Funções de Várias Variáveis - Definições, Domínios e Exercícios Resolvidos

supondo que xx1x2xn escrevemos frequentemente fx em lugar de fx1x2xn Com essa notação podemos reescrever a função definida na Equação 3 como fx cx em que cc1c2cn cx denota o produto escalar entre os vetores c e x em Vn Tendo em vista a correspondência biunívoca entre os pontos x1x2xn em Rn e seus vetores posição xx1x2xn em Vⁿ temos três maneiras de enxergar uma função f definida em um subconjunto de Rⁿ 1 Como uma função de n variáveis reais x1x2xn 2 Como uma função de um único ponto ndimensional x1x2xn 3 Como uma função de uma única variável vetorial xx1x2xn Veremos que todos os três pontos de vista são úteis 141 Exercícios 1 Dada fxy x²y2xy² determine a f13 b f21 c fxhy d fxx 2 Dada gxy x sen y y sen x determine a gπ0 b gπ2π4 c g0y d gxyh 3 Seja dada gxy x² lnxy a Calcule g31 b Determine e esboce o domínio de g c Determine o conjunto imagem de g 4 Seja dada hxy exyx² a Calcule h25 b Determine e esboce o domínio de h c Determine o conjunto imagem de h 5 Seja dada Fxyz y x 2z a Calcule F341 b Determine e descreva o domínio de F 6 Seja dada fxyz lnz x² y² a Calcule f436 b Determine e descreva o domínio de f 716 Determine e esboce o domínio da função 7 fxy x2 y1 8 fxy ⁴x 3y 9 qxy x 44x² y² 10 gxy lnx² y² 9 11 gxy xyxy 12 gxy ln2x1x² y² 13 pxy xyx1 14 fxy sen¹x1 15 fxyz 4x² 9y² 1z² 16 fxyz ln16 4x² 4y² z² 17 Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado pela função S fwh 00072 w0425 h0725 em que w é o peso em quilogramas h é a altura em centímetros e S é medida em metros quadrados a Determine f73178 e interprete o resultado b Qual é a área da superfície do seu próprio corpo 18 Um fabricante modelou a função P correspondente à sua produção anual o valor monetário de toda a sua produção em milhões de dólares como a função de CobbDouglas PLK 147L065 K035 em que L é o número de horas de trabalho em milhares e K é o capital investido em milhões de dólares Determine P12020 e interprete o resultado 19 No Exemplo 3 consideramos a função W fTv onde W era o índice de sensação térmica T é a temperatura real e v é a velocidade do vento A representação numérica foi fornecida pela Tabela 1 a Qual é o valor de f1540 Qual é o seu significado b Descreva em palavras o significado da questão Para quais valores de v é verdade que f20v 30 Em seguida responda à questão c Descreva o significado da questão Para quais valores de T é verdade que fT20 49 Em seguida responda à questão d Qual o significado da função W f5v Descreva seu comportamento e Qual o significado da função W fT50 Descreva seu comportamento 20 O índice I de temperaturaumidade ou simplesmente índice de calor é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é T e a umidade relativa é h de modo que podemos escrever I fTh A tabela seguinte com valores de I foi extraída de uma tabela da National Oceanic Atmospheric Administration Tabela 3 Temperatura aparente como função da temperatura e da umidade Unidade relativa h 20 30 40 50 60 70 Temperatura real C T 20 20 20 20 21 22 23 25 25 25 26 28 30 32 30 30 31 34 36 38 41 35 36 39 42 45 48 51 40 43 47 51 55 59 63 a Qual é o valor de f9570 Qual é o seu significado b Para que valor de h temos f90h 100 c Para que valor de T temos fT50 88 d Quais são os significados das funções I f80h e I f100h Compare o comportamento dessas duas funções de h 21 A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade Os valores da função h fvt dados em metros são apresentados na Tabela 4 Tabela 4 Altura da onda em função da velocidade e duração do vento Duração horas t 5 10 15 20 30 40 50 Velocidade do vento kmh v 20 06 06 06 06 06 06 06 30 12 13 15 15 15 16 16 40 15 22 24 25 27 28 28 60 28 40 49 52 55 58 59 80 43 64 77 86 95 101 102 100 58 89 110 122 138 147 153 120 74 113 144 166 190 205 211 a Qual é o valor de f4015 Qual é o seu significado b Qual o significado da função h f30t Descreva seu comportamento c Qual o significado da função h fv30 Descreva seu comportamento 22 Uma companhia fabrica caixas de papelão em três tamanhos pequeno médio e grande O custo de produção equivale a 250 para a caixa pequena 400 para a caixa média e 450 para a caixa grande Os custos fixos de produção correspondem a 8000 a Expresse o custo de produção de x caixas pequenas y caixas médias e z caixas grandes como uma função de três variáveis C fxyz b Calcule f300050004000 e interprete o resultado c Determine o domínio de f 2331 Esboce o gráfico da função 23 fxy y 24 fxy x² 25 fxy 10 4x 5y 26 fxy cos y 27 fxy sen x 28 fxy 2 x² y² 29 fxy x² 4y² 1 30 fxy 4x² y² 31 fxy 4 4x² y² 32 Faça uma correspondência entre a função e seu gráfico identificado por IVI Justifique sua escolha a fxy 11 x² y² b fxy 11 x² y² c fxy lnx² y² d fxy cos x² y² e fxy xy f fxy cosxy 33 Um mapa de contorno de uma função f é apresentado Useo para estimar os valores de f33 e f32 O que você pode dizer sobre a forma do gráfico Tabela 3 Temperatura aparente como função da temperatura e da umidade Unidade relativa h 20 30 40 50 60 70 Temperatura real C T 20 20 20 20 21 22 23 25 25 25 26 28 30 32 30 30 31 34 36 38 41 35 36 39 42 45 48 51 40 43 47 51 55 59 63 a Qual é o valor de f95 70 Qual é o seu significado b Para que valor de h temos f90 h 100 c Para que valor de T temos fT 50 88 d Quais são os significados das funções I f80 h e I f100 h Compare o comportamento dessas duas funções de h 21 A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade Os valores da função h fv t dados em metros são apresentados na Tabela 4 Tabela 4 Altura da onda em função da velocidade e duração do vento Duração horas t 5 10 15 20 30 40 50 Velocidade do vento kmh v 20 06 06 06 06 06 06 06 30 12 13 15 15 15 16 16 40 15 22 24 25 27 28 28 60 28 40 49 52 55 58 59 80 43 64 77 86 95 101 102 100 58 89 110 122 138 147 153 120 74 113 144 166 190 205 211 a Qual é o valor de f40 15 Qual é o seu significado b Qual o significado da função h f30 t Descreva seu comportamento c Qual o significado da função h fv 30 Descreva seu comportamento 22 Uma companhia fabrica caixas de papelão em três tamanhos pequeno médio e grande O custo de produção equivale a 250 para a caixa pequena 400 para a caixa média e 450 para a caixa grande Os custos fixos de produção correspondem a 8000 a Expresse o custo de produção de x caixas pequenas y caixas médias e z caixas grandes como uma função de três variáveis C fx y z b Calcule f3000 5000 4000 e interprete o resultado c Determine o domínio de f 2331 Esboce o gráfico da função 23 fx y y 24 fx y x² 25 fx y 10 4x 5y 26 fx y cos y 27 fx y sen x 28 fx y 2 x² y² 29 fx y x² 4y² 1 30 fx y 4x² y² 31 fx y 4 4x² y² 32 Faça uma correspondência entre a função e seu gráfico identificado por IVI Justifique sua escolha a fx y 11 x² y² b fx y 11 x²y² c fx y lnx² y² d fx y cos x² y² e fx y xy f fx y cosxy 33 Um mapa de contorno de uma função f é apresentado Useo para estimar os valores de f3 3 e f3 2 O que você pode dizer sobre a forma do gráfico se x y z está no domínio de f e 0 x a² y b² z c² δ então fx y z L ε A função f é contínua em a b c se lim x y za b c fx y z fa b c Por exemplo a função fx y z 1x² y² z² 1 é uma função racional em três variáveis e portanto é contínua em todo ponto de R³ exceto onde x² y² z² 1 Em outras palavras é descontínua na esfera com o centro na origem e raio 1 Se usarmos a notação vetorial introduzida no fim da Seção 141 poderemos escrever as definições de limite para as funções de duas ou três variáveis de uma forma compacta como a seguir 7 Se f é definida em um subconjunto D de Rⁿ então lim xa fx L significa que para todo número ε 0 existe um número correspondente δ 0 tal que se x D e 0 x a δ então fx L ε Observe que se n 1 então x x e a a e 7 é exatamente a definição do limite para as funções de uma única variável Definição 242 Para o caso n 2 temos x x y a a b e x a x a² y b² de modo que 7 se torna a Definição 1 Se n 3 então x x y z a a b c e 7 é a definição de limite de uma função de três variáveis Em cada caso a definição de continuidade pode ser escrita como lim xa fx fa 142 Exercícios 1 Suponha que lim xy31 fxy 6 O que podemos dizer do valor de f31 E se a função f for continua 2 Explique por que cada função é continua ou descontínua a A temperatura externa como função da latitude da longitude e do tempo b A altura acima do nível do mar como função da longitude da latitude e do tempo c O custo da tarifa do táxi como função da distância percorrida e do tempo gasto 34 Utilize uma tabela de valores numéricos de fxy para xy perto da origem para conjecturar sobre o limite de fxy quando xy 00 Em seguida explique por que sua conjectura está correta 3 fxy x²y³ x³y² 52 xy 4 fxy 2xyx² 2y² 512 Determine o limite 5 lim xy32 x²y³ 4y² 6 lim xy52 x²y 3xy² 4 7 lim xy41 x²y xy³x y 2 8 lim xy21 x² xy²x² y² 9 lim xyππ2 y senx y 10 lim xy32 e2x y 11 lim xy01 x²y³ x³ y²x² y² 12 lim xyππ2 cos y sen 2y cos x cos y 1318 Mostre que o limite não existe 13 lim xy00 y² x² y² 14 lim xy00 2xy x² 3y² 15 lim xy00 x y² x² y² 16 lim xy00 x² xy² x⁴ y² 17 lim xy00 y² sen²x x⁴ y⁴ 18 lim xy11 yx 1 y ln x 1930 Determine o limite caso ele exista ou mostre que o limite não existe 19 lim xy12 x² y xy² 3³ 20 lim xyπ 12 eˣʸ sen xy 21 lim xy23 3x 2y 4x² y² 22 lim xy24 2x y 4x² y² 23 lim xy00 xy² cos y x² y⁴ 24 lim xy00 x³ y³ x² xy y² 25 lim xy00 x² y² x² y² 1 1 26 lim xy00 xy⁴ x² y⁸ 27 lim xyz612 x z cosπ y 28 lim xyz000 xy yz x² y² z² 29 lim xyz000 xy yz² xz² x² y² z⁴ 30 lim xyz000 x⁴ y² z³ x⁴ 2 y² z 3134 Use o Teorema do Confronto para determinar o limite 31 lim xy00 xy sen 1 x² y² 32 lim xy00 xy x² y² 33 lim xy00 xy⁴ x⁴ y⁴ 34 lim xyz000 x² y² z² x² y² z² 3536 Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe 35 lim xy00 2x² 3xy 4y² 3x² 5y² 36 lim xy00 xy³ x² y⁶ 3738 Determine hxy gfxy e o conjunto no qual h é contínua 37 gt t² t fxy 2x 3y 6 38 gt t ln t fxy 1 xy 1 x² y² 3940 Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua Em seguida utilize a fórmula para explicar o que você observou 39 fxy e1xy 40 fxy 1 xy 1 x² y² 4150 Determine o maior conjunto no qual a função é contínua 41 Fxy xy 1 exy 42 Fxy cos 1 x y 43 Fxy 1 x² y² 1 x² y² 44 Hxy eˣ eʸ eˣʸ 1 45 Gxy x 1 x² y² 46 Gxy ln1 x y 47 fxyz arcsenx² y² z² 48 fxy y x² ln z 49 f x y x² y³ 2x² y² se x y 0 0 1 se x y 0 0 50 f x y xy x² xy y² se x y 0 0 0 se x y 0 0 5153 Utilize coordenadas polares para determinar o limite Se r θ são as coordenadas polares do ponto x y com r 0 observe que r 0 quando x y 0 0 51 lim xy00 x³ y³ x² y² 52 lim xy00 x² y² lnx² y² 53 lim xy00 ex²y² 1 x² y² 54 Prove os três limites especiais apresentados em 2 55 No início desta seção consideramos a função fxy senx² y² x² y² e conjecturamos com base na evidência numérica que fxy 1 quando xy 00 Utilize coordenadas polares para comprovar o valor do limite Em seguida faça o gráfico da função 56 Trace o gráfico e analise a continuidade da função A equação da onda ²ut² a² ²ux² descreve o movimento de uma onda que pode ser do mar de som luminosa ou se movendo em uma corda vibrante Por exemplo se uxt representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e à distância x de uma das extremidades da corda como na Figura 5 então uxt satisfaz a equação da onda A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela EXEMPLO 10 Verifique se a função uxt senx at satisfaz a equação de onda SOLUÇÃO uₓ cosx at uₜ a cosx at uₓₓ senx at uₜₜ a² senx at a² uₓₓ Então u satisfaz a equação de onda As equações diferenciais parciais que envolvem as funções de três variáveis também são muito importantes na ciência e na engenharia A equação tridimensional de Laplace é ²ux² ²uy² ²uz² 0 e um lugar em que ocorre é na geofísica Se uxyz representa a força do campo magnético na posição xyz então ela satisfaz a Equação 5 A força do campo magnético indica a distribuição de minerais ricos em ferro e reflete diferentes tipos de rochas e a localização de falhas 143 Exercícios 1 No início dessa seção discutimos a função IfTH em que I é o índice de calor T é a temperatura real e H é a umidade relativa Use a Tabela 1 para estimar fT3475 e fH3475 Qual é o significado prático desses valores 2 A altura das ondas em mar aberto h depende da velocidade do vento v e do intervalo de tempo t no qual o vento vem soprando a essa velocidade Alguns valores da função hfvt em pés são fornecidos na tabela a seguir Tabela com duração horas e velocidade do vento kmh a O que significam as derivadas parciais hv e ht b Estime os valores de fᵗ40 15 e fᵥ40 15 Qual é o significado prático desses valores c Qual parece ser o valor do limite a seguir limtt₀ ht 3 A temperatura T em C de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x da latitude y e do tempo t de modo que podemos escrever T fxyt Vamos medir o tempo em horas a partir do início de janeiro a Qual o significado das derivadas parciais Tx Ty e Tt b Honolulu tem longitude de 158 W e latitude de 21 N Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando para noroeste uma brisa quente de forma que a Oeste e a Sul o ar esteja quente e a Norte e Leste o ar esteja mais frio Você esperaria que fₓ158219 fᵧ158219 e fₜ158219 fossem positivos ou negativos Explique 45 Determine os sinais das derivadas parciais da função cujo gráfico está mostrado 4 a fₓ12 b fᵧ12 5 a fₓ12 b fᵧ12 6 A figura mostra o mapa de contorno de uma função f Useo para estimar fₓ21 e fᵧ21 7 Supondo que fxy16 4x² y² determine fₓ12 e fᵧ12 e interprete esses valores como se fossem inclinações Ilustre seu resultado com um desenho à mão ou um gráfico feito no computador 8 Supondo que fxy 4 x² 4 y² determine fₓ10 e fᵧ10 e interprete esses valores como se fossem inclinações Ilustre seu resultado com um desenho à mão ou um gráfico feito no computador 936 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função 9 fxy x⁴ 5xy³ 10 fxy x²y 3y⁴ 11 gxy x³ sen y 12 gxt ext 13 z lnx t² 14 w u v² 15 fxy yeʸ 16 gxy x² xy³ 17 gxy yx x²y⁵ 18 fxy x x y² 19 fxy ax by cx dy 20 w eᵗ u v² 21 guv u²v u³⁵ 22 urθ senr cos θ 23 Rpq tg¹pq² 24 fxy xʸ 25 Fxy coseᵗ dt 26 Fαβ r³ 1 dt 27 fxyz x³yz² 2yz 28 fxyz xy²eˣ 29 w lnx 2y 3z 30 w y tgx 2z 31 p 4 u² cos v 32 u xʸᶻ 33 hxyzt x²y coszt 34 ϕxyzt αx β y² yz δ t² 35 u x₁² x₂² xᵣ² 36 u senx₁ 2x₂ nxᵣ 3740 Determine as derivadas parciais indicadas 37 Rst tets Rᵗ01 38 fxy y sen¹xy fᵧ1 ½ 39 fxyz ln 1 x² y² z² 1 x² y² z² fᵧ122 40 fxyz xʸᶻ fᶻe10 4144 Use a derivação implícita para encontrar zx e zy 41 x² 2y² 3z² 1 42 x² y² z² 2z 4 43 eᶻ xyz 44 yz x ln y z² 4546 Determine zx e zy 45 a z fx gy b z fx y 46 a z fxgy b z fxy c z fxy 4752 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem 47 fxy x⁴y 2x³y² 48 fxy lnax by 49 z y 2x 3y 50 T e²ʳ cos θ 51 v sens² r² 52 z arctg x y 1 xy 5356 Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida isto é uᵪᵧ uᵧₓ 53 u x⁴y³ y⁴ 54 u eˣʸ sen y 55 u cos x³y 56 u lnx 2y 5764 Determine as derivadas parcialis indicadas 57 fxy x⁴y² x³y fₓₓₓ fᵧₓₓ 58 fxy sen2x 5y fᵧᵧₓ 59 fxyz eˣʸ² fᵧₓₓ 60 grst eʳ senst gᵣₛₜ 61 W u v² ³W u²v 62 V lnr s² t³ ³V rst 63 w x y 2z ³w zyx ³w x²y 64 u xᵃ yᵇ zᶜ ⁶u xᵃ yᵇ zᶜ 6566 Use a Definição 4 para determinar fₓxy e fᵧxy 65 fxy xy² x³y 66 fxy x x y² 67 Supondo que fxyz xy²z³ arcsenxz determine fₓᵧ Dica Qual ordem de diferenciação é mais fácil de usar 68 Supondo que gxyz 1 xz 1 xy determine gᵧₓ Dica Use uma ordem de diferenciação diferente para cada termo 69 As seguintes superfícies rotuladas a b e c são gráficos de uma função f e de suas derivadas parciais fₓ e fᵧ Identifique cada superfície e dê razões para sua escolha 896 CÁLCULO 7071 Determine fx e fy e faça os gráficos fx fy e fy com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles 70 fx y y1 x2y2 71 fx y x2y3 72 Determine os sinais das seguintes derivadas parciais da função f cujo gráfico é mostrado nos Exercícios 45 a fx1 2 b fy1 2 c fy1 2 d fx1 2 e fyy 73 Use a tabela de valores de fx y para estimar os valores de f3 2 fx3 22 e fy3 2 x y 18 20 22 25 125 102 93 30 181 175 159 35 200 224 261 74 As curvas de nível são mostradas para uma função f Determine se as seguintes derivadas parciais são positivas ou negativas no ponto P a fx b fy c fxx d fxy e fyy 75 a No Exemplo 3 determinamos que para a função fx y 4 x2 2y2 fx1 1 2 Interpretamos geometricamente esse resultado como a inclinação da reta tangente à curva C1 no ponto P1 1 1 em que C1 é o corte do gráfico de f gerado pelo plano y 1 Veja a figura a seguir Confirme essa interpretação determinando uma equação vetorial para C1 calculando o vetor tangente a C1 em P e então determinando a inclinação da reta tangente a C1 em P no plano y 1 b Use um método análogo para comprovar que fy1 1 4 76 Supondo que u ea1x1 a2x2 anxn em que a12 a22 an2 1 mostre que ²ux₁² ²ux₂² ²uxn² u 77 Mostre que a função u ux t é uma solução da equação da onda utt a²uxx a u senkx senakt b u ta²t² x² c u x at⁶ x at⁶ d u senx at lnx at 78 Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace uxx uyy 0 a u x² y² b u x² y² c u x² 3xy² d u lnx² y² e u sen x cosh y cos x senh y f u ex cos y ey cos x 79 Verifique se a função u 1x² y² z² é uma solução da equação de Laplace tridimensional uxx uyy uzz 0 80 A Equação do Calor Comprove que a função u ex²k² sen kx é a solução da equação de condução do calor ut α²uxx 81 A Equação de Difusão A equação de difusão ct D ²cx² onde D é uma constante positiva descreve a difusão de calor por um sólido ou a concentração de poluentes no instante t a 906 CÁLCULO 144 Exercícios 12 A figura mostra o gráfico de uma função f Determine a equação do plano tangente à superfície z fx y no ponto indicado 1 fx y 16 x² y² 2 fx y y² sen x 310 Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado 3 z 2x² y² 5y 1 2 4 4 z x 2² 2y 1² 5 2 3 3 5 z ex 2 2 1 6 z y² ex 0 3 9 7 z 2 yx 1 1 2 8 z xy² 4 2 1 9 z x senx y 1 1 0 10 z lnx 2y 3 1 0 1112 Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado Escolha o domínio e o ponto de vista de modo que se veja tanto a superfície quanto o plano tangente Em seguida dê zoom até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis 11 z x² xy 3y² 1 1 5 12 z 9 x² y² 2 2 5 1314 Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado Utilize um computador tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu plano tangente Em seguida dê zoom até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis 13 fx y 1 cos²x y1 cos²x y π3 π6 74 14 fx y exy10 x y xy 113e01 1522 Explique por que a função é diferenciável no ponto dado A seguir encontre a linearização Lx y da função naquele ponto 15 fx y x²y² 2 1 16 fx y y tg x π4 2 17 fx y 1 x lnxy 5 2 3 18 fx y xy 1 4 19 fx y x² ey 1 0 20 fx y 1 y1 x 1 3 21 fx y 4 arctgxy 1 1 22 fx y y senxy 0 3 2324 Verifique a aproximação linear em 0 0 23 et cosxy x 1 24 y 1x 1 x y 1 25 Dado que f é uma função diferenciável f2 5 6 fx2 5 1 e fy2 5 1 use uma aproximação linear para estimar f2 2 49 26 Determine a aproximação linear da função fx y 1 xy cos πy em 1 1 e usea para aproximar o número f102 097 Ilustre traçando o gráfico de f e do plano tangente 27 Determine a aproximação linear da função fx y z x² y² z² em 3 2 6 e usea para aproximar o número 302² 197² 599² 28 A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se mantve naquela intensidade Os valores da função h fv t são apresentados na seguinte tabela Use a tabela para determinar uma aproximação linear da função altura da onda quando v está próximo de 40 kmh e t está próximo de 20 horas Em seguida estime a altura das ondas quando está ventando por 24 horas a 43 kmh Duração horas t 5 10 15 20 30 40 50 Velocidade do vento kmh v 40 15 22 24 25 27 28 28 60 28 40 49 52 55 58 59 80 43 64 77 86 95 101 102 100 58 89 110 122 138 147 153 120 74 113 144 166 190 205 211 29 Utilize a tabela do Exemplo 3 para encontrar a aproximação linear da função índice de calor quando a temperatura está próxima de 32 C e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 65 Estime também o índice de calor quando a temperatura é de 33 C e a umidade relativa 63 30 O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é T e a velocidade do vento v Portanto podemos escrever W fT v A tabela de valores a seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 141 Use essa tabela para determinar a aproximação linear da função de sensação térmica DERIVADAS PARCIAIS 907 quando T estiver a 15 C e v estiver próximo de 50 kmh Estime a seguir a sensação térmica quando a temperatura estiver a 17 C e a velocidade do vento for de 55 kmh Velocidade do vento km h Velocidade do vento kmh Temperatura real C T v 20 30 40 50 60 70 10 18 20 21 22 23 23 15 24 26 27 29 30 30 20 30 33 34 36 37 25 37 39 41 42 43 44 3138 Determine a diferencial da função 31 m p³ q³ 32 z x lny² 1 33 z e2t cos 2πt 34 u x² 3y² 35 H x² y⁴ y³ z⁵ 36 w xzez² z 37 R αβ³ cos γ 38 T v1 uvw 39 Se z 5x² y² e x y varia de 1 2 a 105 21 compare os valores de Δx e dz 40 Se z x² xy 3y² e x y varia de 3 1 a 296 095 compare os valores de Δx e dz 41 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no máximo 01 cm Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo 42 Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 01 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 005 cm 43 Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for 004 cm 44 Determinouse que a base e a altura de um triângulo têm medidas correspondentes a 70 cm e 40 cm respectivamente Suponha que cada medida tenha um erro de no máximo ε centímetros a Use diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do triângulo b Qual é o erro máximo estimado para a área do triângulo no caso de a base e a altura serem medidas com um erro de no máximo 064 cm 45 Determinouse que o raio de um cilindro circular mede 1 m e que sua altura mede 4 m Suponha que cada medida tenha um erro de no máximo ε pés a Use diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cilindro b Supondo que o volume deva ter precisão de um pé cúbico determine o maior valor admissível para ε 46 O índice de sensação térmica é modelado pela função W 1312 06215T 1137T016 03965T v016 onde T é a temperatura em C e v a velocidade do vento em kmh A velocidade do vento é medida como 26 kmh com uma possibilidade de erro de 2 kmh e a temperatura é medida como 11 C com a possibilidade de erro de 1 C Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no valor calculado de W em decorrência dos erros de medida em T e v 47 A tensão T no cordel do ioiô na figura é T mgR2r² R² onde m é a massa do ioiô e g é a aceleração pela gravidade Utilize as diferenciais para estimar a variação na tensão se R aumentar de 3 cm para 31 cm e r aumentar de 07 cm para 08 cm A tensão aumenta ou decresce 48 A pressão o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação PV 831T onde P é medida em quilopascals V em litros e T em kelvins Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 123 L e a temperatura decresce de 310 K para 305 K 49 Se R é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo com resistências R1 R2 e R3 então 1R 1R1 1R2 1R3 Se as resistências são medidas em ohms como R1 25 Ω R2 40 Ω e R3 50 Ω com margem de erro de 05 em cada uma estime o erro máximo no valor calculado de R 50 Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por S 00072u0425 h0725 onde u é o peso em quilogramas h é a altura em centímetros e S é medida em metros quadrados Se os erros nas medidas de u e h forem no máximo de 2 use diferenciais para estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada 51 O Exercício 14139 e no Exemplo 1434 o índice de massa corporal de uma pessoa foi definido por Bm h mh² onde m é a massa em quilogramas e h é a altura em metros a Qual é a aproximação linear de Bm h para uma criança com massa 23 kg e altura 110 m b Se a massa da criança aumentar 1 kg e a altura 3 cm use a aproximação linear para estimar o novo IMC Compare com o novo IMC real 52 Suponha que você precise saber sobre uma equação do plano tangente à superfície S no ponto P2 1 3 Você não tem uma equação para S mas sabe que as curvas