Gradiente e Derivada Direcional - Teorema e Exemplos Resolvidos

264 Um Curso de Cálculo Vol 2 fu x₀y₀ fx₀y₀ cos θ fu x₀y₀ é a componente escalar de fx₀y₀ na direção u ATENÇÃO fu x₀y₀ é número Teorema 2 Seja f A R² R A aberto diferenciável em x₀y₀ e tal que fx₀y₀ 0 Então o valor máximo de fu x₀y₀ ocorre quando u for o versor de fx₀y₀ isto é u fx₀y₀ fx₀y₀ e o valor máximo de fu x₀y₀ é fx₀y₀ Demonstração fu x₀y₀ fx₀y₀ cos θ fu x₀y₀ terá valor máximo para θ0 ou seja quando u for o versor de fx₀y₀ O valor máximo de fu x₀y₀ é então fx₀y₀ O teorema acima nos diz ainda que estando em x₀y₀ a direção e sentido que se deve tomar para que f cresça mais rapidamente é a do vetor fx₀y₀ EXEMPLO 1 Calcule fu 12 onde fxy x² xy e u o versor de a v 11 b w 34 Solução Como f é diferenciável fu 12 f12 u Gradiente e Derivada Direcional 265