Gradiente e Derivada Direcional - Exercícios Resolvidos

Gradiente e Derivada Direcional 255 ou 6 x 1 2 y 1 4 z 2 0 ou ainda z 2 32 x 1 12 y 1 EXEMPLO 3 A imagem da curva γ t está contida na intersecção das superfícies x² 2y² z 4 e x² y z 3 Suponha γ t0 1 1 1 e γ t0 0 a Determine a reta tangente a γ no ponto γ t0 b Determine uma curva γ t nas condições acima Solução a Sejam F x y z x² 2y² z e G x y z x² y z Para todo t no domínio de γ devemos ter F γ t 4 e G γ t 3 pois a imagem de γ está contida nas superfícies de nível F x y z 4 e G x y z 3 Segue que F γ t0 γ t0 0 e G γ t0 γ t0 0 ou seja γ t0 é normal aos vetores F 1 1 1 e G 1 1 1 logo γ t0 é paralelo ao produto vetorial F 1 1 1 G 1 1 1 Temos F 1 1 1 G 1 1 1 i j k 2 4 1 2 1 1 3 i 6 k A equação da reta tangente a γ no ponto γ t0 1 1 1 é x y z 1 1 1 λ 3 0 6 λ R b x² 2y² z 4 x² y z 3 x² y z 3 z 3 x² y Substituindo na 1ª equação vem x² 2y² 3 x² y 4 e portanto 2y² y 1 0 ou seja y 1 ou y 12 isto é y não depende de x Como a curva deve passar pelo ponto 1 1 1 vamos tornar y 1 Segue que z 3 x² 1 ou