos crıticos da funcao dada a fx y x2 y2 b fx y 2x y3 c fx y x2 2xy 3y2 x y d fx y x3 y3 3x 3y e fx y 3x2 8xy2 14x 16y f fx y x4 4xy y4 3 Seja s fx y z w dada por s e x y z w Verifique que x s x y s y z s z w s w 0 2 Calculo II Exercícios Plano tangente reta normal diferencial 01 Plano tangente e reta normal 1 Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto dado a fxy 2x2 y em 11f11 b fxy x2 y2 em 01f01 c fxy 3x3 y xy em 11f11 d fxy xex2 y2 em 22f22 e fxy arctanx 2y em 212f212 f fxy xy em 1212f1212 2 Determine o plano que passa pelos pontos 112 e 111 e que seja tangente ao gráfico de fxy xy 3 Determine o plano que seja paralelo ao plano z 2x y e tangente ao gráfico de fxy x2 y2 5 2xy3z6 é a equação do plano tangente ao gráfico de fxy no ponto 111 a Calcule fx 11 e fy 11 b Determine a equação da reta normal no ponto 111 6 Considere a função fxy x φxy onde φu é uma função derivável de uma variável Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem 7 Considere a função fxy x3x2 y2 Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem 8 Determine o plano que seja paralelo ao plano z 2x 3y e tangente ao gráfico de fxy x2 xy 9 Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de fxy x2 y2 e que contenham a intersecção dos planos x y z 3 e z 0 10 β é um plano tangente aos gráficos de fxy 2 x2 y2 e gxy x2 y2 Mostre que a2 b2 1 sendo abfab o ponto em que β tangencia o gráfico de f 14 A função z zxy é diferenciável e dada implicitamente pela equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Mostre que x0 x a2 y0 y b2 z0 z c2 1 é a equação do plano tangente no ponto x0y0z0 z0 0 02 Diferencial 5 Uma caixa de forma cilíndrica é feita com um material de espessura 003 m As medidas internas são altura 2 m e raio da base 1 m A caixa é sem tampa Calcule um valor aproximado para o volume do material utilizado na caixa 8 Calcule aproximadamente 101203 12 Calcule aproximadamente 12 sqrt0012 3022 Cálculo II Derivadas Parciais UFSCar Cálculo II 1 9 Conteúdo 1 Diferenciabilidade Definições Condição suficiente para diferenciabilidade Plano tangente e Reta normal Cálculo II 2 9 Definições Diferenciabilidade Sejam f A R A aberto de R2 e x0 y0 A Dizemos que f é diferenciável em x0 y0 se e somente se existirem reais a e b tais que lim hk00 fx0 h y0 k fx0 y0 ah bk h k 0 Theorem 1 Se f for diferenciável em x0y0 então f será continua em x0y0 Theorem 1 Se f for diferenciável em x0y0 então f será continua em x0y0 Theorem 2 Seja f A R2 R A aberto e seja x0y0 A Se f for diferenciável em x0y0 então f admitirá derivadas parciais neste ponto Theorem 1 Se f for diferenciável em x0y0 então f será continua em x0y0 Se f não for contínua em x0 y0 então f não será diferenciável em x0 y0 Se uma das derivadas parciais não existir em x0 y0 então f não será diferenciável neste ponto Segue do corolario acima que para provar que uma função f é diferenciável em x0 y0 é suficiente provar que f admite derivadas parciais em x0 y0 e que lim hk00 fx0 h y0 k fx0 y0 f xx0 y0 h f y x0 y0 k h k 0 Se ambas as derivadas parciais existirem em x0 y0 mas se o limite acima não for zero então f não será diferenciável em x0 y0 Se f não for contínua em x0 y0 então f não será diferenciável em x0 y0 Se uma das derivadas parciais não existir em x0 y0 então f não será diferenciável neste ponto Segue do corolario acima que para provar que uma função f é diferenciável em x0 y0 é suficiente provar que f admite derivadas parciais em x0 y0 e que lim hk00 fx0 h y0 k fx0 y0 f xx0 y0 h f y x0 y0 k h k 0 Se ambas as derivadas parciais existirem em x0 y0 mas se o limite acima não for zero então f não será diferenciável em x0 y0 Se f não for contínua em x0 y0 então f não será diferenciável em x0 y0 Se uma das derivadas parciais não existir em x0 y0 então f não será diferenciável neste ponto Segue do corolario acima que para provar que uma função f é diferenciável em x0 y0 é suficiente provar que f admite derivadas parciais em x0 y0 e que lim hk00 fx0 h y0 k fx0 y0 f xx0 y0 h f y x0 y0 k h k 0 Se ambas as derivadas parciais existirem em x0 y0 mas se o limite acima não for zero então f não será diferenciável em x0 y0 Se f não for contínua em x0 y0 então f não será diferenciável em x0 y0 Se uma das derivadas parciais não existir em x0 y0 então f não será diferenciável neste ponto Segue do corolario acima que para provar que uma função f é diferenciável em x0 y0 é suficiente provar que f admite derivadas parciais em x0 y0 e que lim hk00 fx0 h y0 k fx0 y0 f xx0 y0 h f y x0 y0 k h k 0 Se ambas as derivadas parciais existirem em x0 y0 mas se o limite acima não for zero então f não será diferenciável em x0 y0 Condição suficiente para diferenciabilidade Theorem 3 Sejam f A R2 R A aberto e x0 y0 A Se as derivadas parciais f x e f y existirem em A e forem contínuas no ponto x0 y0 então f será diferenciável neste ponto Seja fx y uma função Dizemos que f é de classe C1 no aberto A se f x e f y forem contínuas em A Segue do teorema anterior o seguinte Corolário 12 Seja f A R2 R A aberto Se f for de classe C1 em A então f será diferenciável em A Existem funções que são diferenciáveis num ponto sem que as derivadas parciais sejam contínuas nesse ponto Condição suficiente para diferenciabilidade Theorem 3 Sejam f A R2 R A aberto e x0 y0 A Se as derivadas parciais f x e f y existirem em A e forem contínuas no ponto x0 y0 então f será diferenciável neste ponto Seja fx y uma função Dizemos que f é de classe C1 no aberto A se f x e f y forem contínuas em A Segue do teorema anterior o seguinte Corolário 12 Seja f A R2 R A aberto Se f for de classe C1 em A então f será diferenciável em A Existem funções que são diferenciáveis num ponto sem que as derivadas parciais sejam contínuas nesse ponto Condição suficiente para diferenciabilidade Theorem 3 Sejam f A R2 R A aberto e x0 y0 A Se as derivadas parciais f x e f y existirem em A e forem contínuas no ponto x0 y0 então f será diferenciável neste ponto Seja fx y uma função Dizemos que f é de classe C1 no aberto A se f x e f y forem contínuas em A Segue do teorema anterior o seguinte Corolário 12 Seja f A R2 R A aberto Se f for de classe C1 em A então f será diferenciável em A Existem funções que são diferenciáveis num ponto sem que as derivadas parciais sejam contínuas nesse ponto Condição suficiente para diferenciabilidade Theorem 3 Sejam f A R2 R A aberto e x0 y0 A Se as derivadas parciais f x e f y existirem em A e forem contínuas no ponto x0 y0 então f será diferenciável neste ponto Seja fx y uma função Dizemos que f é de classe C1 no aberto A se f x e f y forem contínuas em A Segue do teorema anterior o seguinte Corolário 12 Seja f A R2 R A aberto Se f for de classe C1 em A então f será diferenciável em A Existem funções que são diferenciáveis num ponto sem que as derivadas parciais sejam contínuas nesse ponto Plano tangente e Reta normal Definição 11 Seja f diferenciável no ponto x0y0 O plano z fx0y0 fxx0y0xx0 fyx0y0yy0 1 denominase plano tangente ao gráfico de f no ponto x0y0fx0y0 Em notação de produto escalar 1 se escreve fxx0y0 fyx0y0 1 xyz x0y0fx0y0 0 Plano tangente e Reta normal Definição 11 Seja f diferenciável no ponto x0y0 O plano z fx0y0 fxx0y0xx0 fyx0y0yy0 1 denominase plano tangente ao gráfico de f no ponto x0y0fx0y0 Em notação de produto escalar 1 se escreve fxx0y0 fyx0y0 1 xyz x0y0fx0y0 0 Segue que o plano tangente em x0y0fx0y0 é perpendicular à direção do vetor fxx0y0 fyx0y0 1 A reta que passa pelo ponto x0 y0 fx0 y0 e é paralela ao vetor fx x0 y0 fy x0 y0 1 denominase reta normal ao gráfico de f no ponto x0 y0 fx0 y0 A equação de tal reta é x y z x0 y0 fx0 y0 λ fx x0 y0 fy x0 y0 1 λ ℝ rt é uma curva que representa a interseção do plano x x0 com o gráfico da função f Cálculo II Derivadas Parciais UFSCar Cálculo II 1 10 Conteúdo 1 Derivadas Parciais Definições Derivadas parciais de funções de três ou mais variáveis reais Cálculo II 2 10 Definições Seja z fx y uma função real de duas variáveis reais e seja x0 y0 Df Fixado y0 podemos considerar a função g de uma variável dada por gx fx y0 A derivada desta função no ponto x x0 caso exista denominase derivada parcial de f em relação a x no ponto x0 y0 e indicase com uma das notações fx x0 y0 ou zx xx0 yy0 Assim fx x0 y0 gx0 Definições Seja z fxy uma função real de duas variáveis reais e seja x0y0 Df Fixado y0 podemos considerar a função g de uma variável dada por gx fxy0 A derivada desta função no ponto x x0 caso exista denominase derivada parcial de f em relação a x no ponto x0y0 e indicase com uma das notações fxx0y0 ou zx xx0yy0 Assim fxx0y0 gx0 De acordo com a definição de derivada temos fxx0y0 limx x0 fxy0 fx0y0x x0 Seja A Df o subconjunto de pontos para os quais existe fxxy Definimos a função fx definida em A que associa xy A o valor fxxy Seja A Df o subconjunto de pontos para os quais existe fxxy Definimos a função fx definida em A que associa xy A o valor fxxy De modo análogo definese a derivada parcial de f em relação a y no ponto x0y0 que se indica por fyx0y0 ou zy xx0 yy0 Assim fyx0y0 limyy0 fx0y fx0y0y y0 Desta forma fxxy é a derivada em relação a x de fxy mantendose y constante Por outro lado fyxy é a derivada em relação a y de fxy mantendose x constante Seja A subset Df o subconjunto de pontos para os quais existe fracpartial fpartial xxy Definimos a função fracpartial fpartial x definida em A que associa xy in A o valor fracpartial fpartial xxy De modo análogo definese a derivada parcial de f em relação a y no ponto x0y0 que se indica por fracpartial fpartial yx0y0 ou fracpartial zpartial ybiggxx0atop yy0 Assim boxedfracpartial fpartial yx0y0 limy rightarrow y0 fracfx0y fx0y0y y0 Desta forma fracpartial fpartial xxy é a derivada em relação a x de fxy mantendose y constante Por outro lado fracpartial fpartial yxy é a derivada em relação a y de fxy mantendose x constante De maneira análoga à função fracpartial fpartial x é definida a função fracpartial fpartial y Diremos que uma função z fxy é definida ou dada implicitamente pela equação gxyz 0 se para todo xy in Df gxyfxy 0 Por exemplo a função z sqrt1x2 y2 quad x2 y2 1 é dada implicitamente pela equação x2 y2 z2 1 pois para todo xy no seu domínio x2 y2 leftsqrt1x2 y2right2 1 Notação A notação f xx y como vimos indica a derivada de fx y em relação a x onde y é olhado como constante ou seja como independente de x Por outro lado a notação d dxfx y indica a derivada de fx y onde y deve ser olhado quando nada for dito em contrário como função de x Interpretação geométrica Suponhamos que z fx y admite derivadas parciais em x0 y0 Df O gráfico da função gx fx y0 no plano xy0z é a interseção do plano y y0 com o gráfico de f Assim f xx0 y0 é então o coeficiente angular da reta tangente T a esta interseção no ponto x0 y0 fx0 y0 Da mesma maneira o coeficiente angular da reta tangente à interseção do plano x x0 com o gráfico de f no ponto x0 y0 fx0 y0 é dado por f y x0 y0 x0 y0 x y z inclinação na direção x f xx0 y0 x0 y0 x0 y0 x y z inclinação na direção y f y x0 y0 x0 y0 Observação Existem funções cujas de derivada parciais num ponto existem mas não são continuas neste ponto Derivadas parciais de funções de três ou mais variáveis reais Sejam w fxyz e x₀ y₀ z₀ Df Mantendose y₀ e z₀ constantes podemos considerar para função gx fxy₀z₀ A derivada desta função em x x₀ caso exista denominase derivada parcial de f em relação a x no ponto x₀ y₀ z₀ e indicase por fx x₀ y₀ z₀ ou wx xx₀ yy₀ zz₀ De modo análogo definemse as derivadas parciais fy x₀ y₀ z₀ e fz x₀ y₀ z₀ Temse fx x₀ y₀ z₀ lim x0 fx₀ x y₀ z₀ fx₀ y₀ z₀ x fy x₀ y₀ z₀ lim y0 fx₀ y₀ y z₀ fx₀ y₀ z₀ y fz x₀ y₀ z₀ lim z0 fx₀ y₀ z₀ z fx₀ y₀ z₀ z Da mesma forma definemse as derivadas parciais de uma função de mais de três variáveis reais Calculo II Exercıcios Gradiente 6 Seja fx y z x2 y2 z2 e seja γt xt yt zt uma curva difer enciavel cuja imagem esta contida na su perfıcie de nıvel x2 y2 z2 1 Seja γt0 x0 y0 z0 Prove que γt0 fx0 y0 z0 0 Interprete geometricamente 7 Calcule f x y sendo fx y a xy b 2x y c x tg x y d arcsinxy 8 Seja fx y xy e seja γt xt yt t I uma curva diferenciavel cuja imagem esta contida na curva de nıvel fx y 2 Mostre que para todo t em I γtfγt 0 Dˆe exemplo de uma curva cuja imagem esteja contida na curva de nıvel xy 2 9 Sejam fx y y x2 e γt sin t sin2 t a Verifique que a imagem de γ esta contida na curva de nıvel y x2 0 b Desenhe a imagem de γ c Verifique que para todo t γt fγt 0 11 Considere a funcao fx y z x2 4y2 9z2 e seja γt xt yt zt uma curva diferenciavel qualquer com imagem contida na superfıcie de nıvel x2 4y2 9z2 1 e tal que γt0 x0 y0 z0 a Prove que fx0 y0 z0 γt0 0 b Determine a equacao do plano tangente a superfıcie de nıvel dada no ponto x0 y0 z0 c Determine a equacao do plano tangente a superfıcie de nıvel x2 4y2 9z2 14 no ponto 1 1 1 1